Laurea Triennale
in SCIENZE MOTORIE
corso integrato
FISICA e STATISTICA
disciplina : FISICA MEDICA
FRATTURE
- FLESSIONE DELLA TRAVE
- FRATTURE PER FLESSIONE
- TORSIONE DELLA TRAVE
- FRATTURE PER TORSIONE
- STRUTTURE CAVE
FLESSIONE DELLA TRAVE
equilibrio della trave omogenea vincolata alle estremità
N1 + N2 – p = 0
• equilibrio globale
N1
2
– N2
2
=0
O
2

N1

y
o
p

N2
N1 = N2 =
p
2
x
1
FLESSIONE DELLA TRAVE
• equilibrio per sezione
x

N1
–x
O
AC
N1 = N2 =
M(x) = – M(
p
–x)
2


p – N2 = N1 =
p
N2
p
2
M(x) = x N1 = x
M(
–x)
= –x
p
2
p
2
2
FLESSIONE DELLA TRAVE
p
M(x) = x
2
forza verticale
+
–
p
2
o
p
2
p
M( – x) = – x
2
momento
2
p
4
x
o
x
2
3
FLESSIONE DELLA TRAVE
momento
M(x) = x
p
2
p
4
p
M( – x) = – x 2
o
x
2
AC
x

N1
sezione AC sottoposta
a un momento esterno
–x
O

p

N2
deformazione
4
FLESSIONE DELLA TRAVE
deformazione del materiale
B
A


p
N1 = – 2
O•
D
x
O'•
p
p
N2 = – 2
C



B

M interno che
si oppone a
quello esterno
D
A
•
O' 
M
C


p
N2 = – 2
5
FLESSIONE DELLA TRAVE
deformazione del materiale
per stabilire l'equilibriosi suscita all' interno del materiale
un momento flettente M che si oppone al momento esterno
(il momento flettente é causato dalla deformazione,
conseguenza del momento esterno variabile lungo la trave)
risultato :
allungamento / compressione per trazione
(trazione interna)
legge di Hooke applicata al materiale deformato
F =E 
S
= E
6
FLESSIONE DELLA TRAVE

R
A'
O'
C'
B'
CC' =
asse
neutro
O
y

A
2
O

C
B
y
C
2
B
+  = OO' + 2 y tg   + 2 y  =
= +y = +y
2
2
R
 =y
R
7
FLESSIONE DELLA TRAVE
 =y
R

=
y
=
R
(trave a sezione circolare)
forze flettenti interne
striscia Ai
Fi = Ai
y
=E=E
R
r
asse neutro
y

Fi
Ai
Mi = y Fi = y Ai = E y2 Ai
R
i
momento flettente Mf =  Mi
8
FLESSIONE DELLA TRAVE
i
momento flettente M f =  Mi
4
 2
E

r
E
Mf =
y dA =

R 4
R
sezione circolare
A
sforzo interno massimo nella trave :
y=r
4 Mf
4 Mf
E
max =
r=
r=
4
R
r
 r3
flessione trave
momento flettente
sforzo interno
9
FLESSIONE DELLA TRAVE
4

E

r
E
2
Mf =
y dA =

R 4
R A
x = r cos
y
dy
y  r
x
y = r sen
dy = r cos d
dA = 2 x dy = 2 r 2 cos 2d

Mf = E  y2 dA =
R A
dA
x
/2
/2

4
2
2
= 2 E  2 r2 cos 2r2 sen2d = 4E 
r
sen

cos
d =

R 0
R 0
= 4 r4 E 1  – sen4
4
R 8
/2
4
E

r
E
1

=
= r4
R 4
R 2 2
FRATTURA PER FLESSIONE

F

d

p – pg
tibia
piede
bloccato
trave vincolata a
una estremità
11
FRATTURA PER FLESSIONE
max =

d
tibia
piede
bloccato

p – pg
4 Mf
r
3
 r3
Mf •

4 Mf

•
tibia
tibia
tibia = 2.13 108 N m–2
3

r
Mf = d (p – pg) •


4 Mf tibia
12
FRATTURA PER FLESSIONE
3

r
Mf = d (p – pg)≥
4 Mf
tibia
r = 1 cm
Mf (frattura) = d (p – pg) =  (10–2 m)3 x 2.13 108 N m–2 =
4
= 1.67 102 N m = 1670 kgp cm
p – pg = 70 kgp
d=
1670 kgp cm
70 kgp
= 24 cm
spostamento del baricentro di soli 24 cm: frattura probabile !
13
TORSIONE DELLA TRAVE
flessione della trave :
momento flettente da momenti delle forze interne
A'
A'
A
A
C'

N1
C
C'


p – N2
C
torsione della trave :
momento di torsione da forze interne opposte
deformazione
14
TORSIONE DELLA TRAVE
deformazione

F
A
h
base vincolata
F


h


=
h
legge di Hooke per la torsione :
1
G = modulo di scorrimento  2 E
osso lungo :
h
 =
G
F
A
G = 0.8 ÷ 1.2 1010 N m–2
15
TORSIONE DELLA TRAVE
legge di Hooke per la torsione :
1
G = modulo di scorrimento  E
2
 =
h
G
F
A
osso lungo : G = 0.8 ÷ 1.2 1010 N m–2
t = F
A
• stiramento per torsione t = 
h
piccole torsioni t  
• sforzo di torsione
legge di Hooke :
t = G t
G  1E
2
16
TORSIONE DELLA TRAVE
deformazione trave sotto carico generico
• per flessione (momenti forze interne)
• per torsione (forze interne)
deformazione per flessione > deformazione per torsione
deformazione trave sotto carico di pura torsione
(niente curvatura)


momento torcente esterno :


T=F
F
F

R
(trave cilindrica piena)
R
base
vincolata
TORSIONE DELLA TRAVE

–F
2
r
r


+F
2
h
fibre

R
raggio trave = R
R
fibre a distanza r dal centro :
=(r)
r
=
= t
h
base vincolata
18
–F

momento torcente esterno T
2

R

•
–R

+F
2
Si
•
dr
r





T = F R + –R  –F
2

2
=

=FR
relazione T

in ogni sezione intermedia
agisce momento interno –T
base
vincolata
19
corona circolare i-esima (area Si ) :
–F
forza torcente interna = t Si
2

R

•
–R

momento forza torcente :
rt Si = Ti
+F
2
Si
r
h
r2
Ti = rt Si = GSi
h
•
dr
t = G t = G
r
base
vincolata
momento torcente T =
Ti
i
20
TORSIONE DELLA TRAVE
r2
Ti = rt Si = GSi
h
2
R
2
r
r
 GdS = G2r dr =
T = T
=
i i  h
h
S
R
0
2 G3
=
r dr =

h
0
 G 4
R =T
2h
• trave cilindrica piena
• 2GE
E  r4 = M
f
R 4
torsione
flessione
21
TORSIONE DELLA TRAVE
• momento torcente terminale T t
• angolo di frattura per torsione t
Tt (N m) t (gradi)
femore ................................. 100 ......... 1.5
tibia ..................................... 140 ......... 3.4
fibula ................................... 12 ......... 35.7
omero .................................. 60 ......... 5.9
radio e ulna ......................... 20 ......... 15.4
vertebra cervicale ............... 5 ......... 38
vertebra toracica media ...... 17 ......... 24
vertebra lombare ................. 44 ......... 15
22
FRATTURA PER TORSIONE
• frattura a spirale
sci
frattura per torsione della tibia
Tt = 100 N m = F d
d=1m
F = 100 N
F = 100 N = 10.2 kgp
t = 3.5°
d
spostamento della punta di

F
100 cm 3.5°2 = 6.1 cm !!
360°
(sgancio da allacciamenti di sicurezza)
STRUTTURA CAVA
confronto trave cilindrica piena - cava
•
•
r
r
R
• uguali massa e densità
volumi di materia uguali : 2 r r h =  R2 h
2 r r = R2
 > 1 24
r=R
r>R
STRUTTURA CAVA
2 r r = R2
r=R
 >1
r2
Ti = GSi
h
G
r2
3
2 2 G
Tcavo = GS = 2 r r
= R r 
h
h
h
G
4
Tpieno = R 
2
2h
r
2
Tcavo =
T
=
2

Tpieno
pieno
2
2R
struttura cava : momento torcente per conferire angolo
 maggiore di un fattore 22
più robusta !!
25
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fratture per flessione