Laurea Triennale in SCIENZE MOTORIE corso integrato FISICA e STATISTICA disciplina : FISICA MEDICA FRATTURE - FLESSIONE DELLA TRAVE - FRATTURE PER FLESSIONE - TORSIONE DELLA TRAVE - FRATTURE PER TORSIONE - STRUTTURE CAVE FLESSIONE DELLA TRAVE equilibrio della trave omogenea vincolata alle estremità N1 + N2 – p = 0 • equilibrio globale N1 2 – N2 2 =0 O 2 N1 y o p N2 N1 = N2 = p 2 x 1 FLESSIONE DELLA TRAVE • equilibrio per sezione x N1 –x O AC N1 = N2 = M(x) = – M( p –x) 2 p – N2 = N1 = p N2 p 2 M(x) = x N1 = x M( –x) = –x p 2 p 2 2 FLESSIONE DELLA TRAVE p M(x) = x 2 forza verticale + – p 2 o p 2 p M( – x) = – x 2 momento 2 p 4 x o x 2 3 FLESSIONE DELLA TRAVE momento M(x) = x p 2 p 4 p M( – x) = – x 2 o x 2 AC x N1 sezione AC sottoposta a un momento esterno –x O p N2 deformazione 4 FLESSIONE DELLA TRAVE deformazione del materiale B A p N1 = – 2 O• D x O'• p p N2 = – 2 C B M interno che si oppone a quello esterno D A • O' M C p N2 = – 2 5 FLESSIONE DELLA TRAVE deformazione del materiale per stabilire l'equilibriosi suscita all' interno del materiale un momento flettente M che si oppone al momento esterno (il momento flettente é causato dalla deformazione, conseguenza del momento esterno variabile lungo la trave) risultato : allungamento / compressione per trazione (trazione interna) legge di Hooke applicata al materiale deformato F =E S = E 6 FLESSIONE DELLA TRAVE R A' O' C' B' CC' = asse neutro O y A 2 O C B y C 2 B + = OO' + 2 y tg + 2 y = = +y = +y 2 2 R =y R 7 FLESSIONE DELLA TRAVE =y R = y = R (trave a sezione circolare) forze flettenti interne striscia Ai Fi = Ai y =E=E R r asse neutro y Fi Ai Mi = y Fi = y Ai = E y2 Ai R i momento flettente Mf = Mi 8 FLESSIONE DELLA TRAVE i momento flettente M f = Mi 4 2 E r E Mf = y dA = R 4 R sezione circolare A sforzo interno massimo nella trave : y=r 4 Mf 4 Mf E max = r= r= 4 R r r3 flessione trave momento flettente sforzo interno 9 FLESSIONE DELLA TRAVE 4 E r E 2 Mf = y dA = R 4 R A x = r cos y dy y r x y = r sen dy = r cos d dA = 2 x dy = 2 r 2 cos 2d Mf = E y2 dA = R A dA x /2 /2 4 2 2 = 2 E 2 r2 cos 2r2 sen2d = 4E r sen cos d = R 0 R 0 = 4 r4 E 1 – sen4 4 R 8 /2 4 E r E 1 = = r4 R 4 R 2 2 FRATTURA PER FLESSIONE F d p – pg tibia piede bloccato trave vincolata a una estremità 11 FRATTURA PER FLESSIONE max = d tibia piede bloccato p – pg 4 Mf r 3 r3 Mf • 4 Mf • tibia tibia tibia = 2.13 108 N m–2 3 r Mf = d (p – pg) • 4 Mf tibia 12 FRATTURA PER FLESSIONE 3 r Mf = d (p – pg)≥ 4 Mf tibia r = 1 cm Mf (frattura) = d (p – pg) = (10–2 m)3 x 2.13 108 N m–2 = 4 = 1.67 102 N m = 1670 kgp cm p – pg = 70 kgp d= 1670 kgp cm 70 kgp = 24 cm spostamento del baricentro di soli 24 cm: frattura probabile ! 13 TORSIONE DELLA TRAVE flessione della trave : momento flettente da momenti delle forze interne A' A' A A C' N1 C C' p – N2 C torsione della trave : momento di torsione da forze interne opposte deformazione 14 TORSIONE DELLA TRAVE deformazione F A h base vincolata F h = h legge di Hooke per la torsione : 1 G = modulo di scorrimento 2 E osso lungo : h = G F A G = 0.8 ÷ 1.2 1010 N m–2 15 TORSIONE DELLA TRAVE legge di Hooke per la torsione : 1 G = modulo di scorrimento E 2 = h G F A osso lungo : G = 0.8 ÷ 1.2 1010 N m–2 t = F A • stiramento per torsione t = h piccole torsioni t • sforzo di torsione legge di Hooke : t = G t G 1E 2 16 TORSIONE DELLA TRAVE deformazione trave sotto carico generico • per flessione (momenti forze interne) • per torsione (forze interne) deformazione per flessione > deformazione per torsione deformazione trave sotto carico di pura torsione (niente curvatura) momento torcente esterno : T=F F F R (trave cilindrica piena) R base vincolata TORSIONE DELLA TRAVE –F 2 r r +F 2 h fibre R raggio trave = R R fibre a distanza r dal centro : =(r) r = = t h base vincolata 18 –F momento torcente esterno T 2 R • –R +F 2 Si • dr r T = F R + –R –F 2 2 = =FR relazione T in ogni sezione intermedia agisce momento interno –T base vincolata 19 corona circolare i-esima (area Si ) : –F forza torcente interna = t Si 2 R • –R momento forza torcente : rt Si = Ti +F 2 Si r h r2 Ti = rt Si = GSi h • dr t = G t = G r base vincolata momento torcente T = Ti i 20 TORSIONE DELLA TRAVE r2 Ti = rt Si = GSi h 2 R 2 r r GdS = G2r dr = T = T = i i h h S R 0 2 G3 = r dr = h 0 G 4 R =T 2h • trave cilindrica piena • 2GE E r4 = M f R 4 torsione flessione 21 TORSIONE DELLA TRAVE • momento torcente terminale T t • angolo di frattura per torsione t Tt (N m) t (gradi) femore ................................. 100 ......... 1.5 tibia ..................................... 140 ......... 3.4 fibula ................................... 12 ......... 35.7 omero .................................. 60 ......... 5.9 radio e ulna ......................... 20 ......... 15.4 vertebra cervicale ............... 5 ......... 38 vertebra toracica media ...... 17 ......... 24 vertebra lombare ................. 44 ......... 15 22 FRATTURA PER TORSIONE • frattura a spirale sci frattura per torsione della tibia Tt = 100 N m = F d d=1m F = 100 N F = 100 N = 10.2 kgp t = 3.5° d spostamento della punta di F 100 cm 3.5°2 = 6.1 cm !! 360° (sgancio da allacciamenti di sicurezza) STRUTTURA CAVA confronto trave cilindrica piena - cava • • r r R • uguali massa e densità volumi di materia uguali : 2 r r h = R2 h 2 r r = R2 > 1 24 r=R r>R STRUTTURA CAVA 2 r r = R2 r=R >1 r2 Ti = GSi h G r2 3 2 2 G Tcavo = GS = 2 r r = R r h h h G 4 Tpieno = R 2 2h r 2 Tcavo = T = 2 Tpieno pieno 2 2R struttura cava : momento torcente per conferire angolo maggiore di un fattore 22 più robusta !! 25