Istituzioni di Fisica Subnucleare
A. Bettini 2006
Capitolo 6
QCD
12/21/2015
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1
e+e– q q
e+e–adroni è interpretato come la successione del processo
elementare
e+e– q q
qjet adronico +  q jet adronico
e+e– i
Nel cm
2 quark hanno momenti pq=√s/2
(trascurando le masse)
Come gli elettroni irradiano fotoni, i quark irradiano
gluoni. Questi producono coppie qq.
I q e i q adronizzano = formano adroni
Gli adroni hanno momenti, nel cm del q, dell’ordine di pT
 0.5 - 1 GeV
 semi-apertura del cono del jet pT /pq=0.52/√s=1/√s
Esempio √s =30 GeV  semiapertura 10˚
A energie minori i jet sono larghi, non si distinguono
pT
h
q
e+
e–
q
h
Evento e+e– q q nel
rivelatore JADE al collisore da
30 GeV PETRA ad Amburgo
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2
I rivelatori. Un esempio ALEPH a LEP
Non sono tutti uguali, le dimensioni dipendono dall’energia della macchina, ma hanno le
caratteristiche di base simili. Struttura “a cipolla”
Rivelatore ad alta
risoluzione (10 µm) di Si
}
Rivelatori
traccianti nel
campo B
dentro la bobina per
non “rovinare” sciami
B parallelo ai fasci
scintillatori e lastre di
Fe per ritorno del flusso
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3
e+e– adroni. Il colore
Si può sempre misurare la “sezione d’urto adronica”, anche se non si separano i getti
 adronica   e e–  adroni 
 e e–  qq 

q,soprasoglia
La sezione d’urto viene riferita a quella per oggetti puntiformi
Se i quark sono puntiformi R è il rapporto delle
somme delle cariche dei prodotti della reazione
R
q
Inizio anni ‘70. ADONE @ √s<3 GeV; possibili u, d, s
2
2
2
i
R
 e e–  adroni 
 e e –  µ µ– 
i
1
2
2
 2  1  1
R         
 3   3  3
3
Osservato
R2
Non compresa la ragione. È il colore!
s  10  50 GeV u, c, d, s,b 
2
2
11
 2
 1
un colore  R  2    3   
 3
 3
9
2
  22
 1   11
tre colori  R  3  2    3    
 3  3
  3
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4
R= (e+e–adroni) /(e+e–µ+µ–)
R  3 qi2
i
R u, d, s, c,b   3.7
R u, d, s, c   3.3
R u, d, s   2
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5
La distribuzione angolare dei due getti
e+e– q q  jet + jet
Se i q sono particelle puntiformi di
spin 1/2 e se la direzione dei jet coincide
con quella del quark la distribuzione
angolare dei jet deve essere
d  2

1 cos 2 
d 4s

La distribuzione angolare è “ripiegata”
attorno a 90˚ perché non si sa quale sia il jet
del q, quale del q

I q sono puntiformi e
hanno spin 1/2
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Spin del gluone e+e– Evento 3 jets al rivelatore JADE al
collisore PETRA 30-40 GeV a DESY
Nel processo e+e–  q q i quark
emettono sempre gluoni di
energia bassa, che non vengono
osservati come jet separati da
quello del quark
A volte, con probabilità
dell’ordine di s 10%, il gluone
prende notevole momento (è
“hard”) e dà origine a un jet
osservabile
Non si riesce a distinguere un jet g da un jet q
Ordinare i getti : E1< E2<E3 nel CM
Definire g = jet energia minima
Trasformare nel CM di 12
Calcolare angolo f tra g e j1j2
Distribuzione di o f dipende da spin del gluone
Le misure (TASSO a PETRA)  JP=1–
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Lezioni da e+e–
•I valori della sezione d’urto adronica richiedono il colore
•I quark appaiono come getti adronici, distribuzione angolare dà spin = 1/2
•I gluoni appaiono come terzo getto, distribuzione angolare dà JP=1–
•Il velore preciso di R indica che i gluoni hanno carica di colore
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Esperimenti di diffusione
Per studiare la struttura di un oggetto, atomo, nucleo, nucleone,…lo si “illumina” con un fascio
sonda (quasi) monocromatico e collimato e si misura la figura di diffrazione
In pratica si usa un fascio di particelle
Fascio quasi-monocromatico = le particelle hanno la stessa energia E entro un intervallo ∆E,
con
∆E/E<<1
Di conseguenza hanno approssimativamente lo stesso momento p
Lunghezza d’onda del fascio è l = 1/p. Deve essere < della struttura da studiare l<D
Fascio collimato: tutte le particelle hanno la stessa direzione entro un’angolo << del minimo
angolo di diffusione rilevante min
∆ p/p< min
Nello stato finale è presente una particella diffusa, cioè avente la stessa natura di quelle del
fascio (es. un e se abbiamo un fascio di e). Misurare la figura di diffrazione = misurare
l’energia E’ e l’angolo  della particella diffusa, e ricavarne le loro distribuzioni
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Esperimenti di diffusione
La figura di diffrazione è proporzionale alla trasformata di Fourier della distribuzione di densità
del bersaglio
Più precisamente: la densità “vista” dal fascio, cioè la densità di cariche che interagiscano con
la sonda
•carica elettrica per sonde e e µ. Anche carica debole, che però spesso dà effetti molto minori
•carica debole per n
•carica forte per sonde adroniche
Le sonde leptoniche (e,µ,n) sono puntiformi  più facile estrarre l’informazione; più difficile
con le sonde adroniche (π,p,..) che sono oggetti compositi, non puntiformi
Nell’urto elastico di particelle senza spin, o non polarizzate, c’è una sola variabile indipendente
 E’ e  sono completamente correlate (vedi poi)
Nell’urto anelastico il bersaglio non rimane nello stato iniziale, con trasferimento di energia dalla
sonda dipendente dallo stato finale  bisogna misurare sia E’ sia 
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Diffusione elastica
Consideriamo l’urto elastico di una particella leggera (e ad esempio) contro una pesante (un
nucleo o un nucleone)
r
r
pµ p µ  p'µ p'µ  me2
pµ   p, E ; p'µ   p', E '
r
Pµ  0, M ;


r
P ' µ  pr , Er 
Pµ P µ  P ' µ P ' µ  M 2
pµ  Pµ  p'µ  P 'µ  pµ p µ  Pµ P µ  2 pµ P µ  p'µ p'µ  P 'µ P 'µ  2 p' µ P 'µ
r r
EM  0  E ' Er  p' pr
r r r
r r
EM  E ' E  M  E ' p'  p  p'  E ' E  E ' M  p  p' me2
pµ P µ  p' µ P ' µ
Ad alta energia possiamo trascurare me2 e porre p=E
E
E' 
1
E
(1 – cos )
M
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EM  E ' E(1– cos )  E ' M
C’è completa correlazione tra angolo di diffusione e energia
dell’elettrone diffuso
E–E’ è l’energia trasferita al bersaglio
Se la massa del bersaglio è grande E/M<<1, l’energia trasferita al
bersaglio è trascurabile (ma non il momento, come per urti
classici)
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Diffusione da potenziale
Consideriamo la diffusione elastica di un elettrone da parte di un bersaglio (prenderemo ad
esempio un nucleo di carica Zqe) di massa molto grande. Durante la diffusione l’elettrone
trasferisce momento, ma non energia al bersaglio  E’=E. Trascuriamo gli spin.
Ragionamento non relativistico: energia di interazione = qef
Elemento di matrice non invariante; SF non invariante
Rappresentiamo il bersaglio come distribuzione di carica r (r) che produce il potenziale f(r)
Usiamo l’approssimazione di Bohr: onda entrante e uscente = onde piane
r r
 f qef r   i  qe  exp iq  r f r dV
r r
q  p' p
tri- momento trasferito
Come dipende l’elemento di matrice dalla densità di carica?
 2f  
r r 
0
Useremo l’identità
r+ r
r r
2
2
  exp iq  r  dV   exp iq  r   dV
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Diffusione da potenziale come trasformazione di Fourier
r r
r r
2 exp iq  r   q2 exp iq  r 
1
1
r r
r r
r r
qe  exp iq  r f r dV  qe 2   2 exp iq  r gf r dV  qe 2  exp iq  r  2f r dV
q
q
r r 
qe 1
r r
 2f  

q
f
r


r
r
exp
i
q
 r dV





0
f
e
i
 0 q2 
Calcolando la sezione d’urto si ottiene
(E’ = energia dell’elettrone finale)
Se la carica totale del bersaglio è
Zqe facciamo la normalizzazione
d
qe2
E '2

r
d 2 2  02 q 4
1
r
r
f r  
r r 
Zqe
2
r r
 r r exp iq  r dV
r
r
r r
F q    f r exp iq  r dV
fattore di forma del bersaglio = trasformata di Fourier della distribuzione di carica normalizzata
qe2

4 0 hc
1
2
d
r 2
2 2 E'
 4Z  4 F q 
d
q
L’intensità diffusa è il quadrato della trasformata di Fourier (spaziale) della densità di carica
del bersaglio
La misura della sezione d’urto differenziale elastica permette di “vedere” la forma del bersaglio
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Sezione d’urto di Rutherford
Se il bersaglio è una carica puntiforme qb=Zqe
nell’origine r(r) è una d e F(q)=1
Se il proiettile ha carica zqe
Geiger e Marsden: particella 
2
d
2 2 E'
 4Z  4
d
q
2
d
2 2 2 E'
 4z Z  4
d
q
L’ampiezza di diffusione è proporzionale al prodotto dei
vertici z√ e Z√ e al propagatore del fotone 1/q2
p'  p
E'  E
p2
Energia cinetica Ek 
2m
E; m
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q  2 psin

2
d
z 2 Z 2 2 E 2

d 16E 2 sin 4 
k
2
d z 2 Z 2 2 1

d
16Ek2 sin 4 
2
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Sezioni d’urto di Rutherford e di Mott
La formula di Rutherford vale per diffusione non relativistica su bersaglio di massa
infinita puntiforme2 2 2
d z Z 
1
d
 z 2 Z 2 2 1


d
16Ek2 sin 4 
d cos 8 Ek2 sin 4 
2
2
2 2 2
d
zZ
1
1 cos
2

sin 
d cos 2 Ek2 1 cos 2
2
2
NB. La sezione d’urto differenziale diverge per   0. È conseguenza del fatto che il potenziale
di Coulomb diverge per r0. Man mano che il proiettile passa più vicino al bersaglio, la
probabilità di diffusione aumenta indefinitivamente, ma pratica non ci sono bersagli puntiformi
Tornando all’elettrone. Se velocità grande gli effetti dello spin dell’elettrone divengono
importanti. Per processi elastici, se si possono trascurare gli effetti del rinculo del bersaglio,
è la sezione d’urto di Mott.
2
 d 
 d 
2
2 2 2 E'
2

cos

4z
Z

cos




r4
d  Mott  d  Rutherford
2
2
q
C’è il fattore cos2(/2) in più. Esso aumenta la rapidità di diminuzione al crescere dell’angolo. A
180˚ la sezione d’urto di Mott si annulla
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Sezione d’urto ultra-relativistica puntiforme
Un caso rilevante:
Bersaglio puntiforme
Massa del proiettile trascurabile rispetto alla sua energia
Energia di rinculo del bersaglio non trascurabile, quindi E’<E
E'
 d 
 d 





d  puntiforme  d  Mott E
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Gli spettrometri di SLAC
Negli anni ‘60 fu costruito a Stanford un acceleratore lineare (LINAC) per elettroni lungo 2
miglia e con energia massima di 20 GeV
Il laboratorio prese il nome di Stanford Linear Accelerator Center
Uno dei programmi di ricerca fu lo studio della struttura del protone e del neutrone tramite
diffusione elastica ed anelstica di elettroni
In una sala sperimentale furono costruiti da gruppi di MIT e SLAC 2 spettrometri, da 8 GeV
e da 20 GeV. Possono ruotare attorno al bersaglio
Misure di momento e angolo disaccoppiate
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Le funzioni di struttura
Consideriamo un fascio di elettroni di alta energia che
collide con un bersaglio di protoni
Misuriamo l’energia E’ e l’angolo di diffusione 
Per distinguere piccole strutture interne il momento
trasferito deve essere grande
 diffusione profondamente anelastica (DIS)
Variabili cinematiche utili
r r
2
t  q  q  E ' E   ( p' p)2  –Q 2
Q2 si usa per avere una quantità positiva nel canale t, è l’opposto del quadrato della massa della
particella virtuale sonda
Stato finale=insieme di adroni di massa W. Non analizzato  processo “inclusivo”



W 2  Pµ  qµ P µ  q µ  m 2p  2Pµq µ  Q 2  m 2p  2m pn  Q 2
Pµq µ
n
Lorentz-invar.
Nel L Pµ= (mp,0), qµ= (E–E’, q)
mp

n  E – E’ l’energia trasferita al bersaglio nel L, si trova misurando E’
Per diffusione elastica W = mp  2mpn=Q2
 n e Q2 completamente correlate
Per diffusione anelastica due variabili cinematiche  (n e Q2) o (E e E’)
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Le funzioni di struttura
Se il bersaglio ha struttura, che vogliamo misurare
d
 d 

2
2
2

W
Q
,
n

2W
Q
,
n
tan

2
1
ddE '  ddE '  Puntiforme 
2 




W1 e W2 si chiamano funzioni di struttura
W2 interazione delle cariche; W1 interazione dei momenti magnetici (spin-spin)
W1 e W2 sono funzioni delle due variabili cinematiche
Nelle condizioni cinematiche degli esperimenti che consideriamo W1 è trascurabile
d
 d 
 W2 Q 2 , n 
 ddE '  Puntiforme
ddE '


Il fascio sonda di elettroni colpisce il bersaglio di cui vogliamo misurare la struttura
Si misura la direzione e l’energia dell’elettrone diffuso (ad alto momento trasferito) e la
sezione d’urto in funzione di questi, a diversi valori dell’energia del fascio E
Dai valori di E’ e  si calcolano Q2 e n, la funzione di struttura è data da
 d 
 d 
W2 Q 2 , n  
/
 ddE '  misurata  ddE '  Puntiforme

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
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Funzioni di struttura. SLAC 1969
Prima sorpresa:
mentre la sezione d’urto elastica decresce
rapidamente all’aumentare di Q2
le sezioni d’urto a fisso W
•decrescono poco al crescere di Q2
•sono quasi indipendenti da W
sembra che dentro il protone
ci siano oggetti duri
puntiformi
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Funzioni di struttura
Feynman chiamò inizialmente “partoni” gli oggetti puntiformi dentro il protone. Furono poi
identificati come quark
Consideriamo il processo in un riferimento in cui il protone si muova con momento molto
grande Pµ
Il protone si può pensare come un insieme di partoni che si muovono tutti con grande momento;
possiamo trascurare le componenti trasversali. Viaggiano tutti paralleli.
Dato un partone, sia x la frazione di 4-momento che ha. Quadrimomento del partone = xPµ
Approssimazione di impulso: l’urto elettrone-partone avviene come se il partone fosse libero
A posteriori l’ipotesi è giustificata dalla libertà asintotica di QCD
qµ = qudrimomento trasmesso da e a partone
massa m del partone trascurabile
m 2  xPµ  qµ xP µ  q µ  0



x 2 m 2p  Q 2  2xPµq µ  0
Q  x m
2
2
2
p
Q2
Q2
x

2Pµq µ 2n m p
Se il modello è corretto, la funzione di struttura deve avere lo stesso valore ad un dato x,
qualsiasi sia Q2 (purché sufficiente a garantire il potere risolutivo). Legge di scala di
Bjorken
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Costituenti puntiformi
W2 a dimensioni di [energia]–1. Si preferisce la funzione di struttura adimensionalie



F2 x,Q 2  nW2 Q 2 , n

x
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Componenti dei barioni (adroni)
•3 “quark di valenza” che ne determinano i numeri quantici
•I gluoni che trasportano il campo del colore
•Coppie quark-antiquark: quark del mare. Avvengono continuamente processi del tipo: un
gluone si trasforma in una coppia, che subito si annichila, due gluoni si fondono in una
coppia, ecc. La probabilità di processi di questo tipo nell’atomo è bassissima perché <<s
•Il mare contiene coppie u u, d d, meno s s e un po’ di c c
•Tanti quark quanti antiquark per ciascun sapore
•La probabilità di formare una coppia decresce al crescre della massa del quark
Distribuzione di frazione di momento del q di sapore f  f(x)
 f(x) dx è la probabilità che il quark trasporti la frazione di momento compresa tra x e x+dx
x f(x) dx è la quantità di frazione di momento corrispondente
Per gli antiquark   f(x)
Peri i gluoni g(x)
I quark f hanno carica elettrica zfqe. Gli antiquark –zfqe
I gluoni sono elettricamente neutri e privi di carica debole: non sono visti né da e né da n
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Le funzioni di struttura
Nel protone: come sono distribuiti in x: up (valenza + mare), down (valenza + mare), strano
(mare), anti-up (mare), anti-down (mare), anti-strano (mare)  6 in tot. (trascurando charm)
Nel neutrone: come sono distribuiti in x: up (valenza + mare), down (valenza + mare), strano
(mare), anti-up (mare), anti-down (mare), anti-strano (mare)  6 in tot. (trascurando charm)
Totale: 12 funzioni di x da determinare
Non sono tutte indipendenti
Invarianza isotopica (4)
E anche (2)
u p x   dn x ; d p x   un x ; d p x   un x ; u p x   dn x 
s p x   sn x ; s p x   sn x   s x   s p x ; s x   s p x 
Quark mare= antiquark mare (1)
s x   s x 
Dobbiamo determinare 12–7=5 funzioni indipendenti
Chiamiamole
u x   u p x   dn x 
u x   u p x   dn x 
d x   d p x   un x 
d x   d p x   un x 
s x   s p x   sn x 
Poi per la separazione tra mare e valenza:
um x   u x   uv x   u x  u x , dm x   d x   dv x   d x  d x 
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Fascio di elettroni
Le funzioni di struttura sono determinate da esperimenti DIS con elettroni, neutrini, antineutrini
Sensibili in modo diverso alle cariche dei quark
Con fasci di elettroni: 3 misure in funzione di x
•bersaglio di H2 liquido per protone
•bersaglio di D2 liquido per neutrone
•bersaglio con nuclei che contengono tanti protoni quanti neutroni
Ciascun quark contribuisce in proporzione al
quadrato della carica
DIS ep
DIS en
DIS e Nucleo
F2 x   x  z 2f  q f x   q f x 
f
F2ep x  4
1
 u x   u x    d x   d x   s x   s x 
x
9
9
F2en x  4
1
  d x   d x   u x   u x   s x   s x 
x
9
9
F2eN x  5
1
 u x   u x   d x   d x    s x   s x 
x
18
9
NB. 5/18 è la media dei quadrati delle cariche di up (4/9) e down (1/9)
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Fascio di neutrini-mu
I neutrini vedono certi sapori e non altri, viceversa gli antineutrini. Trascurando s
Reazioni permesse
n   d  µ  u; n   u  µ  d
n   u  µ  d; n   d  µ  u
Il leptone n si trasforma in un µ– diminuendo la carica  all’altro vertice la carica deve
aumentare, viceversa  n si trasforma in µ+  all’altro vertice la carica deve diminuire
Reazioni proibite
n   u  µ  d; n   d  µ  u
n   d  µ  u; n   u  µ  d
F2 µ x 
 2  d x   u x 
x
n p
F2 µ x 
 2 u x   d x 
x
n p
Su bersaglio protone (2 relazioni)
nµ p
nµ p
Fattore 2
deriva da
struttura V–A
Con fasci di neutrini e antineutrini su bersaglio neutrone si trovano le stesse due
relazioni. Utilissimo per testare la consistenza della teoria
Con 5 funzioni di x misurate e 5 incognite si risolve il sistema e si trovano le 5
funzioni di struttura
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26
Le distribuzioni di momento. I gluoni
Le distribuzioni dei q di valenza hanno
massimi a x = 0.15-0.3
Sono molto allargate come conseguenza
del moto “di Fermi” nel nucleone
(necessario per il principio di
indeterminazione)
Sia annullano sia per x0, sia per x1:
è molto poco probabile che un q di
valenza da solo trasporti più di  70%
del momento
Integrando i contributi di q e  q
1
1
 x u x  d x  u x  d x dx   F
nN
2
0
0
1
18
x dx ;  F2eN x dx ; 0.50
5 0
Manca il 50%!!
Il 50% del momento del protone (e del neutrone) è portato da oggetti che non hanno né carica
elettrica né carica debole. Sono i gluoni.
Il contributo dei gluoni è grande per x <  0.3 e diviene dominante per x<  0.2
I quark del mare contribuiscono a x<  0.1
12/21/2015
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27
Violazioni della
legge di scala
Molte misure con diversi tipi di sonda.
“Microscopio” col più alto potere
risolutivo HERA a DESY: collisore di
elettroni di 30 GeV contro protoni di
800 GeV
2.7 < Q2 < 30 000 GeV2
Per x>0.1 circa, legge di scala OK
Per piccoli x più partoni a Q2 piccolo
rispetto a legge di scala
Previsto teoricamente in QCD
(Dokshitzer, Gribov, Lipatov, Alatrelli,
Parisi=DGLAP)
Curve sono previsioni di QCD, con fit
della “costante” s
12/21/2015
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28
Perché è violata la legge di scala
Un quark di frazione di momento x che emette un gluone
il gluone si prende la frazione di momento (longitudinale) x–x’
la frazione di momento del quark, x’<x
Se Q2 non grande, il potere risolutivo non è sufficiente  quark e gluone non risolti  si
misura x
se Q2 è grande, si risolvono e si misura x’
 al crescere del potere risolutivo le funzioni di struttura, a fissato x piccolo, crescono con Q2.
L’effetto dipende da s e permette di misurarla
12/21/2015
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29
Struttura della carica di colore
L’IF tra quark non può essere dovuta allo scambio di un bosone vettore con C=– analogo al g
Infatti allora la forza tra q e q sarebbe attrattiva, tra q e q repulsiva. Invece sperimentalmente è in
entrambi i casi attrattiva (vedi poi struttura iperfina)
Non può essere dovuta allo scambio di un bosone scalare o pseudoscalare, perché ne verrebbe un
legame alla Yukawa che legherebbe qualsiasi combinazione di q: qq, qqq, qqqq, qq ,….Stesso
risultato avrebbe un bosone vettore con C=+
Invece risultano legati solo le configurazioni qqq e q q
I vettori del campo dell’interazione forte devono avere “cariche” di struttura più complessa
La IF è mediata non da un solo bosone, ma da un insieme di questi (8 in numero), chiamati gluoni
La IF obbedisce ad una simmetria unitaria, la simmetria di colore. È una simmetria esatta
La simmetria non è abeliana = esistono generatori di trasformazioni del gruppo che non
commutano fatto fisico: i gluoni hanno cariche di colore (mentre il fotone non ha carica
elettrica)
12/21/2015
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30
QCD
Per mantenere la simmetria, tutte le particelle, sia i quark sia i gluoni debbono appartenere a
multipletti (= rappresentazioni) della simmetria. Il termine di interazione deve essere invariante
sotto le operazioni del gruppo  singoletto
Se esistono quark di colore diverso, potrebbero esistere adroni colorati, particelle tra loro uguali
a parte il colore: un protone rosso, uno verde, uno blu. Ci sono solo adroni senza colore, cioè
formati da quark colorati che si combinano a fare un singoletto del gruppo
Gli adroni sono stati stabili legati dalla forza di colore. Si dimostra che la simmetria SU(3)
correttamente prevede che gli unici stati legati siano i singoletti
Oggetti liberi non possono essere colorati  i quark non possono essere liberi  confinamento
Il protone (e gli altri barioni) sono composti da tre quark. L’unica simmetria unitaria che
permette di fare un singoletto con tre quark è SU(3)
Il numero di gluoni = numero di generatori di SU(3) = 8. Stanno nella rappresentazione
aggiunta.
Non solo mediano la forza di colore, ma hanno carica di colore. [Potrebbero esistere stati legati
instabili di soli gluoni, le glue-ball, ma l’evidenza che abbiamo trovato non è conclusiva]
12/21/2015
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31
L’ottetto dei gluoni
33 = 8a 1s
1 è completamente
simmetrico e non
trasmette interazioni
di colore
1
g0 
RR  BB  GG 

3
12/21/2015
g1  RG
g2  RB
g3  GR
g4  GB
g5  BR
Come per i mesoni
g6  BG
1
g7 
RR  GG 

2
1
g8 
RR  GG  2BB 
6
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32
Vertice e albero in QED e QCD
QED
QCD
Fattore di colore
12/21/2015
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33
I fattori di colore
g1  RG
g2  RB
g3  GR
g4  GB
g5  BR
g6  BG
1
g7 
RR  GG 
2
1
RR  GG  2BB 
g8 

6
Gli antiquark
hanno fattori di
colore opposti
 1RG  1
 1RG  1
 2RB  1
 2RB  1
 3GR  1
 3GR  1
 4GB  1
..................
 5BR  1
 6BG  1
 6RG  1
1
1
;  7GG  
2
2
1
1
2

;  8GG 
;  8BB  
6
6
6
 7RR 
 8RR
g1 --- g6 hanno un colore e un anticolore (accoppiano quark con diversi colori)
g7 ha due colori e due anticolori (accoppia anche quark con lo stesso colore)
g8 ha tre colori e due anticolori (accoppia anche quark con lo stesso colore)
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34
Esempio BBBB
B
 8BB  
q  B q B q  B q
2
6
1 BB 1 BB 1  2   2  1
8
8  
 
 

2
3
2
2
6
6
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35
Esempio RRRR
R
q  R q R q  R q
1
2
1

6
 7RR 
 8RR
1 RR 1 RR 1 RR 1 RR 1  1   1  1  1   1  1
7
7 
8
8  
 
  
 
 

2
2
3
2
2
2
2
2
2
6
6
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36
Autointerazione dei gluoni
I gluoni di QCD hanno loro stessi carica di colore.
La carica di colore dei gluoni rende possibile lo scattering
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g+gg+g
37
Stati legati. I mesoni
Gli adroni non hanno colore  le cariche dei quark che li costituiscono devono “sommarsi a
zero”. In elettromagentismo: carica positiva =carica negativa. QCD  singoletto di colore
Due modi per realizzarlo: tripletto di quark, quark e antiquark
I mesoni sono stati legati di un quark e un antiquark (di valenza)
qq singoletto
1

3
 q q
R
R
B
q q q q
B
Simmetria  tre termini uguali. Calcoliamone uno e
moltiplichiamo per 3. Tutti i casi in cui inizialmente
G
B
G

qBq
3 3 = 8A 1S
 2RB  1;
 2RB  1
 4GB  1;
 4GB  1
 8BB  
2
;
6
 8BB  
2
6
2
1 4
4
 1  1 BB BB

RB RB
GB GB


3










11




5
5
6
6 
 3  2  8 8
2 6
3
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Forza attrattiva
38
Linee di colore
12/21/2015
C.5 A. Bettini
39
Stati legati. I barioni
Più complicato, ci sono tre quark
3  3  6 S  3A
Prodotto di due
Moltiplicare per il terzo
3 3 3  6  3 3  3
3A  3 = 8A 1S
Non contiene
singoletti
G
B
R
1
qqq singoletto   R q B q  B q R q q  G q R q  R qG q q  B qG q  G q B q q 
6
Si dimostra che i 6 fattori di colore sono uguali. Calcoliamo il primo e moltiplichiamo per 6

R
q  B q R q  B q
R
q  B q B q  R q
–
Quark finali scambiati, bisogna sottrarre
12/21/2015


 2RB  1;  8RR 



1
2
;  8BB  
6
6
2
1 2 
2
 1  1 RR BB
RB RB


6







1


2
2 
 6  2  8 8
2  6 
3
La forza è attrattiva anche se le cariche di
colore hanno lo stesso segno
C.5 A. Bettini
40
Linee di colore
12/21/2015
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41
Struttura iperfina. L’idrogeno
L’atomo di idrogeno è formato da due particelle di spin 1/2 di carica opposta.
Consideriamo stati con l=0. Gli spin del p e dell’e possono essere paralleli (3S1, J=1) o
antiparalleli (1S0, J=0)
Nel caso dell’atomo, interazione EM, l’energia iperfina è data dall’interazione tra i momenti
magnetici dell’elettrone (grande) e del protone (piccolo)
La differenze di energia E(3S1) – E(1S0) è piccolissima (struttura iperfina) e >0
r r
ee r r
ESS : – e   p :  1 2 s1  s2
me m p
Anche per gli adroni?
12/21/2015
C.5 A. Bettini
42
Struttura iperfina. Gli adroni
Mesone = due particelle di spin 1/2 di carica di colore opposta (simile idrogeno?)
Consideriamo stati con l=0. Gli spin del q e del  q possono essere paralleli (3S1, J=1) o
antiparalleli (1S0, J=0)
La differenze di energia E(3S1) – E(1S0) sono grandi (p.e. mK* – mK = 395 MeV) e >0
I barioni sono nel decimetto o nell’ottetto a seconda dello spin totale J di due quark. Esempio
 J=1 (∆)
J=0 (p)
struttura iperfina m(J=1 ) – m(J=0 ) = mD– mp = 293 MeV >0 grandi e un po’ minori che per i
mesoni (vero anche al di là dell’esempio preso)
L’interazione responsabile della separazione è analoga nel senso che è spin.spin, e basta
La struttura “iperfina” è grande nel caso degli adroni perché s(1GeV) 
E i segni?
r r
 r r
ESS : – 1   2 :  1 2 s1  s2
m1m2
Se colore fosse come carica elettrica
12 <0 per q  q in mesone
12 >0 per q q in barione
12/21/2015
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43
Separazione livelli. Come QED
Mesoni
Se c1c2 =–1
3
r r
2 s1  s2  J J 1 s1 s1 1 s2 s2 1  J J 1
2
r r
3
1
E   1  2   per J  0   per J  1
2
2
   
 m 3 S1  m 1 S0  4K
Barioni. Bisogna sommare sulle tre coppie
9
r r r r r r
r r r
2 s1  s2  s2  s3  s3  s1   s1  s2  s3  s1 s1  1 s2 s2  1 s3 s3  1  J J  1 
4
3
1
3
3
r r r r r r
2 s1  s2  s2  s3  s3  s1   – per J 
  per J 
2
2
2
2
r r
3
1
3
3
Se cicj =+1 E   1  2   per J   – per J 
2
2
2
2
 m 10 m 8  –6K
1/2+
1–
0–
12/21/2015
3/2+
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44
Separazione livelli. QCD
Ma i fattori di colore sono di SU(3) non di U(1)
   
m 3 S1  m 1 S0  4K  4 / 3  K  16 / 3
m 10   m 8   –6K  2 / 3  K  12 / 3
massa
1/2+
3/2+
1–
3/2+
0–
1/2+
senza colore
12/21/2015
1–
0–
con colore
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45
La rinormalizzazione di QCD
Il processo di rinormalizzazione è analogo alla QED, ma non identico
√s,eff 
√s
Oltre ai loop fermionici ci sono ora loop bosonici (perché i gluoni sono colorati)
In entrambi i casi gli integrali divergono ed è necessario, e possibile, un procedimento di
rinormalizzazione
I due tipi di loop hanno segni opposti
L’effetto di polarizzazione del vuoto dovuto ai quark è analogo a quello in elettrodinamica, con la
carica di colore al posto della carica elettrica: schermano la carica di colore, ne riducono il valore
al crescere della distanza, cioè al decrescere del momento trasferito usato nel processo di misura
Fissata la scala µ alla quale sottrarre i contro-termini, solo i quark di massa m<µ (nf in numero)
contribuiscono
In QCD anche i gluoni contribuiscono alla polarizzazione del vuoto. Sparpagliano il colore del
quark, con effetto di anti-schermo. Vincono i gluoni, complessivamente la carica efficace
diminuisce al diminuire della distanza. Effetto di antischermo predetto da Politzer, Gross e
Wilczek nel 1973
12/21/2015
C.5 A. Bettini
46
 s µ2 
 
s Q
s
2
 s µ2 
2
1
33

2n
log
Q
/ 2

f 
12


Dà l’evoluzione, non il valore
assoluto che deve essere
determinato sperimentalmente
(33–2nf) > 0 (non è mai nf>16), quindi s,eff decresce al crescere di Q2
nf è il numero di sapori “eccitati” (= mf<Q)
NB. l’andamento di s è determinato anche dalla dipendenza da Q2 di nf
Alternativa: definire la scala di massa l che sostituisce la dipendenza da µ


12
 µ exp  

2
33

2n

µ


f
s
l n f 
2
2

  
 s Q 2 
12
33  2n log Q
2
f
/ l2

QCD non dà un valore per l, la si misura dipende da nf )
l(3)  400 MeV
l(5)  200 MeV
Libertà asintotica: Quando |Q2|> l2 la costante di accoppiamento è piccola.
È possibile lo sviluppo perturbativo. Nei processi in cui il momento trasferito al quark è ancora
maggiore, il quark appare libero
12/21/2015
C.5 A. Bettini
47
Evoluzione di s (e di )
s non si misura direttamente, ma si
determina in parecchi modi indipendenti. Ad
es.
•Probabilità terzo getto in e+e–
•Contributo dei gluoni a R
•Violazioni legge di scala in DIS
•ecc
s decresce rapidamente al crescere
dell’energia = al diminuire della distanza alla
quale la si misura
 cresce lentamente al crescere dell’energia
dal punto di vista teorico, l’evoluzione delle
costanti è regolata dalle equazioni del “gruppo
di rinormalizzazione”, che prevedono che  e
s divengano uguali all’energia di 1016 GeV, la
scala della “grande unificazione”
s(MZ)=0.118±0.002
12/21/2015
C.5 A. Bettini
48
Regola OZI
Perché i decadimenti delle particelle di sapore nascosto in stati finali senza quel sapore sono
soppressi?
Processo favorito, se sopra soglia
Viene irradiato un solo gluone ed è
soffice
Processo sfavorito
L’annichilazione dei due quark iniziali
Non può essere in un gluone perché viola colore
Non può essere in due perché viola C
In tre va, ma è una radiazione di grande
momento trasferito, quindi rara
 s3 mf2  0.5 3  0.13
 
 s3 mJ2/  0.33  0.03
 s3 m2  0.2 3  0.008
12/21/2015
C.5 A. Bettini
49
L’antischermo. Perché i quark non possono
essere liberi
Se un quark fosse libero, la sua carica di colore polarizzerebbe il vuoto attorno a lui
L’effetto di antischermo fa sì che la carica cresca indefinitivamente al crescere della distanza da
essa. La nuvola di quark, antiquark e gluoni virtuali avrebbe energia infinita
Il quark non può esistere libero
Un quark e un antiquark nello stesso: le due nuvole si elidono, energia nulla (anche tre quark in
singoletto di colore)
Non possono essere nello stesso punto perché limitare la funzione d’onda richiede energia
(principio di indeterminazione)  compromesso = raggio del mesone (adrone)
12/21/2015
C.5 A. Bettini
50
L’antischermo. Perché l’ipotesi impulsiva
funziona
Un quark colpito violentemente da un elettrone (o neutrino) in un esperimento DIS accelera
Perché non irradia, ma si comporta come se non fosse carico?
A brevi distanze la sua carica è piccolissima. Inizialmente la nuvola non si accorge che il quark
sta schizzando via. Poi una nuova nuvola gli si forma intorno, il quark adronizza: si forma una
nuova nuvola che si muove con lui, senza significativo trasferimento di energia e momento
Gli esperimenti inclusivi, e i calorimetri, sono sensibili al flusso di energia e di momento,
vedono il quark come flusso concentrato in una porzione di angolo solido
Per vedere un quark (e un gluone), non si deve cercare di tirarlo fuori dell’adrone, ma guardarlo
come flusso di energia (DIS o Jet)
Antischermo spiega perché radiazione dura molto più rara della soffice
12/21/2015
C.5 A. Bettini
51
Se proviamo a far uscire il quark
e  p  e  n

–
Quando due cariche elettriche si
allontanano le linee di forza del
campo elettrico su allargano; la
densità di energia del campo
diminuisce, man mano che il
volume occupato dal campo si
allarga
12/21/2015
Esempio: un quark u viene urtato
violentemente dall’e, si allontana
dagli altri, ma non esce perché si
forma una coppia d d. Il d si
accoppia con un u a formare un π+

Quando due cariche di colore si allontanano le linee di
forza rimangono confinate in un “tubo” nel quale la
densità di energia è costante. L’energia del campo cresce,
circa proporzionalmente alla distanza. A un certo punto
conviene energeticamente formare una coppia q q
Facciamo la rozza approssimazione che l’energia d’interazione
tra due q a distanza dell’ordine del raggio del protone sia
proporzionale alla loro distanza
Indichiamo con k l’energia per unità di lunghezza nel tubo
C.5 A. Bettini
52
Masse dei quark
La massa di una particella è data dalla “relazione di dispersione”
m2=E2–p2
valida per una particella libera
Per misurare la massa bisogna misurarne l’energia E e la q.d.m. p
I quark non sono mai liberi, la loro massa non è quindi definibile se non entro uno schema
teorico. Nella lagrangiana compaiono dei parametri = masse dei quark
I parametri di massa dei quark si possono determinare solo indirettamente mediante la loro
influenza sulle proprietà degli adroni (ad es. masse di mesoni)
I parametri di massa hanno significato solo entro lo schema teorico usato per definirli, risentendo
in particolare di effetti di QCD e quindi dello schema di rinormalizzazione
Due regimi ben separati
quark leggeri (m < 1 GeV) = u, d, s
s grande, energia potenziale >> massa nei mesoni, risultati dei calcoli incerti
quark pesanti (m > 1 GeV) = c, b
s piccola, varie tecniche di calcolo possibili, energia potenziale<< massa
quark t. Molto pesante, decade prima di adronizzare; misura diretta possibile
12/21/2015
C.5 A. Bettini
53
Le massa degli adroni
La massa degli adroni è molto maggiore della massa dei quark che lo compongono, anzi nel caso
del protone e degli altri adroni composti di u e d, il contributo della massa dei quark è addirittura
trascurabile. Perché?
In linea di principio QCD deve permettere di calcolare lo spettro degli adroni. Ma la costante di
accoppiamento s è grande alle scale di energia coinvolte; in uno sviluppo in serie i contributi dei
grafici degli ordini superiori non decrescono al crescere dell’ordine. Non è possibile quindi un
tale sviluppo (perturbativo), ma si ricorre al calcolo numerico (potentissimi supercalcolatori)
12/21/2015
C.5 A. Bettini
54
L’atomo
Le dimensioni dell’atomo sono imposte dal principio di indeterminazione
Il sistema più semplice, l’idrogeno, è fatto da un e e un p legati dal potenziale Coulombiano.
L’elettrone non può cadere sul protone né avvicinarsi troppo perché più si localizza più aumenta
l’incertezza del suo memento e quindi il momento stesso e quindi l’energia cinetica. Possiamo
considerare infinita la massa del p. L’elettrone ha velocità non relativistiche quindi a distanza r,
l’energia è
p 2 e2
qe2
2
E

con e 
; 2.3  10 28 Jm
2me r
4 0
Principio di indeterminazione pr  h
h2
e2
E

2
2me r
r
Distanza di “equilibrio” per E minima
e2 e2
e2
E a  
 
 13.6 eV
2a a
2a
mH c 2  m p c 2  me c 2 13.6 eV
12/21/2015
NB. stiamo calcolando senza precisione, a parte “fattori π”
h2
e2
 dE 


 0
dr  a
me a 3 a 2
a
2
h
 52.8 pm
2
me e
è il raggio di Bohr, ma
costanti numeriche
venute giuste per caso
la massa dell’atomo di H è la somma delle
masse dei costituenti, mp+me, aumentata del
lavoro, negativo, che si deve fare sul sistema
per portare e e p a distanze tali che non
interagiscono = grandi
C.5 A. Bettini
55
La massa del protone
L’interazione QCD tra quark è intensa a distanze dell’ordine del raggio del p. A distanze
inferiori a 1/l diviene invece piccola: i quark sono liberi (= non interagiscono) a distanze
piccole. Quindi la massa del p è la somma delle masse dei q costituenti (praticamente
nulla) e del lavoro che si deve fare dall’esterno per portare i q in una posizione in cui non
interagiscono, cioè vicinissimi tra loro. Questo lavoro è positivo perché si estrae energia dal
sistema (si fa contrarre “la molla”) ed è la massa del protone
Quanto vale questo lavoro? In ordine di grandezza è, per ciascun quark, l= 300-400 MeV. In
totale (3q) quindi mp 3 l  1 GeV
Valutiamo l’ordine di grandezza del raggio del p. Il lavoro per aumentare di dr la distanza r dal
centro cresce all’aumentare della distanza. Supponiamo che cresca linearmente  energia in dr
(il lavoro fatto dall’esterno) = kr dr.
Energia cinetica di un quark = momento (medio) p. Principio indeterminazione pr  1
La massa del protone = energia del sistema di 3 quark è
3
E  3p  kr   kr
r
La distanza di “equilibrio” è quella che minimizza l’energia totale (mp= energia nel minimo)
3
 dE 

0


k
 
2
dr rp
rp
rp 

3
oppure
k
k
3
rp2

 E rp 
3 3

rp rp
6
Per mp 1 GeV  rp=1.2 fm
rp
La massa del protone è determinata da l, il raggio dal principio d’indeterminazione
m p  E rp 
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Il campo di colore nel protone
Simulazione al supercalcolatore di Derek Leinweber (Adelaide). Densità di energia
[tecnicamente, di azione] ridotta nel piano passante per i tre quark. Parte dell’energia esce dal
protone. Si osservano tre tubi di colore. Questi non ci sono se i quark sono troppo vicini (vedi
prossima animazione)
I tubi si formano quando la distanza dal
centro del triangolo <r> è maggiore di
circa 0.5 fm, come si vede nella
prossima animazione.
<d> è la distanza media tra due quark
Il diametro dei tubi di colore rimane
circa costante mentre i quark si
separano. Il tubo contiene energia,
corrispondente alle fluttuazioni del
vuoto; quindi il lavoro per separare due
quark di dx è proporzionale a dx sia nei
barioni sia nei mesoni
Grosso modo: il potenziale di
confinamento è lineare
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La prossima animazione mostra il
campo gluonico nel vuoto tra quark
e antiquark in un mesone. La
distanza tra i quark varia tra 0.125
fm e 2.25 fm (circa 1.3 volte il
diametro del protone)
Un mesone
Osservare il tubo di colore nel
quale la massima energia del
vuoto è concentrata
Quando i quark si separano il
tubo diventa più lungo ma il suo
diametro varia poco. Questo
minimizza il lavoro di estrarre le
fluttuazioni. Il potenziale di
confinamento è circa lineare
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Il vuoto quantistico
Nel vuoto non ci sono particelle,reali, i campi sono nulli, su grande scala. Ma il vuoto
quantistico è un mezzo dinamico estremamente attivo. Se si guarda a scale spaziali e temporali
piccole
Alla scala 1/mq 1/10 MeV–1
vediamo la polarizzazione
dovuta alle coppie virtuali qq
∆t6.610–23 s
c∆t20 fm
Alla scala 1/(2me)1MeV–1
vediamo la polarizzazione
dovuta alle coppie virtuali e+e–
∆t6.610–22 s
c∆t200 fm
Molti di più
E solo gluonici
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Il vuoto quantistico
La figura e la prossima animazione mostrano tipiche strutture di configurazioni del campo
gluonico: la descrizione QCD del vuoto. Il volume della scatola è di 2.42.43.6 fm3 (ci stanno
un paio di protoni).
QCD induce valori non nulli
del campo di colore nello
spazio-tempo nel suo livello
di energia minima, il vuoto.
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Le fluttuazioni a più alte frequenze
sono state filtrate via. Le strutture
che si vedono mostrate
rappresentano tecnicamente la
densità dell’azione, in pratica quella
dell’energia
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Il vuoto vive
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