Corso di laurea Magistrale in Biologia sperimentale ed applicata
MATEMATICA APPLICATA
ALLA BIOLOGIA
(I MODULO)
Lucia Della Croce
Dipartimento di Matematica Università di Pavia
A. A. 2008/2009
NUOVO utilizzo dello strumento matematico
attraverso la costruzione di MODELLI
MATEMATICA =
Strumento investigativo
( indagine multidisciplinare)
MODELLIZZAZIONE = interazione dinamica tra mondo reale
MATEMATICA
e mondo matematico
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applicata alla Biologia
MODELLIZZAZIONE
MATEMATICA
Processo interdisciplinare con
cui si intende interpretare,
simulare, predire i fenomeni reali
MODELLO
oggetto utilizzato per
rappresentare qualcosa d’altro
rappresenta un cambiamento
sulla scala di astrazione
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applicata alla Biologia
FUNZIONI
REALE
EQUAZIONI
IP. FISIOLOGICHE
OPERATORI
FENOMENO
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DATI
OPPORTUNE
SPERIMENTALI
EQUAZIONI
FORMULAZIONE
DEL
PROBLEMA
ESISTENZA
ANALISI
MATEMATICA
RISOLUBILITA’
DEL
MODELLO
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UNICITA’
SVILUPPO
DI UN
ALGORITMO
SIMULAZIONE
*
IMPLEMENTAZIONE
NUMERICA
VALIDAZIONE
DEL
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MODELLO
TEST SU CASI
NOTI
MODELLO
DELLE CELLULE
DEL SANGUE
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FORMAZIONE E DISTRUZIONE DELLE CELLULE
DEL SANGUE
CELLULE PRIMITIVE
(pluripotenziali)
CELLULE FORMATIVE SPECIALIZZATE
(proliferanti)
CONTROLLO
FEEDBACK
MATURAZIONE
(non proliferanti)
CIRCOLAZIONE SANGUIGNA
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MORTE
MODELLO MATEMATICO
La popolazione di cellule del sangue
varia nel tempo
0

ti
ti 1

T
xi
xi 1
  ti 1  ti
xi
unità di tempo
n° di cellule al tempo ti
xi1  xi  d ( xi )  p ( xi )
d ( xi )
n° di cellule distrutte
p( xi )
n° di cellule prodotte
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nell’intervallo di tempo
[ti , ti+1]
applicata alla Biologia
La funzione d (x) deve essere “identificata”
sulla base di dati sperimentali
Ad ogni intervallo di tempo viene distrutta una
frazione costante di popolazione
d (x )  c  x
i
i
c coefficiente di distruzione
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La funzione p (x ) deve essere “identificata”
sulla base di considerazioni fisiologiche
La velocità di produzione aumenta quando
il numero di cellule è basso
p(x) cresce inizialmente e raggiunge un
massimo
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La funzione p (x ) deve essere “identificata”
sulla base di considerazioni fisiologiche
Esiste un livello critico al di sotto del quale
l’organismo non recupera
p(0) = 0
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La funzione p(x) deve essere “identificata”
sulla base di considerazioni fisiologiche
La produzione diminuisce se il numero di cellule è
elevato.
Non è necessaria a livelli “super elevati” di cellule
p(x) decresce per x grande
p( x)  0
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b x
p( x) 
 x
m
m
Mackey-Glass
1971
m
Modello di Mackey-Glass
120
100
b=20
80
theta=10
m=3
60
40
20
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
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45
50
p ( x )  b x s e  sx r
Lasota
1977
Modello di Lasota
45
40
b=2
35
r=5
s=5
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
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b, , r, s, m sono parametri da identificare
150
6
b=20
theta=10
m=3
100
4
50
0
b=2
theta=5
m=3
2
0
200
400
600
800
300
0
0
200
400
250
b=10
theta=50
m=3
200
600
800
MODELLO
DI
MACKEY
b=30
theta=15
m=5
200
150
100
100
50
0
0
200
400
600
800
0
0
200
400
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600
800
b, , r, s, m sono parametri da identificare
200
15000
b=20
150
r=10
s=3
100
10000
5000
50
0
0
20
40
60
0
5
15
0
20
40
60
MODELLO
DI LASOTA
-4
x 10
1.5
b=10
r=50
s=4
10
x 10
b=3
r=1
s=10
1
5
0
b=2
r=15
s=5
0.5
0
50
100
0
0
5
10
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20
IL MODELLO DIVENTA
xi1  xi  c xi  p( xi )
che è della forma
xi1  f ( xi )
Dove la funzione d’iterazione f è:
f ( x)  x (1  c)  p ( x)
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LIVELLO STAZIONARIO
In condizioni normali, le cellule raggiungono un
livello stazionario al quale produzione e distruzione
avvengono alla stessa velocità
x : d ( x)  p ( x)
x  f (x)
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LIVELLI STAZIONARI DI MACKEY
Livelli stazionari di Mackey - Glass
200
180
p(x)
d(x)
160
numero di cellule
140
120
100
80
o
60
p(x) = d(x)
40
o
20
0
o
0
5
10
15
20
25
tempo
30
35
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40
45
50
LIVELLI STAZIONARI DI LASOTA
Livelli stazionari di Lasota
120
p(x)
d(x)
100
numero di cellule
80
60
o
40
o
p(x) = d(x)
o
20
o
o
o
0
0
5
10
tempo
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Una malattia corrisponde, dal punto di vista
matematico, al fatto che alcuni dei
parametri del modello hanno valori che si
discostano da quelli che definiscono un
livello stazionario
Analisi della stabilità del
modello
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Interpretazione intuitiva della stabilità di un sistema
Posizioni stazionarie di una pallina su un percorso collinare
Livelli stazionari possono essere stabili o instabili
Stabile ( Attrattori)
esiste una zona tale che se la pallina viene spostata
in uno qualunque dei punti ritorna al punto iniziale
Instabile
Regione di attrazione
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