Fisica Nucleare
Testi utilizzati in varie parti del corso:
• Introductory nuclear physics – Krane
• Physics of atomic nucleus – K.N. Mukhin
• Nuclei e particelle – Segrè
• Introduzione alla fisica nucleare – W. Alberico
• Teoria elementare del nucleo – H.A. Bethe, P.Morrison
Testi di meccanica quantistica utili:
• Modern quantum mechanics – J.J. Sakurai
• Quantum physics – Gasiorowicz
• Quantum field theory – Mandl, Shaw
Tutte le trasparenze sono in rete nel sito:
http://gruppo3.ca.infn.it/usai
1
Perchè studiare la fisica nucleare ?
Riveste un ruolo importante nella nostra vita
Fissione nucleare :
generazione di energia  centrali/armi
Fusione nucleare :
Sostiene (quasi) tutta la vita
Creazione di tutti gli elementi pesanti – Nucleo-sintesi
Possibile sorgente futura di energia non inquinante
Decadimento radioattivo: usato per la datazione,
.
allarmi antifumo !
Applicazioni mediche: test diagnostici basati su imaging
trattamenti terapeutici del cancro
2
Fisica Nucleare - Cronologia
Probabilmente nessun argomento crea così tanta
aspettativa, paura e confusione
1895 Scoperta dei raggi X - Röntgen
1942 Primo reattore – Fermi
1896 Scoperta della radioattività dell’uranio - Becquerel
1945 La bomba atomica - Oppenheimer
1897 Studi sulla radioattivita – Marie & Pierre Curie
1948 Nucleo-sintesi – Bethe, Gamow
1905 Einstein – teoria speciale della relatività
1952 Bomba all’idrogeno
1911 Scoperta del nucleo atomico - Rutherford
1956 Violazione della parità nel
decadimento beta
1919 / 1920 Rutherford postula protoni e neutroni nel nucleo
1926 La meccanica quantistica decolla – equazione di Schrödinger
1929 Primi acceleratori di particelle, ciclotrone di Lawrence
Sviluppo di applicazioni
tecnologiche
1931 Teoria di Pauli del neutrino nel decadimento beta
ad es. imaging medico
1932 Osservazione del neutrone – Chadwick
1934 Osservazione della fissione - Fermi / Hahn
1941 Avvio del Progetto Manhattan
2006
3
Costituenti fondamentali
Elettrone
me=0.511 MeV/c2
carica = - e (1.6x10-19 C)
dimensione  10-18 m
Nucleo
Z protoni, N neutroni
protoni e neutroni sono 2 stati carichi del nucleone
Un nuclide è un nucleo specificato da Z, N
A (numero di massa) = Z (numero atomico) + N
mp  mn = 939.57 MeV/c2; carica: p = +e, n = 0
dimensioni p, n  1 fm; raggio del nucleo (A medio)  5 fm
Atomo
Lo stato normale è neutro, Z elettroni
dimensioni  10-10 m
La massa mp, mn  1836 me dell’atomo è quasi tutta nel nucleo
Le proprietà chimiche dipendono da Z
4
5
La tavola periodica degli elementi
Solo tre elementi si sono formati nel Big Bang. Tutti gli altri elementi vengono formati
nelle stelle
Elementi naturali: da H(Z=1) a U(Z=92)
6
7
Masse e abbondanze nucleari
La misura della massa nucleare viene eseguita per mezzo di uno spettrometro di massa
Lastra fotografica
misura della massa
q, B, v sono noti. Misurando r
si ha
qrB 2
m
E
Selettore di velocità
Fascio di
ioni
E
B
B
Selettore di velocità
qE  qvB
E
v
B
Selettore di momento
mv  qBr
mv
r
qB
8
Abbondanze nucleari
Conteggi
Possiamo fare una scansione in massa variando E o B e misurando la corrente
possiamo determinare le abbondanze relative di diversi isotopi
Spettro di massa degli isotopi del
xenon trovati in un campione di gneiss
avente 2.7 miliardi di anni estratto
dalla penisola di Kola
Spettro degli isotopi dello xenon
presenti in atmosfera
Lo Xe nello gneiss è stato prodotto
dalla fissione spontanea dell’uranio
(K.Schafer, MPI Heidelberg) 9
Numero di massa
Abbondanze nucleari nel sistema solare
Abbondanze relative nel sistema solare
(normalizzate a Si).
Generalmente le stesse in tutto il
sistema solare
Deuterio ed elio: fusione nei primi minuti
dopo il big bang
Nuclei fino 56Fe: stelle
Nuclei più pesanti: supernovae
Abbondanze nel Sole
104 H
103 He
8O
4C
1N
1 Ne
10
Masse nucleari: unità di misura
La massa di riferimento non è il protone o l’atomo di idrogeno, bensì l’isotopo 12C. Il
carbonio e molti dei suoi composti sono sempre presenti in uno spettrometro e sono
particolarmente adatti per la calibrazione.
Una unità di massa atomica u è definita come 1/12 della massa del nuclide 12C
1
1 u  M 1 2C  931.481 MeV / c 2  1.66043 10  27 kg
12
Esempio: Misura della massa dell’idrogeno
  mC9 H 20   mC10 H 8   0.09390032  0.00000012 u
D’altra parte
 
mC9 H 20   mC10 H 8   12mH   m 12C
Quindi la massa dell’idrogeno è data da
m H  
  
1
m 12C    1.00782503  0.0000001 u
12
 massa di un protone = 938.272 MeV/c2
11
Energia di legame nucleare
Energie di legame degli
Z elettroni (trascurabile)
L’energia di massa di un nucleo è
Z
mN c  m Ac  Zme c   Bi  m Ac 2  Zme c 2
2
2
2
i 1
Massa atomica
Massa degli Z elettroni
L’energia di legame B di un nucleo è la differenza di energia di massa fra i suoi Z
protoni e N neutroni liberi e un nucleo AZXN


B  Zmp  Nmn  c 2  mN c 2  Zmp  Nmn  mA  Zme  c 2
L’energia di legame è determinata dalle masse atomiche, poichè esse possono essere
misurate molto più precisamente delle masse nucleari.
Raggruppando le masse dei Z protoni ed elettroni in Z atomi di idrogeno neutri,
possiamo anche riscrivere


B  Zm(1 H )  Nmn  m( AX ) c 2
12
Energie di separazione
Le energie di separazione di protoni e neutroni sono l’equivalente delle energie di
ionizzazione in fisica atomica.
L’energia di separazione dei neutroni Sn è la quantità di energia necessaria per
rimuovere un neutrone da un nucleo AZXN, uguale alla differenza fra le energie di
legame di AZXN e A-1ZXN-1

 m
  X 
X   m  m
S n  B ZA X N  B
A1
Z
N 1
A1
Z
N 1
n
A
Z

X N c2
L’energia di separazione di un protone è definita, in modo simile, come l’energia
necessaria per rimuovere un protone
S p  B ZA X N   B ZA11 X N 


 m ZA11 X N   m p  m ZA X N  c 2
13
Energia di legame per nucleone
B/A  costante  8 MeV per
nucleone, A20
Largo massimo per A  60 (Fe, Co,
Ni)
Fe
A60 fusione
A 60 fissione
I nuclei leggeri con A=4n, n=intero
presentano picchi (stabilità )
B/A  costante  in un nucleo i
nucleoni sono attratti solo dai
nucleoni vicini. La forza nucleare è
a corto range e saturata
energia di legame per particella
nucleare (nucleone) in MeV
Gli isotopi del gruppo del
ferro sono i più legati
62
28
Elementi più pesanti del
ferro possono fornire
energia tramite fissione
Ni
58
26
energia dalla
fissione
nucleare
Fe
56
energia dalla 26
fusione
hanno energia di legame
nucleare
8.8 MeV/nucleone
Fe
La massa media dei
frammenti di fissione è
circa 118
Numero di Massa A
Linea rossa  misure sperimentali
linea nera  formula semi-empirica
14
235U
Conservazione dell’energia e del momento
Consideriamo la reazione
7
3
Li 11H 42 He  42 He
In un processo come questo l’energia è sempre conservata. L’energia dello stato finale
deve essere uguale a quella dello stato iniziale
E 73 Li   E 11 H   E 42 He   E 42 He 
L’energia di una particella di massa m è data in generale da
E  m ( v ) c ,  ( v ) 
2
1
1  v2 / c2
Possiamo anche scriverla nella forma
E  mc2  T
Energia a riposo associata
alla massa
Energia cinetica
15
Immaginiamo che nello stato iniziale il litio e l’idrogeno abbiano velocità trascurabili.
Allora
E 73 Li   E 11 H   m73 Li  c 2  m11 H  c 2 
8 unità di massa + 24.55 MeV
Per lo stato finale possiamo scrivere
E 42 He   E 42 He   m42 He  c 2  T  m42 He  c 2  T
m42 He  c2  m42 He  c2 
8 unità di massa + 2x3.61 MeV
In questo modo troviamo l’energia prodotta
2T 
(8 unità di massa + 24.55 MeV) –
(8 unità di massa + 2x3.61 MeV) = 17.33 MeV
16
Vale anche la conservazione del momento
 7
1
 4
 4
p  3 Li   p 1 H   p 2 He   p 2 He 
Nell’ipotesi di velocità trascurabili nello stato iniziale


p 73 Li   p 11 H   0
Quindi anche nello stato finale
 4
 4
p2 He   p2 He   0
Le due particelle  si allontanano in direzioni opposte ciascuna con energia cinetica
T  8.67 MeV
17
Nuclidi
Un nuclide è un particolare nucleo ed è designato con la seguente notazione:
Z = Numero Atomico (Numero di Protoni)
A = Massa Atomica (Numero di Nucleoni)
A = Z+N (Nucleoni = Protoni + Neutroni)
N = Numero di Neutroni (talvolta omesso)
Nuclidi con lo stesso Z ma diverso N sono detti ISOTOPI
Nuclidi con lo stesso A sono noti come ISOBARI
Nuclidi con lo stesso N sono noti come ISOTONI
Stati eccitati aventi vita media lunga (meta-stabili) sono noti come ISOMERI
Esistono migliaia nuclidi!
18
Carta dei nuclidi
I nuclidi possono essere sistemati su una carta,
una specie di tavola periodica della fisica nucleare
Tipicamente la carta grafica Z vs N
I diversi decadimenti radioattivi possono essere
facilmente collegati con un movimento nella carta –
ad es. il decadimento  corrisponde a 2 passi a
sinistra, 2 in basso
Questo permette di visualizzare intere catene di
decadimento in modo efficace
Permette di visualizzare anche altre proprietà
come la vita media o la data di scoperta
19
Carta dei nuclidi – cronologia
Evoluzione della Tavola degli Isotopi
Anno di pubblicazione
20
Stabilità nucleare
I nuclei stabili si trovano solo in una banda molto stretta nel piano Z-N. Tutti gli altri
nuclei sono instabili e decadono spontaneamente in vari modi
Per conservare il
numero leptonico
vengono prodotti anche
neutrini
Si possono avere
inoltre decadimenti 
e fissione spontanea
Numero di protoni Z
Isobari con un grande surplus di neutroni guadagnano energia convertendo un
neutrone in un protone (più un elettrone) mentre nel caso di un surplus di protoni si può
verificare la reazione
inversa: la conversione
Fissione spontanea
di un protone in un
neutrone (e un positrone).
Linea della stabilità
Nuclei noti
Numero di neutroni N
21
Carta dei nuclidi – vita media
Experimental Chart of Nuclides 2000
2975 isotopi
Vita media
22
Nucleo stabile: la sua massa deve essere minore della somma delle masse dei nuclei
prodotti nel decadimento.
Es. Questo decadimento non può aver luogo
7
3
Li  42 He  31H
Infatti
m 73 Li   7.01822
m 42 He   m31 H   7.02087  m73 Li 
Invece
5
He4 He  n
È energeticamente possibile poichè
m5 He   m4 He   m(n)  0.9 103
23
Regolarità
Regolarità della tavola dei nuclidi stabili:
• Numero di nuclei con Z pari >> numero di nuclei con Z dispari
• Numero di nuclei con A pari >> numero di nuclei con A dispari
• Quasi tutti i nuclei con A pari hanno anche Z pari - uniche eccezioni
2
1
H, 63 Li, 105 B,147 N
24
Dimensioni dei nuclei
Stati eccitati ( eV)
Livello fondamentale
Stati eccitati ( MeV)
Livello fondamentale
Stati eccitati ( GeV)
Livello fondamentale
25
Misura delle densità e dei raggi nucleari
La “dimensione” dei nuclei può essere determinata utilizzando due tipi di interazione:
L’interazione elettromagnetica dà la distribuzione di carica dei protoni dentro il nucleo.
Ad esempio
 Scattering elettronico
 Atomi muonici
Nuclei speculari
L’interazione nucleare forte fornisce la distribuzione di materia dei protoni e neutroni nel
nucleo. N.B. si hanno interazioni nucleari e e.m. allo stesso tempo  studio più
complesso. Ad esempio
 Scattering  (Rutherford)
 Scattering di protoni
 Scattering e assorbimento di neutroni
 Vita media di emettitori 
 Raggi X di atomi pionici
26
Sezione d’urto
Consideriamo una rezione della forma
a b X
Trattiamo b come il bersaglio e a come il proiettile – di solito un fascio ben collimato.
Il flusso di particelle a è definito come
N a
a 
 na v a
St
Numero di particelle che attraversano una
sezione di area unitaria per unità di tempo
va = velocità delle particelle
na = densità numero
Il numero di interazioni per unità di tempo fra le particelle del fascio e quelle del
bersaglio è
dN
 N b a
dt
Nb = numero di centri diffusori nel bersaglio
 = sezione d’urto di reazione
27
In un tipico esperimento viene integrato un certo numero di eventi in un tempo t
(secondi, giorni o anche anni). Il numero totale di eventi osservati in un tempo t può
essere riscritto come
N
N   b N inc
S
Ninc = numero di particelle del fascio
incidenti in un tempo t
Nb / S è il numero di centri diffusori per unità d’area. Ora
N b  nb  S  L
L = lunghezza del bersaglio
D’altra parte
b
A
nb 
, mb 
mb
N Av
N b N A L


S
A
28
Sezione d’urto differenziale
La distribuzione angolare delle particelle scatterate non è necessariamente
omogenea
area A
D
r
fascio
bersaglio
angolo solido
d=AD/r2
Numero di particelle scatterate in d è dN/d
dN
d

 a  Nb
dt d d
d
dN / dt

d  a  N b  d
Unità area/steraradiante
Se il rivelatore può determinare l’energia E’ delle particelle scatterate, si può
misurare la doppia sezione d’urto differenziale
d 2 ( E, E ' , ) / ddE '
29
Scattering elastico
In un processo elastico a+ba’+b’ le particelle dello stato finale sono le stesse dello
stato iniziale. Il bersaglio b resta nel suo stato fondamentale, assorbendo soltanto
momento di rinculo e quindi variando la sua energia cinetica.
L’angolo di scattering e l’energia di a’ e l’angolo di produzione e l’energia di b’ sono
correlati in modo non ambiguo
Conclusioni sulla forma del bersaglio possono essere dedotte dalla dipendenza del
rate di scattering dall’energia del fascio e dall’angolo di scattering
La più grande lunghezza d’onda che può risolvere strutture di dimensione lineare x
è data dalla lunghezza d’onda di de Broglie ridotta ’ x
Il corrispondente momento della particella segue dal principio di indeterminazione di
Heisemberg

p
x

c 200MeVfm
pc 

x
x
Quindi per studiare i nuclei aventi raggi di qualche fermi, i momenti del fascio
devono essere dell’ordine di 10-100 MeV/c
I singoli nucleoni hanno raggi di circa 0.8 fm. Essi possono essere risolti se il
momento del fascio è qualche centinaio di MeV
30
Scattering elettronico
Utilizziamo gli elettroni come sonda per studiare le deviazioni rispetto a un nucleo
puntiforme
einterazione elettromagnetica
fotone
nucleo A
Per misurare una distanza fino a  1 fm abbiamo bisogno di un’energia
E
Misuriamo E,  degli elettroni
scatterati  d/d
1
 1 fm -1  200 MeV

Apparato
sperimentale
Regione di campo
magnetico
Rivelatore
Fascio elettronico
di energia nota
monitor
di fascio
sottile foglio di materiale
scatteratore
31
Sezione d’urto Rutherford
dN/d
Scattering di un elettrone di
energia E su un nucleo di
carica Ze
1
sin 4 ( / 2)
 d 



 d  Rutherford
Ze 
2 2
4 E 2 sin 4 ( / 2)
angolo di scattering
Ricavabile sia classicamente che con la meccanica quantistica con le ipotesi:
• il rinculo del nucleo trascurato
• gli effetti di spin trascurati
• centro di scattering puntiforme
32
Derivazione quanto-meccanica
Calcoliamo d/d usando l’approssimazione di Born in cui lo stato iniziale e finale sono
considerati onde piane e si trascura il rinculo nucleare.
d n. di particelle scatterate /sec in d

d
Flusso incidente
Il rate di transizione è dato dalla regola d’oro di Fermi
i  f  2 M  E  -   1
2
dove
M   f H int  i
  E   densità di stati finali
33
Quantizzazione in una scatola
Racchiudiamo il nostro sistema in una scatola di lato L. La funzione d’onda di un
elettrone è un’onda piana


ik r
 ( r )  Ne
Normalizzazione: probabilità di trovare l’elettrone nel volume V = L3 deve essere 1:

1
 d r 1  N  V
2
3
Lo stato di onda piana è soluzione dell’equazione di Schrodinger. Dobbiamo imporre
delle condizioni di frontiera sui bordi della scatola. Poniamo


 ( r )   ( r  L)
 eikx L  e
Questo implica
ik y L
 eikz L  1
2n y
2n x
2nz
kx 
, ky 
, kz 
, nx , n y , nz interi
L
L
L
  2n x 2n y 2nz 
p  
,
,

L
L 
 L
34
Uso pratico della condizione di quantizzazione: Densità di stati
 numero di valori consentiti di k (o p) in una regione dello spazio del momento d3k:
ky

d k
dN 
volume occupato da un singolo punto
3
kx
2
L
Ciascuno stato occupa un volume (2/L)3 nello spazio k. Il numero di stati in k,k+d3k
d3p
p 2 dpd
dN 

,
3
3
2 / L  2 / L 
d  sin dd
elemento di angolo solido
dN
p 2 d
  p 

dp 2 / L 3
Nel caso di scattering relativistico Ep,
dN dp
E2
3
 E  

d

L
dp dE 2 3
35
Flusso di elettroni incidenti
Flusso: numero di particelle incidenti che attraversano un’area unitaria per secondo.
Consideriamo un bersaglio di area A e un fascio incidente di velocità v=c in moto verso il
bersaglio. Il flusso è
1 dN i
dx dN i
a 

 ni c
A dt
Adx dt
dove ni è la densità numero di particelle incidenti = 1/L3

c
1

L3 L3
(c  1 )
Mettendo tutto assieme
1
2
d  2 M  ( E f )

2
3
1 iqr
3
2 L 
 L 2 3  e V ( r )d r E 
 d
L
 2 
3
d
E2

d  (2 )2
e
iqr
3
V ( r )d r
36
2
Elemento di matrice
M   f H int  i   *f H int i d 3 x
  Ne
 ip f r
V ( r ) Neipi r d 3 x
1 iqr
 3  e V ( r )d 3 x
L
dove
q  pi  p f
è il momento trasferito
Nel caso di scattering elastico
q  pi  p f
2
pi  p f
2
 pi2  p 2f  2 pi p f cos 
momento
trasferito
 2 p 2 (1  cos  )
 4 E 2 sin 2  / 2
37
Scattering Rutherford: scattering su nucleo
puntiforme
Z
V (r )  
r
Omettendo il fattore di normalizzazione L3
M   eiqrV ( r )d 3r

2sin qr
  2 r V ( r )
dr
qr
0
2
L’integrale è mal definito (oscilla) per cui usiamo
Z  r / a
V (r )  
e
(V  0 per r  )
r
Abbiamo

iqr
 iqr
Z

e

e


M   2r 2  
e r / a 
dr
 r
 iqr
0
4Z
4Z
a 
 2

  2
2
q 1/ a
q
38
La sezione d’urto è quindi data da
E 2 (4Z ) 2
 d 



2
4
d

(
2

)
q

 Rutherford
Questa non è ancora esattamente la formula che abbiamo quotato all’inizio ma ci
siamo quasi. Poichè trascuriamo il rinculo, l’energia e il modulo del momento
dell’elettrone non cambiano: E=E’, |p|=|p’|, da cui
q  2 p sin  / 2
Se ora ricordiamo che E=p, arriviamo alla formula di scattering di Rutherford
Z 2 2
 d 



2
4
d

4
E
sin
/2

 Rutherford
39
Sezione d’urto Mott
Finora abbiamo trascurato lo spin dell’elettrone e del bersaglio. A energie relativistiche
tuttavia gli effetti di spin modificano la sezione d’urto. La risultante sezione d’urto Mott
può essere scritta come
v
 d 
 d 

2
2

 1   sin



 - 
2
c
 d  Mott  d  Rutherford 
Nel caso limite di 1 la sezione d’urto Mott si semplifica in
 d 
 d 
2

 cos



2
 d  Mott  d  Rutherford
L’espressione mostra che a energie relativistiche la sezione d’urto Mott diminuisce più
rapidamente a grandi angoli di scattering della sezione d’urto Rutherford
40
Scattering elettronico su nuclei: risultati sperimentali
dN/dcos (unità arbitrarie)
105
104
103
102
I dati dello scattering elettronico di Hofstadter
erano sotto quelli attesi per un nucleo
puntiforme, indicando una struttura del nucleo
101
1
10-1
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
cos
41
Scattering da un nucleo esteso
Supponiamo che V(r) dipenda dalla distribuzione di carica nel nucleo
Energia potenziale dell’elettrone dovuta alla carica dQ
Abbiamo
dQ  Ze (r ')d 3r '
edQ
dV  4 r  r '
da cui
e 2 Z  ( r ') 3
 ( r ') 3
V  -
d r '  -Z 
d r'
4 r  r '
r r'
L’ampiezza di transizione si modifica in
M   Z  eiqr
  Z  e
iqr '
 ( r ')
r r'
d 3r 'd 3r
 ( r ')eiq( r r ')
r r'
d 3r 'd 3r
42
Poniamo
R  r -r '
e consideriamo
r'
costante (vale a dire integriamo su
r
)
eiqR 3
M   Z 
d R   ( r ')eiqr 'd 3r '
R
scattering Rutherford
(o Mott)
F(q2)
Possiamo quindi scrivere
 d   d 
2 2


  F (q )
 d   d  Mott

dove F ( q )   ( r ')e
della distribuzione di carica
2
iqr '
d 3r '
è il fattore di forma ed è la trasformata di Fourier
Sperimentalmente il fattore di forma è ottenuto dividendo la sezione d’urto misurata per
la sezione d’urto Mott. Si misura perciò la sezione d’urto per un’energia fissata del
fascio e per vari angoli (e quindi diversi |q|) e si divide per la sezione d’urto Mott
calcolata
43
in linea di principio la distribuzione di carica radiale potrebbe essere determinata dalla
trasformata di Fourier inversa, utilizzando la dipendenza da q2 del fattore di forma
sperimentale
1
2
 iqr 3
 (r ) 
F
(
q
)
e
d q
3 
(2 )
Nel caso di nuclei sfericamente simmetrici,  dipende soltanto da
L’integrazione sull’angolo solido dà
r r
sin qr 2
F (q )  4   (r )
r dr
qr
1
2 sin qr 2
 (r )  2  F (q )
q dq
2
qr
2
L’energia del fascio e la rapida diminuzione della sezione d’urto limitano il range di |q|.
Percio’ tipicamente vengono scelte delle parametrizzazioni di , si calcola il risultante
fattore di forma e i parametri vengono determinati tramite un fit ai dati sperimentali
44
Fattori di forma nucleari – esempi
(r)
F(q2)
puntiforme
 (r )
4
esponenziale
a 3e  ar
gauss
 a2

 2
3
2
 a 2r 2 / 2
 e

sfera omogenea
3R 3
rR
4
0
rR
sfera con
superficie
diffusa
esempio
costante
elettrone
dipolo
 q2 
1  2 
 a 
2
protone
gauss
e
q2 / 2a2
6Li
oscillante
3
sin qR  qr cos qR 
(qR)3
oscillante
40Ca
45
r
|q|
Fattori di forma nucleari – prime misure
Misura del fattore di forma di 12C con lo
scattering elettronico (Hofstadter, Stanford
1957). Una delle prime misure di un fattore di
forma nucleare
Sezione d’urto per 7 angoli a un’energia del
fascio di 450 MeV
Linea tratteggiata: scattering di onda piana da
parte di una sfera omogenea con superficie
diffusa
Linea continua: analisi degli spostamenti di
fase fittati ai dati
46
Lo scattering da parte di un oggetto con
una superficie ben definita
generalmente produce ben definiti
massimi e minimi di diffrazione
Nel caso di una sfera omogenea di
raggio R, si trova un minimo a
qR
 4.5

La posizione di questi minimi ci dà
quindi informazioni sulla dimensione
del nucleo scatteratore.
Esempio: il minimo nella misura di 12C
di Hofstadter è a q/ħ1.8 fm-1. Il nucleo
di carbonio ha perciò un raggio (di
carica) R=4.5/1.8 2.5 fm
47
d/d [cm2/sr]
Scattering elettronico su 40Ca e 48Ca
La sezione d’urto cambia di sette ordini
di grandezza
Tre minimi visibili, quindi buona
precisione nella misura del fattore di
forma
Minimi di 48Ca a minore |q| implicano
che 48Ca è più grande

48
Distribuzione di carica dei nuclei
I Nucleoni non si addensano vicino al centro
del nucleo
Piuttosto, hanno una distribuzione costante
fino in superficie
A
4 R
3
3
 costante
La densità è descritta dalla funzione di Fermi con due parametri
 (r ) 
 ( 0)
1  e(r R) / s
R è il raggio a cui (r) è diminuita di 1/2
R  R0 A1/ 3 R0  1.2 fm
s è la larghezza di superficie o “spessore di pelle”, dove (r) scende dal 90% al 10%.
49
Per tutti i nuclei si ha s  2.5 fm
Densità di carica
[x109 coulomb/cm3]
Dati di scattering elettronico
Distanza radiale (fm)
50
Raggio quadratico medio
Il fattore di forma può essere espanso in potenze di q
1
F (q )    (r ) (iqr cos  ) n d 3 r
n!
 1 2
 1

     (r ) 1  q 2 r 2 cos 2    d d (cos  )r 2 dr
 2

0 1 0
2


1 2
2
 4   (r ) r dr  q 4   (r ) r 4 dr  
6
0
0

Definendo il raggio quadratico medio come
r 2  4  r 2   (r )r 2 dr
1
F (q 2 )  1  q 2 r 2  
6
0
La misura sperimentale di <r2> richiede la misura di F(q2) a valori molto piccoli di q2
r2
dF (q 2 )
 6
dq 2 q 2 0
51
Raggi X atomici
Assumiamo che il nucleo sia una sfera uniformemente carica. Il potenziale è ottenuto in
due regioni:
dentro la sfera
Ze 2 
3 1  r 
V r   
   
4o R 
2 2  R 
All’esterno della sfera
2


 rR


Ze 2
V r  
rR
4 o r
L’energia di un elettrone in un dato stato con un nucleo puntiforme dipende da


 V   V n d r
*
n
3
Con un nucleo non puntiforme, assumendo che  non cambi apprezzabilmente quando
Vpuntiforme  Vsfera
3
*
3

 V '   V  n d r   nV n d r
*
n
r R
rR
52
Energia potenziale 1/r
Il nucleo sferico non puntiforme cambia i livelli di E<V’> - <V>
La variazione di energia fra un nucleo sferico ed uno puntiforme per la funzione d’onda
elettronica  del livello 1s è
1,1(1s)
E1s
2 Z 4e 2 R 2
E1s 
5 4o a
3
o

E1s(sphere)
E1s( pt)

In linea di principio misurando Epossiamo estrarre R. Il problema
tuttavia è che non

esiste un nucleo puntiforme!

Consideriamo una transizione 2p  1s per due atomi (A,Z) e (A1,Z). Avremo

 

 E  A  E  A' E  A  E  A
EK  A  EK  A  E2 p  A  E1s  A  E2 p  A  E1s  A
2p
2p
1s
1s
Possiamo assumere che E2p(A)=E2p(A’) e riscrivere
EK  A  EK  A  E1s  A  E1s  A
Shift isotopico

2 Z 4e 2 1 2 2 / 3
2/3


R
A

A
o
5 4  o ao3

53
EK  A  EK  A  E1s  A  E1s  A

2 Z 4e 2 1 2 2 / 3
2/3


R
A

A
o
5 4  o ao3

Graficando EK(A) – EK(A’) in funzione di A2/3 la pendenza della retta permette di ricavare
R0.
54
Atomi muonici
Muoni arrestati nella materia vengono intrappolati in orbite atomiche e hanno una
probabilità maggiore degli elettroni di passare del tempo dentro il nucleo.
.
Raggio di Bohr  1/Zm
massa   207 me
Energia  Z2m
vita media   2 s
i muoni eseguono transizioni verso livelli di energia bassi, emettendo raggi X prima di
decadere
   e  e  
Nel caso dell’idrogeno e degli elettroni r = a0 = 5x104 fm (raggio di Bohr)
Nel caso del piombo e dei muoni
5 104
r
 3 fm
82  207
Energia transizione 2P3/21S1/2: 16.41 MeV (Bohr), 6.02 MeV (misurata)
Misura dei raggi X  raggio
Raggi X di - anche i - possono occupare orbite attorno al nucleo. I raggi X sono
emessi quando il - scende fra due orbite. Lo shift dell’energia dei raggi X dipende dal
55
raggio
Fattori di forma nucleari – apparato sperimentale
Apparato sperimentale A1 all’acceleratore elettronico MAMI-B (Mainzer Microtron). Tre
spettrometri magnetici che possono essere usati singolarmente per lo scattering elastico
o assieme per reazioni inelastiche. Diametro della rotaia circolare 12 m.
56