• Characterizing Bisimulations
Categorie, processi, linguaggi:
Algebra e logica al servizio dell’informatica
Paolo Bottoni
Anna Labella
Partiamo dagli automi
Automi e stati
Un automa è descritto da:
Stati S
Transizioni, cioè mosse elementari da un alfabeto A che
sono “accettate” per passare da uno stato all’altro.
Partiamo dagli automi
Un automa è un sottomonoide del monoide SS
Per ogni a in A, fa: S  S
Dato un monoide M, questo è il monoide associato ad un
automa
Un omomorfismo tra monoidi non corrisponde affatto ad un
Omomorfismo tra automi
Si tratta di una somiglianza “occasionale”, non è “naturale”
Le categorie
La struttura algebrica di categoria tiene conto dei morfismi,
oltre che degli oggetti.
•Canonicità: si pone un problema e gli si dà una soluzione
unica a meno di isomorfismi
•Naturalità: le buone costruzioni devono essere
invarianti per trasformazioni
Sono di particolare importanza le strutture “libere”,
cioè quelle che non godono di più proprietà di quelle loro richieste
Torniamo agli automi
Un automa è un insieme di stati “arricchito” sul monoide
dei linguaggi P(A*).
w
w’
s
s’
Un morfismo tra automi è indotto da un “cambiamento di
base” tra i rispettivi monoidi di linguaggi.
AutA
P(A*)
A*
AutB
P(B*)
B*
Alcune proprietà
Adesso tutto funziona perfettamente:
le operazioni tra i linguaggi si “sollevano” ad operazioni tra automi
In particolare somma e concatenazione
Vale l’assiomatizzazione per le espressioni regolari
(Salomaa, Kozen), in particolare la distributività:
a (b+c) = ab + ac
Il caso non deterministico [Milner]
nel calcolo parallelo
Non sappiamo più nulla sugli stati, ma possiamo fare
“esperimenti” per scoprire il comportamento di un processo
I processi come scatole nere
a
b
c
?
=
a
b
a
c
Osservatori ed esperimenti
Gli osservatori sono processi noti il cui comportamento viene
forzato a coincidere con quello di una scatola nera:
a
||
b
a
b
Urrah!
a
c
Osservatori ed esperimenti
Gli osservatori sono processi noti il cui comportamento viene
forzato a coincidere con quello di una scatola nera:
a
||
b
a
b
Boh!
a
c
Osservatori ed esperimenti
Ciò non può succedere nell’altro caso
a
a
||
b
b
Urrah!
Quindi
a (b+c) ≠ ab + ac
c
Gli alberi
Si possono pensare alberi generalizzati ad altri tipi di semireticoli L (o
anche strutture molto più generali) (Walters-Kasangian)
Con morfismi le simulazioni
a
a
b c c bb
a
b
c
I morfismi tra alberi
Le simulazioni possono essere non strette
e quindi non rispettare il nondeterminismo
a
b
a
a
c
b
Questo è un esempio di monomorfismo non stretto
c
Proprietà universale
Gli alberi finiti sul monoide libero sono la struttura libera come
categoria con somma e con prodotto semidistributivo
Generalizzazione dei linguaggi
Se gli alberi regolari vengono considerati
come espressioni regolari generalizzate,
hanno un’assiomatizzazione finita (DN-L)
Caratterizzazione delle bisimulazioni (D. Gorla)
Alberi con simulazioni
Proposizione 1
Gli alberi con le simulazioni formano una categoria coerente.
Cioè possiamo definire nell’insieme parzialmente ordinato dei
sottoggetti di un oggetto tutti gli operatori positivi:
intersezione  congiunzione
unione  disgiunzione
immagine  quantificatore esistenziale
che soddisfano opportune condizioni di coerenza
(un’altra forma della naturalità)
Alberi con simulazioni strette
Proposition 2
Gli alberi con le simulazioni strette formano una categoria di Heyting
(cioè. un “logos” [Freyd] ). Cioè possiamo definire nell’insieme
parzialmente ordinato dei sottoggetti di un oggetto tutti gli operatori
positivi e negativi:
implicazione
negazione
quantificatore universale
Associare un linguaggio logico ad una categoria
Oggetti Tipi
Sottoggetti  Formule
Morfismi  Termini
Monomorfismi  Deduzioni
•Possiamo definire operatori positivi e negativi per tutte le formule,
•I negativi si comporteranno bene soltanto sulle formule “strette”.
Possiamo parlare di computazioni con questo linguaggio
Una serie di operatori che si trasformano
in lettere funzionali e predicative del linguaggio
Tree ha un prodotto tensore 
Se L’ è generato da un alfabeto con un elemento speciale †, possiamo:
• Cancellare tutte le sue occorrenze come etichetta mediante
un operatore del, oppure
• Rimuovere tutti i cammini contenenti † mediante un operatore res
Una logica più che coerente
1. Una logica coerente [Johnstone 2002] è un linguaggio tipato con gli operatori positivi,
l’uguaglianza ed il sistema deduttivo comprendente le regole ), ), ), ), ) e )
2. Una logica intuizionista del primo ordine [Johnstone 2002] è un linguaggio tipato con tutti
gli operatori, l’uguaglianza ed il sistema deduttivo comprendente le regole ), ), ), ), ), )
e ) (in questo caso le regole ) sono regole derivabili)
3. Una logica più che coerente è un linguaggio tipato con tutti gli operatori, l’uguaglianza
ed il sistema deduttivo comprendente le regole della logica del primo ordine, eccetto la
seconda parte delle regole ) e ).
Teorema
Gli alberi sono un modello di una logica “più che coerente”
perché contengono una sottostruttura che è una categoria di Heyting
(modello di una logica intuizionista).
Anzi contengono una sottostruttura che è un topos.
(modello di una logica intuizionista di ordine superiore).
In questi linguaggi possiamo usare gli operatori sopra menzionati,
ma anche una famiglia di modalità X :
“è deterministicamente vero rispetto ad un tipo X”
Tutte le formule che comnciano per X
si comporteranno bene nella logica intuizionista
Esempio di formula che non si comporta bene
Questa significa che abbiamo una simulazione
del processo X mediante il processo Y più deterministico,
dove due computazioni di X sono simulate da altrettante in Y
con la stesse successioni di mosse,
magari dimenticandone qualcuna nella seconda
Un altro esempio
con x di tipo X, y di tipo Y, supponiamola vera una volta interpretata nel contesto Y.
Allora ci sarà un mono da Y alla sua interpretazione.
Se togliamo la quantificazione universale, la nuova formula sarà ancora interpretata
come sottoggetto di Y, ma, non corrispondendo ad un mono stretto, non ci sarà un
mono da Y a questo sottoggetto. Questo fatto falsifica la seconda parte della regola ).
Possiamo parlare di:
Cooperative computation through pictures
Dato un alfabeto di immagini elementari V
costruiamo un monoide-semireticolo I
mediante l’operazione di sovrapposizione
s1
s2
x1=6, x2=0
x1=2, x2=4
x1=5, x2=1
x1=1, x2=5
x1=4, x2=2
x1=0, x2=6
x1=3, x2=3
x1=8, x2=6
Esempi di sovrapposizione lineare
i1
i2
0
e
t
0
e
t
Esempi di sovrapposizione bidimensionale
i1
 &1
e
i2
i1
e
&2
i1
i2
e
0
0

t
 &3
i2
e
0
t
t
0
t
t
Un gioco basato sul problema dei 4-colori
Trovare una colorazione di una mappa usando al più quattro colori
in modo che regioni adiacenti non siano colorate nello stesso modo,
Ai giocatori (Proponente e Opponente)
viene data una collezione di mappe
k1
k2
Il proponente sceglie una regione da una mappa (ignota all’Opponente)
e lo sfida a colorarla secondo le regole del gioco usando la sovrapposizione;
una regione già colorata non può essere cambiata
?
?
Dopo che l’Opponente ha colorato, il Proponente sceglie una nuova regione
(non necessariamente sulla stessa mappa) ed il gioco prosegue.
il Proponente vince se può proporre una regione che l’Opponente non può colorare
l’ Opponente vince se riesce a completare la colorazione.
La vittoria dipende dall’indovinare la mappa giusta.
Possiamo “filtrare” alberi e linguaggi
Usando formule contenenti i corrispondenti sintattici
degli operatori , , res e del
Relazioni con la logica dei fuzzy sets
[Novak, Perfilieva, Mockor 1999]
• Classificazione dell’appartenenza
• Classificazione dell’uguaglianza ?
Bibliografia