Francesco Valentini
Dipartimento di Fisica,
Università della Calabria
Nonlinear wave-particle interaction in
collisionless plasmas: unmagnetized and
magnetized case
Francesco Valentini
Dipartimento di Fisica, Università della Calabria
Rende (CS) – Italy
[email protected]
In collaboration with:
P. Veltri, V. Carbone, A. Mangeney
IV Congresso Italiano
di Fisica del Plasma
Firenze, 12-13 Gennaio 2004
Francesco Valentini
Dipartimento di Fisica,
Università della Calabria
Outline
• Nonlinear unmagnetized case: Landau damping saturation,
asymptotic behavior of the electrostatic oscillations
• Numerical simulations versus O’Neil theory and Isichenko
analytical results
• Particle dynamics: phase space flights and Lyapunov exponents
of the phase space trajectories
• Magnetized case: trapping oscillation and cyclotron motion
• Velocity space evolution of the distribution function and
isolated electrostatic structures
• Conclusions
IV Congresso Italiano
di Fisica del Plasma
Firenze, 12-13 Gennaio 2004
Francesco Valentini
Dipartimento di Fisica,
Università della Calabria
Unmagnetized case: Vlasov-Poisson 1D-1V
Initial conditions
f
f
eE f
v

0
t
x
m v
E
 4e( n0 
x


fdv )
t  t pe 1 L x  15 .5 D
x
v

k 
x
D
2
1
 0.4 
D
Lx
A  0.05
1
 
 4.5
A
v  3.2v th
v
v th
f ( x, v, t  0)  f M (v)[1  A cos(kx)]
f M (v ) 
1
2
2
exp( v 2 / 2v th
)
Temporal evolution
of the electric field
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Firenze, 12-13 Gennaio 2004
Envelope oscillation:
T=100
Francesco Valentini
Dipartimento di Fisica,
Università della Calabria
O’Neil theory (1965) and Isichenko results (1996)
O’Neil theory
Isichenko conjecture
In nonlinear regime, the damping
rate of the wave starts oscillating
about zero on the trapping time
scale with a decreasing amplitude.
Asymptotic algebraic damping
law: the motion in the potential
well is not simply oscillatory-like
Escaped particle
A1
IV Congresso Italiano
di Fisica del Plasma
A2
Firenze, 12-13 Gennaio 2004
Trapped particle
Francesco Valentini
Dipartimento di Fisica,
Università della Calabria
Lagrangian study of the phase space trajectories
We integrate the motion equations for 500-4000 test particles:
dx
v
dt
eE ( x, t )
dv

dt
m
The electric field is evaluated by
solving numerically the VlasovPoisson system of equations
1
The system dynamics is followed up to t  1200  pe
Phase space trajectories
Poincaré sections
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Lyapunov exponents
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Francesco Valentini
Dipartimento di Fisica,
Università della Calabria
Phase space flights
We observe two kinds of
trajectories in the
resonant region:

A particle trapped in
the potential well
Phase space flight
A particle which
escapes from the
potential well
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Firenze, 12-13 Gennaio 2004
Francesco Valentini
Dipartimento di Fisica,
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Poincaré sections and Lyapunov exponents
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Firenze, 12-13 Gennaio 2004
Francesco Valentini
Dipartimento di Fisica,
Università della Calabria
Statistical study of the phase space flights
Two significant peaks are
clearly visible in the
spatial and in the
temporal histogram.
Trapped particles
Re-trapped
particles
The phase space flights
are of limited extent and
are not able to dissipate
the energy of the wave
The second peak is
around t=100
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Firenze, 12-13 Gennaio 2004
Francesco Valentini
Dipartimento di Fisica,
Università della Calabria
Physical interpretation of the envelope oscillation
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Firenze, 12-13 Gennaio 2004
Francesco Valentini
Dipartimento di Fisica,
Università della Calabria
Magnetized case: Vlasov-Poisson (1D-2V)
f
f
f
1 
1 
 vx
 B0

[v Ev ( ) f ] 
[ E ( ) f ]  0
t
x
 v v
v 

E x

x
 f ( x, v , )dv d  1


The cylindrical geometry is
adopted in the velocity space in
order to describe the rotation
of the particles, around the
direction of the magnetic field
B  B0 e z
v 
k  ke x
vy 
  arctan  
 vx 
v  vxe x  v ye y
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Firenze, 12-13 Gennaio 2004
v v
2
x
2
y
Francesco Valentini
Dipartimento di Fisica,
Università della Calabria
Linear analysis: Sukhorukov and Stubbe (1997)
K=0.4, B=0.04, 0.06, 0.1
K=1, B=0.25
Using the Landau approach, in the approximation of large wave
length, they obtained:
2 2 

k
vth   i t

nL (t )  n0 1  2 2 e cosr t 



p


n(t )  2n0
k 2vth2
 2p
e
2 2
 (3 / 8) k 2 vth

cos(kvth )
for
t
for t 
2
B
2
B
 t
2
B
At large time the oscillations are completely undamped (the
results are in agreement with Baldwin and Rowlands (1966))
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Firenze, 12-13 Gennaio 2004
Francesco Valentini
Dipartimento di Fisica,
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Trapping oscillation and cyclotron motion
y


TB

B0

Wavelenght
 1
 1
 1
  TB
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A
X
No Wave-particle interaction
Wave-particle
interaction
Larmor radius
??
Trapping time versus
cyclotron period
Firenze, 12-13 Gennaio 2004
Francesco Valentini
Dipartimento di Fisica,
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Weak magnetic field
t max  650  pe1
B0  0.0    0
L x  15 .5 D
2
k 
 0.4 D1
Lx
B0  10 5    6 10 5
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Firenze, 12-13 Gennaio 2004
A  0.03
1
 
 5.8
A
v  3.2v th
Francesco Valentini
Dipartimento di Fisica,
Università della Calabria
Stronger and stronger magnetic field
B0  0.001    0.006
B0  0.03    0.17
B0  0.18    1.04
DAMPED
OSCILLATIONS

ISOLATED
ELECTROSTATIC
STRUCTURES
Strong magnetic field:
UNDAMPED
OSCILLATIONS

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Francesco Valentini
Dipartimento di Fisica,
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Electrostatic structures in the solar wind
10  D    50  D
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  15 .5 D
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Francesco Valentini
Dipartimento di Fisica,
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Conclusions
The
Nonlinear
introduction
wave-particle
of an external
interaction
uniform
is analyzed
magnetic
using
field
a
strongly
lagrangian
modifies
approach.
theStatistical
wave-particle
analysis
interaction.
of the particle
From our
simulations
phase spacethe
trajectories
ratio between
allows
the
ustrapping
to conclude
timethat
and there
the
cyclotron
exists a zone,
period
atseems
the border
to determine
of the resonant
the evolution
region,
ofinthe
electrostatic
which the system
oscillations
dynamics becomes chaotic.
Unexpected damped oscillations and isolated electrostatic
structures
Resonant particles
appear for
canintermediate
escape from values
the potential
of the external
well and
field,
perform
as aflights
result in
ofthe
thephase
competition
space of
between
limitedthe
extent,
trapping
motion
whose characteristic
and the magnetic
length
effect
is strictly related to the long
time behavior of the solution
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di Fisica del Plasma
Firenze, 12-13 Gennaio 2004