Elettrostatica
(Flusso
e legge di Gauss)
Superfici equipotenziali
Dipolo elettrico
ĵ
P
r1
p
q
p  qajˆ
1 1
r2  r1
V ( P )  kq(  )  kq
r1 r2
r1r2
r

uˆr
a
r
r2
 r2  r1
q
a 
 r2  r1  a cos ; rr
1 2 r
2
a cos
p cos
p uˆr
V ( P )  kq
k
k 2
2
2
r
r
r
û
iˆ
V ( P )
 k p cos 2k p cos
Er  


2
3
r
r
r
r
V ( P )
 k p cos k p sin 
E  


2
3

r
r
r
kp
E  Er uˆr  E uˆ  3 (2cos uˆr  sin  uˆ )
r
ĵ
k 2p
E 3
r
lungo l ' asse
kp
E   3 nel piano mediano
r
iˆ
Linee di campo in un qualsiasi
piano contenente l’asse del dipolo
Se si tracciano delle curve determinate, a partire da una
generica posizione per spostamenti infinitesimi ortogonali
alle superfici equipotenziali e paralleli e concordi al
campo elettrico si ottengono le linee di campo
Le linee di campo per una carica puntiforme sono:
1. Radiali
2. Dense maggiormente dove il campo e più
inteso.
1. Non si incrociano
2. Partono da cariche positive e terminano
all’infinito o su cariche negative
3. Per cariche uguali le linee partono da + e
si chiudono tutte su -
Nel caso di campo uniforme e superfici piane
si definisce flusso:
( E )  EA
ˆ  E A cos 
( E )  E nA
i ( E )  Ei nˆAi 
Ei Ai cosi
ˆ
 ( E )   E ndA
A
 (E ) 

A
ˆ
E ndA
Legge di Gauss
 (E ) 
1
0

A
A3
ˆ 
E ndA
A2
(  i qi )int
 A1 ( E ) 
A1

A1
 A2 ( E ) 

A2
 A3 ( E ) 

A3
ˆ 
E ndA
q1  q3
ˆ 
E ndA
q2
0
0
ˆ 0
E ndA
 (E ) 
1
0
( E ) 
q
4 0 r
2

A
ˆ 
E ndA
 dq


A1
A1
ˆ 
E ndA
dA 
q
4 0 r
q
4 0 r

2
4 r 
2
2
A1
ˆ 
rˆ ndA
q
0
n̂
Essendo il flusso attraverso
le tre superfici lo stesso si ha:



S3
S2
S1
ˆ 
E ndA
ˆ 
E ndA
ˆ 
E ndA
q
0


A
A
ˆ 
E ndA
ˆ
E1 ndA

q
0
A
ˆ 
( E1  E2 ) ndA
ˆ 
  E2 ndA
A
q1
0

q2
0

q1  q2
0
Tutte le linee di campo che entrano
escono dalla superficie considerata
Supponiamo la carica distribuita in
superficie con densità uniforme

S
q
0

ˆ 
E ndA

E ( r )dA  E ( r )4 r 
2
S

 E (r ) 
S
ˆ 
E ndA
'

S
q
4 0 r
2
2
E
(
r
)
dA

E
(
r
)4

r

'
0 
 E (r)  0
Supponiamo la carica distribuita nel
volume con densità uniforme

S
q
0

S
ˆ 
E ndA

E ( r )dA  E ( r )4 r 
2
S

 E (r ) 
ˆ 
E ndA

S
q
4 0 r
2
E (r )dA  E (r )4 r 2 
4 r 3 
r

 E (r ) 


2
2
0
4 0 r
3 4 0 r
3 0
q'
q'
V (r ) 
V (r ) 
rR

R
r
q
4 0 r
q
4 0 R
rR
rR
R
V (r )  V ( R)   Edr 
r
r

dr 
( R 2  r 2 ) 

3 0
6 0
2


R

2
2
V (r ) 
(R  r ) 

(3R 2  r 2 )
6 0
3 0 6 0
r

S
ˆ 
E ndA

S
E (r )dA  E (r )2 r h 
h



 E (r ) 
0 0
2 0 r
q'
r2
V (r1 )  V (r2 )   Edr 
r1

R
r
r2


dr 
ln
2 0 r
2 0 r r1


S
ˆ 
E ndA

S
EdA  2 EA 
A



E 
0 0
2 0
q


E 
2 0


E 0

E 
0

E 0
Una volta calcolato il campo in funzione della posizione
G ( x, y , z )
F ( x, y , z )  m G ( x, y , z )
E ( x, y , z )
F ( x, y , z )  qE ( x, y , z )
min a  F ( x, y , z )  m G ( x, y , z )
min a  F ( x, y , z )  qE ( x, y , z )
Se si sceglie la stessa unità di misura per la
massa inerziale e per quella gravitazionale
a  G ( x, y , z )
q
a  E ( x, y , z )
m
d
 q vi
E 0
q
q ˆ
a E
i
m
m 0
q
v  v  2ad  2
d
m 0
2
u
2
i


E 
0

q vu
E 0

E 
0
q
q ˆ
a E
j   a y ˆj
m
m 0
x  v0t

v0
q
q
1 2
y  y0  a y t
2
xu  v0tu
1 2
y  y0  a y tu
2

Noti xu ed y0 bisogna assegnare
assegnare v0 oppure ay