Algoritmi e strutture dati
Camil Demetrescu, Irene Finocchi, Giuseppe F. Italiano
Soluzione esercizio di approfondimento
Fornire un’implementazione alternativa dell’operazione di
merge(CodaPriorità c1, CodaPriorità c2), analizzandone la
convenienza asintotica rispetto all’implementazione appena
fornita (di costo (n)).
Soluzione: Sia k=min{|c1|,|c2|}. Inseriamo ad uno ad uno
tutti gli elementi della coda più piccola nella coda più grande;
questo costa O(k log n), dove n=|c1|+|c2|. L’approccio
conviene quindi per k log n=o(n), cioè per
k=o(n/log n).
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Algoritmi e Strutture Dati
Capitolo 6
Il problema del dizionario
Algoritmi e strutture dati
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Il tipo dato Dizionario
Suppongo sempre che mi venga
dato un riferimento diretto
all’elemento da cancellare
Applicazioni: gestione archivi di dati
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Implementazioni elementari
Search
Insert
Delete
O(n)
O(1)
O(1)
Array
ordinato
O(log n)
O(n)
O(n)
Lista non
ordinata
O(n)
O(1)
O(1)
Lista
ordinata
O(n)
O(n)
O(1)
Array non
ord.

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Ognuno dei 4 metodi banali costa O(n). Voglio fare meglio…
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Lower bound (log n) per la ricerca
•
Consideriamo l’albero di decisione di un qualsiasi
algoritmo che risolve il problema della ricerca in un
insieme di n elementi tramite confronti
• L’albero deve contenere almeno n+1 foglie
• Un albero binario con k foglie in cui ogni nodo
interno ha esattamente due figli, ha altezza
h(k)  log k (vedi lezione n. 6)
 L’altezza h dell’albero di decisione è (log n).
 Il metodo di ricerca per dimezzamenti successivi è
ottimale!
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Alberi binari di ricerca
(BST = binary search tree)
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Definizione
Albero binario che soddisfa le seguenti proprietà:
– ogni nodo v contiene un elemento elem(v) cui è
associata una chiave chiave(v) presa da un dominio
totalmente ordinato, nonché un puntatore al padre, un
puntatore al figlio sinistro e un puntatore al figlio destro
– le chiavi nel sottoalbero sinistro di v sono < chiave(v)
– le chiavi nel sottoalbero destro di v sono > chiave(v)
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Esempi
!
Albero binario
di ricerca
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Albero binario
non di ricerca
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Visita simmetrica di un BST
• Visita in ordine simmetrico – dato un nodo x, elenco prima il
sotto-albero sinistro di x (in ordine simmetrico), poi il nodo x, poi
il sotto-albero destro di x (in ordine simmetrico)
Inorder-tree-walk(node x)
If (x  NULL)
then Inorder-tree-walk(left[x])
stampa key[x]
Inorder-tree-walk(right[x])
• Inorder-tree-walk(radice del BST) visita tutti i nodi del BST
• Analisi complessità: la complessità della procedura considerata
è T(n) = (n). Infatti:
T(n) = T(n') + T(n'') + O(1)
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con n'+n''=n-1
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Proprietà della visita simmetrica di un BST
Inorder-tree-walk(radice del BST) visita i nodi del BST in ordine
crescente rispetto alla chiave!
Verifica: Indichiamo con h l’altezza dell’albero. Per induzione sull’altezza dell’ABR:
Base (h=0): banale (il BST consiste di un unico nodo);
Passo induttivo (h generico): ipotizzo che la procedura sia corretta per h-1
r
Albero di altezza < h-1.
Tutti i suoi elementi sono
minori della radice
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Albero di altezza < h-1.
Tutti i suoi elementi sono
maggiori della radice
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Esempio
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6
3
18
7
17
20
massimo
2
13
4
minimo
9
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search(chiave k) -> elem
Traccia un cammino nell’albero partendo dalla
radice: su ogni nodo, usa la proprietà di ricerca
per decidere se proseguire nel sottoalbero
sinistro o destro
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search(7)
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6
3
2
13
20
8
4
7
17
13
16
27
19
22
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Confronto con la ricerca binaria
• La complessità della procedura di ricerca considerata è
T(n) = O(h), ove h è l’altezza del BST.
• Nell’esempio precedente, il BST era completo, e quindi
h=Θ(log n)
• Per le proprietà del BST, quando esso è completo, per ogni
nodo v la chiave associata è l’elemento mediano
nell’insieme ordinato delle chiavi associate all’insieme di
nodi costituiti dal sottoalbero sinistro di v, da v, e dal
sottoalbero destro di v
Ad ogni discesa di livello, dimezzo lo spazio di ricerca, in
modo analogo a quanto avveniva per l’array ordinato!!
… ma un BST non sempre è completo…
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…anche questo è un BST!!
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...
2
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Notare: T(n) = O(h) in entrambi i casi, però:
BST completo  h = (log(n))
BST “linearizzato”  h = (n)
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insert(elem e, chiave k)
1. Crea un nuovo nodo u con elem=e e chiave=k
2. Cerca la chiave k nell’albero, identificando così
il nodo v che diventerà padre di u
3. Appendi u come figlio sinistro/destro di v in
modo che sia mantenuta la proprietà di
ordinamento totale
 La complessità della procedura considerata è
T(n) = O(h), ove h è l’altezza del BST
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insert(e,8)
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3
2
9
4
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7
20
13
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Se seguo questo schema l’elemento e viene posizionato nella
posizione giusta. Infatti, per costruzione, ogni antenato di e si ritrova e
nel giusto sottoalbero.
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