Moto di una particella che incontra una barriera finita di potenziale
V ( x)  V0
se
0 x L
V ( x)  0
se
x  0 oppure x  L
consideriamo il caso in cui l’energia totale della particella sia inferiore al potenziale V0 ossia E < V0
 Ae ikx  Be ikx

 ( x)  Ce  x  De  x

Fe ikx

x  0 (I )
k  2mE /
0  x  L ( II ) con
  2m(V0  E ) /
x  L ( III )
( )
non sono inizialmente presenti onde regressive oltre la barriera quindi non c’e’ termine del tipo G’e-ikx
vi sono quindi cinque coefficienti da determinare con le quattro condizioni di continuita’ della funzione e della sua
derivata prima nei punti x = 0 ed x = L piu’ la condizione di normalizzazione
le condizioni di continuita’ della funzione d’onda e della sua derivata prima in x = 0 forniscono
 I (0)   II (0)
ossia
da
A
kB  iC  i D  kA
A B  C  D
Bi
risolvendo per A
1

1

(1  i )C  (1  i ) D
2
k
2
k
 I' (0)   II' (0)
e
A B  C  D

k
C i

k
ikA  ikB  C   D
ikB  C   D  ikA
D A


k
k
si ottiene A  i C  i D  A  C  D
in definitiva
A
2A  C  i

k
C  Di

k
D
1

1

(1  )C  (1  ) D
2
ik
2
ik
sfruttando le altre due condizioni di continuita’
ossia
 II ( L)   III ( L)
e
 II' ( L)   III' ( L)
si ottiene
Ce L  De  L  FeikL e
C e L  D e  L  FikeikL
risolvendo per C e D si ottiene
esprimendo A in funzione di F
C
1  L
ik
e F (1  )eikL
2

1 k 
2
2 

A  F cosh 2 ( L)  (  ) 2 senh 2 ( L) 
4  k


2


1 k2 2
2
A  F 1  senh ( L)  ( 2  2  2) senh2 ( L) 
4 
k


2
 1 k2 2

A  F 1  ( 2  2  2) senh2 ( L) 
k
 4 2

2
2
il rapporto
F
A
2
1 L
ik
e F (1  )eikL
2

dove
sinhx 
1 x x
(e  e )
2
1
2
e coshx  (e x  e x )
e sfruttando la relazione cosh 2 x  senh 2 x  1
1 k 


A  F 1  senh 2 ( L)  (  ) 2 senh 2 ( L) 
4  k


2
D

ik
1

ik
1

A   (1  )(1  )e  L eikL  (1  )(1  )e L eikL  F
ik

4
ik

4

1 k 
1

A  2 FeikL  cosh( L)  i (  ) senh( L) 
4  k
2

ossia
2
e
cosh 2 x  1  senh 2 x


1 k2 2
k
2
A  F 1  senh ( L)  ( 2  2  2
) senh2 ( L) 
4 
k
 k


2
2
 1

1 k2 2
2
A  F 1  4senh ( L)  ( 2  2  2) senh2 ( L) 
4 
k
 4

2
2
1 k 
2
2 

A  F 1  (  ) 2 senh 2 ( L) 
 4  k

e’ detto coefficiente di trasmissione T riesce
T
F
A
2
2

1
1 k 
1  (  ) 2 senh 2 ( L)
4  k
dal punto di vista classico nessuna trasmissione e’ possibile oltre la barriera di potenziale in quanto essendo E < V 0
l’energia cinetica risulterebbe negativa all’interno della barriera
dal punto di vista quantistico viceversa la particella possiede proprieta’ ondulatorie quindi una parte dell’onda di
probabilita’ viene sempre trasmessa oltre la barriera di potenziale
l’effetto e’ tanto piu’ marcato quanto e’ piccola la massa della particella e quanto piu’ la sua energia totale E e’ grande e
si approssima a V0
se si introduce il parametro adimensionale
come

E
V0
il coefficiente di trasmissione si puo’ scrivere
1
T
1
1 1
senh 2 ( L)
4  (1   )
E
E
(1  )
V0
V0
E
E
(1  )
V0
V0
1


T
E
E
1
1


4 (1  )  senh 2 ( L)
1
senh 2 ( L)


E
E
V0
V0
4 (1  )
E
E  1
1

4 (1  ) 1 
senh 2 ( L) 
V0
V0
V0
V0  4 E (1  E )

V0
V0


4
E
E
(1  )
V0
V0
2m(V0  E ) 
E
E
L   4 (1  )
V0
V0

4
in conclusione
T

sinh 2 

E
E
(1  )
V0
V0
2m(U 0  E ) 
E
E
L   4 (1  )
V0
V0

4
4


senh 2 

Barriere di potenziale, effetto tunnel e il decadimento alfa
Un elettrone incontra una barriera di larghezza L = 15 nm e di altezza U0 = 0.1 eV . Determinare quale sia la
probabilita’ di trasmissione se la sua energia e’ di 0.04 eV.
E se fosse di 0.06 eV ?
per una barriera di potenziale di altezza U0 e larghezza L si ha :
T

sinh 2 

E
E
4 (1  )
U0
U0
2m(U 0  E ) 
E
E
L  4 (1  )

U0
U0

R

sinh 2 

 2m(U 0  E ) 
sinh 2 
L



2m(U 0  E ) 
E
E
L  4 (1  )

U0
U0

entro la barriera la funzione d’onda e’ proporzionale ad e-x, scritto anche come e-x/d dove d e’ la lunghezza di
penetrazione
e:

2m(U 0  E )

se la larghezza della barriera L e’ molto maggiore della lunghezza di
penetrazione d si parla di barriere “larghe” .
In questi casi la probabilita’ di effetto tunnel sara’ molto piccola
2m(U 0  E )
in altri termini si parla di barriere larghe quando : L  L 
L  1
d

in presenza di barriere larghe vale l’approssimazione :
T  16
E
E
(1  )e
U0
U0
 2 m (U 0  E ) 
2 
L



infatti :
1
1
sinh x  cosh( 2 x ) 
2
2
2
e dato che
e x  e x
cosh( x ) 
2
e2 x  e 2 x 1
sinh x 

4
2
2
quindi il coefficiente di trasmissione potra’ essere riscritto come:
E
E
(1  )
U0
U0

2
2m(U 0  E ) 
E
E
e
L  4 (1  )

U0
U0

4
T

sinh 

2
in presenza di barriere larghe :
percio’ il termine
e
quindi si ha che
T
E
E
(1  )
U0
U0
e
d
 L 
2 m (U 0  E )
L

e
4
2
E
E
(1  )
U0
U0
2 m (U 0  E )
L


1
E
E
 4 (1  )
2
U0
U0
2m(U 0  E )
L  1

2 m (U0  E )
L

e le costanti potranno essere trascurate rispetto a
2
4
L
4
2
2 m (U 0  E )
L

E
E 2
 16 (1  )e
U0
U0
2 m (U 0  E )
L

4
da notare la dipendenza esponenziale del coefficiente di tramissione :
T  e 2L
e
2
2 m (U 0  E )
L

verifichiamo che sussistano nel problema dato le condizioni di barriera larga:
per un elettrone di energia E = 0.04 eV posto in fronte ad una barriera di potenziale di 0.10 eV profonda 15 nm :
L
d

2m(U0  E )
2  9.11  1031(0.10  0.04)  1.6  1019
L
15  109  18.8  1

1.055  1034
per un elettrone di energia E = 0.06 eV posto in fronte ad una barriera di potenziale di 0.10 eV profonda 15 nm :
2m(U0  E )
2  9.11  1031(0.10  0.06)  1.6  1019

L
15  109  15.4  1
34
d

1.055  10
L
in conclusione la barriera e’ comunque di molto piu’ ampia della profondita’ di penetrazione dell’ elettrone dunque si
potra’ in entrambi i casi usare l’approssimazione per barriere larghe .
T0.04  16
E
E
(1  )e
U0
U0
T0.06  16
 2 m (U 0  E ) 
2 
L



E
E
(1  )e
U0
U0
 2 m (U 0  E ) 
2 
L



 16
0.04
0.04 218.8
(1 
)e
 1.8  1016
0.10
0.10
 16
0.06
0.06 2  15.4
(1 
)e
 1.8  1013
0.10
0.10
da notare come, a causa della dipendenza esponenziale, la probabilita’ di tunnelling dipenda in modo cruciale
dall’energia della particella. Nell’esempio la probabilita’ varia di molti ordini di grandezza, mentre l’energia della
particella e’ variata del 50%
T  e 2L
se per una barriera larga si ha che

con
2m(U 0  E )

per una successione di barriere tutte uguali poste una dopo l’altra si puo’ ottenere (trascurando la riflessione da ogni
barriera) l’ espressione approssimata :
T   Ti   e
i
2 i Li
T e
i
2
i Li
i
se la barriera e’ generica, U sara’ una funzione di x e potremo pensare di dividere la barriera in tante barriere
successive di profondita’ Dx tutte uguali poste una dopo l’altra
Sempre trascurando la riflessione da ogni barriera si ha :
T  e
 2 ( x ) Dxi
e
2
 ( x ) Dxi
i
i
al limite si puo’ pensare di rendere Dx infinitesimo, facendo attenzione che le condizioni per avere una
barriera larga rimangano valide
T e
2
x1
x
2
 ( x )dx
ovvero :
x1
lnT  2x  (x )dx
2
Decadimento alfa
Uranio 238 : 92 protoni e 146 neutroni
Torio 234 : 90 protoni e 144 neutroni + He 2
Un nucleo atomico pesante puo’ essere pensato come composto di molte particelle alfa legate da forze attrattive
nucleari, dunque effettive solo quando le particelle sono a breve distanza una dall’altra.
finche’ si trova all’interno del nucleo una qualsiasi particella alfa costituente risente di forze attrattive che si possono
pensare derivate da un potenziale costante la cui estensione oltre il diametro nucleare , pari a qualche unita’ in termini di
fermi, si esaurisce molto in fretta oltre il raggio nucleare r0.
l’andamento del potenziale puo’ quindi essere schematizzato come :
U(r)
E
0
r0
r1
R0 ~ 10-12 m
E ~ 5 MeV
r
-U0
a distanze maggiori di r0 e’ presente il potenziale dovuto alla repulsione coulombiana tra nucleo e particella alfa.
di conseguenza una particella alfa si trova in un punto di massimo potenziale quando e’ a distanza pari al raggio
nucleare r0 .
Una stima per l’atomo di torio 234 porta ad un valore di circa 35 MeV il valore del massimo del potenziale.
Per superare questa barriera coulombiana una particella alfa intrappolata all’interno del nucleo dovrebbe possedere una
energia di almeno 35 MeV e quindi se la si trova a grande distanza dal nucleo con energia E ci si aspetterebbe
classicamente che abbia energia > 35 MeV
Mentre le particelle alfa vengono emesse con energie sempre inferiori a 10 MeV !
U ( r )  U 0
per r  r0
Z ' 2e 2

per r  r0
40 r
dove Z’ e’ la carica del nucleo dopo la disintegrazione
I limiti di integrazione vanno da r0 al valore r1 distanza alla quale il potenziale uguagliera’ l’energia E della particella alfa emessa
nella disintegrazione
Z ' 2e 2
E
40r1
Z' 2e 2 cost
r1 

40 E
E
Z ' 2e 2
2m (
 E)
r1
r1
2m(U 0  E )
2mE r1 r1
40 r
ln T  2 
dr  2 
dr   2
 (  1)dr
2
2
 2 r0 r
r0
r0
2mE 1/2 r1 r1
ln T   2( 2 )  (  1)1/ 2 dr

r0 r
4e mE 1/2 1/2 1/2 e2 m 1 / 2
ln T 
(
) Z' r0 ( ) Z ' E1-/2
 0
 0 2
se l’energia e’ espressa in MeV
ed r0 in unita’ di 10-15 si ha :
ln T  2.97  Z'1/2 r01/2 - 3.95  Z ' E 1-/2
la frequenza di decadimento , il cosiddetto “rate” si puo’ stimare dalla relazione :
numero di decadimenti
numero di urti contro la barriera
(
)(Probabilita' di trasmissione)
unita'di tempo
unita'di tempo
numero di decadiment i
1
(
)T
unita' di tempo
tempo per attraversa re il nucleo
numero di decadiment i
1
(
)T
diametro del nucleo
unita' di tempo
velocita'
dove la velocita’ della particella e’ assunta essere (2E/m)1/2
questa epressione vale per una singola particella alfa, ma andrebbe ricalcolata applicando un fattore moltiplicativo
valutato pensando che un nucleo puo’ essere immaginato come fatto di tante particelle alfa strettamente legate
vi possono quindi essere molte particelle alfa che simultaneamente tentano di superare la barriera.
per ottenere la vita media basta ricordare che il rate e’ inversamente proporzionale alla vita media
Nucleo 
emettitore
Energia della
particella  (MeV)
Vita media t del
decadimento 
Po 212
8.8
4.4 10-7 sec
Rn 220
6.3
79 sec
Ra 224
5.7
5.3 giorni
Ra 226
4.8
2300 anni
U 238
4.3
6.5 109 anni