Creep nei metalli
Comportamento a caldo di
strutture mono e bi-dimensionali
Curve   t



  B(T ) n(T )
  (T ) n(T )t m(T )
I
II
III
tr
t


t
Relazioni empiriche



  B(T ) n(T )
0 

E

 K0 n0
t



E /T)
Dalla prova di trazione
a temperatura T
K0 (T ) n0 (T )

Determinazione delle costanti




0
tr
t
Necessarie molte curve  - t ad una stessa temperatu ra T
Da ciascuna si determinan o le coppie :
0 

 
tr  
si ricavano quindi K 0 , n0 , B, n e le curve log  - t t
Esempio di determinazione di B, n




log 10  log 10 

log10 


n

log10 B
log10 
Azione normale
deformazione del concio elementare
dx

du  dx  ( 0  t )dx
N

du   t  B t
n
Flessione retta
y
dx
dx
y

d
x
M
dx   yd


 dx   yd 
Flessione retta
relazioni di base

  B n


1 d
1 d n n
N  0   dA    (
y ) dA (
)  y dA   y n dA  0
B dx
B dx A
A
A
A
1
n

1

1
1
1 d n
1 d  n n 1
M    ydA    (
y ) ydA (
)  y dA
B
dx
B
dx
A
A
A
In   y
1
1
n
dA
A

d  (
M n
) Bdx
In
1
1
1
Esempio di determinazione dell’asse neutro per
sezioni composte da parti rettangolari
 y dA  0
1
n
A
a
h
t
n
nel
n
t
nnel
1
0   y n hdy 
0
a
t h

1
y n ady 
t

1
1
n
h
a  30 mm
a  30mm
a  30 mm
h  5mm
h  5mm
h  5mm
n5
n 1
n
t  2,68mm
t  6,25
t0
ah
 6,25mm
4

1
y n hdy
0
(h  a )t  a(t  h)  h(a  t )

tel 
a t

Esempio di determinazione dell’asse neutro per
sezioni composte da parti rettangolari
c
a1
b1 A1
b
A0
da
y
1
n
1
n
1
n
dA   y dA0   y dA1   y dA2  0
A
z
1
n
con  
A0
A1
A2
1
n 1
si ottiene
A2
az   a1[( z  c)  ( z  c  b1 ) ]  a(b  z )  0
a
risulta
a  50mm; b  100mm; c  10mm; a1  b1  20mm; n  5
z  53,68mm
b2
b
a  a1b1 ( 1  c)
2
zG  2
 52,6mm
ab  a1b1
Calcolo di In per varie sezioni
sezione rettangolare
y
dA=ady
n
b
n
In   y
1
1
n
b
\2
dA  2  y
A
0
1
a
2a b n  2

( )
1
2 2
n
ab 3
n  1 In 
12
ab 2
n   In 
4
1
1
n
ady 
Calcolo di In per varie sezioni
parte rettangolare i-esima
y
ai
dA=ady
y
yi 2
yi 2
I ni   ai y
yi 1
n
yi1
n
1
1
n
dy 
ai
1
2
n
1
( yi 2 n
2
1
2
 yi1 n )
Calcolo di In per varie sezioni
sezione circolare
piena
x  R cos
y
y
n
R

y  R sin 
dy  R cos d
x  R cos 
dA  xdy
n
K(n)
K’(n)
1
0,1963
0,7854
2
0,2497
0,8740
3
0,2732
0,9107
4
0,2864
0,9308
5
0,2948
0,9436
6
0,3007
0,9523
inf
0,3333
0,9999

n
1
I n  4R n
1
3 2
1
2
 cos  (sin  ) n d 
0
 4R
1
3
n
K ( n)
cava
y

R

dA  hRd 
y  R sin 

h
2
I n  4  ( R sin  )
1
1
n
hRd 
0

 4R
1
2
n
2
h  ( R sin  )
0
1
1
n
d  4 R
1
2
n
hK ' (n)
Trave a mensola con sezione a T
a
h
t
n
nel
n
nnel
L
a
P
  500C P  1kN a  50mm h  10mm L  1000mm t  105 ore
h
Materiale : E(500)  177GPa  p0,2 (500)  118MPa n  5,6 B  6,992 10-19  r,3  324 MPa  r , 4  245MPa  r,5  206MPa
1
1
 1  1,1786    2  2,1786
n
n


1) (h  a )t  a (t  h)  h(a  t )  t  3,9107 mm

2) I n  
ai ( yi2  yi1 )

 26075
1
1
N.B. t el  10mm  nom 
L
4) v  P   M ' d     x (
L
0
PL
PL
y
40  120MPa   p0,2  nom min  60MPa
I
333333
Px n
P
Ln  2
) Bdx  ( ) n B
 6,8110 5 mm / ora
In
In
n2

vP  v P t  6,81mm
vPel 
1
M n
PL
M n
ymax 
46.089 5, 6  76,01MPa  min  
ymin  61,37 MPa
In
In
In
3)  max 
PL3
 5,65mm
3EI
Stato piano di sforzo (2-D)
caso elastico
Il caso elastico bidimensio nale si può trattare formalment e come quello
monodimens ionale con le assunzioni :
 eq   12   22   1 2
 eq  k  12   22   32   1 2   2 3   3 1
posto k 
1
1 
 1 
  1  2 
  1

introducen do le  2     2  1 
  E   
1
2
 3

1
si ottiene  eq   eq
E
Caso di creep
posto  eq   12   22   1 2

2
2
 2






e  eq  k  1   2   3   1  2   2  3   3  1
1
2
con k 

1 3
1
2
1






 
1
2


2
 1 


1
 
e inoltre ponendo  2   k '   2   1 
2
 


3
1
1
 
  1   2 
 2
2 
si ottiene

 eq  k ' eq
k' può essere interpreta to come B eqn -1 in modo da avere

 eq  B eqn
Cilindro chiuso in pressione
3
p
2
pd 2
4
d
1
h
pd
pd  1
2 

3  0
2h
4h
2
3
 eq   12   22   1  2 
1
2
1





 3

 
1
2


1 

2
1

 


4
1
 

n -1 
 2   k '   2   1   B eq  0 
2
 


 3  
3
1
1
 
  1   2 
 4 1


 2
2 
1 
pd 2
4
Torsione


3  0
1  
 eq  3 

2 
1

2

 eq
3  0
1
1   
2


 B ( 3  ) n    B( 3 ) n 1 n

1
2  
2

2 2 2  2      


1  2  3 1  2 2  3 3 1 

3
3
  Bn n Bn  B( 3 ) n 1
Torsione circolare


d

r   r  Bn n
dz

r

dz
d

r
R
r
0
Bn
M t    2r 2 dr   (
R
0

1
  3
n

M t
r
2R
(
1
n

Bn
1
n
) 
) 2r 2 dr  (
Mt
R
2

 (

1
n

Mt n
) Bn
R
2


Bn
1
n
) 2
1
3
n
R
1
3
n
Struttura caricata fuori dal piano
sezione chiusa sottile
L1
A
x
B
L2
D
a
x
C

h
b
  500C C  3,4106 Nmm a  70mm b  40mm h  10mm L1  1000mm L2  700mm t  6 104 ore
Materiale: E(500) 177GPa  p0,2(500) 118MPa n  5,6 B  6,99210-19 Bn  2,6251017
 r,3  324MPa  r , 4  245MPa  r,5  206MPa
DB ) M f  0
BA) M f  C
Mt  C
Mt  0
Verifica di resistenza
a
b
h
a1  80mm b1  50mm a2  60mm b2  30mm
Am  ab  2800mm2  
1
2a b
2a b
 2  2,1786 I n1  1 ( 1 )   81563 I n 2  2 ( 2 )   20102
n
 2
 2
I n  I n1  I n 2  61461
I  698333mm4
1) Verifica di resistenza ( r  2)
1
D 
C b h n
C b h
(  )  98,3MPa  Dnom  (  )  121,7 MPa   p , 0, 2
In 2 2
I 2 2
A 
C
 60,71MPa
2 Am h
Con i dati a rottura interpolan do ai minimi quadrati si ottiene
 r,60000  214,6MPa e quindi  rD 
 rA 
214,6
 2,04
60,71* 3
214,6
 2,18
98,3
Verifica alla deformazione
2) Verifica alla deformazio ne (  10)
Per calcolare la rotazione della sezione D, si applica una coppia unitaria come C
che genera le azioni interne :
DB ) M ' f  0
BA) M ' f  1
M 't  1
M 't  0

PLV)


   M t'  dx   M 'f d 
DB
BA


1
1

 dlm 
Bn n dlm

2 Am lm
2 Am lm




d   B(
Mf
In
) n dx
1
B C n ( a  b)
C n
0 An mn1 (2h) n dx  0 B( I n ) dx 
L2
L
BnC n (a  b) L2
C
 B( ) n L1  6,996 10 6  4,025 10 6  11,02 10 6 rad / ora
Amn 1 (2h) n
In

   t  0,661 rad  37,9 chiarament e eccessiva
Per ricondurre  al valore  amm bisogna ridurre C al valore C'  C(
1
10 n
)  2,68 106 Nmm
37,9
Rilassamento alla temperatura T
L
L  L
L  L  cos t


d
 0 (20)
 0 (20)


t
 0 (T )

t
E
 B n  0
 EBdt  0
20°
t  0    0  C   0-n 1
T
  n 1   0-n 1  (n  1) EBt
 0 (T )


n
  n 1  (n  1) EBt  C




Interpolazione di dati eterogenei
metodo di Larson-Miller

Tabella dati eterogenei T -  - 
Temp. (K)
693 713 733 753 773 793 813
 0, 2 /10 ( MPa)
 0, 2 /10 ( MPa)
 1/10 ( MPa)
 1/10 ( MPa)
80
60
4
165 140 115 90 65 45
273 240 210 180 150 120
25
90
5
220 185 155 125 100
50
4
5
230 195 160 130 105
75

Ogni valore di  è accompagna to dalla temperatu ra T e dalla velocità 
1) Introdurre un valore di C

2) Calcolare i valori P LMi  Ti (C  log 10  i )
3) Ricavare i parametri di fitting della curva f  a1 2  a2  a3
4) Calcolare PLMi  f ( i )
4) Calcolare la somma S   (PLMi  P LMi ) 2
5) Variare C fino a trovare il minimo di S
Curva di Larson-Miller
  PLM

PLM  T (C  log 10  )
C  13,5
f  a1 2  a2  a3
a1  2,286 10  2 a2  20,852 a3  1,725 10 4
4
1.8
x 10
1.75
1.7
1.65
1.6
1.55
1.5
1.45
1.4
1.35
1.3
0
50
100
150
200
250
300
Curva di Larson-Miller
  PLM
C  20
4
2.4
x 10
2.3
2.2
2.1
2
1.9
1.8
1.7
0
50
100
150
200
250
300
Dati eterogenei
T - - t
Temp.( K ) 693 713 733 753 773 793 813
 r , 4 ( MPa) 395 340 280 225 175 135 95
 r ,5 ( MPa) 315 250 200 155 120 82 50
1) Introdurre un valore di C'
2) Calcolare i valori P LMi  Ti (C ' log 10 t )
3) Ricavare i parametri di fitting della curva f  a1 2  a2  a3
4) Calcolare PLMi  f ( i )
4) Calcolare la somma S   (PLMi  P LMi ) 2
5) Variare C' fino a trovare il minimo di S
Curva LM
4
2.3
Curva di Larson-Miller per tempi di rotura
x 10
C' = 22
2.25
2.2
2.15
PLM
2.1
2.05
2
1.95
1.9
1.85
1.8
0
50
100
150
200
sigma
250
300
350
400