Fibonacci
di Agozar, Altezza, Bellinzona e De Luca
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Indice
Biografia
Sequenza di Fibonacci
Liber Abbaci
Rapporto Aureo
Statua di Fibonacci nel campo santo di Pisa
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Biografia
I Primi anni
• Leonardo Fibonacci,
Figlio di Guglielmo Bonacci,
nacque a Pisa intorno al 1170
• Il padre voleva che divenisse un mercante e così
provvedette alla sua istruzione nelle tecniche del calcolo,
specialmente quelle che riguardavano le cifre indoarabiche, che non erano ancora state introdotte in Europa.
Commerciando colse l’opportunità offertagli dai suoi viaggi
all’estero per studiare e imparare le tecniche matematiche
impiegate in queste regioni.
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1200-1228
• Intorno al 1200, Fibonacci tornò a Pisa dove
per i seguenti 25 anni lavorò alle sue personali
composizioni matematiche. La reputazione di
Leonardo come matematico divenne così
grande che l’imperatore Federico II gli chiese
un’udienza mentre era Pisa nel 1225.
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Gli ultimi anni
• La Repubblica di Pisa emanò un decreto che gli conferì
il titolo di
"Discretus et sapiens magister Leonardo Bigollo"
a riconoscimento dei grandi progressi che apportò alla
matematica.
• Fibonacci morì qualche tempo dopo il 1240,
presumibilmente a Pisa.
• Anche al giorno d’oggi la fama di Leonardo è tale che
esiste un’intera pubblicazione dedicata a questi
argomenti: il "Fibonacci Quarterly", periodico
matematico dedicato interamente all’aritmetica
connessa alla sequenza di Fibonacci.
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Sequenza di Fibonacci
• L’uso della sequenza di Fibonacci risale all’anno 1202.
• E’una serie di numeri nella quale ognuno di essi è la somma dei due
numeri precedenti . I primi elementi sono :
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144
• Nella seconda metà del IXX secolo, un matematico di nome Edouard
Lucas ne riprese lo studio e fu conosciuta come la sequenza di Lucas.
Quest’ultimo fu colui che rese i numeri di Fibonacci noti a tutti.
•
Johannes Kepler notò poi che facendo il rapporto fra due numeri di
Fibonacci consecutivi, esso si avvicinava sempre più a 1,61803, valore
noto anche con il nome di rapporto aureo.
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Rappresentazione Sequenza
Se li riscriviamo
in questo modo
Esiste una relazione tra :
• numeri di Fibonacci
• triangolo di Tartaglia;
a partire dalla prima linea rossa in alto,
sommando i numeri attraversati da ogni linea,
otteniamo la successione di Fibonacci
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Esperimento dei conigli
•
L'intento di Fibonacci era quello di trovare una legge matematica che potesse descrivere la
crescita di una popolazione di conigli.
Assumendo per ipotesi che:
si disponga di una coppia di conigli appena nati
Questa coppia (la prima) diventi fertile al compimento del primo mese e dia alla luce una nuova
coppia al compimento del secondo mese;
le nuove coppie nate si comportino in modo analogo;
le coppie fertili, dal secondo mese di vita in poi,
diano alla luce una coppia di figli al mese;
Si verifica quanto segue:
• dopo un mese una coppia di conigli sarà fertile,
• dopo due mesi ci saranno due coppie di cui una sola fertile,
• nel mese seguente (terzo mese dal momento iniziale) ci saranno 2+1=3 coppie perché solo la
coppia fertile avrà generato, di questi due coppie fertili
• nel mese seguente (quarto mese dal momento iniziale) ci saranno 3+2=5 coppie delle quali tre
fertili
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Somma numeri di Fibonacci
Consideriamo la serie di Fibonacci A, B, C, D, E, G...
• Se si sommano due o più numeri consecutivi di tale serie,
sempre a partire da A, e si aggiunge ulteriormente "1",
si ottiene sempre un altro numero di Fibonacci che nella sequenza segue di due posti
l'ultimo termine della somma
( A+B+C+1 = E )
Esempi:
1+1+2+3+5+1 = 13
In questo caso si sono sommati i primi cinque numeri di Fibonacci,
si è aggiunto uno
e si è ottenuto il settimo numero della sequenza.
• Inoltre se si prendono due numeri di Fibonacci consecutivi e se ne fa il quadrato,
la somma fra i quadrati è un altro numero di Fibonacci che nella sequenza occupa il posto
risultante dalla somma delle posizioni dei due termini di partenza.
Esempi:
22+32=4+9=13
In questo caso si sono presi il terzo e il quarto numero della sequenza, se ne è fatto il
quadrato e la somma fra i quadrati è risultata essere il sesto numero di Fibonacci.
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•
Liber Abbaci
Il Liber abbaci, (più noto come Liber abaci), è un testo di argomento matematico. Scritto
in latino medievale nel 1202 da Fibonacci, che lo riscrisse nel 1228, ha svolto un ruolo
fondamentale nella storia della matematica occidentale ed è uno dei libri più importanti
del Medioevo.
Un trattato di aritmetica e algebra con il quale, all'inizio del XIII secolo, Fibonacci ha introdotto in
Europa il sistema numerico decimale indo-arabico e i principali metodi di calcolo ad esso relativi.
In particolare la numerazione indo-arabica, che prese il posto di quella latina semplificando
notevolmente i commerci extraeuropei, fu conosciuta in Europa tramite questo libro. In tale
sistema di numerazione, il valore delle cifre dipende dal posto che occupano: pertanto egli fu
costretto ad introdurre un nuovo simbolo, corrispondente allo zero "0", per indicare le posizioni
vacanti.
Il libro non tratta l'utilizzo dell'abaco e il suo titolo può essere tradotto in Libro del calcolo. Alcuni
credono addirittura che il titolo sia sbagliato, dato che abaco per i greci, i romani e i maestri
d'abaco dei secoli precedenti era uno strumento di calcolo.
Quando il Liber abaci fu scritto, in Europa la matematica era praticamente inesistente, se si
escludono le traduzioni dei testi classici (gli Elementi di Euclide, per esempio) che comunque
erano ancora molto poco diffuse.
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• 459 pagine, distribuite in 15 capitoli,
I primi sette capitoli sono un'introduzione all'algebra e ai nuovi numeri, non fa riferimenti alla vita
reale ma presenta esempi sempre più complessi così da abituare il lettore ai nuovi numeri.
Seguono poi quattro capitoli che presentano molti possibili problemi nella mercatura; qui il lettore
mette alla prova le nuove conoscenze e capisce la superiorità dell'algoritmo indiano rispetto a
quello romano.
Il dodicesimo capitolo è il più ampio, comprende problemi
di matematica "divertente“ (uomini che trovano borse,
conigli che si moltiplicano, divisione di cavalli ecc).
Il tredicesimo capitolo tratta il metodo della doppia falsa
posizione, uno dei metodi più potenti della matematica
araba e medievale. L'ultima parte tratta questioni più
astratte (estrazione di radici, binomi recisi e proporzioni
con la geometria).
Vengono presentate le novem figure degli indiani e
il signum 0, operazioni su interi e le frazioni, criteri di
divisibilità, ricerca del massimo comun divisore e il minimo
comune multiplo, regole di acquisto e di vendita, cambi
monetari, regole del tre semplice e tre composto ecc. La
parte algebrica è dedicata interamente allo studio delle
equazioni algebriche.
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Rapporto Aureo
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Nell’arte
La sezione aurea
o rapporto aureo
o numero aureo
o costante di Fidia
o proporzione divina
Nell'ambito delle arti figurative e della matematica,
indica il rapporto fra due lunghezze disuguali, delle
quali la maggiore è medio proporzionale tra la
minore e la somma delle due. Il rapporto aureo
viene indicato con  è ha un valore di  1,6180.
Le sue proprietà geometriche e matematiche hanno
impressionato nei secoli la mente dell'uomo, che è
arrivato a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e
armonia, spingendosi a ricercarlo quale "canone di
bellezza"; testimonianza ne è il nome che in epoche
più recenti ha assunto gli appellativi di “aureo” o
“divino”.
La sezione aurea affascinò altri pittori, come
Botticelli (1445-1510) e la rappresentò ne La Venere.
Infatti misurando l’altezza da terra dell’ombelico e
l’altezza complessiva il loro rapporto risulterà 0.618
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Nella Botanica
Quasi tutti i fiori hanno tre o cinque o otto o tredici o ventuno o
trentaquattro o cinquantacinque o ottantanove petali: ad esempio i
gigli ne hanno tre, i ranuncoli cinque, la calendula tredici, e le
margherite di solito ne hanno trentaquattro o cinquantacinque o
ottantanove.
I numeri di Fibonacci sono presenti anche in altre piante come il
girasole; difatti i piccoli fiori al centro del girasole sono disposti lungo
due insiemi di spirali che girano rispettivamente in senso orario e
antiorario.
I pistilli sulle corolle dei fiori spesso si dispongono secondo uno schema
preciso formato da spirali il cui numero corrisponde ad uno della serie
di Fibonacci. Di solito le spirali orientate in senso orario sono
trentaquattro mentre quelle orientate in senso antiorario
cinquantacinque altre volte sono rispettivamente cinquantacinque e
ottantanove. Si tratta sempre di numeri di Fibonacci consecutivi.
I numeri di Fibonacci sono presenti anche nel numero e nella
disposizione di infiorescenze di ortaggi come il Broccolo romanesco.
Le foglie sono disposte sui rami in modo tale da non coprirsi l’una con
l’altra per permettere a ciascuna di esse di ricevere la luce del sole. Se
prendiamo come punto di partenza la prima foglia di un ramo e
contiamo quante foglie ci sono fino a quella perfettamente allineata
spesso questo numero è un numero di Fibonacci e anche il numero di
giri in senso orario o antiorario che si compiono per raggiungere tale
foglia allineata dovrebbe essere un numero di Fibonacci
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Spirale Aurea
•
Se all’interno di un rettangolo aureo (uno
speciale rettangolo le cui proporzioni
corrispondono alla sezione aurea)
si disegna un quadrato con lato uguale al lato
minore del rettangolo, il rettangolo differenza
sarà anch’esso un rettangolo aureo.
Si ripeta l’operazione per almeno cinque volte
al fine di avere un effetto visivo adeguato.
Si punti la punta del compasso sul vertice del
quadrato che giace sul lato lungo del
rettangolo e si tracci l’arco che unisce i gli
estremi dei due lati che formano l'angolo
scelto.
Si ripete l'operazione per ogni quadrato
disegnato in modo da creare una linea
continua.
Si creerà così una particolare spirale che si
può ritrovare spesso in natura
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