Design and Estimation of Term
Structure Models:
An Introduction
Master in Calcolo Scientifico
Dipartimento di Matematica
Università degli Studi “La Sapienza” Roma
6 Maggio 2005
Marco Papi
[email protected]
Università di Varese
Dipartimento di Economia
Istituto per le Applicazioni
del Calcolo IAC - CNR
Design and Estimation of Term Structure Models
Marco Papi
• Consideriamo un mercato in cui gli investitori comprano e
vendono discount bond, ovvero titoli che pagano un certo
valore nominale ad una determinata data futura.
• Uno zero coupon bond è un titolo per il quale, a fronte del
pagamento in t0 del prezzo P (t0, tm), si acquisisce il diritto a
ricevere l’importo K al tempo tm.
• Il tempo tm è detto scadenza (maturity) del titolo.
• L’intervallo temporale tm – t0 è definito come la vita residua
dello stesso.
• Titoli di questo genere vengono emessi generalmente da
istituzioni pubbliche (Stato, Regioni, etc.) o da organismi
privati (società per azioni, banche).
• In quanto segue si farà sempre riferimento ad emittenti è un
organo statale, escludendo in tal modo dalla trattazione ogni
rischio connesso al rimborso.
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• Al momento della emissione del titolo l’emittente riceve il
prezzo e si impegna a corrispondere a scadenza il valore
nominale.
• Dunque secondo il suo particolare punto di vista l’operazione
ha le stesse caratteristiche di quella consistente
nell’accendere un debito da restituire alla scadenza.
• E’ nella prassi degli operatori del mercato associare a
ciascuna operazione concernente uno zcb un indice di
rendimento chiamato tasso di rendimento effettivo
a scadenza:
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• Struttura per Scadenza dei Prezzi: Dato un mercato ove
siano negoziati zcb unitari, se all’istante t0 i prezzi rilevati per le
scadenze t1, …..,tm , sono rispettivamente P(t0, t1), P(t0, t2), …. ,
P(t0, tm), questa sequenza costituisce la struttura per scadenza
dei prezzi rilevata a quell’istante.
• E’ immediato, a partire dalla struttura per scadenza dei prezzi,
costruire la struttura per scadenza dei rendimenti (effettivi):
i(t0, t1), i(t0, t2), …., i(t0, tm).
• Se la struttura per scadenza dei prezzi è lo strumento base nelle
applicazioni, la struttura dei rendimenti fornisce all’operatore
una immediata informazione sintetica sul tipo di relazione
vigente in quel momento fra rendimento e durata
dell’operazione.
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• Nel mercato italiano esiste, fra i titoli emessi dallo Stato, un
esempio di zcb: si tratta dei Buoni Ordinari del Tesoro (BOT)
emessi dal Tesoro per fronteggiare temporanee esigenze di cassa
da parte della Tesoreria dello Stato.
• La loro emissione avviene ogni quindici giorni ed hanno
scadenza tre, sei o dodici mesi.
• Le modalità di emissione sono quelle di un’asta alla quale
possono partecipare in qualità di potenziali acquirenti istituti
bancari ed altri organismi o di intermediazione finanziaria
riconosciuti come dealers.
• Fissato il valore di rimborso i valori d’asta sono i prezzi ai quali
gli operatori sono disposti ad acquistare.
• il prezzo di emissione è un prezzo medio di aggiudicazione, cui
fare riferimento per gli aspetti fiscali dell’operazione.
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• Una volta acquistati dagli investitori istituzionali che hanno
partecipato al collocamento i BOT vengono trattati sul mercato
secondario in base alle quotazioni che sono il risultato
dell’interazione fra domanda e offerta.
• Le quotazioni riportate sui listini sono fatte su base 100, come se
tale fosse il valore di rimborso.
• I bullet bonds emessi dallo Stato e circolanti sul mercato italiano
sono i Buoni Poliennali del Tesoro (BTP) emessi dal Tesoro per
fronteggiare impegni di spesa a lungo termine (opere pubbliche,
interventi di sostegno a determinate categorie, ecc).
• I titoli in questione portano cedole che sono pagabili
semestralmente con un rimborso finale del capitale.
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• I titoli a cedola variabile di emissione pubblica negoziati sul
mercato italiano sono i Certificati di Credito del Tesoro (CCT).
• tutto simili ai BTP si differenziano da questi per l’ammontare
della cedola, variabile e scindibile in due componenti:
• 1. Lo spread, è una percentuale fissata all’emissione.
• 2. La parte variabile calcolata in relazione ai tassi di rendimento
dei BOT nel periodo precedente la maturazione della cedola.
• Titoli di questo tipo sono in grado di adeguarsi alle variazioni
L’investimento in questa delle condizioni del mercato in virtù
del loro legame con i rendimenti prevalenti nel periodo.
• L’investimento in questa tipologia di titoli assume dunque
caratteri di aleatorietà che intervengono sia sulle modalità di
valutazione che sulla determinazione degli indici di redditività.
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Un Semplice Modello di Equilibrio del Mercato
• Si ponga dunque che su di un mercato siano negoziabili n titoli i
cui flussi cui danno origine siano articolati sullo scadenziario t =
(t1, t2, ..., tm).
• I prezzi, quotati all’istante iniziale t0, siano rappresentati dal
vettore (p1, p2, ..., pn).
• Il mercato può essere sintetizzato in una matrice X nella quale le
colonne rappresentano i flussi generati dei diversi titoli:
• Si definisce poi un portafoglio come un vettore (α1, α 2, ..., α n).
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• Il flusso y generato dal portafoglio α lo si ottiene moltiplicando
la matrice X per il vettore α :
• Definizione Dato un mercato definito al tempo t dal paniere
fondamentale X e dal vettore dei prezzi p, si ha un arbitraggio di
tipo A se esiste un portafoglio α che genera il flusso y = X α, per
il quale è:
< α,p> = 0 e y ≥ 0 con almeno una disuguaglianza stretta,
mentre si ha un arbitraggio di tipo B se esiste α per il quale è
< α,p> < 0 e y ≥ 0.
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• Imporre la condizione che il flusso generato dal portafoglio non
comporti esborsi equivale a porre l’insieme di disequazioni di
vincolo:
• Si formula il problema di minimo vincolato: ricercare il
portafoglio che abbia costo minimo e che verifichi i vincoli
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• In primo luogo l’origine appartiene alla regione delle soluzioni
ammissibili definita dal sistema di disequazioni.
• Se questa è anche una soluzione ottima del problema, in tal caso
il portafoglio di costo minimo ha componenti nulle: αi = 0.
• Da ciò consegue che non vi sono opportunità di arbitraggio: il
costo di tale portafoglio è nullo e nulli sono anche tutti gli
elementi del flusso futuro.
• Un qualunque altro portafoglio ammissibile che prevedesse
componenti positive non può costituire una soluzione di
minimo: il suo costo sarebbe maggiore di zero.
• Resta da chiedersi se una soluzione ammissibile β, con
componenti solo negative o nulle, può essere ottima.
• Si ha < β,p><0, mentre yβ≥ 0, quindi β è un arbitraggio.
• La situazione può essere migliorata scegliendo il portafoglio
k β, con k > 0.
• Se esiste un portafoglio α di arbitraggio questo non e’ di
minimo. Il problema non ha soluzioni finite.
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Conclusioni
• Una volta impostato il problema e richiesta la sua
soluzione, si possono avere le alternative:
• 1. Si ottiene α = 0.
• 2. Non si ottiene alcuna soluzione (caso illimitato).
• Nella prima ipotesi il mercato definito da (X,p) risulta
in equilibrio, nella seconda sono presenti opportunità
di arbitraggio.
• Teorema (Assenza di Arbitraggi) Il mercato definito da (X,p)
non presenta opportunità di arbitraggio, se e solo se esiste un
vettore v>0 t.c: p = vTX.
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Metodologie di Stima della Struttura per Scadenza
• La quasi totalità delle applicazioni che riguardano il mercato
delle obbligazioni ed i modelli cui queste fanno riferimento
hanno come necessario punto di partenza la conoscenza della
struttura per scadenza.
• Qualsiasi attualizzazione debba essere fatta in relazione a flussi
futuri richiede questo strumento con il quale risulta anche
definito il concetto di equilibrio.
• Tutti i metodi di cercano di estrarre dalle quotazioni effettive dei
titoli la sottostante struttura
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Criteri si selezione dei Titoli
• La prima difficoltà che si incontra riguarda la scelta dei titoli
dai quali partire per effettuare le elaborazioni.
• Il criterio della massima omogeneità è il principio base al quale
far ricorso se si vogliono evitare risultati fortemente distorti.
• Omogeneità significa che i titoli selezionati devono essere
quanto più possibile “simili” secondo diversi criteri.
• Quello principale riguarda la rischiosità degli stessi.
• Mescolare obbligazioni emesse da società private e titoli
del debito pubblico darebbe certamente luogo a modelli
fortemente distorti.
• Il diverso rischio intrinseco (legato alla solvibilità degli
emittenti) ne influenza certamente il rendimento e di riflesso il
prezzo corrente.
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• La relazione di partenza sul Teorema di non Arbitraggio:
m
P   C j v(t0 , t j )  Kv(t0 , tm ).
j 1
• Una prima, sommaria classificazione, relativa ai tipi di struttura
che si possono ottenere è quella che distingue fra strutture di
tipo discreto e continuo.
• Le prime consentono di ottenere fattori di attualizzazione riferiti
a specifiche scadenze: v(t0,t1), v(t0,t2),….., v(t0,tm).
• Le seconde intendono fornire funzioni continue nella variabile
scadenza, v(t0,s), in grado di fornire fattori di attualizzazione
per qualsiasi epoca futura s.
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Strutture Discrete: Il Bootstrapping
• Si ponga ora che per le scadenze più vicine, ad esempio le prime
k, sul mercato siano trattati zcb unitari. I prezzi di questi titoli
forniscono parte della struttura per scadenza:
P(t0,t1), P(t0,t2),….., P(t0,tm).
• Il primo titolo con cedola abbia scadenza in tk+1, prezzo pk+1.
• Poniamo yk+1 = v(t0,tk+1), sia Ck+1 la cedola corrispondente, è
sufficiente a risolvere rispetto a yk+1 la semplice equazione:
k
C k 1  v(t0 , t j )  (C k 1  K k 1 ) yk 1  pk 1  0
j 1
• Una volta individuato v(t0,tk+1), si passa al titolo con la scadenza
successiva utilizzando i fattori di sconto già calcolati, e così via
fino al completamento dello scadenziario.
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Strutture Discrete: Il Bootstrapping
• Il metodo del bootstrapping ha una valenza essenzialmente
esplicativa: il problema principale è quello di ottenere l’effetto
di sincronia e la riduzione dello scadenziario ad un numero di
epoche pari al numero dei titoli esistenti.
• Il modo più diretto per avere uno scadenziario ben fatto (cioè
con le poste equiintervallate) è quello di scegliere solo titoli che
verificano tale condizione.
• Questa drastica soluzione spesso non è praticabile perchè in
genere contrasta con gli obiettivi per i quali si vuole determinare
la struttura, ed inoltre impone una scelta che potrebbe essere in
conflitto con altri criteri (tipo l’omogeneità).
• Fra le soluzioni approssimate una che trova largo uso presso gli
operatori del mercato, è quella che fa ricorso alla interpolazione
lineare.
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Strutture Discrete: Il Metodo del TIR
• Si ricorda che il TIR di un flusso x il cui prezzo sia P è il tasso
tale che, in regime di capitalizzazione composta, rende il prezzo
del flusso uguale al valore attualizzato delle sue poste:
• Con questa metodologia, si associa ad ogni scadenza tj il
rispettivo TIR del titolo con cedole, ottenendo la struttura per
scadenza dei rendimenti:
•
i(t0, t1) = TIR1 , i(t0, t2) = TIR2 ,………, i(t0, tm) = TIRm
• Per aggirare il calcolo del TIR, si possono utilizzare titoli che
quotano alla pari (par bonds), per cui i*= C/K.
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Strutture Continue: Metodi Polinomiali
• Lo schema più generale al quale si possono ricondurre tutti i
metodi maggiormente utilizzati, esprime la generica struttura
w(t0, s) nel modo seguente:
k
w(t0 , s )   ah f h ( s  t0 )
h 1
• Essendo i coefficienti ah dei parametri che devono essere
determinati.
• Considerando un paniere di titoli rappresentativo del mercato
(X,p), definiamo l’errore ε = p – vT X.
• L’individuazione del vettore dei parametri a avviene attraverso
un procedimento di minimizzazione di una qualche funzione
degli errori εi, ad esempio || ε ||2.
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Strutture Continue: Metodi Polinomiali
• La via più semplice per ottenere la funzione v(0,t) è quella di
porre fh(τ) = τh-1 in modo da ottenere una forma polinomiale:
v( )   0  1     k k
• Si costruisca la matrice T:
• Per cui si ha v(0,tj) = < b, Tj>, Tj riga j-esima di T.
• In tal caso, posto
si ottiene facilmente lo stimatore
b = Q-1 h, essendo h = pTXTT.
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Strutture Continue: Un Esempio
• Consideriamo 8 BTP (i dati sono tratti dal listino dell’11 maggio
2001):
• Lo scadenziario è t = (0.09, 0.17, 0.22, 0.38, 0.42, 0.59, 0.67,
0.72, 0.88, 0.92, 1.09, 1.22, 1.38, 1.59, 1.72, 1.88, 2.09, 2.22,
2.38, 2.59, 2.88, 3.09, 3.59).
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• Il vettore dei prezzi è
p = (102.034, 101.232, 100.542, 99.393, 108.525, 110.662, 116.971,
103.992)
• La matrice Q = TTXXTT assume la forma:
• mentre il vettore h = pTXTT è:
h = (96589.467, 180380.072, 419914.079, 1122957.184) .
• risolvendo il sistema Qb=h,
si ha b=Q-1h, e dunque:
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• La struttura per scadenza dei prezzi assume così la forma seguente:
• Il primo termine, 0.9950787 è relativamente prossimo ad uno e
pertanto non si ritiene necessario risolvere il problema vincolato
associato.
• La funzione del tasso forward istantaneo è:
• Il cui grafico è
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• L’andamento presenta una inversione di tendenza in corrispondenza
al tempo τ = 2.245.
• Ciò significa che il mercato dovrebbe considerare quell’epoca come
una sorta di momento critico in corrispondenza al quale le
remunerazioni per impieghi di durata istantanea subiscono un radicale
mutamento.
• Alla base di ciò non vi è alcuna ragione di tipo economico.
• Si tratta dell’effetto da attribuire alla particolare forma scelta per la
rappresentazione della curva dei fattori v(τ).
• La forma analitica delle fh finisce con l’avere conseguenze che
vanno ben al di là degli aspetti computazionali.
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• Infine, per avere un’idea di come la curva individuata si adatti ai dati
originari, cioè ai prezzi di listino degli otto BTP, costruiamo il vettore
V = (v (0,t1) , ..., v (0,t23)) dei fattori di attualizzazione relativi allo
scadenziario completo.
• Il vettore dei prezzi teorici è: P*= VT X.
• Il vettore d=P-P*, fornisce l’errore nel prezzaggio di ciascun titolo,
ed effettuando i calcoli si ottiene:
d=(0.0120, 0.0488, 0.0834, 0.05184, 0.0013, 0.1901, 0.1200, 0.0287)
• I valori sono accettabili, dato che il massimo scarto è dell’uno per
mille.
•Il metodo polinomiale dà risultati buoni se ci si limita ad impiegarlo
su di un orizzonte temporale non troppo esteso e comunque mai oltre
la data della scadenza più lontana fra quelle dei titoli che compongono
il paniere di base.
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Strutture Continue: Metodi Esponenziali
• Verso la fine degli anni ottanta Nelson e Siegel hanno suggerito di
modellare direttamente la curva dei tassi forward istantanei.
• Scegliendo una forma funzionale sufficientemente liscia, viene
eliminato il problema del repentino cambiamento dell’andamento
dei tassi forward.
• La famiglia di funzioni di Nelson e Siegel è:
• E’ possibile risalire alla struttura v(τ):
• Le difficoltà si spostano dalla parte implementativa del metodo.
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Strutture Continue con Modelli Diffusivi
• Seguendo la legge di capitalizzazione composta continua il
prezzo al tempo t di un discount bond con time-to-maturity T,
dove t+T=s, è definito come il valore nominale scontato al tasso
spot R(t,T):
1
Rt , T    ln vt , t  T 
T
• Definiamo il tasso spot istantaneo come
r t   R t ,0  lim R(t , T )
T 0
• Assumiamo che il tasso istantaneo si evolva secondo un
processo stocastico markoviano a tempo continuo e spazio degli
stati continuo.
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• Questi processi di diffusione possono essere descritti dalla
seguente equazione differenziale stocastica:
dr  f r, t dt  r, t dz
• Data l’ipotesi sull’evoluzione markoviana del tasso di interesse,
il prezzo sarà funzione del tasso istantaneo spot al periodo
iniziale:
vt , s   vt, s, r t 
• Infine si assume che il mercato sia efficiente, ovvero che non ci
siano costi di transazione, che l’informazione sia disponibile
simultaneamente a tutti e gli investitori siano razionali.
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L’equazione della Term Structure
• Poiché il prezzo del discount bond è funzione del tasso di
interesse istantaneo, possiamo applicare il lemma di Ito:
dv  v t , s dt  v t , s dz
• I parametri sono dati dalle espressioni
1 
 1 2 2 
 t , s, r  
 
vt , s, r 
 f
2
vt , s, r   t
r 2
r 
1

 vt , s, r 
vt , s, r  r
• L’ipotesi di assenza di opportunità di arbitraggio implica che
consente di definire il premio per il rischio di un discount bond
 t , s, r   
qt , r  
t , s, r   r
t , s, r 
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L’equazione della Term Structure
• La funzione di prezzo risolve l’equazione differenziale:
v
v 1 2  2v
  f  q   
 rv  0
2
t
r 2
r
ts
• Questa equazione alle derivate parziali può essere risolta
considerando la condizione al contorno vs, s, r   1.
• La soluzione è data dalla seguente espressione:
s
s
 s

1 2
vt , s, r (t )   Et exp   r  d   q  , r  d   q , r  dz  
2t
t
 t

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Un caso specifico: il modello di Vasicek (1977)
• Il premio per il rischio è indipendente dalla data e dal livello del
tasso spot ed è posto pari alla costante q.
• il tasso spot segue un processo di Ornstein-Uhlenbeck:
dr    r dt  dz
• con α >0 e momenti
Et r s     r t    e    s t 
ts
2

Vart r s  
1  e  2   s t  
2
• L’equazione della term structure ammette la soluzione
ts
1
2
  s t 
  s t  2 
R  r   s  t R  3 1  e
vt , s, r   exp  1  e


4



q 1  2

dove R    
 2 




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Il Modello di Vasicek
1
• Dalla relazione Rt , T    ln vt , t  T , r t  , possiamo ricavare
T
2
1

T
T 2
Rt , T   R   r t   R 
1 e
 3 1 e
T
4 T
lim R t , T   R  




T 
• La forma della curva dipenderà dal valore assunto al tempo t dal
tasso r. Possiamo distinguere tre casi:
1 2
• r  R  
la funzione è monotona crescente.
2
2
1 2
• r  R   
la funzione è monotona decrescente.
2
4
1 2
1 2
 r  R  
• R  
2
2 la funzione ha una “gobba”.
4
2
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Term Structure
0.09
0.085
Interest Rate
0.08
0.075
0.07
0.065
0.06
0
50
100
Time to Maturity
150
200
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Term Structure
0.135
0.13
0.125
Interest Rate
0.12
0.115
0.11
0.105
0.1
0.095
0.09
0
50
100
Time to Maturity
150
200
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Term Structure
0.095
Interest Rate
0.094
0.093
0.092
0.091
0.09
0
50
100
Time to Maturity
150
200
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Il Modello di Vasicek
•
•
•
•
La differenza tra i tassi forward ed i tassi spot attesi definisce il
premio per la liquidità.
Date le relazioni

f (t , s )   s  t Rt , s  t  Et r s     r t    e    s t 
s
il premio per la liquidità implicito nella term structure è dato
dalla seguente espressione:

1  2 T 
T



 t   f t , t  T   Et r t  T    R   
e
1

e
2

2


L’andamento di questa differenza è definito da q:
monotona crescente q   /  , per q  0 è monotona
decrescente, per 0  q   /  ha una forma a “gobba”.
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Metodi di Stima: Regressione Non-lineare
•
E’ possibile utilizzare tecniche di regressione multipla applicate
alla relazione p(t) = vT(t,t+T)X + ε(t).
•
L’errore ε riflette la presenza di costi di transazione,
l’imposizione fiscale, l’asincronia dei prezzi rilevati e le altre
imperfezioni di mercato.
•
I residui sono assunti indipendenti e normalmente distribuiti,
con media zero.
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Metodi di Stima: Regressione Non-lineare
•
•
La varianza dei residui è proporzionale alle derivate dei prezzi
dei titoli rispetto ai rendimenti a scadenza (ossia ai prodotti tra
le duration e i rispettivi corsi tel quel).
La duration [Macaulay (1938)] è una misura che riassume la
distribuzione dei cash-flows attesi da un titolo a cedola
prefissata:
M
D1 (t ) 
 (t
k 0
k
,
M
 C v(t ,t
k 0
•
 t )Ck v(t ,t k )
k
k
)
Gli errori nei prezzi dei titoli con scadenza molto ravvicinata
hanno un ordine di grandezza inferiore a quelli dei titoli a lunga
scadenza.
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Metodi di Stima: Il filtro di Kalman
•
Il tasso spot è una combinazione lineare
di k variabili di stato:
•
Le variabili seguono un CIR univariato:
•
La soluzione dell’equazione differenziale per la struttura a
temrine prende la forma seguente:
•
I coefficienti Ai e Bi hanno una forma esplicita uguale a quella
del modello CIR ad un fattore (r).
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Metodi di Stima: Il filtro di Kalman
•
Discretizzando le equazioni, otteniamo il sistema:
dove y,v sono vettori Kx1, R ed A sono vettori m x 1, Φ è una
matrice diagonale K x K, B è una matrice m x K, mentre
Rt=(Rt(t+Ti))i, per i=1,….,m.
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Metodi di Stima: Il filtro di Kalman
•
L’errore vj,t ha un’aspettazione condizionata nulla e varianza
condizionata uguale a
•
•
Il sistema è una esatta versione discreta del modello CIR.
Nella stima si aggiunge un errore di misurazione ε al termine
Rt.
I parametri fissi del modello sono stimati con il metodo della
massima verosimiglianza, utilizzando il filtro di Kalman per
calcolare le stime dei fattori non osservabili del modello.
•
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Metodi di Stima: Il filtro di Kalman
•
Le innovazioni dei tassi sono definiti dalle quantità:
dove
è una stima di yt-1 basata su ut-1 e su
•
Le innovazioni delle variabili di stato sono definite da
•
Il filtro di Kalman è un modello lineare per calcolare stime
delle variabili di stato
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Metodi di Stima: MLE
•
Lo stimatore ML è ottenuto massimizzando la funzione:
•
Il vettore β contiene tutti i parametri fissi del modello da
stimare.
Le stime dei parametri vengono ottenute risolvendo le
condizioni del primo ordine
•
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