Università degli Studi di Verona
Dipartimento di Informatica
Seminari divulgativi di Matematica
26 aprile 2006
Calcolando derivate dentro una pompa
Gianluca Argentini
Research & Development Dept.
Riello Burners - Legnago (Verona)
Introduzione
1. Scopo di un bruciatore:
• trasformare energia potenziale e meccanica in energia
termica tramite il fenomeno fisico-chimico della combustione
2. Metodi per raggiungere lo scopo:
• prelievo del combustibile tramite opportuni strumenti
• immissione forzata di comburente e combustibile in una
apposita camera (testa di combustione)
• mantenimento e controllo della combustione
• ottimizzazione dei processi per efficienza e rispetto
normative
Il bruciatore come oggetto fisico
Un bruciatore è (anche) un problema matematico
• una pompa presenta problematiche di progettazione della
geometria dei rotismi interni e aspetti fisici descrivibili con
strumenti matematici avanzati
• la testa di combustione può offrire drastiche variazioni di
efficienza a seconda delle sue caratteristiche geometriche e
strutturali
• la fluidodinamica di comburente e combustibile all’interno
dei singoli componenti è (al momento) affrontabile quasi
esclusivamente con metodi numerici
• il controllo e regolazione di un bruciatore si basano su
meccanismi di feedback descrivibili con strumenti matematici
sofisticati
Simulare la fiamma: un problema differenziale
E’ il principale dei problemi:
trovare i campi di temperatura, pressione, quantità e velocità
dei singoli elementi chimici che partecipano al fenomeno
della combustione
Non esiste al momento una soluzione analitica (esprimibile
mediante formule), si trovano solo soluzioni numeriche
approssimate mediante l’uso di computers
Una simulazione completa (caso metano-aria) richiederebbe
l’uso di circa 250 specie chimiche, quindi più di 500
incognite: al momento, già una simulazione numerica con 3
specie chimiche (metano, ossigeno, anidride carbonica)
risulta difficile
Una collaborazione con l’Università di Verona
Simulazione numerica di una
fiamma premixata metano-aria
in dominio bidimensionale
rettangolare:
• trovare le isoterme e le
velocità di flusso di metano e
ossigeno
• confronto coi dati sperimentali
(figura accanto)
(accordo UniVR-Riello, prof. De
Marchi e collaboratori, da
marzo 2006)
Battere in testa - 1
La testa di combustione determina qualità energetica e forma
geometrica della fiamma
Combustibile e comburente vengono incanalati in vie
geometriche separate fino al loro incontro nella zona di
sviluppo della fiamma (camera di combustione)
Battere in testa - 2
Testa per gas con
iniezione tramite
canali convergenti
su angolatura
discretizzata
Battere in testa - 3
Testa per
combustibile
liquido con
iniezione
tramite ugello
centrale
Battere in testa - 4
Testa con alette
direzionali per
un flusso d’aria
a simmetria
circolare
Battere in testa - 5
Testa a
geometria
variabile, disco
fiamma forato
per l’apporto
d’aria
Un problema col disco fiamma
La fiamma riscalda il disco-fiamma
da cui si propaga, per cui sorgono
(anche) problemi di deformazione da
stress termico
Lo studio di tale problematica
comporta conoscenze di tipo tecnicostrutturale (resistenza dei materiali) e
fisico (rapporto deformazionetemperatura), ma una comprensione
completa del fenomeno richiede la
soluzione di un problema matematico:
l’analisi matematica è lo strumento strettamente necessario
Disco fiamma - 1
Lo stress
termico induce
comparsa di
cricche nel
disco-fiamma
Prima di uno studio analitico del problema, conviene sempre
eseguire una simulazione (informatizzata) per ottenere i dati
numerici da sottoporre all’analisi simbolica
Disco fiamma - 2
La simulazione riproduce la
formazione della cricca ed
evidenzia i valori numerici
critici che legano temperatura
e caratteristiche fisiche del
materiale usato
Viene formulata una ipotesi
costruttiva per favorire una
dilatazione non vincolata del
disco (ing. De Luca, 2006)
Disco fiamma - 3
Analisi matematica sulla bontà
dell’ipotesi costruttiva:
• scelta di un opportuno dominio
in cui eseguire l’analisi
• scelta dell’opportuno sistema di
riferimento (spesso le coordinate
cartesiane non sono le migliori)
• uso di eventuali simmetrie
(aiutano la formulazione delle
condizioni al contorno)
• semplificazione realistica ma
senza alterazione dei dati
sperimentali o conosciuti
Disco fiamma - 4
• il dominio geometrico: considerazioni di simmetria inducono
alla scelta di un settore circolare centrato nell’asse mediano
dell’elemento progettuale sporgente dal bordo del disco
• per lo stesso motivo, il sistema di riferimento opportuno è
quello delle coordinate polari (r,j) con r distanza dal centro
geometrico del disco e j sfasamento angolare rispetto
all’asse mediano
• Fisica del problema:
equazione di diffusione della temperatura
equazioni della deformazione termica
Disco fiamma - 5
Temperatura: dipende dalle due coordinate polari e dal
tempo, nell’equazione si considerano derivate parziali
dT (t0 , r , j 0 )
T
(t0 , r0 , j 0 ) 
r
dr
r  r0
per cui l’equazione è
1 T  2T 1 T 1  2T
 2 
 2
k t r
r r r j 2
dove il secondo membro è l’operatore di Laplace o
laplaciano
2
2
 2  2
x
y
Disco fiamma - 6
Deformazione: è un vettore (u,y) con le due componenti
radiale e angolare
• il legame tra deformazione e
temperatura è fornito dallo stress
termico, dato dalla differenza tra
valore corrente e valore iniziale di
riferimento per T: T = T - Ti
• si applica la Legge di Hooke, per
cui le equazioni per le deformazioni
sono
u
y u
  (T  Ti ) ,

r
j r
Disco fiamma - 7
• la risoluzione analitica esatta di un problema differenziale è
(con gli strumenti matematici attuali) possibile solo in pochi casi
• il problema del disco-fiamma può essere risolto in modo
esatto col metodo (classico) della separazione delle variabili
T (t , r , j )  f (t ) R(r )(j )
che disaccoppia le variabili nella soluzione e trasforma
l’equazione a derivate parziali in tre equazioni differenziali
ordinarie
f 'af  0 , r 2 R' 'rR'r 2 R  b  0 , ' 'c  0
che si risolvono con metodi analitici classici, imponendo le
condizioni al contorno
Disco fiamma - 8
• si perviene a soluzioni esprimibili in forma analitica:


 D
T  T  (T  Ti )e  At 1  e  Br

u   (T  Ti ) r 2  Cre  At
• con successiva facile visualizzazione grafica di particolari
aspetti fisici:
vettore deformazione
lungo il bordo del
disco-fiamma
deformazione fisica del bordo
Disco fiamma - 9
Poi c’è la ricaduta applicativa:
• l’elemento aggiuntivo sul bordo
si deforma praticamente solo in
senso radiale
• la presenza di deformazione
angolare a destra e a sinistra
dell’elemento consiglia di
spostare verso il basso i due fori
per le sonde fiamma
Disco fiamma - 10
Insegnamenti ricavati dallo studio del modello:
• possibilità di conoscere come una grandezza di interesse
applicativo (es. u) dipenda analiticamente dai parametri fisicogeometrici (es. t, r,j) (cosa non facile da ottenere con software
simulativo)
• l’impostazione del modello matematico di un problema fisicoingegneristico si basa in modo essenziale sulla conoscenza di
concetti fisici e tecnici
• la sua eventuale risoluzione è competenza quasi esclusiva del
matematico (applicativo), che si avvale di concetti e metodi
propri della Matematica pura (es. un aspetto particolarmente
delicato è la questione dell’unicità di soluzione)
Derivate dentro una pompa
Pompa a lobi (tipo gerotor) per gasolio:
• determinare la pressione del liquido nei
vani tra corona esterna e pignone interno
Alcuni software di
fluidodinamica
computazionale (CFD)
riescono a simularne il
comportamento, ma in
base a quali equazioni
funziona una pompa?
Pompa - 1
E’ un problema di stretta correlazione tra
• geometria delle curve piane parametrizzabili: un punto
cartesiano del pignone o della corona è dato da
( x, y)  r  A sin( Bt )cos(t ), sin(t ))
• algebra delle matrici: la rotazione indotta dal pignone sulla
corona viene espressa da una matrice di rotazione di angolo 
 cos( ) sin ( ) 

M  
  sin ( ) cos( ) 
Pompa - 2
• analisi in serie di Taylor : i punti di contatto geometrico virtuale
tra corona e pignone possono essere trovati tramite espansione
locale dell’equazione di intersezione tra le due curve
• elaborato un metodo che
tramite espansioni fino al 6°
grado permette di ottenere
risultati molto accurati circa le
coordinate del punto di contatto
• usuali software matematici si
sono rivelati meno precisi nel
calcolo dei contatti e presentano
il rumore di fondo dato dalle
soluzione complesse
Pompa - 3
• analisi di Gauss-Green: il calcolo del volume di un vano viene
ricondotto da un integrale di superficie ad uno di linea, molto più
facile da calcolare per via numerica
t
s
0
1
1
A   dxdy   xdy  ydx )   xy' yx') dt   xy' yx') ds
2 D
D
t0
s1
P1
D2
D
D1
P0
Le quantità del tipo x’dt possono
essere discretizzate come
xk+1 - xk = x(tk+dt) - x(tk)
che è una espressione del Teorema
di Lagrange e fornisce la derivata
come differenza finita (in avanti)
Pompa - 4
• fisica dei fluidi reali: l’olio in pompa viene compresso nella
zona intermedia tra quella di aspirazione e quella di mandata,
per cui la sua pressione aumenta in modo notevole (ing.i De
Luca, Lovato, 2005)
dp
K 
dV 

Q 

d V 
d 
 = velocità angolare pignone
Q = portata istantanea nel vano
K = coefficiente di comprimibilità olio
Ma in certe situazioni, per una migliore modellazione, si usa
la Legge di Van der Waals dei fluidi reali
Pompa - 5
Simulazione computazionale:
• calcolo dei volumi istantanei dei vani con passo angolare di
1°, quindi calcolo della pressione istantanea
• su CPU Xeon 3.2 GHz: 360 configurazioni calcolate in circa 20
minuti con 1.5 GB di allocazione RAM (Mathematica 5.2)
• i risultati ottenuti concordano con quelli ottenuti con software
fluidodinamico o con metodi sperimentali (Politecnico TORINO)
Pompa - 6
Conclusioni dallo studio eseguito:
• la convergenza di conoscenze da più discipline permette la
costruzione di un modello simbolico e computazionale che
descrive in modo soddisfacente un complesso processo reale
• anche in questo caso l’aspetto computazionale si basa in
modo essenziale nell’applicazione di strumenti e metodi della
Matematica pura (Algebra, Analisi, Geometria)
• (software commerciali di fluidodinamica danno gli stessi
risultati di software matematici molto meno costosi)
Un problema di bolle
Cavitazione: uno dei principali problemi nel funzionamento di
macchine a fluido
• bolle d’aria possono formarsi
all’interno dei vani di una pompa
per problemi di tenuta, per
anomalie di aspirazione, per
geometria non ottimizzata
• tre principali conseguenze
negative:
minore efficienza
danni fisici su superfici
aumento rumorosità
Collasso di una bolla - 1
Si vuole costruire un modello matematico che
• possa calcolare il tempo di collasso impiegato da una bolla di
gas per implodere dentro un vano di una pompa
• possa stimare il massimo numero di giri del rotore interno per
evitare che la bolla impedisca la lubrificazione tra corona e
pignone, con loro contatto fisico
Per avere attinenza col
caso ingegneristico reale, si
usa la geometria effettiva a
8 lobi (ia - fm = 2p/9) con
liquido a viscosità non nulla
Collasso di una bolla - 2
• tempo massimo di permanenza in pompa per una bolla:
2p 

 2p 

9
  16p
0  

9
• tempo teorico di collasso per una bolla:
se tc = 0 sec, la bolla collassa subito
se tc = 0 sec, la bolla collassa all’ultimo istante utile
in prima approssimazione, si può usare come tempo
teorico di collasso una media pesata dei due precedenti:
1
4
3
4
 tc   0   0 
4p
3
(da confrontare con quello effettivo calcolato col modello,
in modo da avere una stima massima per )
Collasso di una bolla - 3
La bolla viene modellata come una sfera, con raggio R = R(t)
variabile nel tempo con velocità radiale v = v(R, t)
Usando le equazioni di NavierStokes della fluidodinamica,
trattando il problema con coordinate
polari si perviene all’equazione
differenziale ordinaria
RR 2  2R  aR 3  0 , R(0)  R0
 = densità del fluido in pompa
 = viscosità del fluido
a = coefficiente dipendente dalla
pressione del fluido
Collasso di una bolla - 4
• la precedente equazione è non lineare e non esiste una
soluzione esprimibile in forma simbolica
• la sua risoluzione numerica, usando differenze finite
all’indietro (backward differentiation, Mathematica 5.2), dà il
seguente risultato per il tempo di collasso:
 c  0.0014 sec
• ma si vuole ottenere una soluzione simbolica per vederne la
dipendenza dai parametri fisico-geometrici: si usa il Teorema
della Funzione Implicita di Dini (1883) (è un caso generale
del metodo della linearizzazione) e l’equazione diventa
R02 R  2R  aR02 R  0
Collasso di una bolla - 5
• la soluzione al problema può essere così calcolata con
metodi analitici:
aR0 2
R(t )  
t  R0
2
• il tempo di collasso calcolato mediante la formula R(tc) = 0 è
2
tc 
 0.00128 sec
a
che quindi differisce da quello numerico per un termine
dell’ordine del decimo di millisecondo
Collasso di una bolla - 6
Considerazioni :
• il modello matematico permette di ottenere la dipendenza
analitica del tempo di collasso dalla densità e dalla pressione
del fluido in pompa
• il tempo effettivo di collasso, calcolato col metodo analitico da
una equazione approssimata, è in ottimo accordo con quello
calcolato col metodo numerico dall’equazione originale
• il modello si basa solo sull’applicazione di metodi strettamente
matematici e non dipende da metodi computazionali
• un classico teorema di Analisi matematica pura risulta
fondamentale nel risolvere un problema concreto di Ingegneria
strutturale
Per finire: Monsieur Rolle (1652-1679) ...
Data l’equazione (non polinomiale)
e
p 
x
e

cos
 x  0
2
p 1 e
2 
4
esiste una sua soluzione nell’intervallo (-1,1) ?
• il primo membro è la derivata f ’(x) di
f ( x) 
e
2 p
x
e

sin 
2
p 1 e
p 2
4

x

• f è continua in [-1,1] e derivabile in (-1,1), inoltre f(-1) = f(1)
• per il Teorema di Rolle, esiste un valore x0 in (-1,1) tale che
f ’(x0) = 0, per cui l’equazione di partenza ha soluzione
… e Monsieur Fréchet (1878-1973)
Data l’equazione (non lineare)
uu 2  2u  au 3  0
esiste una sua soluzione non nulla nello spazio
C2([0,tc], R) delle funzioni con derivata seconda
continua?
• In analogia con Rolle, il primo membro potrebbe essere la
derivata (differenziale di Fréchet) di un funzionale F definito
su C2([0,tc], R)
• esiste una funzione u0 in C2([0,tc], R) tale che F’(u0) = 0? (è
un esempio, in generale molto difficile da risolvere, di un
problema di esistenza in Matematica pura)
Applicando la Matematica
• la Matematica applicata, quando usata in problemi concreti,
è Matematica di cui si applicano metodi e concetti (v. studio e
risoluzione di equazioni differenziali)
• l’applicazione deve prevedere in generale l’uso di metodi e
concetti provenienti da altre discipline (v. in questo caso
Fisica, Chimica, Ingegneria), per cui il matematico è tenuto a
interagire con altre risorse e competenze
• spesso questioni apparentemente astratte (v. esistenza)
hanno ricadute applicative molto significative (vale anche il
viceversa, come ha insegnato Newton)
Grazie per l’attenzione
[email protected]