Condizioni al contorno
Riflessione e rifrazione
Equazioni Maxwell nella materia
 
D  
 
B  0


D   o r E

 
B
 E  
t

   D
 H  J 
t


B
H
o r
Plane wave in dielectric
 
k E  0
k

c
 

k  H   o r E
n   r r
n
  
(k , E , H ) right hand triplet
c
H   o r E 
n
 o r
E   o r E
o r
Impedenza elettromagnetica
Zo 
o 1

 o o
  i ( kr t )
E  Eo e
Zr 
r 1

 r r
Refraction: Solutions in both media
( 2 , 2 )
(1 , 1 )

 i ( k r t )
E1  Eo ,1e 1
k1 

c
n1 ; n1   11
H 0,1   o1 E0,1

 i ( k r t )
E 2  Eo , 2 e 2
k2 

c
n2
; n2   2  2
H 0, 2  o 2 E0, 2
Refraction: Boundary Conditions
E1,t  E2,t  0
H1,t  H 2,t  J S
(1 , 1 )
D1,n  D2,n  
B1,n  B2,n  0
(1 , 1 )
( 2 , 2 )
( 2 , 2 )
Riflessione e rifrazione (Legge di Snell, coefficienti Fresnel)
y
y
Er
Er
Et
Ei
Hr
Ht
Et
Hi
Ei
Onda s (senkrecht=perpendicolare)
Polarizzazione TE
Onda p (parallel)
Polarizzazione TM
y
Onda TE
Er
Et
Ei
 
 
 
 
j ( ki r i t )
j ( ki r i t )
Ei (r , t )  Ei e
eˆx
H i (r , t )  H i e
(eˆz sin  i  eˆ y cos  i )
 
 
 
 
j ( k r r  r t  r )
j ( k r r  r t  r )
Er ( r , t )  Er e
eˆx H r (r , t )  H r e
(eˆz sin  r  eˆ y cos  r )
 
 
 
 
j ( kt r t t  t )
j ( kt r t t  t )
Et (r , t )  Et e
eˆx H t (r , t )  H t e
(eˆz sin  t  eˆ y cos  t )
H i   o1 Ei
H r   o1 Er
H t   o 2 Et
Boundary condition for E at z=0
E
i , //
e
 
j ( ki r i t )
 Er , // e
 
j ( k r r  r t  r )
 Et , // e
 
j ( kt r t t  t )

z 0
Onda TE e TM, conservazione fase all’interfaccia
 
ki  r
 
 i t  k r  r
z 0
 
 r t   r  kt  r
z 0
z 0
 r  t  0
i  r  t  



ki , //  k r , //  kt , //
Parallelo al piano di separazione
y
Er
Ei
Et
 i   r

n1 sin  i  n2 sin  t
 t t  t
y
Metodo grafico per rifrazione
 i   r  t  

 
ki  k r 
c
Er
Ei
n1
 
kt  n2
c



ki , //  k r , //  kt , //
Et
ky
 n1
c

ki
kz
n1 sin i  n2 sin t
y
Metodo grafico per rifrazione
 i   r  t  

 
ki  k r 
c
Er
Ei
n1
 
kt  n2
c



ki , //  k r , //  kt , //
Et
ky
 n1
c

ki
kz
n1 sin i  n2 sin t
y
Metodo grafico per rifrazione
 i   r  t  

 
ki  k r 
c
Er
Ei
n1
 
kt  n2
c



ki , //  k r , //  kt , //
Et
ky
 n1
c
 n2

ki
c
kz
n1 sin i  n2 sin t
y
Metodo grafico per rifrazione
 i   r  t  

 
ki  k r 
c
Er
Ei
n1
 
kt  n2
c



ki , //  k r , //  kt , //
Et
ky
 n2
 n1
c

ki
i
c
t

kt
kz
n1 sin i  n2 sin t
y
Onda TE
Er
Et
Ei
 
 
 
 i   r
k i  r   i t  k r  r   r t   r  k t  r  t t   t 
n1 sin  i  n2 sin  t
 Ei  Er  Et

 H i cos  i  H r cos  r   H t cos  t
 Ei  Er  Et

1 Ei cos  i  1 Er cos  r   2 Et cos  t
cons. E//
cons. H //  i E//
y
Onda TE
Er
Et
Ei
 Ei  Er  Et

1 Ei cos  i  1 Er cos  r   2 Et cos  t
1 cos  i   2 cos  t

E

 r  cos    cos  Ei

1
i
2
t

21 cos  i
E 
Ei
t

1 cos  i   2 cos  t
 i ni  i
i 


i i ni
y
Er
Onda TM
Hr
Ht
Et
Hi
Ei
 
 
 
 i   r
k i  r  i t  k r  r   r t   r  k t  r  t t   t 
n1 sin  i  n2 sin  t
H i  H r  H t

 Ei cos  i  Er cos  r  Et cos  t
1 Ei  1 Er   2 Et

 Ei cos  i  Er cos  r  Et cos  t
cons. H //  i E//
cons. E//
y
Er
Onda TM
Hr
Ht
Et
Hi
Ei
1 Ei  1 Er   2 Et

 Ei cos  i  Er cos  i  Et cos  t
 2 cos  i  1 cos  t

E

 r  cos    cos  Ei

2
i
1
t

21 cos  i
E 
Ei
t

 2 cos  i  1 cos  t
cons. H //
cons. E//
 i ni  i
i 


i i ni
TE wave
TM wave
y
y
Er
Er
Hr
Et
Ei
Ht
Et
Hi
Ei
1 cos  i   2 cos  t

E

 r  cos    cos  Ei

1
i
2
t

21 cos  i
E 
Ei
t

1 cos  i   2 cos  t
 2 cos  i  1 cos  t

 Er   cos    cos  Ei

2
i
1
t

21 cos  i
E 
E
 t  2 cos  i  1 cos  t i
TM wave
TE wave
y
y
Er
Er
Hr
Et
Ei
Ht
Et
Hi
Ei
TE
TM
1   2

 E r     Ei

1
2

 E   2  1 E
 r 1   2 i
1

Er   Ei

1  1 
2

1
2  3 
E


E
r
i

2
Normal incidence
TE=TM
TM wave
TE wave
Er
Er
Et
Et
Ei
Ei
TE
TM
1   2

 E r     Ei

1
2

 E   2  1 E
 r 1   2 i
1

Er   Ei

1  1 
2

1
2  3 
E


E
r
i

2
Normal incidence
Normal incidence
TE = TM
1   2

E

E
i
r

1   2



2
1
E 
Ei
t

1   2
No reflection if
same impedance
(not same n!!)
 i ni  i
i 


i i ni
Relazioni di Fresnel in funzione dell’angolo di incidenza
TE
1 cos  i   2 cos  t

E

 r  cos    cos  Ei

1
i
2
t

21 cos  i
E 
Ei
t

1 cos  i   2 cos  t

1 cos  i   2 1  n1 / n2 sin  i
Ei
 Er 
1 cos  i   2 1  n1 / n2 sin  i


21 cos  i
E 
Ei
t

1 cos  i   2 1  n1 / n2 sin  i t

Complicato perché in termini di  e n
Pure dielectric i=1
ni   i i   i
TE
TM
n1 cos  i  n2 cos  t

E

 r n cos   n cos  Ei

1
i
2
t

2n1 cos  i
E 
Ei
t

n1 cos  i  n2 cos  t
n2 cos  i  n1 cos  t

 Er  n cos   n cos  Ei

2
i
1
t

2n1 cos  i
E 
E
 t n2 cos  i  n1 cos  t i
i
i 
 ni
i
sin  t   i 

 Er  sin     Ei

i
t

 E  2 cos  i sin  t E
i
 t
sin  i   t 
tan  i   t 

E

 r tan     Ei

i
t

2 cos  i sin  t
E 
Ei
t

sin  i   t  cos i   t 
Per onde TE si moltiplica per sin(i)
Per onde TM si moltiplica per sin(i) ma poi è più semplice verificare all’indietro
tan  i   t  sin  i   t  cos i   t 


tan  i   t  sin  i   t  cos i   t 

sin i cos t  cos i sin t cos i cos t  sin i sin  t  
sin i cos t  cos i sin t cos i cos t  sin i sin t 
sin  cos cos 

sin  cos cos 
2
i
i
i
i
t
2

t


 sin 2  i sin  t cos  t  cos 2  i sin  t cos  t  cos  i sin  i sin 2  t

2
2
2
 sin  i sin  t cos  t  cos  i sin  t cos  t  cos  i sin  i sin  t
sin i cos i  sin  t cos  t   n2 sin  i cos  i  n2 sin t cos t   n2 cos i  n1 cos t
sin i cos i  sin t cos t  n2 sin i cos i  n2 sin t cos t  n2 cos i  n1 cos t
sin i cos t 
sin i cos t 
sin i cos i  sin  t cos t  sin i  t cosi  t 

AriaVetro
Onda s=Onda TE
Onda p=Onda TM
AriaVetro
Angolo di Brewster
Angolo di Brewster (onda TM no riflessione)
tan  i   t 
Er 
Ei
tan  i   t 
i  t 
Luce riflessa è polarizzata

2
Luce riflessa è polarizzata
Foto senza filtro polarizzatore
Foto senza filtro polarizzatore
che taglia la luce riflessa
Angolo Brewster e teorema ottico
 p 2 4 sin 2 
ˆ
S
r
2
3 2
32  o c r
Non c’è emissione
lungo l’asse del dipolo
elettrico indotto
TE wave
1 cos  i   2 cos  t

 Er   cos    cos  Ei

1
i
2
t

21 cos  i
E 
Ei
t

1 cos  i   2 cos  t
TM wave
 2 cos  i  1 cos  t

E

 r  cos    cos  Ei

2
i
1
t

21 cos  i
E 
Ei
t

 2 cos  i  1 cos  t
Pure dielectric i=1 i=ni
n1 cos  i  n2 cos  t

E

 r n cos   n cos  Ei

1
i
2
t

2n1 cos  i
E 
Ei
t

n1 cos  i  n2 cos  t
n2 cos  i  n1 cos  t

E

 r n cos   n cos  Ei

2
i
1
t

2n1 cos  i
E 
Ei
t

n2 cos  i  n1 cos  t
TE wave
1 cos  i   2 cos  t

 Er   cos    cos  Ei

1
i
2
t

21 cos  i
E 
Ei
t

1 cos  i   2 cos  t
TM wave
 2 cos  i  1 cos  t

E

 r  cos    cos  Ei

2
i
1
t

21 cos  i
E 
Ei
t

 2 cos  i  1 cos  t
Pure dielectric i=1 i=ni
n1 cos  i  n2 cos  t

E

 r n cos   n cos  Ei

1
i
2
t

2n1 cos  i
E 
Ei
t

n1 cos  i  n2 cos  t
n2 cos  i  n1 cos  t

E

 r n cos   n cos  Ei

2
i
1
t

2n1 cos  i
E 
Ei
t

n2 cos  i  n1 cos  t
Pure magnetic i=1 i=1/ni
n2 cos  i  n1 cos  t

E

 r n cos   n cos  Ei

2
i
1
t

2n2 cos  i
E 
E
 t n2 cos  i  n1 cos  t i
n1 cos  i  n2 cos  t

E

 r n cos   n cos  Ei

1
i
2
t

2n2 cos  i
E 
E
 t n1 cos  i  n2 cos  t i
Pure magnetic i=1
ni   i i  i
TM
TE
n1 cos  i  n2 cos  t

E

 r n cos   n cos  Ei

1
i
2
t

2n2 cos  i
E 
Ei
t

n1 cos  i  n2 cos  t
n2 cos  i  n1 cos  t

 Er  n cos   n cos  Ei

2
i
1
t

2n2 cos  i
E 
E
 t n2 cos  i  n1 cos  t i
i 1
i 

i ni
sin  i   t 

 Er  sin     Ei

i
t

 E  2 cos  i sin  i E
i
 t
sin  i   t 
tan  i   t 

E

 r tan     Ei

i
t

2 cos  i sin  i
E 
Ei
t

sin  i   t  cos i   t 
Aria-Vetro magnetico r=1; r=(1.5)2
Electric Field
Perpendicular to the
Plane of incidence
p-plane
s-plane
Angolo di Brewster
Aria-Vetro magnetico r=1; r=(1.5)2
Magnetic Field
Perpendicular to the
Plane of incidence
p-plane
s-plane
Angolo di Brewster
Aria-Vetro magnetico r=1; r=(1.5)2
Angolo Brewster e teorema ottico
Magnetic Field
Perpendicular to the
Plane of incidence

 sin   m 
ˆ
S
r


2
3 2
32  o c r  c 
4
2
2
Non c’è emissione
lungo l’asse del dipolo
magnetico indotto
Left handed materials
Negative refraction
Waves equations

2



E
2
2
 E   o o 2   k E
t
2 2
 n
2
k  2
n  
c
 

k  E  o  H
 

k  H   o E
1 cos  i   2 cos  t
Er 
Ei
1 cos  i   2 cos  t




Plasma
n   imaginary
Wave attenuation
Dielectric materials
n   real
Wave propagation

Veselago materials
Metals
n   real
n   imaginary
Wave propagation
Wave attenuation
Citations
Negative
Refraction
Dielectric materials
>0
Veselago materials
<0
>0

n    

Right handed materials

 
E
k,S
real
<0

n    

 

k  E  o H

H
real
Left handed materials

E


k 
H
 S 
S k
k
 
vp  S > 0
  
S  EH

S 
S  k
k
 
vp  S < 0
S
Refraction from RHM to LHM
RHM
LHM
Refraction from RHM to LHM
RHM
k
LHM
 n1
c
 n2
c

ki
k //
Refraction from RHM to LHM
RHM
k
LHM
 n1
c

kt
 n2
c

ki
k //
Refraction from RHM to LHM
RHM

S 
S  k
k
RHM
LHM
LHM
n2
sin  i  sin  t
n1
RHM
Energy refraction as if n<0

S
Refraction from RHM to LHM
RHM

S 
S  k
k
RHM
LHM
LHM
n2
sin  i  sin  t
n1
RHM
Phase propagation at negative velocity

k
Anomalous propagation
 
v p  vg < 0
Propagazione ”anormale” (n<0)
 
vp  vg < 0
v p  vg < 0
A metal rod in an
empty drinking glass
Fill the glass with blueberry
juice (n = 1.3)…
These pictures are NOT quoted from science
fictions; they are computer simulations published
in renowned peer-reviewed scientific journals!
Positive Refraction
G. Dolling, et al., "Photorealistic images of
objects in effective negative-index materials,"
Opt. Express 14, 1842-1849 (2006).
Negative Refraction
A metal rod in an
empty drinking glass
Now try the new recipe:
negative refraction
A metal rod in an
empty drinking glass
Fill the glass with blueberry
juice (n = 1.3)…
These pictures are NOT quoted from science
fictions; they are computer simulations published
in renowned peer-reviewed scientific journals!
Now try the new recipe:
negative refraction
G. Dolling, et al., "Photorealistic images of
objects in effective negative-index materials,"
Opt. Express 14, 1842-1849 (2006).