CORTO E VELOCE
Una persona è ferma in un punto B che dista 15 m dalla riva di un fiume e deve raggiungere
l’isola A posta nel fiume, che dista 20 m dalla riva. Indicando con H e K le proiezioni di A e B
sulla riva, la distanza HK misura 100 m. Volendo raggiungere A, la persona deve percorrere
due tratti, uno sul terreno (ad una velocità v1) e uno nell’acqua (ad una velocità v2).
Quale punto P, appartenente ad HK, renderà più veloce il percorso da B ad A?
Il percorso più corto è anche il più veloce?
A
K
B
P
H
A prima vista il percorso più veloce sembra anche il più breve, quindi quello che rende minima
la lunghezza BP+PA.
Ricaviamo i tempi di percorrenza per stabilire se tale affermazione è vera.
Il tempo di percorrenza minimo in ognuno dei tratti sarà una traiettoria rettilinea, quindi t= s/v.
Il tempo totale di percorrenza dipende da v1 e v2 e dalla posizione di P.
Esaminiamo i casi estremi: P coincidente con K; P coincidente con H
P coincidente con K
A
P=K
H
B
BP  PA  15  1002  20 2  116.98
Ma a due differenti velocità!
P coincidente con H
A
K
H=P
B
BP  PA  1002  152  20  121.19
Ma a due differenti velocità!
Osservazioni
Avremo percorsi di diversa lunghezza, al variare di P fra H e K.
Se v1>v2 converrà che BP > PA.
Il Tempo totale minimo coinvolge le velocità.
A
Funzione Tempo Totale:
T= t1+ t2 =s1/v1 + s2/v2 = BP/v1+ PA/v2
K
B
Se indichiamo con x il tratto KP, allora:
(100  x)2  20 2
15 2  x 2
T(x) 

v1
v2
Nei casi estremi si ottiene
per x=0
per x=100
15 2
100 2  20 2
T(0) 

v1
v2
15 2  100 2
20 2
T(100) 

v1
v2
x
P
H
A
Se supponiamo v1=4 m/s e v2=1.5 m/s
(100  x)2  20 2
15 2  x 2
T(x) 

4
1.5
80
K
x
P
B
80
70
60
50
T ( x)
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
0
x
120
H
Per determinare il valore del punto di minimo
si puo’ calcolare la derivata prima T’(x) e poi
applicare un metodo approssimato di ricerca
degli zeri, oppure esaminare una tabella di
valori di T(x), facendo variare x fra 0 e 100,
oppure ancora applicare le formule di
derivazione numerica.
80
80
70
60
50
T ( x)
T( x) 
T( x) 
0
T( x) 
0
T( x) 
0
T( x) 
0
0
0 71.737
21
60.78
41 52.446
61 44.924
80 39.205
1 71.092
22 60.339
42 52.051
62 44.575
81 38.985
2 70.463
23 59.901
43 51.657
63
44.23
82 38.778
3 69.851
24 59.467
44 51.264
64 43.889
83 38.585
4 69.255
25 59.036
45 50.874
65 43.551
84 38.407
5 68.674
26 58.608
46 50.486
66 43.218
85 38.245
6 68.108
27 58.182
47 50.099
67
86
7 67.556
28 57.759
48 49.715
68 42.566
87 37.973
8 67.016
29 57.338
49 49.332
69 42.247
88 37.867
9 66.488
30 56.919
50 48.951
70 41.934
89 37.781
10 65.971
31 56.503
51 48.573
71 41.627
90 37.717
11 65.463
32 56.089
52 48.197
72 41.326
91 37.678
42.89
38.1
12 64.965
33 55.677
53 47.823
73 41.032
92 37.664
40
13 64.475
34 55.266
54 47.451
74 40.745
93 37.677
30
14 63.993
35 54.858
55 47.082
75 40.465
94 37.718
20
15 63.517
36 54.451
56 46.715
76 40.194
95 37.788
10
16 63.048
37 54.047
57 46.351
77 39.932
96 37.889
17 62.585
38 53.644
58
45.99
78 39.679
97 38.021
18 62.127
39 53.243
59 45.631
79 39.436
98 38.185
19 61.674
40 52.844
60 45.276
80 39.205
99 38.382
20 61.225
41 52.446
61 44.924
81 38.985
10038.613
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120
0
x
120
x  92
x  92.5
h  0.001
h  0.001
Tprimo 
( T( x  h )  T( x) )
h
4
Tprimo  8.385  10
Tprimo 
x  92.05
h  0.001
h  0.001
( T( x  h )  T( x) )
h
3
Tprimo  7.248  10
h
Tprimo  0.013
x  92.3
Tprimo 
( T( x  h )  T( x) )
Tprimo 
( T( x  h )  T( x) )
h
4
Tprimo  5.008  10