ISTITUTO PROFESSIONALE DI STATO PER I SERVIZI
COMMERCIALI TURISTICO ALBERGHIERI E DELLA
RISTORAZIONE “B. STRINGHER”-UDINE
LE DISEQUAZIONI
DI PRIMO GRADO
AD UN’INCOGNITA
A cura della Prof.ssa Monica Secco, Prof. Roberto Orsaria,
Prof.ssa Francesca Ciani
1
Che cos’è una disequazione?
Per dare una definizione di disequazione utilizziamo
il seguente esempio.
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Due amici desiderano frequentare una palestra, per
questo motivo si informano sui prezzi praticati dalle
due palestre presenti nella loro città.
La palestra privata richiede una quota di iscrizione
annua di 312 € più 2 € per ogni ingresso.
La palestra comunale non richiede alcuna quota di
iscrizione, ma l’ingresso costa 5 €.
Quale palestra è più conveniente frequentare?
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Per rispondere a questa domanda, supponiamo che i
due amici intendano frequentare la palestra una volta
alla settimana, quindi in un anno sono 52 ingressi.
Per la palestra privata
dovrebbero pagare
312 € + 52 X 2 € = 416 €
Per la palestra comunale
dovrebbero pagare
52 X 5 € = 260 €
Risulta più conveniente la palestra comunale.
4
Invece, se vogliono frequentare la palestra tre volte
alla settimana, in un anno sono 3 X 52 = 156 ingressi.
Per la palestra privata
dovrebbero pagare
312 € + 156 X 2 € = 624 €
Per la palestra comunale
dovrebbero pagare
156 X 5 € = 780 €
Risulta più conveniente la palestra privata.
5
Il costo annuo di entrambe le palestre dipende dal
numero di volte in cui si andrà in palestra.
Frequentando la palestra x volte in un anno:
Per la palestra privata
si pagherebbe
(312 + 2 x) €
Per la palestra comunale
si pagherebbe
5x€
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Quindi la palestra privata risulterà più conveniente se
312 + 2 x sarà minore di 5 x, ossia se
312 + 2 x < 5 x.
Questa è una disequazione, cioé una disuguaglianza
in cui compare un’incognita, che in questo caso è x.
Per sapere quando è più conveniente la palestra
privata basta risolvere tale disequazione.
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Prima di passare effettivamente allo studio delle
disequazioni, ripassiamo alcune proprietà delle
disuguaglianze numeriche.
Risolviamo i seguenti problemi ed enunciamo le
relative proprietà delle disuguaglianze numeriche.
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1. Se Antonio ha più anni di Barbara, tra 4 anni chi
sarà il maggiore di età?
Se Antonio ha 16 anni e Barbara ne ha 14, tra 4 anni:
Antonio avrà
Barbara avrà
16 + 4 = 20 anni
14 + 4 = 18 anni
Quindi il maggiore sarà Antonio.
In simboli
se A > B allora A + m > B + m.
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2. Una penna azzurra costa più della blu. Spenderò
di più acquistando 5 penne di quale colore?
Se una penna azzurra costa 0,50 € e quella blu costa
0,40 €, acquistando 5 penne spenderò:
5 X 0,50 € = 2,50 €
per quelle azzurre
5 X 0,40 € = 2,00 €
per quelle blu
Quindi spenderò di più acquistando le penne azzurre.
In simboli
quando m > 0, se A > B allora m · A > m · B.
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3. Andrea e Beatrice hanno lo stesso credito sul
cellulare. Mentre Andrea chiama Paolo per 8 minuti,
Beatrice telefona a Carla e si parlano per 3 minuti. Se
la loro tariffa è di 0,10 € al minuto, chi avrà più
credito dopo aver telefonato all’amico?
- 0,10 X 8 € = - 0,80 €
- 0,10 X 3 € = - 0,30
credito di Andrea
€ credito di Beatrice
dopo la tel. a Paolo
dopo la tel. a Carla
Quindi il credito di Beatrice sarà maggiore.
In simboli
quando m < 0, se A > B allora m · A < m · B.
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4. Ho due torte uguali per dimensione: una all’ananas,
l’altra con i bigné. Se divido la torta all’ananas tra 12
ragazzi, mentre quella con i bigné tra 6 ragazzi, quale
torta sarà tagliata in fette più grandi?
Le fette della torta
Le fette della torta
all’ananas sono 1
con i bigné sono 1
12
6
di tutta la torta
di tutta la torta
Le fette più grandi sono quelle della torta con i bigné.
In simboli
con A e B concordi, se A > B allora 1/A < 1/B.
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5. Mi vengono proposte due tariffe telefoniche: la
tariffa A prevede uno scatto alla risposta di 0,15 €, la B
di 0,10 €. Inoltre la A ha un costo di 0,15 € al minuto,
mentre la B di 0,12 €. Con quale tariffa costa di più
una telefonata di un minuto?
Un minuto con la
Un minuto con la
tariffa A costa
tariffa B costa
(0,15 + 0,15) € = 0,30 €
(0,10 + 0,12) € = 0,22 €
La tariffa A è la più costosa.
In simboli
se A > B e C > D allora A + C > B + D.
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6. Ada ha 6 figli e Bianca ne ha 4. Ogni figlio di Ada
ha 3 figli, mentre ogni figlio di Bianca ne ha 2. Chi ha
più nipoti, Ada o Bianca ?
Ada ha
Bianca ha
6 X 3 = 18 nipoti
4 X 2 = 8 nipoti
Quindi Ada ha più nipoti.
In simboli
se A > B e C > D allora A · C > B · D.
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Riepiloghiamo le proprietà delle disuguaglianze:
se A > B allora A + m > B + m
quando m > 0, se A > B allora m · A > m · B
quando m < 0, se A > B allora m · A < m · B
con A e B concordi, se A > B allora 1/A < 1/B
se A > B e C > D allora A + C > B + D
se A > B e C > D allora A · C > B · D
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Una disequazione è una disuguaglianza nella quale
compare un’incognita.
Una disequazione in forma normale viene scritta in
questo modo:
f(x)>0
oppure
f(x)<0
Prima di procedere con i calcoli, vediamo alcune
proprietà delle disequazioni, che derivano dalle
proprietà sulle disuguaglianze.
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Un numero è soluzione di una data disequazione se,
sostituendolo all’incognita, la disequazione diventa
una disuguaglianza vera.
Due disequazioni sono equivalenti quando hanno le
stesse soluzioni.
f(x)>g(x)
e
f(x)+h(x)>g(x)+h(x)
sono due disequazioni equivalenti.
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Proprietà:
quando m > 0
se
allora
quando m < 0
f(x)>g(x)
m·f(x)>m·g(x)
se
allora
f(x)>g(x)
m·f(x)<m·g(x)
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Ci sono disequazioni scritte nella forma:
f(x)0
oppure
f(x)0
Basta trovare le soluzioni delle disequazioni
f(x)>0
o
f(x)<0
e aggiungere le soluzioni dell’equazione
f ( x ) = 0.
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Consideriamo una generica disequazione:
a x + b > 0.
Sommiamo ad entrambi i membri il termine – b:
a x + ba –x >
b>
- b.
0 - b.
Se a > 0, dividiamo entrambi i membri per a:
aax x >>-- b
b ..
a
a
aa
Le soluzioni della disequazione data sono tutti i
numeri reali maggiori di - b . Graficamente:
a
b
x
a
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a x > - b.
Se a < 0, dividiamo entrambi i membri per a,
cambiando il verso della disequazione:
No
ax x <<-- b ..
a
Noa
Le soluzioni della disequazione data sono tutti i
numeri reali minori di - b . Graficamente:
a
b

a
x
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Problema
Il vostro gestore di telefonia vi applica due tariffe a
seconda di chi chiamate.
La tariffa A è per le chiamate verso telefono fisso: è
senza scatto alla risposta e costa 25 cent. al minuto.
La tariffa B è per le chiamate verso i cellulari: ha lo
scatto alla risposta di 15 cent. e costa 15 cent. al minuto.
Dopo quanti minuti è più costoso chiamare il vostro
amico a casa piuttosto che sul cellulare?
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Una telefonata di x minuti costa:
25 x
al telefono fisso
15 + 15 x
al cellulare
Per trovare quando costa di più chiamare a casa,
basta risolvere la seguente disequazione:
25 x > 15 + 15 x.
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Risolviamo quindi la seguente disequazione:
25 x > 15 + 15 x
25 x – 15 x > 15 + 15 x – 15 x
10 x > 15
10 x
15
10 > 10
3
x
2
3
2
x
Costa di più chiamare a casa se si parla per più di
un minuto e mezzo, ossia 3 .
2
24