Fondamenti di Elementi Strutturali 2
Elementi Inflessi
Dr. Daniele Zonta
Dipartimento di Ingegneria Meccanica e Strutturale
Università di Trento
0461-882537 [email protected]
http://www.ing.unitn.it/~dzonta
Modelli s-e semplificati per il calcestruzzo
-e%
[3]
a) modello “parabola-rettangolo”.
b) modello “triangolo-rettangolo”.
0.85 f cd  0.85 
c) modello “stress block”.
Fondamenti di Elementi
Elementi Strutturali
Inflessi 2 - Muratura
0.83Rck
m
Modello s-e per l’acciaio
[3]
= 0.01
Modello perfettamente elastico-plastico
f sd 
f yk
s
e yd
f sd

Es
e sd  0.01
Fondamenti di Elementi
Elementi Strutturali
Inflessi 2 - Muratura
Ipotesi di base per i calcoli di resistenza
[3]
e = e0+qy.
1. Le sezioni traslano e ruotano rimanendo piane (Bernoulli):
2. Perfetta aderenza tra calcestruzzo e acciaio d’armatura:
3.
Resistenza a trazione del calcestruzzo trascurabile:
4.
Legami costitutivi s-e del materiale:
- calcolo elastico → legge di Hooke:
es = ec.
fct = 0 ; Ect ≡ 0.
sc = Ec ec, ss = Esss.
- calcolo non lineare → diagrammi s-e semplificati.
Elementi Inflessi
Pilastri in cemento armato:
deformazione elastica
N
Ec Ac 1  n 
[3]
1
e
[3]
Es
n
Ec
Ai  Ac  nAs
N
sc 
Ai
s s  ns c
Elementi Inflessi
Pilastri in cemento armato
SLU
N
0.85 f cd Ac 1   s 
[3]
e yd 0.2%
e
N Rd  0.85 f cd Ac  f yd As  0.85 f cd Ac 1  s 
s 
[3]
Elementi Inflessi
f yd As
0.85 f cd Ac
Travi: comportamento flessionale
[2]
Elementi Inflessi
Travi: comportamento flessionale
[2]
Elementi Inflessi
Travi. comportamento flessionale
[2]
Elementi Inflessi
Legge carico-deformazione
[2]
Elementi Inflessi
Travi: meccanismo restistente
[4]
Elementi Inflessi
Solette nervate: meccanismo di rottura
[2]
[2]
Elementi Inflessi
[4]
Ipotesi di base per i calcoli di resistenza
[1]
e = e0+qy.
1. Le sezioni traslano e ruotano rimanendo piane (Bernoulli):
2. Perfetta aderenza tra calcestruzzo e acciaio d’armatura:
3.
Resistenza a trazione del calcestruzzo trascurabile:
4.
Legami costitutivi s-e del materiale:
- calcolo elastico → legge di Hooke:
es = ec.
fct = 0 ; Ect ≡ 0.
sc = Ec ec, ss = Esss.
- calcolo non lineare → diagrammi s-e semplificati.
Elementi Inflessi
Calcolo elastico della sezione
[1]
[1]
[1]
Fondamenti di Elementi
Elementi Strutturali
Inflessi 2 - Muratura
Stato I
[4]
Ai x  Si ,0
JI 
2
bh 
h
2
  x -  bh  nAsd - x 
12 
2
s 'c 
3
Si ,0
bh2

 nAsd
2
MI
h - x   f ct
JI
f ct J I
MI 
h-x
Elementi Inflessi
M  EJ I q
sc 
M
x
JI
ss 
M
d - x 
JI
Calcestruzzo: EC2
Elementi Inflessi
Stato II
[4]
bx3
2
J II 
 nAsd - x 
3
M  EJ II q
nAs 
bd 


x
- 1  1  2

b 
nAs




2 
x  n  - 1  1 
d  d
n 

Elementi Inflessi
sc 
M
x
J II
ss 
M
d - x 
J II
Distanza fra le fessure secondo EC2
srm  50  k1k 2

4  eff
0.8 a. m.
k1  
1.6 liscie
[4]
0.5 flessione
k2  
1.0 trazione
[3]
Elementi Inflessi
Area efficace EC2
Elementi Inflessi
Tension Stiffening
e sm
s s 
2
M

 I 

1






1 2
Es 
 M  


1.0 a. m.
1  
0.5 liscie
0.5 lunga durata
2  
1.0 breve durata

srm  50  k1k 2
4  eff
wk  1.7e sm srm [3]
Elementi Inflessi
Classi di esposizione
Elementi Inflessi
SL di fessurazione
w1 = 0,2 mm w2 = 0,3 mm
Elementi Inflessi
w3 = 0,4 mm
Limiti di deformazione: EC2
P(1)
La deformazione di un elemento o di una struttura deve, di regola,
essere tale da non comprometterne la funzionalità o l’aspetto estetico.
P(2)
Adeguati valori limite di deformazione, che tengano conto della
natura della struttura, delle finiture, dei tramezzi e degli accessori
nonché della funzione della struttura stessa saranno, di regola,
concordati coi committente.
(3) Le deformazioni non devono di regola superare quelle che possono
essere sopportate senza inconvenienti da altri elementi collegati quali
tramezzi, vetrate, rivestimenti, servizi e finiture. In qualche caso
possono essere richiesti dei limiti particolari per assicurare il corretto
funzionamento di macchinari o impianti sostenuti dalla struttura o per
evitare che l’acqua ristagni su tetti piani. Anche le vibrazioni possono
richiedere limiti, in quanto possono causare disagio o allarme negli
utenti dell’edificio e, in casi estremi, danni strutturali.
Elementi Inflessi
Limiti di deformazione: EC2
(5) L’aspetto e la funzionalità della struttura possono essere pregiudicati se
l’inflessione calcolata di una trave, piastra o sbalzo soggetti ai carichi quasipermanenti è maggiore di 1/250 della luce. L’inflessione va intesa come relativa
agli appoggi. Può essere prevista una controfreccia per compensare tutta o
parte dell’inflessione, ma la monta delle casseforme verso l’alto non deve di
regola essere maggiore di 1/250 della luce.
(6) Le inflessioni possono causare danni a tramezzi, a elementi connessi o in
contatto con l’elemento considerato, e a finiture e infissi, se la deformazione
prevista coi calcolo che si manifesta dopo la costruzione di tali elementi risulta
eccessiva. Un limite adeguato dipende dalla natura dell’elemento che può
essere danneggiato, ma, indicativamente, un limite di 1/500 della luce è
considerato ragionevole nella maggior parte dei casi. Tale limite può essere
reso meno vincolante se gli elementi che possono essere danneggiati sono
stati progettati per adattarsi a inflessioni maggiori o se è nota la loro capacità di
resistere a inflessioni maggiori senza danno.
Elementi Inflessi
Limiti di deformazione: circolare NTU
Elementi Inflessi
Esempio
1:
Deformazione
Q
L
1 QL3
I 
48 EJ I
 
1 QL3
 II 
48 EJ II
5 qL4
I 
384 EJ I
 
5 qL4
 II 
384 EJ II
2
bh 
h
2
JI 
  x -  bh  nAsd - x 
12 
2
3
Elementi Inflessi
bx3
2
J II 
 nAsd - x 
3
Viscosità: NTU
Elementi Inflessi
Deformazione
   II  1 -   I
 MI 
  1 - 1 2 

 M 
2
1.0 a. m.
1  
0.5 liscie
0.5 lunga durata
2  
1.0 breve durata
[3]
Elementi Inflessi
Rapporti di snellezza limite
Elementi Inflessi
Rapporti di snellezza limite
Elementi Inflessi
Rapporti di snellezza limite
Elementi Inflessi
Diagramma delle tensioni nel cls
[3]
-e%
Elementi Inflessi
Campi di rottura a flessione
3
b
3.5%o
x=0.64d
h
fc
0.4x
x
C
d
Z
1.96%o
4
Elementi Inflessi
ss
Rottura con acciaio snervato (Campo 3)
3
b
3.5%o
sc
0.4 x
x
x=0.64d
h
C
d
Z
1.96%o
4
Z C  x
x
0.8 f cd b

s
0.8
d
MR  Z z
 0.4 
M R  f yd As 1 - 0.4  d  f yd As 1 s  d
 0.8 
f yd As  0.8 f cd bx
f yd As
fsd

x s

d 0.8
Elementi Inflessi
 s 
M R  f yd As1 - d
2 

Limiti del Campo 3
3
b
sc
3.5%o
0.4 x
x
x=0.66d
h
C
d
Z
1.96%o
fsd
4

3-4 
x s

d 0.8
3.5
 0.64
3.5  1.96
s 
s  0.8  0.64  0.51
Elementi Inflessi
  1.9%
f yd As
f cd bd

f yd
f cd
z  0.74 d
Acciaio snervato (Campo 3)
b
3.5%o
x*
x
h
C  f cd bx *
d
Z  f yd As
>1.96%o
f yd As  f cd bx *
M Rd
x* 
f yd As
f cd b
x*

 f yd As d 
2 

Elementi Inflessi
 s d
Acciaio in campo elastico (Campo 4)
3
b
3.5%o
x=0.64d
sc
0.4 x
x
C
h
d
Z
1.96%o
4
e cu
x

es
d-x
es 
s s  Ese s  Ese yd
1-

e cu
1 -  e cu
 e yd
 f yd
1 -  e cu
 e yd
Elementi Inflessi
ss
Acciaio in campo elastico (Campo 4)
3
b
3.5%o
sc
0.4 x
x
x=0.64d
C
h
d
Z
1.96%o
4
s s As  0.8 f cd bd
Z C  x
e yd 2
0.8
  s  - s  0
e cd

s
e yd
2  0.8
e cu

0.8 e yd

 -1  1  4
s e cu


ss
MR  C z





Elementi Inflessi
M R  0.8 f cd bd 1 - 0.4  d
Trave alta o bassa?
250
136
600
572
6F16
800
111
280
250
10F20
b
250
800
h
600
280
d
572
250
d'
30
30
n
6
10
F
16
20
As
1206
3140
A's
0
0

0.84%
1.57%

0.24
0.44
6.89%
5.23%
x*
136.3
110.9
z
0.88
0.78
x3
170.4
138.7
0.3
0.6
227.2
228.4
eff

Mr2-3
Elementi Inflessi
Fessurazione
f J
M I  ct I
h-x
srm  50  0.8  0.5
e sm
s s 
250
800
x
x
60
0

4  eff
572
280
250
10F20
6F16

 MI  

1
1

0
.
5




Es 
 M  


2
w2  0.2mm
wk  1.7e sm srm  
 w3  0.4mm
xI
329.3
159.1
JI
5.69E+09
1.93E+09
MI
46.1
35.0
srm
73.2
88.2
Mfreq
128.4
128.4
ss
268.2
250.9
0.001364471
0.00125198
0.17
0.19
esm
wk
Elementi Inflessi
Esempio
250
x
Ac  250  600  150000 mm 2
As  616  1206 mm
600
2
572
  0.84%
Rck 300
f cd  15.56 MPa
FeB44 k
f yd  373.9MPa
6F16
s 
f yd As
0.85 f cd Ac
 0.24
x
 x*
x  s d  170 mm
 0.85 f cd b  
f yd As
 x * 
M RRdf fydydAs
As1d- - s d  450 kN  0.504 m  227 kN
 2 2 
Elementi Inflessi

x
 0.30
d
Esempio
Ac  800  280  224000 mm 2
800
x
280
As  10 20  3140 mm
250
10F20
s 
x
f yd As
0.85 f cd Ac
x*

 0.44
 139 mm
x* 

f yd As
0.85 f cd b
2
  1.57%
Rck 300
f cd  15.56 MPa
FeB44 k
f yd  373.9MPa
  s d  111mm
x
 0.55
d
x*

M Rd  f yd As  d   1174 kN  0.195m  227 kNm
2 

Elementi Inflessi
Deformabilità
250
JI 
2
bh 
h
2
  x -  bh  nAsd - x 
12 
2
3
800
x
x
60
0
572
280
250
10F20
6F16
bx3
2
J II 
 nAsd - x 
3
xI
329.3
159.1
JI
5.69E+09
1.93E+09
MI
46.1
35.0
5 qL4
I 
384 EJ I
x II
224.3
122.5
J II
3.13E+09
1.26E+09
Mqp
116.3
116.3
ss
268.2
250.9
34.4
34.4
I
1.8
5.4
 II
3.4
8.4

0.92
0.95

10.17 mm
25.7 mm
5 qL4
 II 
384 EJ II
 MI 
  1 - 1  0.5

 M 
2
q qp
   II  1 -   I
Elementi Inflessi
Trave alta o bassa?
250
x
60
0
800
x
572
280
250
10F20
6F16
SLU flessione
MR
237 kNm
233 kNm
MI
53.9 kNm
40.3 kNm
JI
5.62E+09 mm4
1.83E+09 mm4
J II
3.03E+09 mm4
1.16E+09 mm4
srm
80 mm
89 mm
212 kNm
SLE fessurazione
wk -q.p.
0.12 mm
0.13 mm
0.3 mm
SLE fessurazione
wk -frequente
0.13 mm
0.14 mm
0.4 mm
-q.p.
0.925
0.95
-q.p
10.11 mm
25.6 mm
SLE deformazione
Elementi Inflessi
20.08 mm
Riferimenti Iconografici
[1] Toniolo G. "Cemento armato. Calcolo agli stati limite (2/1)",
2a Ed., Zanichelli, 1995.
[2] Leonhardt F., Mönnig E., "C.a. & c.a.p.", Vol. I: "Le basi del
dimensionamento nelle costruzioni in cemento armato", Ed.
di Scienza e Tecnica, Milano, 1989.
[3] Leonhardt F., Mönnig E., "C.a. & c.a.p.", Vol. III: "L’armatura
nelle costruzioni in cemento armato; statica, tecnologia,
tipologia", Ed. di Scienza e Tecnica, Milano, 1989.
[4] Migliacci, Mola "Progetto agli stati limite delle strutture in
ca" Parte I°, Masson Italia, 1984
[5] Eurocodice 2 - Progettazione delle strutture di calcestruzzo,
Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifici, ENV
1992-1-1
Elementi Inflessi