Laboratorio di didattica della matematica
Argomento
Funzioni di due variabili. Massimo e minimo di una funzione
sottoposta a vincoli. Problemi di ottimizzazione.
Motivazioni della scelta
 Presenza dell’argomento nei temi ministeriali della classe di
concorso A048-Matematica applicata
 Possibilita’ di utilizzo dell’argomento nelle classi di concorso
A047-A049 anche con esempi applicativi della teoria delle funzioni
in due variabili
1
Argomento
Funzioni di due variabili. Massimo e minimo di una funzione sottoposta a
vincoli. Problemi di ottimizzazione.
Prerequisiti
Retta, parabola, iperbole
Funzioni di una variabile
Disequazioni e sistemi di disequazioni in due variabili
Calcolo differenziale.
Conoscenze
(sapere)
Condizioni di estremo
Obiettivi
Competenze
(saper fare)
Oggetti
matematici e
approfondimenti
Modellizzazione
Rappresentazione nel piano delle curve di livello di una f(x,y)
Massimi e minimi con curve di livello, per problemi di estremo libero e
vincolato
Massimi e minimi con metodi dell’analisi, per problemi di estremo libero e
vincolato
Superfici nello spazio
Curve nel piano
( Metodo dei moltplicatori di Lagrange)
Tipo di applicazioni
Problemi economici
Collegamenti con altre materie
ITC - Economia aziendale / Diritto ed economia
Utilizzo del calcolatore
Grafici di superfici nello spazio con il calcolatore
2
Funzioni in due variabili e problemi di ottimo
Ottimizzare f(x,y)
Modello matematico :
Vincoli di segno
Vincoli tecnici
f(x,y)
lineare
non lineare
Punti di
ottimo
(estremi)
liberi
vincolati
lineari
equazioni
non lineari
lineari
vincoli
disequazioni
non lineari
lineari
equazioni e
disequazioni
non lineari
3
Metodi per determinare gli estremi:
1) Procedimento grafico-geometrico
Estremi liberi
2) Metodi dell’analisi : derivate parziali, Hessiano
Estremi vincolati
1) Procedimento grafico-geometrico
Estremi liberi
Estremi vincolati
4
Estremi liberi
•Definizione e rappresentazione grafica di una funzione di due variabili z = f(x,y)
z : D
(x,y)
R
z = f(x,y)
D = dominio = sottoinsieme di R R
•Linee di livello
Una linea di livello è la proiezione ortogonale sul piano xy
dell’insieme dei punti della superficie aventi valore z = k.
Per determinarle :
z = f(x,y)
z=k
5
•Esempio
Rappresentare le linee di livello di z = x2 – y –2 x per k=1,k = 0, ecc.
6
•Esempio
Rappresentare le linee di livello di z = x2 – y –2 x per k=1,k = 0, ecc.
7
8
Max e min con curve di livello
Paraboloide z = x2 + y2 con linee di livello x2+y2=k
Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti
9
Estremi vincolati
•
•
Vincolo espresso da equazione g(x,y) = 0
Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio
Vincolo espresso da equazione g(x,y) = 0
•
•
•
- g(x,y) linea nel piano xy
- variabili non indipendenti, soddisfacenti la condizione g(x,y) = 0
- max e min nei punti di intersezione del dominio con la linea
10
Esempio – Combinazione ottima di fattori produttivi
Un’impresa produce un dato prodotto in quantità q impiegando due fattori produttivi A e B che, entro
certi limiti, sono tra loro sostituibili. Il legame tra i fattori A, B e la produzione q è dato dalla funzione di
produzione q = f(x,y) dove x =quantità di A, y=quantità di B per produrre la quantità q del prodotto.
In pratica, la funzione di produzione esprime una relazione tecnico-economica (determinata dagli
economisti) che lega la quantità di prodotto finito q alle quantità x e y di fattori produttivi impiegati, in
quanto la quantità q può essere ottenuta con diverse combinazioni di A e B.
Se i costi per unità del fattore A e del fattore B sono rispettivamente p1 e p2 , il costo totale relativo alla
produzione della quantità q di prodotto è : C = p1 x + p2 y.
Si possono presentare due problemi :
1° problema : minimizzare il costo totale (funzione obiettivo) per produrre una prefissata quantità di
prodotto (vincolo)
2° problema : massimizzare la produzione (funzione obiettivo) ad un livello di costi prefissato (vincolo)
11
Esempio numerico relativo al 1° problema
Un’impresa produce un certo prodotto impiegando due fattori produttivi A e B i cui
costi unitari sono p1 = 20 e p2 = 5 . La funzione di produzione è rappresentata da q =
10 x • y
Si vuole determinare la combinazione ottima di fattori produttivi relativa alla
produzione della quantità q = 100.
12
Esempio numerico relativo al 1° problema
Un’impresa produce un certo prodotto impiegando due fattori produttivi A e B i cui costi unitari sono p1 = 20 e p2
= 5 . La funzione di produzione è rappresentata da q = 10. x • y
Si vuole determinare la combinazione ottima di fattori produttivi relativa alla produzione della quantità q = 100.
Soluzione
Posto q = 100 la funzione di produzione si scrive come segue :
100 = 10 x • y
ossia 10 = x • y
Il costo totale è C = 20 x + 5 y
min C = 20 x + 5 y
con i vincoli
Pertanto il modello matematico è
x0
y0
10 = x • y
La funzione obiettivo è un piano nello spazio le cui linee di livello risultano rette parallele.
Infatti, impostando il sistema
z = 20 x + 5 y
z=k
e risolvendolo per alcuni valori di k si ottengono le rette di livello (isocosti) in figura:
La funzione vincolo si può scrivere y = 100 / x (iperbole
equilatera ). I punti estremi sono dati dai punti in cui le linee di
livello sono tangenti alla linea del vincolo: si imposta il sistema
y = 100 / x
20 x + 5 y = k
Si pone = 0 il discriminante dell’equazione di secondo grado
ottenuta . Quindi il punto di min risulta P(5,20) per k =200
(valore di costo minimo).
13
Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio
Se il sottoinsieme S è chiuso e limitato e la funzione f(x,y) è continua in
S, per il teorema di Weierstrass esistono min e max assoluti.
Per determinarli si devono considerare :
- i punti di max e min relativo interni ad S;
- i punti di max e min appartenenti alla frontiera di S;
- si sceglie l’estremo assoluto.
Se la superficie si può rappresentare con curve di livello semplici la
determinazione dei massimi e minimi assoluti consiste nell’individuare la
linea di livello con k maggiore e quella con k minore, compatibilmente
con il sistema dei vincoli.
14
Esempio
Determinare max e min assoluto di z = f(x,y) = x2 + y2 – 2x – 4y nell’insieme S individuato dal sistema di vincoli :
x0
y0
2x + y  8
15
Esempio
Determinare max e min assoluto di z = f(x,y) = x2 + y2 – 2x – 4y nell’insieme S individuato dal sistema di vincoli :
x0
y0
2x + y  8
L’insieme S è rappresentato dal triangolo OAB, intersezione dei tre
semipiani.
La funzione obiettivo è un paraboloide le cui linee di livello sono
circonferenze concentriche x2 + y2 – 2x – 4y = k di centro C(1,2) e raggio r =
(5+k)1/2, reali se k . -5
Se k = -5 si ha r = 0, se k = -1 si ha r = 2. Le circonferenze hanno raggio
crescente al crescere di k.
La linea di livello che interseca il triangolo per il più piccolo valore di k
determina il punto di minimo : in questo caso C(1,2) con valore di z = -5 .
Il valore di max si ha per il più grande valore di k che incontra il triangolo
: si ottiene B(0,8) e z = 32 .
Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti
16
2) Metodi dell’analisi numerica
Estremi liberi
Estremi vincolati
Estremi liberi
Condizione sufficiente:
Data z = f(x,y) si calcolano le derivate parziali prime e seconde:
z’y
z’x
z”xx
z”xy
z”yy
z”yx
Si risolve il sistema
z’x = 0
z’y = 0
ottenendo gli eventuali punti critici ;da un punto di vista geometrico in tali punti, per
l’annullarsi delle derivate parziali prime z’x e z’y ,si ha un piano tangente orizzontale ,
cioè parallelo al piano xy.
17
z”
z”
xx
yx
Se ( x0,y0 ) è un punto critico, si calcola il valore dell’Hessiano H(x,y) =
z” xy z” yy
in ( x0,y0 ) :
- se H( x0,y0 )  0 e z”xx( x0,y0 )  0 allora ( x0,y0 ) è un minimo relativo
- se H( x0,y0 )  0 e
z”xx( x0,y0 ) < 0 allora ( x0,y0 ) è un massimo relativo
- se H( x0,y0 ) < 0
non si ha né max ne min ; se z”xx e z”yy hanno segno opposto
allora ( x0,y0 ) è un punto di sella
- se H( x0,y0 ) = 0
non si può trarre alcuna conclusione ; bisogna esaminare il
comportamento della funzione nell’intorno di ( x 0,y0 )
Punto di massimo
Punto di minimo
Punto di sella
18
Esempio
Determinazione del massimo profitto per un’impresa
Uno degli obiettivi di un’impresa che produce più beni è quello di determinare il livello di produzione dei
singoli beni per massimizzare il profitto. In relazione alle condizioni di vendita l’impresa può operare in un
mercato di libera concorrenza, o di monopolio, o di oligopolio; può vendere in mercati diversi o in un solo
mercato, a prezzi uguali o diseguali ,etc.
Se il regime è di concorrenza perfetta i prezzi sono fissi, indipendenti dalla quantità richiesta; se si opera in
condizioni di monopolio i prezzi non sono fissi, ma dipendono dalla funzione di domanda dei singoli prodotti
19
Problema 1
Un’impresa produce due beni e li vende in un mercato di libera concorrenza ai prezzi p1 =800, p2= 1.100
Il costo congiunto di produzione dei due beni , nelle quantità x e y è espresso dalla funzione
c(x,y) = x2+xy +2y2
Determinare per quale combinazione dei fattori produttivi il profitto è massimo
Soluzione
La funzione profitto risulta G(x,y) = 800 x + 1.100y - x2 - xy - 2y2
Annullando le derivate parziali prime si ottiene il punto (x,y) = (300,200). Inoltre H (300,200) = 7>0 e
G”xx(300,200 ) = -2 < 0, quindi (300,200) risulta un massimo della funzione profitto.
20
Problema 2
Un’impresa produce due beni surrogati ( l’aumento di prezzo di uno si traduce nell’aumento della domanda
dell’altro ) e li vende in condizioni di monopolio. Le due leggi della domanda sono espresse dalle relazioni :
x = 1000 –3p1 +p2 , y = 800 + 2p1 –4p2
Il costo unitario di produzione è 180 per il primo prodotto, 230 per il secondo.
Determinare la combinazione produttiva per la quale il profitto è massimo.
Risposta : (x,y) = (300,200 ) che corrisponde al valore G = 66.000.
Oggetti matematici ed eventuali approfondimenti
21
Estremi vincolati
•
•
Vincolo espresso da equazione g(x,y) =0
Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio
Vincolo espresso da equazione g(x,y) =0
La determinazione degli estremi della funzione z = f(x,y) può essere fatta in modo elementare se l’equazione del
vincolo è esplicitabile rispetto ad una delle due variabili. In tal caso si ricava la variabile dal vincolo, si sostituisce
nella funzione obiettivo che diventa una funzione di una sola variabile e quindi il problema viene ricondotto alla
ricerca di estremi di una funzione in una variabile.
Se ciò non è possibile, si ricorre al metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
22
.
Esempio
Data la funzione z = - x2 – 5y2 –3xy +6x +8y, determinarne gli estremi con il vincolo 4x + 5y = 100
Risposta : max (83/3 , -32/15, -2311/5).
23
.
Vincoli determinanti un sottoinsieme S del dominio
Se il sottoinsieme S è chiuso e limitato e la funzione f(x,y) è continua in S, per il teorema di Weierstrass esistono
min e max assoluti.
Per determinarli si devono considerare :
- i punti di max e min relativo interni ad S;
- gli eventuali punti interni in cui la funzione non sia differenziabile;
- i punti di max e min appartenenti alla frontiera di S;
- si sceglie l’estremo assoluto.
24
.
Esempio
Si determinino gli estremi assoluti della funzione z = -3x2 +2xy –3y2 –2x + 7y +1 nel dominio chiuso definito dal
triangolo di vertici O(0,0) , A(0,2), B(2,0).
Risposta : max in (1/16 , 19/16, 163/32) che è anche un massimo relativo; min in (2, 0 –15) che non è anche un
minimo relativo dato che si trova sulla frontiera .
Oggetti matematici e ulteriori approfondimenti
25