La Lagrangiana del
Modello Standard
richiami
cenni di teoria dei gruppi
le siimetrie della fisica delle particelle
pfd particelle
1
abbiamo imparato
le notazioni dell’equazione di Dirac, per
esprimere la struttura dello spin
 l’imposizione della gauge invariance che ci
dice di cominciare con una Lagrangiana di
particella libera e di riscriverla con il
formalismo delle derivate covarianti
 l’idea di simmetria interna

pfd particelle
2
l’equazione di Schroedinger

1 2 
 x , t 
 x , t   i
2m
t
questa è l’equazione di Schroedinger per una paricella libera
di massa m
SORPRESA! L’equazione di Schroedinger NON è invariante
per trasformazione di guage locale.
vedi Kane 3 e lezione 4.
pfd particelle
3
ELETTROMAGNETISMO
Modifica dell’ Equazione di Schroedinger per una particella carica
in un campo e.m


2
1


 i  eA   i  eV 
2m
 t





i ( t , x )
t , x   ' t , x   e
(t , x )


 1
A  A'  A  
e
1 
V V ' V 
e t
pfd particelle
Le
trasformazioni
sono
simultanee. 4
formalismo relativistico




1
k
k 2
0
0
 i  eA   i   eA 
2m




A  A ' A    / e
Questa equazione è gauge-invariante
La invarianza locale di gauge ( o fase) richiede l’esistenza
del campo quadri-vettoriale A = (V;A)
associato a una particella che ruota nello spazio come  , e
quindi deve avere spin 1.
pfd particelle
vedi Kane 3 e 5lez4
La derivata covariante



D    ieA

0
D 
 ieV
t



0
D  D ;D
 
1 2
0
iD   iD 
2m

Equazione diScroedinger
per una particella nel
potenziale
elettromagnetico A 
pfd particelle
vedi Kane 3 e 6lez4
Simmetrie e teoria dei gruppi
Per descrivere le particelle e le interazioni note
attualmente, abbiamo bisogno di 3 simmetrie o
invarianze interne.
Attualmente tutti gli esperimenti sono consistenti
con la nozione che queste tre simmetrie sono
necessarie e sufficienti.
Non sappiamo perchè, nè se non se ne
scopriranno altre
E’ più facile descrivere il funzionamento di queste
simmetrie con il linguaggio della teoria dei gruppi
pfd particelle
7
Tutte le particelle sembrano avere

La simmetria U(1) (QED)

la simmetria SU(2) (ElettroDebole)

La simmetria SU(3) (QCD)
pfd particelle
8
La simmetria U(1)






Invarianza di fase Abeliana.
Chiamiamo B il bosone di gauge richiesto perchè la
teoria sia gauge-invariante
C’è un solo bosone di gauge, dato che U(1) ha un solo
generatore
Il bosone di gauge B si deve trsformare per rotazioni
nello spazio come . La particella associata ha
spin=1.
Analoga alla simmetria interna dell’elettromagnetismo,
QED
Vedremo in seguito le connessioni tra A (il fotone) e
B
pfd particelle
9
La simmetria SU(2)






Invarianza di fase non-Abeliana ,detta invarianza elettrodebole
É una invarianza di gauge (fase), analoga a quella dello
spin isotopico forte.
I bosoni di gauge Wi necessari per mantenere invariata
la teoria sono 3, (i=1,3) come i generatori delle
trasformazioni SU(2).
Le W si devono trsformare nello spazio-tempo come ,
ed hanno pertanto spin 1.
C’e un bosone di gauge per ognuno dei tre generatori
delle trasformazioni SU(2), che si chiamano “weakisospin trasformations”
Sono particelle cariche (e massive, anche se in questa
trattazione hanno massa=0)
pfd particelle
10
relazione tra le particelle
0
“fisiche” W e bosoni W


  W

/
W   W  iW / 2 ,
W

W W
0
1
1
2
 iW
2
2,
3
bisogna distinguere tra cariche
elettromagnetiche, di U(1), di SU(2), di SU(3)
pfd particelle
11
La simmetria SU(3),
Invarianza di gauge non-Abeliana.
 Teoria QCD
 I bosoni di gauge associati sono i gluoni Ga. a=1,2...8..
 C’è un bosone di spin 1 per ognuno degli 8 generatori di
SU(3).
 La carica interna portata dalle particelle che determina
l’interazione con i gluoni si chiama colore, o carica QCD o
carica di SU(3).
 Analogia del colore QCD e quello solito.
 Esempio: il nucleone è neutro o bianco, perchè fatto di 3
quark di colori diversi che si combinano dando il colore
neutro, come la luce bianca è fatta dai tre colori di base

pfd particelle
12
Come scrivere la Lagrangiana
completa?
Si parte dalla Lagrangiana della particella
libera e si rimpiazza la derivata con la
derivata covariante
 Deve contenere l’energia cinetica Lgauge
e l’energia dei fermioni interagenti Lferm ( o
di interazione)
 Bisogna definire tutte le notazioni
necessarie

pfd particelle
13
Etichettare Quark e Leptoni
La nuova fisica viene fuori dai termini che si generano
quando le derivate covarianti sono inserite nelle energie
cinetiche di quark e leptoni.
 Lagrangiane dei fermioni.
 Bisogna “etichettare” le simmetrie interne: prepariamo il
formalismo, le notazioni adatte .
 SEPARARE GLI STATI DI SPIN DESTRORSI E
SINISTRORSI.
 Negli spazi di spin gli stati:

spin up e down sono connessi dal momento angolare.

spin isotopico forte sono connessi dal pione.

spin isotopico debole connessi dal W

pfd particelle
14
notazioni, labelling SU(2)

Singoletti


Doppietti
spin  0
isospin forte p  n
isospin debole eL   e

Tripletti

 

 
pione
W
 , isospin forte
W , isospin debole
pfd particelle
15
SU(2) singoletti , doppietti, tripletti , LEPTONI
Singoletto
di SU(2)
elettrone
 e  
eR  PR e 
L=leptone
 e 
L    
 e L
eL  PL e 
PR,PL sono gli operatori proiezione.
R=right-ended; L=left-handed
doppietto
di SU(2)
 e  eL 
rotazione nello spazio
interno di isospin debole
Stati sinistrorsi e destrorsi si trasformano in modo diverso per
SU(2) elettrodebole! Non esiste il R
SU(2) singoletti , doppietti, QUARK
QR  uR , d R
QL
 u 
  
 d  L
trasformazioni nello
spazio interno di
colore
SU(3)
pfd particelle
 descrive come i
quark si trasformano
nello spazio interno di
colore SU(3)
16
SU(3) triplet ti di colore QUARK
La rapresenatzione di base di
SU(3) è un tripletto con tre
componenti, con labels ,,
    r g b red green blue
Se un colore è su, la combinazione su,
giù, opportunamente simetrizzata deve
essere neutra o bianca
Parliamo quindi di colore e
anticolore e di singoletti di
colore
r, r
, 
g, g
rr  gg  bb 
Colorless,
singoletto
b, b
I leptoni sono singoletti di colore
pfd particelle
17
I gluoni sono gli oggetti che generano la transizione da un
colore del quark ad un altro
Le proprietà spazio-temporali dei gluoni sono come quelle del
fotone, ma i gluoni portano anche la carica forte o di colore.
Quindi particelle colorate (quark e gluoni) possono cambiare sia
il colore che il momento, emettendo o assorbendo un gluone.
Dato che i gluoni connettono 3 colori, r g b sembrerebbe che
ci volessero 9 gluoni. Ne bastano 8, dato che
rr  gg  bb 
è invariante per rotazione nello spazio di colore.
pfd particelle
18
OSSERVAZIONI





fermioni left-handed e right-handed stanno in multipletti
diversi di SU(2) questa è una violazione della parità, dato che
la teoria non è invariante per inversione delle componenti dello
spin in direzione del moto
Vedremo che la nota violazione di parità delle interazioni
deboli emerge da questo input, anche se non si sa perchè.
Non sono stati osservati neutrini destrorsi in natura. Se
esistono devono essere pesantissimi, oppure non interagire
quasi per niente.
Abbiamo considerato in questa lezione solo una famiglia di
fermioni: e,e,u,d. Sembra comunque che la teoria si applichi
esattamente anche alle alte due famiglie  ,,c,s ,,t,b.
La sola differenza è che le masse misurate devono essere
usate per la cinematica e lo spazio delle fasi.
L’universo,come lo conosciamo, è fatto di particelle della prima
famiglia. Le altre decadono in tempi brevissimi.
pfd particelle
19
lagrangiana di quark e leptoni
Come incorporare nella
Lagrangiana tutte le
informazioni sulle particelle
raccolte sperimentalmente?

La Lagrangiana di Dirac per la energia cinetica è
sostituita dalla forma con la derivata covariante.


LDirac   i    m   0
Si somma su tutti i fermioni
D deve avere un
termine per ogni
“local gauge
symmetry”
Len.cin          D
f  L, eR , QL , uR , d R
i 
a 
Y 
D    ig1 B  ig 2 Wi  ig 3 Ga
2
2
2


Per poter scrivere questa Lagrangiana
in modo compatto, si introduce la
convenzione: “se D agisce su uno
stato frermionico di forma
matriciale diversa, il risultato è
0”
L ferm 
pfd particelle
i  1,2,3
  1,2....8
g i ,i 1, 2,3
coupling costants
 fi
f  L ,eR ,QL u R , d R

D f
20
OSSERVAZIONI su

D
i 
a 
Y 
D    ig1 B  ig 2 Wi  ig 3 Ga
2
2
2





Il secondo termine rappresenta la simmetria U(1). B èil campo a
spin 1, necessario per mantenere la gauge-invarianza.Y è il
generatore di U(1), una costante, che può essere diversa per diversi
fermioni. La gauge-invarianza determina la forma di D , ma non la
sua forza. g1 dà la forza di accoppiamento, determinata
sperimentalmente
Osservazioni analoghe per i termini SU(2),SU(3). Campi a
spin=1,per mantenere la gauge-invarianza: le 3 Wi di SU(2), e gli 8
Ga di SU(3) . Essi entrano come iWi e aGa. Ogni termine ha la sua
costante di accoppiamento g2, g3, che viene dagli esperimenti
Gli indici ripetuti vanno sommati i=1..3, a=1..8
i
2
Wi  

i 1, 3
i
2
Wi

a
2

Ga 
pfd particelle
a
2
a 1,8
Ga
21
Una tecnica diversa per costruire la Lagrangiana Simmetrie di U(1)
SU(2), da un punto di vista più storico





Lag en.cin  ieR    eR
Lagrangiana di Dirac dell’energia cinetica
dei leptoni della prima famiglia
 ieL    eL  i L    L
 e 
L    
 e L
Quali sono le simmetrie interne presenti?
Le trasformazioni devono commutare con
quelle spazio-temporali
singoletto.
doppietto
La Lagrangiana è invariante per queste
trasformazioni,che sono di SU(2) eR deve
essere separato e sta in un singoletto
L  ei  / 2 L; eR  eR
C’è un’ altra simmetria.Simmetria di U(1),
globale. Non possiamo cambiare eL e 
separatamente, senza rompere la
simmetria.
“gauge” la Lagrangiana sostituendo le
derivate covarianti.(modelli)
eR
i
i '
L  e L; eR  e eR
Lag ferm 
pfd particelle
 fi
f  L ,eR ,QL u R , d R

D f
22
per oggi,basta
pfd particelle
23
Tutte le particelle sembrano avere
U(1) invariance o invarianza di
fase. B bosone di gauge 
rotazioni nello spazio =  
spin=1
 SU(2) invariance o invarianza di
fase non Abeliana (strong isospin)
Wi bosoni di guage  rotazioni
nello spazio =   spin=1.
i=1,2,3 come i generatori di SU(2)
 3 bosoni di guage
 SU(3) invarianza di fase non
Abeliana. Carica di colore, forza di
colore. 3 colori G bosoni di
gauge  rotazioni nello spazio =
  spin=1=1,2,3...8 come i
generatori di SU(3)  8 bosoni di
guage



analoga alla QED
Le W sono massive e cariche
elettromagneticamente.

  W

/
W    W 1  iW 2 / 2 ,
W

pfd particelle
1
 iW 2
2,
W0 W3
Carica di colore. Teoria QCD.
Analogia del colore QCD e quello
solito. Esempio: N è neutro o
bianco, perchè fatto di 3 quark di
colori diversi. Bisogna distinguere
tra carica di U(1), di SU(2),
elettromagnetica etc.La
24