Numeri e conti con
i geroglifici egizi
I numeri
QUATTRO
OTTO
SETTE
DIECI
NOVE
SEI
fino ??
a dieci:
CINQUE
UNO
DUE
TRE
eQUATTORDICI
NOVANTANOVE
poi
DICIASSETTE
DICIANNOVE
DICIOTTO
QUINDICI
TREDICI
fino
UNDICI
DODICI
E
SEDICI
VENTI
avanti
dopo?
a…
così
1000
Ecco tutti i segni
1
10.000
10
100.000
100
1.000.000
56
138
10500
Proviamo a leggere
6705
406
Proviamo a leggere
5.080.030
101
1010
Proviamo a scrivere
57
523
5705
Proviamo a scrivere
4.030.043
Numeri nei bassorilievi: provate a trovarli
46
11.110
121.200
più
Come si fa
32+23=55
un’addizione?
più
Proviamo
questa
32+61=93
addizione.
più
Proviamo
1042+251=
quest’altra.
1293
più
Ora proviamo
162+43=205
quest’altra
addizione
ATTENZIONE!
più
1058+200262
Proviamo questa
addizione.
=201320
più
Proviamo quest’altra
645+258=903
più
Proviamo quest’altra
355+2026=2561
più
200790+14220
e questa.
=215010
più
1.004.058
e questa.
+207.262=
1.211.320
meno
Si cancellano
uguali
Come siche
facifre
una
Quello
resta
nel primo
e nel secondo
UNDICI
sottrazione?
è il risultato.
numero.
meno
Cancelliamo
le cifre
Attenzione! Nel
primo
Ora sicambiare
puòquellouna
Bisogna
Scriviamo
uguali
nel
primo
e nel
numero
non
ci sono
Proviamo
quest’altra
1332-241=1091
continuare
corda
che in
resta
dieci archetti.
secondo
numero.
più archetti.
meno
Proviamo questa
1453-221=1232
sottrazione.
meno
Proviamo
2313-201=2112
quest’altra.
meno
Ora questa.
20423-215=20208
Ma attenzione!
meno
Questa sembra più
20423-215=20208
facile, ma…
meno
1.672.230
–
Per finire,
480.130questa
=
proviamo
1.192.100
per
→
Facciamo
duesei
Sommiamo
i colonne.
numeri
Componiamo
con
i
Come
si
fa
una
Ora
Ora
basta,
raddoppiamo
perché
viene
Sulla
prima
scriviamo
uno,
corrispondenti
della
SETTANTADUE
Raddoppiamo
ancora.
Calcoliamo
6×12
numeri
nella
prima
colonna.
moltiplicazione?
otto
l’uno
che
e èil più
dodici.
di sei.
sulla
seconda
dodici.
seconda colonna.
→
per
→
Seguiamo
di nuovo il
E
se calcoliamo
SETTANTADUE
procedimento
12×6?
→
12 x 6
20
1 x6
21
2 x6
→
22
4 x6
→
23
8 x6
24
16 x 6
...
di 2 e i
12Perché
= 4le+potenze
8funziona?
loro
scritto
…6 …
12abbiamo
× 6 =prodotti
(4+8)
× 6per
= 4×6 + 8×6
per
Proviamo questa
moltiplicazione.
3×31
3×31=93
→
→
per
Proviamo questa
moltiplicazione.
4×13=52
4×13
→
→
E se facciamo
→
→
13×4=52
13×4?
→
Proviamo questa
moltiplicazione
5×21=105
5×21
→
→
→
Proviamo questa
moltiplicazione
19×17
19×17=323
→
diviso
←
Come
prima,
facciamo
Sommiamo
EOra
per basta,
finire:iperché
numeri
Componiamo
78
con i
Ora
raddoppiamo
due
colonne.
Sulla
corrispondenti
impariamo
come
della
Calcoliamo
78:13
Raddoppiamo
ancora.
raddoppiando
52siprima
numeri
della seconda
l’uno
ilpiù
tredici.
scriviamo
uno,
sulla
prima
faviene
unaecolonna.
divisione.
di 78.
colonna.
seconda tredici.
78:13=6
←
diviso
←
←
←
Proviamo questa
divisione
56:8
56:8=7
diviso
←
55:11
55:11=5
Proviamone un’altra
←
diviso
←
←
←
Proviamone
un’altra
252:12=21
252:12
diviso
←
←
Proviamone
un’altra
342:18=19
342:18
←
diviso
fa
col resto di
Non
sempredei
è possibile
Laquesto
somma
numeri a
In
caso
la
Allora
Con
i numeri
si:24;
cerca
di
destra
andare
26
4a =
6diarrivare
formare
esattamente
il
Attenzione
però!
Proviamo
fare
26:4
destra
è
per
divisione
avrà
un
resto.
più
vicino
si
può
possibile
fare
262.
resto
di 2.
primo
anon
26col
nenumero.
mancano
←
←
diviso
←
Proviamo
45:8=questa
5
divisione.
col resto di 5
45:8
←
col resto di
diviso
col resto di
←
110:12=
9
Proviamo
quest’altra.
col resto di 2
110:12
←
Per scriverle,
scrivevano
il denominatore
Gli antichi
Egizi usavano
solo
con sopra
il segno
di una bocca.
frazioni
con numeratore
1.
Eccone
alcune
Ma ci
sono due
eccezioni
1
3
1
4
1
5
1
10
1
12
1
2
2
3
Le altre si esprimevano come
somma di frazioni a numeratore 1.
Vediamo qualche esempio
13
1
+
24
4
1
1
5
+
2
3
6
71 + 1
12
3
4
Le altre si esprimevano come
somma di frazioni a numeratore 1.
Vediamo qualche esempio
13
1
+
24
4
1
1
5
+
2
3
6
71 + 1
12
3
4
11
2 + 1
3
4
12
Le altre si esprimevano come
somma di frazioni a numeratore 1.
Ma
Oraquesto
E
unallora
casonon
speciale
…piace.
2 11
1
+
5
35 15
N
7
24
D
1
6+1
24
4 24
1
4+1
3
24
6 24
8
suggerimento (Fibonacci, Liber abaci, 1202)
se N è somma di divisori di D ...
divisori di 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
scrivo 7 come somma di ...
6 + 1 oppure 4 + 3
Proviamo a
scomporre
questa frazione
11
N
20
D
10
1+1
20
2 20
15 ++ 14 ++ 21
20
4 20
5 20
10
suggerimento (Fibonacci, Liber abaci, 1202)
se N è somma di divisori di D ...
divisori di 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20
scrivo 11 come somma di ...
Proviamo a
scomporre
questa frazione
12
N
35
D
1 +5
1
7
5 35
35
7
suggerimento (Fibonacci, Liber abaci, 1202)
se N è somma di divisori di D ...
Proviamo a
scomporre
questa frazione
N
2 = 118x2
1
35+1
++
35
D
18
18x35
18x35
18x35
630
Proviamo a
scomporre
questa frazione
suggerimento (Fibonacci, Liber abaci, 1202)
se N divide D+1, prendo k tale che kN=D+1...
N kN
=
D kD
N=2, D+1=36 k=18
2
N = 15+1
18x2
+ 1
8 8x15
15
D
8x15
120
Proviamo a
scomporre
questa frazione
suggerimento (Fibonacci, Liber abaci, 1202)
se N divide D+1, prendo k tale che kN=D+1...
N kN
=
D kD
N=2, D+1=16 k=8
Proviamo a
scomporre
questa frazione
3
4
N = 1
1resto
1
+ 52+ resto
13
D
4 18 468
3 -41 - 1= = 13
52 13
18 4 468
52
52 :: 43 >> 317
13
prendodenominatore
denominatore418
prendo
procedimento della “massima frazione unitaria”
- trovare la più grande frazione unitaria minore della data
- trovare la più grande frazione unitaria minore del resto ...
Come
divisione
Ma 3sièfa
la una
quarta
parte
1
Si
comincia
come
al solito.
Verrebbe
Ad
Risultato:
esempio,
5
col
resto
63:12
5
e
di 3
con
le
frazioni.
di 12. E allora… 4
diviso
←
←
←
RISULTATO:
diviso
fa
←
Proviamo questa1
110:12=
9
e
6
divisione.
110:12
←
←
diviso
fa
←
Proviamo
quest’altra.
129:21=
6 e 17
129:21
←
←
FINE