Meccanica del Punto Materiale
Corsi di Laurea in: Fisica e Astrofisica,
Tecnologie Fisiche Innovative
Anno Accademico 2006-2007
Lezioni ( docente: Savrié Mauro )
mercoledì : 10:30-12:30
aula F4
venerdì : 10:30-12:30
aula F4
Esercitazioni ( docente: Zavattini Guido )
giovedì : 10:30-12:30
aula F4
Le copie delle presenti trasparenze saranno
disponibili in rete all’ indirizzo:
www.fe.infn.it/~savrie
.........cercare...ma occhio agli errori!
Inizio lezioni: 10 gennaio 2007
Fine lezioni: 17 marzo 2007
Esami:
- prova scritta:
esito positivo:
p >18/30
valida solo per
l’ Anno Accademico sconsigliato: 15/30<p<18/30
non ammesso:
p<15/30
- prova orale :
A.A.2006-07
esito positivo: p>18/30
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
1
CALENDARIO ESAMI ANNO ACCADEMICO 2006-2007
CORSO DI LAUREA IN FISICA ED ASTROFISICA _ Riforma (trimestri)
MATERIA DI INSEGNAMENTO:
meccanica del punto materiale
PRIMA SESSIONE
Dal 4 dicembre 2006 al 5 gennaio 2007
Scritto
Orale
Giorno
Ora
4 Dicembre
9:00
Giorno
Ora
6 Dicembre
9:00
20 Dicembre
9:00
SECONDA SESSIONE
Dal 20 marzo 2006 al 31 marzo 2006
Scritto
Orale
Giorno
Ora
Giorno
Ora
19 marzo
9:00
21 marzo
9:00
26 marzo
9:00
28 marzo
9:00
TERZA SESSIONE
Dal 16 giugno 2006 al 29 luglio 2006
Scritto
Orale
Giorno
Ora
Giorno
Ora
18 giugno
9:00
20 giugno
9:00
2 luglio
9:00
4 luglio
9:00
QUARTA SESSIONE
Dal 1 settembre 2006 a inizio lezioni a.a. 2006/07
Scritto
Orale
Giorno
17 settembre
Ora
9:00
Giorno
19 settembre
Ora
9:00
COMMISSIONE GIUDICATRICE
Professore ufficiale della materia: Prof. Savrié Mauro
Secondo membro: Dr. Guido Zavattini
SUPPLENTI: Dr. Michelle Thompson Stancari Prof. Luppi Eleonora, Dr. Baldini Wander,Dr. Barbara Ricci
IL PRESIDENTE DELLA COMMISSIONE D’ESAME
Savrié Mauro
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
2
Principali Argomenti
Trattati
• I vettori
• Cinematica del punto materiale;
• Dinamica del punto ed equazioni del
moto;
• Lavoro, energia e sistemi
conservativi;
• Dinamica dei sistemi
• Urti e reazioni;
• Dinamica rotazionale
• La gravità e le forze centrali
Testi consigliati:
1)
2)
3)
4)
A.A.2006-07
Mazzoldi,Nigro,Voci:
FISICA (1° vol. ) ed. EdiSES Napoli
Mencuccini,Silvestrini:
Fisica I Meccanica Termodinamica ed. Liguori
H.C. Ohanian:
FISICA ( 1° vol. ) ed. Zanichelli Bologna
B. Borgia, M.Grilli
Fisica Meccanica-Termodinamica Ed. CISU
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
3
Introduzione
FISICA
DESCRIZIONE ED INTERPRETAZIONE
DEI FENOMENI NATURALI
metodo scientifico
perturbazioni
modelli
correlazioni
qualitative
correlazioni
quantitative
tabelle,grafici,
formule
calcolo......
“teorico”
schematizzazione
2
misura
procedure e conv.
numeri ed unità
Grandezze fisiche:
(definiz. opeativa)
3
osservazione
sperimentale
4
leggi
fisiche
relazioni
matematiche tra
le grandezze fisiche
rilevanti
5
previsione
6
verifica
sperimentale
1
...vediamo se è
giusta la teoria
Metodo induttivo
osservazioni
leggi
Metodo deduttivo
quantificazione delle grandezze
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
4
Grandezze fisiche:
Una grandezza fisica è definita se si è indicato
un modo operativo per misurarla e la misura è
riproducibile
misura
diretta
indiretta
Confronto (eguaglianza)
Somma (multipli e sottomultipli)
Unità di misura ( campione unitario )
Misura di grandezze diverse ma legate a quella in esame
da leggi note→sistemi di unità di misura
1.
Criterio di confronto
tra coppie grandezze omogenee A e B permette di stabilire
se A>=<B
2.
Definire un criterio di somma
permette di definire i multipli ed i sottomultipli di grandezze
fisiche : A*n, A:n
3.
Definizione delle grandezze campione
sistemi di unità di misura
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
5
Possiamo definire operativamente le
Grandezze Fisiche
Grandezza fisica:
tutto ciò che, essendo suscettibile di variare
quantitativamente, può essere sottoposto ad
un processo di misura definito e ripetibile
Esempi:
- lunghezze, aree …..
Scelta iniziale dell’ unità di misura:
ARBITRARIA :unità fondamentali
poi, per le leggi generali in cui compare:
LEGGI SEMPLICI
La ripetibilità della misura comporta:
1. Esistenza di errori (casuali)
2. Necessità di un sistema di unita’ di misura
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
6
Sistemi di unità di misura
.....prendiamo un caso interessante:
L’ AREA
Una volta scelta l’unità di misura (ad es. di forma
rettangolare), se applichiamo il “criterio del confronto”,
ogni altra area sarà caratterizzata dalla misura “A”.
Se misuriamo più superfici rettangolari, vediamo che:
A  K  a b
K:
Costante che dipende dalle unità
di misura delle lunghezze e aree
N.B.
L’area di qualunque figura piana è proporzionale al prodotto
di 2 lunghezze. In pratica: in modo che le leggi siano le più
semplici, si sceglie come area unitaria l’ area del rettangolo
di lati a=b=1. In questo modo si ha che:
A  a b K  1
ma in generale, scelto il m2 come U.d.M.per ogni altra
figura piana:
A  f  a b
f 1
f:
Fattore di forma
Triangolo: f=1/2
Cerchio: f=π ..........
N.B.
La scelta dell’ unità di misura è, in principio, arbitraria!
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
7
Se scegliessimo come unità di misura il cerchio di
raggio unitario:
Area rettangolo= a*b/π
In ogni caso dobbiamo constatare che :
L’area di qualunque figura piana, a meno del fattore di forma
(numero puro), risulta essere sempre proporzionale al
prodotto di 2 lunghezze:
A  L L  L2 
Tale relazione è detta:
EQUAZIONE DIMENSIONALE
Altri esempi di grandezze derivate
dalla lunghezza
• angolo (gradi, radianti)
  X/R adimension ale
rad gradi
=
2 360
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
o
X

R
8
θ (GRADI)
θ (RAD)
0°
0
30°
π/6
45°
π/4
90°
π/2
180°
π
• angolo solido (sterandianti)
Area normale al raggio:
  A / r 2 adimension ale
Ang.Solido
tot

 4    r 2 / r 2
o R
A
Area non normale al raggio:

  A  cos / r 2
Angolo solido infinitesimo:
d  dA / r
Dimensioni
Leggi fisiche
A.A.2006-07
dS
2
dS cos 
Omogeneità dimensionale delle
equazioni della Fisica
Grandezze
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
Sistemi fondamentali
9
Sistemi di unità di misura
A) IL SISTEMA INTERNAZIONALE
Unità usate:
Metro: m Chilogrammo: Kg secondo: s
1) Metro:
- campione di Sèvres (Pt/Ir): circonferenza polare
della Terra=4 107m
- lKr(arancio) : 1m=1650763.73 lKr
- dal 1983 :
1m= distanza percorsa dalla luce in
Dt=(299792458)-1s
2) Secondo:
- giorno solare medio: 1s=(86400)-1 g.s.m.
- frequenza di oscillazione dell’atomo di cesio
1s
9192631770 oscillazioni (coincide
con il secondo solare medio dell’ anno 1900)
3) Chilogrammo:
- campione di Sèvres
- Campione atomico: 1 u.m.a.=1.66 10-27 Kg
B) IL SISTEMA C.G.S.
- centimetro: cm
- grammo: g
- secondo: s
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
10
Ancora sulle dimensioni
Una volta definito un insieme di grandezze ogni altra può
essere definita in maniera indiretta. Le grandezze dell’
insieme ( arbitrarie ) si dicono fondamentali.
Le operazioni algebriche che definiscono una grandezza
derivata D in base alle fondamentali Fi implicano relazioni
specifiche tra le dimensioni note come: equazioni
dimensionali. Per ogni relazione del tipo:
D  Ci Fii
D  i Fi 
i
vale:
Le dimensioni “fondamentali” del S.I sono L,M,t. Per
cui:
superficie : S  L t  M 
2
0
0
volume : V   L t  M 
3
0
0
velocità : v  L t  M 
1
1
0
accelerazi one : a   L t  M 
1
2
0
densità :    L  t  M 
3
A.A.2006-07
0
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
1
11
 Le dimensioni non definiscono una grndezza fisica (g.f.)
 le dimensioni di una g.f. sono sempre esprimibili come
prodotto dimensionale delle g.f. fondamentali del sistema
di unità di misura (s.u.m.) usato, elevate a potenza con
esponente reale (±)
 è possibile sommare solo g.f. omogenee
 g.f. diverse possono essere combinate solo con
operazioni di moltiplicazione ed elevamento a potenza
con esponente adimensionale
 g.f. o loro funzioni possono essere legate da uguaglianze
in una legge fisica solo se i due termini hanno le stesse
dimensioni. Il segno di eguaglianza non è vero solo da un
punto di vista matematico
introduzione di
coefficienti e costanti “dimensionali”il cui valore dipende
dal s.u.m. scelto.
 Per essere usate come argomenti di funzioni, le grandezze
fisiche devono essere combinate in modo adimensionale.
Infatti qualsiasi funzione può essere sviluppata in serie di
potenze:
1 2
e  1  x  x  ........
2
x
Per cui x deve essere adimensionale!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
12
ESEMPIO pratico di uso di eq. dimensionali:
Un pendolo è costituito da una pallina di piombo di
massa m appesa ad un filo di lunghezza l. Usando un
cronometro si è misurato il periodo T.
NOTIAMO CHE:
- pendolo fisicamente caratterizzato solo da: m, l
- moto del pendolo caratterizzato solo da: g
costante adimensionale

IPOTESI:

T  Kl m g
T   L


M LT  

2 
DA CUI:
  0   1 / 2     1 / 2
T K l/g
K = costante da determinare...... sperimentalmente!!
A.A.2006-07
finqui 100107
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
13
ALCUNI NUMERI UTILI
Tempi tipici (circa):
Età dell’ Universo
4 1017s
Età del nostro Sistema Solare
1.4 1017s
Età delle scritture più antiche
1.6 1011s
Durata media della vita dell’ uomo
2.2 109s
Tempo luce da Terra a prima stella 1.4 108s
Rivoluzione della Terra
3.15 107s
Rotazione terrestre
8.6 104s
Vita media di un neutrone libero
9.2 102s
Tempo luce dal Sole alla Terra
5 102s
Tempo luce dalla Luna alla Terra
1.3 s
Periodo onda sonora ( do3, 261.6Hz)
3.8 10-3s
Vita media del π+
2.6 10-8s
Periodo di un’ onda luminosa
~2 10-15s
Periodo raggi X
~3 10-19s
Vita della particella più instabile
~10-24s
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
14
DISTANZE:
Distanza Universo osservabile
~1026m
Distanza galassia di Andromeda
2.1 1022m
Diametro della Galassia
7.6 1020m
Distanza Proxima Centauri
4.0 1016m
Distanza Terra-Sole
1.5 1011m
Diametro Terra
6.4 106m
Lungezza di una radio-onda (AM)
~3 102m
Lunghezza d’ onda della luce
~5 10-7m
Diametro di un virus piccolo
~2 10-8m
Diametro di un atomo
~1 10-10m
Diametro di un nucleo di ferro
8 10-15m
Diametro del protone
2 10-15m
MASSE:
Universo osservabile
1055Kg
Galassia
4 1041Kg
Sole
2 1030Kg
Terra
6 1024Kg
Automobile
~1.5 103Kg
Goccia di pioggia
2 10-6Kg
Virus più piccolo
4 10-21Kg
Atomo di ferro
9.5 10-26Kg
Protone
1.7 10-27Kg
Elettrone
9.1 10-31Kg
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
15
Sistemi di unità di misura
IL SISTEMA INTERNAZIONALE
(completo)
Grandezza fisica
Unità di misura
Simbolo
lunghezza
metro
m
massa
chilogrammo
Kg
tempo
secondo
s
Corrente
ampere
A
Temperatura
Kelvin
K
Intensità luminosa
candela
Cd
Quantità si sostanza
mole
mol
prefisso
abbr.
fattor
e
prefiss abbr. fattore
o
deca
da
10
deci
d
10-1
etto
h
102
centi
c
10-2
kilo
K
103
milli
m
10-3
mega
M
106
micro
μ
10-6
giga
G
109
nano
n
10-9
tera
T
1012
pico
p
10-12
peta
P
1015
femto
f
10-15
exa
E
1018
atto
a
10-18
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
16
IL SISTEMA INTERNAZIONALE (completo)
Grandezza fisica
Unità di misura
Simbolo
lunghezza
metro
m
massa
chilogrammo
Kg
tempo
secondo
s
Corrente
ampere
A
Temperatura
Kelvin
K
Intensità luminosa
candela
Cd
Quantità si sostanza
mole
mol
prefisso
abbr.
fattor
e
prefiss abbr. fattore
o
deca
da
10
deci
d
10-1
etto
h
102
centi
c
10-2
kilo
K
103
milli
m
10-3
mega
M
106
micro
μ
10-6
giga
G
109
nano
n
10-9
tera
T
1012
pico
p
10-12
peta
P
1015
femto
f
10-15
exa
E
1018
atto
a
10-18
zetta
Z
1021
zepto
z
10-21
Yotta
Y
1024
yocto
a
10-24
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
17
Cambiamento dell’ unità di misura
Data un grandezza q con misura {q}, dimensione Q
ed unità di misura [Q], per convertirla in una nuova
unità di misura [Q]*si scrive:
q =  q Q   q  Q
*
*
Q

 q   q
Q
*
*
da cui:
  q c
c=rapporto tra due unità con la stessa dimensione.
2
144
in
2
esempio: A = 7ft 2 

1008
in
1 ft 2
N.B.
1 ft = 12 in
In pratica è esattamente come moltiplicare per una
quantità unitaria che “cancelli “la vecchia unità:
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
18
Cambiamento di unità di misura
Esempio:
L’ acqua ha densità : ρ=1.00 103 Kg/m3. La si esprima in
grammi al centimetro cubo:
Kg
103 g
103 g
3
3
1.00 10 3  1.00 10 
 1.00 10  6 3
3
2
m
10 cm
10 cm
g
 1.00 3
cm
3
E analogamente:






1
3
lb


Kg
0
.
305
lb
1.00 103 3  1.00 103  0.454 3  1.00 103 
m
0.454 ft 3
1
ft
0.305
lb
 62.5 3
ft
Oppure si moltiplica per “rapporti unitari”:
3
3

3 Kg
3 Kg 10 g  1m
1.00 10

1
.
00

10



 
3
3
2
m
m 1Kg  10 cm 
3
10
1.00 103  6
10
A.A.2006-07
 Kg g m 3 
g
  3 
 3   1.00  3
cm
 m Kg cm 
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
19
Le grandezze fisiche sono in generale: variabili
Le relazioni tra grandezze fisiche ( le variabili ) sono
sabilite da funzioni :
 Univoche: se ad ogni x corrisponde un y
 Biunivoche: se sono univoche e ad ogni
y corrisponde un solo x (ad un sol valore)
Le funzioni si rappresentano mediante:
 tabelle:
Tempo ( data e
ora)
temperatura
1/1 3:00
-0,1 °C
1/1 6:00
-1,0 °C
1/1 9:00
+2,9 °C
1/1 12:00
+7,1 °C
1/1 15:00
+9,3 °C
1/1 18:00
+6,1 °C
1/1 21:00
+3,8 °C
1/1 14:00
+0,8 °C
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
20
 grafici:
 si definisce un sistema di assi coordinati
 si definisce un origine ed un orientamento
 si definisce una unità di misura per ogni asse
y
P ( x, y )
Py
y
o
x
x
Px
temperature (°C)
Dall’ esempio di prima:
10
8
6
4
2
0
-2 0
10
20
30
time(s)
Ma non si hanno informazioni nei
“ punti intermedi”
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
21
temperature (°C)
Si ricorre alla “interpolazione dei dati”
10
8
6
4
2
0
-2 0
10
20
30
time(s)
La curva interpolante si sceglie in base a:
• criteri fisici
• criteri statistici
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
22
Classificazione
delle grandezze fisiche
SCALARI:
identificate da numero e unità di misura
VETTORIALI:
identificate da:
- numero ( modulo ) e u.d.m.
- direzione
- verso
- punto di applicazione? ( eventualmente )
Simboli usati:
• vettore:

V
V
• modulo del vettore:

V, V
VETTORE TIPICO: spostamento
 
R r
Da cui deriva la definizione:
ogni grandezza caratterizzata da modulo,
direzione e verso è un vettore se gode delle
stesse proprietà del vettore spostamento (che vedremo poi)
Rappresentazione:
mediante segmenti orientati la cui lunghezza,
secondo una certa unità, è proporzionale al
modulo e la cui direzione è la direzione del
vettore.
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
23
PROPRIETÀ DEI VETTORI
1) SOMMA
• regola del parallelogramma (golden rule!)
• commutatività
• associatività
• elemento neutro
VETTORE NULLO
che modulo e direzione ha?
Non è indispensabile costruire
Il parallelogramma!

B
  
S  A B
  
R  S C
  
 A B C
  
 A B C
 
o
 AY
  
S  A B

A.A.2006-07

  
S  B A



A
p3

R

C

S

A
p2

B
p1
  
Y  BC
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
24

a

b

c
Proprietà commutativa

d

R

d
A
B

c

b

a

e

z

R

w
Proprietà associativa:

d

c

v
     

u

R  a b c d e

b

        a
R  a b c d e  u c d e
     
 

 
 
R  u  c   d  e  v  d  e  v  d  e  v  z .......



  
dati 3 vettori tali che: C  A  B

si ha che: C  A  B
2) DIFFERENZA
 
dati 2 vettori: A, B

A

B

la loro differenza è un vettore: C tale che:
  
ACB
  
C  A B


B
...e
vale?
Nella differenza ci aiuta il prodotto......
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie

 
B  A quanto
25
2) PRODOTTO:
 '
A) Per uno scalare m  V  V
È un vettore!!!!!
• ha la stessa direzione
• ha lo stesso verso ( se m>0)
• ha modulo:

mV
Proprietà:
• distributiva
• elemento neutro


 


c A  B  cA
  cB

b  c A  bA  cA
Vettore unitario
(versore :
Vˆ )
vettore
opposto

V  V Vˆ
Vettore nullo
Differenza di vettori
N.B.
Segue dalla definizione di moltiplicazione di vettore per uno scalare
che ogni vettore può essere rappresentato come:


a  a ea
A.A.2006-07
Vettore unitario (versore)
con la stessa direzione

e lo stesso verso di a se a è>0
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
26
In generale:

a
êa 
a

ea
si indica
: eˆa
E tutti i versori sono ovviamente adimensionali!!
I versori sono relazionabili non solo con i vettori ma con qualsiasi
direzione o curva nello spazio:
êx Versore dell’ asse coordinato x
ên
Versore della normale ad una curva
êt
Versore della tangente ad una curva
Importanti relazioni lineari vettoriali
• siano dati tre vettori complanari e non collineari, uno
qualunque può essere espresso come combinazione lineare
degli altri due:



c  a   b

c

b

b

a

a
 ,  : scalari che determinano
univocamente il vettore
• per estensione: siano dati tre vettori ognuno dei quali non
complanare con altri due, ogni altro vettore è tale che:

 

d  a   b  c

• data una direzione l nello spazio ed un vettore a che forma

un angolo φ con
 essa:
a  a cos 
l
a
l

al


a   ai  al   ali
i 1, n
In generale:
A.A.2006-07
Proiezione del vettore
lungo la direzione l
i 1, n
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
27
B) Scalare
 
V1 V2  V1V2 cos 
È uno scalare!!!!!

V1

V2
Proprietà:
   
commutativa
A B  B  A
  
   
distributiva A  B  C  A  B  A  C


1.
2.

 
A B  0
condizione di ortogonalità:
modulo di un vettore:
 

2
A  A  A  modulo di A al quadrato
 
V1  V2
C) vettoriale
È un vettore!!!
  
C  V1  V2

V2
C  V1V2 sin 
C  V1V2 sin  n̂

n̂

V1
• direzione ortogonale al piano di
• verso della vite destrorsa
A.A.2006-07

V1
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
e

V2
28
Proprietà:
• è anticommutativo
 
 
A  B  B  A
• condizione di parallelismo
  
A A  0
• la moltiplicazione per uno scalare


 
  

c A  B  cA  B  A  cB
• proprietà distributiva:


  
   
A B C  A B  AC
D)
Misto
  
V1   V2  V3

è un vettore o uno scalare??
A.A.2006-07
finqui 110107
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
29
  
A B  C
Cosa rappresenta?
  
 
 
A  B  C  A BC sin B, C  cosA, n 


  
A  B  C  ABC sin  cos 

A

n
 
  ( A, n )

C

  B
  ( B, C )
In particolare:
        
A B  C  B  C  A  C  A  B
Il prodotto vettoriale non cambia
per trasformazione ciclica dei
suoi fattori:
C
B
A
rotazioni positive: è numericamente uguale al volume
rotazioni negative: è uguale al volume cambiato di segno
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
30
VETTORI
QUALCHE ALTRA PROPRIETA’
1)

 
A X  b X
non è definito..univocamente
La divisione per un vettore è un’operazione
non definita

2)  
 A  B  C
 
 
 
 A  B   A  B  C  C
 
2
2
A  B  2 AB cos A, B   C 2
ed analogamente se:
 

 A  B  C
 
2
2
A  B  2 AB cos A, B   C 2

C

A


A

C

B
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie

31
Problema 0
Una nave si muove per 2.89 miglia in direzione 65° N e
successivamente per 1.83 miglia in direzione S. Trovare lo
spostamento totale effettuato dalla nave.
soluzione:
N

A
65°
O
β

C
γ

B
E
per il teorema di Carnot:
C2 =A2 +B2+2ABcosγ
C=(8.35+3.35-4.45)1/2=2.69 miglia
per il teorema dei seni:
senβ/B=senγ/C β=38.1°

C  2.69miglia
  38.1
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
32
CINEMATICA
STUDIA IL MOTO DEGLI OGGETTI
INDIPENDENTEMENTE DALLE CAUSE
CHE LO PRODUCONO
Definisce alcuni concetti fondamentali:
1) EVENTO
• fenomeno che accade in un certo punto dello
spazio ed in un certo istante di tempo;
• spazio e tempo caratterizzano un evento.
2) PUNTO MATERIALE
• sistema fisico che concorre alla realizzazione
di un evento e le cui dimensioni sono piccole
rispetto alle altre in gioco; oppure sono piccole
rispetto alla precisione con cui se ne conosce la
posizione.
• è un concetto relativo.
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
33
La cinematica si occupa del moto dei sistemi
descrivendone la configurazione (posizione) al
passare
del
tempo.
Dobbiamo
definire
operativamente il concetto di: posizione
SISTEMI DI RIFERIMENTO
Perchè la posizione di un punto materiale ha senso solo se
definita rispetto alla posizione di altri corpi presi come riferimento
Si assume che lo spazio sia:
• tridimensionale
• euclideo
• omogeneo
• isotropo
Si assume che il tempo sia :
•assoluto
Come si rappresenta lo spazio?
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
34
y
Py
P(x,y) assi coordinati
nel piano:2D
y
o
x
x
Px
P(x,y)
py
assi coordinati
cartesiani nel piano: 2D
y
o
px
x
z
assi coordinati
cartesiani nello spazio
( sistema levogiro o destrorso)
3D
P(x,y,z)
k̂
ĵ
o
z
y
iˆ
x
versori degli assi:
y
x
iˆ; ˆj; kˆ

eˆi i  1,2,3
uˆ ; uˆ ; uˆ
 x y z
Componenti di un vettore in una certa direzione
  
V  V||  V
A.A.2006-07
A

V

A
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie

V||

V
n
C
35
Gradi di libertà: numero di parametri indipendenti
necessari per definire la posizione di un sistema
fisico.
Punto materiale libero nello spazio : 3 gradi di libertà
Punto materiale libero nel piano:
2 gradi di libertà
Ma non coincidono con le dimensioni dello spazio!!!
1.
sistema di N punti materiali liberi nello spazio
2.
sbarra rigida di lunghezza l libera nello spazio
3.
sistema rigido mobile nello spazio
4.
punto in moto su una circonferenza di raggio
dato
z


rx

r
o

Px, y , z 
   
r  rx  ry  rz
Vettori componenti

rz
y

ry
x

r  rxî  ry ˆj  rz k̂
Componenti cartesiane del vettore
rx  r sin  cos 
ry  r sin  sin 
Componenti del vettore
In coordinate polari
rz  r cos 
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
36
Rappresentazione cartesiana
dei vettori
COSENI DIRETTORI
Ogni vettore puo’essere espresso mediante le
sue componenti cartesiane:

A  Axiˆ  Ay ˆj  Az kˆ



A  i A  i  j  A  j   k A  k
 
Consideriamo il caso di un vettore unitario:
     
   
 
  î   î  ˆj   ˆj  k̂   k̂
  î cos Â,î  ˆj cos Â, ˆj  k̂ cos Â, k̂
  î cos   ˆj cos   k̂ cos 
Coseni direttori
Se calcoliamo il modulo:
 
1  cos2  A , i  cos2  A , j   cos2 A , k
La somma dei quadrati dei coseni direttori di
una retta ( vettore ) vale 1.
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
37
Dato un sistema di coordinate cartesiane:

A  Axî  Ay ˆj  Az k̂
A  Ax , Ay , Az 
In due dimensioni:
y

A
y
Ax  A cos  x
Ay  A cos  y  Asen x
P

A  Ax  Ay
x
o
2

2 1/ 2
x
In tre dimensioni:
Ax  A cosx , Ay  A cosy , Az  A cosz

A  Ax  Ay  Az
2
2

2 1/ 2
In particolare per i “versori degli assi”:
iˆ  1,0,0 ˆj  0,1,0 kˆ  0,0,1
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
38
Prodotto scalare
E’ uno scalare !
   
A  B  A B cos   AB cos 
   
A B  B  A

Acos


B
 
A  A  A  A  cos 0  A2

A
B cos

A
 
 
A  B  A  B  cos     A cos  B  B  A
 
A  B  A  BA  B  AB

B
In termini di versori:
1i  j
x̂i  x̂ j   i , j  
0i  j


î  A  Ax
i , j  1,2 ,3  x , y , z
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
39
Notiamo che, se ruotiamo il sistema di coordinate, cambiano le
componenti cartesiane dei vettori ( per ora è intuitivo!) ma non cambia la
quantità (prodotto scalare):
AB cos 


 
A  B  Axî  Ay ˆj  Az k̂  Bxî  By ˆj  Bz k̂

 
A  B  Ax Bxî  î  Ax By î  ˆj  Ax Bz î  k̂
Ay Bx ˆj  î  Ay By ˆj  ˆj  Ay Bz ˆj  k̂
Az Bx k̂  î  Az By k̂  ˆj  Az Bz k̂  K̂
Ax Bx  Ay B y  Az Bz
che per questo viene detta: Invariante Scalare
La condizione di ortogonalitàè implicita in:
 
A B  0
In generale:
 
A B 
0
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
40
Prodotto Vettoriale
E’ un vettore !
y
  

C  A  B   AB sin  n
  
C  A B
   
A B  B A ?
x
o
z

A

B

A

Asin

B

B  base

A sin  altezza
In termini di versori:
 xk i  j e perm. pari

xˆi  xˆ j   xk i  j e perm. dispari
0i  j

 
A A  0
N.B.
Nel determinare la direzione del prodotto vettoriale abbiamo fatto
riferimento ala direzione di rotazione dal primo al secondo vettore.
Per il vettore spostamento no. L’ orientazione è data dalla natura
stessa del vettore: polare o vero . Nel primo caso parliamo di vettori
assiali o pseudovettori che cambiano di segno passando da sistemi
destrorsi a sispemi sinistrorsi contrariamente ai polari che
rimangonio invariati.
A.A.2006-07
finqui 12 Gennaio
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
2007
www.fe.infn.it/~savrie
41

 
 
A  B  Axî  Ay ˆj  Az k̂  Bxî  By ˆj  Bz k̂
 
A  B  Ax Bxî  î  Ax By î  ˆj  Ax Bz î  k̂
Ay Bx ˆj  î  Ay By ˆj  ˆj  Ay Bz ˆj  k̂
Az Bx k̂  î  Az By k̂  ˆj  Az Bz k̂  K̂

 
A  B  Ax By î  ˆj  Ax Bz î  k̂
- Ay Bxî  ˆj  Ay Bz ˆj  k̂
- Az Bxî  k̂  Az By ˆj  k̂
 
A  B  Ax By k̂  Ax Bz ˆj - Ay Bx k̂  Ay Bz î - Az Bx ˆj  Az By î


A  B  Az B y  Ay Bz î 
 Ax Bz  Az Bx ˆj 
Ax By  Ay Bx k̂
ˆj k̂
  î
A  B  Ax Ay Az
Bx B y Bz
è cond. di parallelismo:
In generale:
A.A.2006-07


A B  0




A B  - B  A
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
42
Prodotto misto
E’ uno scalare (triplo prodotto scalare):
  
V  A  B  C  C AB sin  cos 
y

C
z

n

Proprietà:


B
Volume del parallelepipedo
di lati A,B,C
x

A

 
 

V  A  BC  A B  C

 

 
V  B  A  C   A  C  B
 


 
V  AC  B  C  A B
In termini di componenti:
Ax Ay Az

 
A  B  C  Bx By Bz
Cx Cy Cz
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
43
Triplo prodotto vettoriale
E’ un vettore:
   
D  A B  C

In quale piano giace il vettore


D
?
 
Nel piano dei vettori B e C



D  B   C
Possiamo quindi scrivre:
E si può dimostrare (ma non lo facciamo) che:

 

     

D  AC B  A B C
Dove vallgono le seguenti relazioni:


 
  AC
 
   A B
A.A.2006-07


Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
44
Derivata di un vettore
Sia dato un vettore dipendente dal tempo:

a t 

a t   ax t  î  a y t  ˆj  az t  k̂
e supponiamo che il sistema di riferimento non ruoti. In un
intervallo di tempo Dt il vettore subisce un incremento Da

Da t   Dax t  î  Da y t  ˆj  Daz t  k̂
Che cosa significa?
•Qual’è la velocità di variazione del vettore nel tempo?
•Cosa implica che il sistema di riferimento non ruota?

Da y t 
Da t  Da x t 
ˆj  Da z t  k̂

î 
Dt
Dt
Dt
Dt

Da y t 
Da x t 
Da t 
Da z t 
ˆ
lim
 lim
î  lim
j  lim
k̂
Dt  0 Dt
Dt  0
D
t

0
D
t

0
Dt
Dt
Dt

da y t 
da t  dax t 
daz t 
ˆ

î 
j
k̂
dt
dt
dt
dt
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
45

da y t 
da t  dax t 
daz t 
ˆ

î 
j
k̂
dt
dt
dt
dt
La seguente notazione è molto usata:
d
d 2
d 3

  ; 2  ; 3  
dt
dt
dt



da  d 2 a  d 3a 
 a; 2  a; 3  a
dt
dt
dt
Ad esempio, nel caso del vettore posizione:

r  xî  yˆj  zk̂
Valgono tutte le regole delle derivate
alcuni esempi interessanti:


1) b t    t a t 


db t 
da t   t  


  t 

a t    t a t    t a t 
dt
dt
dt
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
46


2) ct   b t   a t 






dc t 
da t  b t  


 b t  

 a t   b t   a t   b t   a t 
dt
dt
dt



3) c t   b t   a t 






dc t 
da t  db t  


 b t  

 a t   b t   a t   b t   a t 
dt
dt
dt
Dato che:


 d        db da 

b 
 a b  a b  b  a  a 
dt dt
 dt



d a  b  a  db  b  da

 
 

 
 da
d  
d 2
a  a   a   2aa  2a
dt
dt
dt
2
 
d a   2a da
A.A.2006-07
2


 


a
2
2a da  d a  a da  d  
 2
 
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
47
Ancora sulle grandezze vettoriali
Avevamo detto:
e’ vettoriale una grandezza con modulo, direzione e verso
e che si trasforma come il vettore posizione
Abbiamo visto:
Ma ci son anche :
le proprietà matematiche
le trasformazioni
Come cambiano le componenti (cartesiane) del vettore posizione ( quindi
di un vettore generico ) se passiamo ad un nuovo sistema di riferimento
(x’,y’,z’) ruotato rispetto al primo? In due dimensioni...per iniziare
y’
z=z’
θ
o=o’

P(x,y,z)
z
y’
α y
y
vx

x
y
α
x
v x'
'

v
v

x’
v ' x
v '
 y
v ' x
v '
 y
'
y
X’
vy

x
 v cos  '  '    
 v sin  '
 v cos(   )
 vsen(   ) da : cos(   )  cos  cos   sensen
e : sen(   )  sen cos   cos sen
v ' x  v(cos  cos   sin  sin  )
v '  v(sin  cos   cos  sin  )
 y
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
48
v ' x  v(cos  cos   sin  sin  )
v '  v(sin  cos   cos  sin  )
 y
y’
y
v x  vx cos   v y sin 
v '  v sin   v cos 
x
y
 y
'
vx

v
'
x
'

v
v 'y

Che in forma matriciale:
X’
vy

 cos α sin  0 vx
v 'y   sin  cos α 0 v y
0
0
1 vz
vz'
vx'
Cosa significa?
che in generale può essere scritta:
vi 
'

j 1,3
ij
vj
Tali regole di trasformazione valgono
per ogni altro vettore
e definiscono le proprietà vettoriali
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
49
Altri sistemi di coordinate
1. Cilindriche
z
 x  r cos 
 y  r sin 
 z  h
P(r,φ,h)
h
o
r
0r 
   h  
0    2
y
φ
x
2. Polari Sferiche
z
 x  r sin  cos 
 y  r sin  sin 
 z  r cos 
0 r 
0  
0    2
A.A.2006-07
P(r,θ,φ)
θ
r
h
o
y
φ
x
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
50
LA LEGGE ORARIA DEL
PUNTO MATERIALE
Il moto di un punto materiale è noto se è
nota la sua posizione in funzione del tempo
cioè la sua:
legge oraria

 
 x  xt 
r  r t    y  y t 

 z  z t 

 
r  r t 
r  r t      t 

   t 
La legge oraria (vettoriale) è sempre
equivalente a tre equazioni scalari
cerchiamo di analizzare il caso seguente:


x  0
r t    y  bt  c

z  0
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
51
cinematica in una dimensione
La notazione vettoriale è superflua
velocità intensiva media:
Ds  s1  s0
s0
s1
spazio totale percorso
0!
tempo impiegato
dimensionalmente:
unità e simboli:
v int. 
Ds s1  s0

Dt
t1  t0
vint .   LT 1 
metro
m

 ms 1
secondo
s
La velocità intensiva media:
1. è uno scalare
2. non è associata al concetto di direzione
3. è definita positiva
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
52
Esempio
La Terra si muove attorno al Sole descrivendo un’ orbita
circolare (?) di raggio r=1.5 108 Km. Qaunto vale la velocità
intensiva media della Terra (rispetto al Sole)?
2 1.5 10
1
T=1 anno=3.15 107 s v


29
.
9
Km
s
int.
s=2π*1.5 108 Km
3.16 107
= 2π*1.5 1011 m
Km 3.6103 s
8
 29.8
vint .
s
h
 107.7 103
Km
h
2 1.5 1011
3
1


29
.
8
10
m
s
3.16 107
Metri al secondo
m/s
Chilometri all’ ora
Km/h
1
3.6
0.2778
1
0.4470
1.609
1 mi=5280 feet=63.36 103 in=1760yd=1609m
1NM=1M=6076.1155 feet=1.150774mi=2025.372yd=1852m
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
53
Alcune velocità:
Luce
3.0 108 ms-1
Recessione di una quasar
2.7 108 ms-1
Elettrone attorno al nucleo
2.2 106 ms-1
Terra attorno al Sole
3.0 104 ms-1
Aereo supersonico
7.1 102 ms-1
Rotazione della Terra( equatore)
4.6 102 ms-1
Moto casuale delle molecole di aria
4.5 102 ms-1
suono in aria
3.3 102 ms-1
Ghepardo
28 ms-1
Uomo (max)
11 ms-1
chiocciola
10-3 ms-1
ghiacciaio
10-6 ms-1
Velocità di crescita dei capelli
3 10-9 ms-1
Deriva dei continenti
10-9 ms-1
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
54
Velocità media ( in 1 dimensione!! ):
x(m)
non è la traiettoria!
p2
200
accelerazione
frenata
p1
100
10
ta
Dimensionalmente:
Unità e simboli:
tf t(s)
20
x2  x1
Dx 
 0
v 

 0
t 2  t1
Dt 
 0
arresto
linea di universo
Dx 
Dt 
Spostamento ossia
variazione di posizione
Intervallo di tempo
v  LT 1 
metro
m
  ms 1
sec ondo s
Cosa rappresenta
• fisicamente: il valore di velocità costante che mi
permette di effettuare lo stesso spostamento nello stesso tempo
• matematicamente: ...............
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
55
x(m)
200
p2
x2
p1
x1
100
t1
 x2  x1 

m  
 t2  t1 
t(s)
t2
dove m =
v
Esempio 2
Un atleta corre i 100 m su una pista rettilinea in 11 s e poi ritorna
comminando al punto di partenza in 80 s. Quanto valgono la velocità
media e la velocità intensiva media nei primi 11 s, nei successivi 80 s
e per tutto il percorso?
Dx 100
v11 

 9.1ms 1
x
Dt
11
D
x

100
100
v80 

 1.2ms 1
80
Dt
80
D
x
0
60
v90 

 0ms 1
Dt 91
40
20
0
10
30
50
70
90t
Ma:
vin ,11 
100
100
 9.1ms 1 vin ,80 
 1.2ms 1
11
80
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
vin ,tot 
200
 2.2ms 1
91
56
Velocità istantanea ( in 1 dimensione!! ):
~
Linea universo del
punto materiale
Dx dx
vt  t0   lim

Dt 0 Dt
dt
Dimensionalmente:
Unità e simboli:
v  LT 1 
metro
m
  ms 1
sec ondo s
Quale è l’interpretazione geometrica della
velocità scalare istantanea?
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
57
Valutazione analitica
un punto materiale si muove con legge oraria data da:
x  2.376  t 2  0.042  t 3 0s  t  10s
x  5558
.  115.4  t  4.022  t 2 10s  t  14.3s
accelerazione
x(m)
arresto
frenata
200
100
10
14
t(s)
dx
 4  752  t  0.126  t 2 0s  t  10s
dt
dx
v
 115.4  8.044  t 10 s  t  14.3s
dt
v(m/s)
v
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
A.A.2006-07
5
10
t(s)
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
15
20
58
In modo analogo posso definire la:
v(m/s)
Accelerazione media ( in 1 dimensione!! ):
40
35
30
25
20
15
10
5
0
P1(v1,t1)
Dv
P2(v2,t2)
Dt
0
5
10
15
20
t(s)
v2  v1
Dv 
 0
a 

 0
t 2  t1
Dt 
 0
Dimensionalmente:
Unità e simboli:
A.A.2006-07
2
a

LT
  
metro
m
2


ms
sec ondo 2 s 2
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
59
Accelerazione istantanea( 1 dimensione ):
Dv
dv
at  t0   lim

Dt  0 Dt
dt
Per cui:
d
d  dxt   d 2
a  vt   
  2 xt   xt 
dt
dt  dt  dt
v(m/s)
Se riprendiamo il nostro esempio:
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
t(s)
analiticamente:
a  4.752  0.252t
a  -8.044
0s  t  10s
10s  t  14.3s
a(m/s*s)
8
4
0
-4
A.A.2006-07
-8
0
5
10
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
t(s)
www.fe.infn.it/~savrie
15
20
60
Alcune accelerazioni
Protoni accelerari a FNAL
9 1013 ms-2
supercentrifuga
3 106 ms-2
Palla da baseball
3 104 ms-2
Pallone da calcio
3 103 ms-2
automobile a 100Km/h contro ost. fisso
103 ms-2
Paracadutista all’ pertura del paracadute
3.2 102 ms-2.
Accelerazione di gravità sul Sole
2.7 102 ms-2
Aviogetto in risalita dopo una picchiata
80 ms-2
Perdita di coscienza dell’ uomo
70 ms-2
Accelerazione di gravità sulla Terra
9.8 ms-2
Frenatura di un’ automobile
8 ms-2
Accelerazione di gravità sulla Luna
1.7 ms-2
Rotazione della Terra ( Equatore)
3.4 10-2 ms-2
Rivoluzione della Terra
0.6 10-2ms-2
A.A.2006-07
finqui 17 Gennaio 2007
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
61
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
62
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
63
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
64
Cinematica in 3D
In una dimensione: v 
In tre dimensioni:
Dx
Dt
Dx
Dy
Dz
vx 
; vy 
; vz 
Dt
Dt
Dt
Le interpretiamo come le componenti di un vettore
 Dx ˆ Dy ˆ Dz ˆ
v 
i
j k
Dt
Dt
Dt
Nel caso sia un vettore velocità:

 Dr
v 
Dt
y
p

r (t )
D

Dr  Dxiˆ  Dyˆj  Dzkˆ

Dr
p’

r (t  Dt )
o
A.A.2006-07
z
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
x
65
Passando al limite per Dt→0
Dx dx 
lim
 
Dt 0 Dt
dt
Dy dy 
lim
 
Dt 0 Dt
dt 
Dz dz
lim
 
Dt 0 Dt
dt 
Diventano la velocità istantanea:
 dx ˆ dy ˆ dz ˆ
v i
j k
dt
dt
 dtˆ
v  vxi  v y ˆj  vz kˆ
per le proprietà delle derivate:

 d ˆ ˆ
dr
ˆ
v
xi  yj  zk 
dt
dt


•È dimensionalmente corretta?
•Che ipotesi si sono fatte sui versori ?
•Derivare un vettore equivale a derivare tre funzioni scalari
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
66
In realtà sia la velocità che l’ accelerazione (come la
posizione e lo spostamento) sono grandezze vettoriali ed in 3
dimensioni:
1.
velocità vettoriale media

 Dr
v 
Dt
2.
3.
Dx
Dy
Dz
; vy 
; vz 
Dt
Dt
Dt
velocità vettoriale istantanea

 dr
v
dt
vx 
dx
dy
dz
; v y  ; vz 
dt
dt
dt
accelerazione vettoriale media

 Dv
a 
Dt
4.
vx 
Dv y
Dvx
Dv
ax 
; ay 
; az  z
Dt
Dt
Dt
accelerazione vettoriale istantanea


2
 dv d  dr  d r
a
   2
dt dt  dt  dt
dv y d 2 y
dvx d 2 x
dvz d 2 z
ax 
 2 ; ay 
 2 ; az 
 2
dt
dt
dt
dt
dt
dt
come si ricavano i moduli?
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
67
Esempio 1
un punto materiale si muove lungo una circonferenza
di raggio R nel piano xy con centro nell’origine
percorrendo archi uguali in tempi uguali. Scrivere la
legge oraria in coordinate polari e cartesiane
  /2
Moto nel piano xy:
Moto circolare:
r  cos t .  R
Archi di circonferenza proporzionali al tempo:
  s / R  v  t  / R
Equazione oraria:
v
v  cost.
r  R

   / 2

   v  t  / R
(lunghezza di) arco percorso nell’ unità di tempo
v/ R  / t 
angolo descritto nell’ unità di tempo
quale unità?
quale dimensione?
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
  t
68
La trasformazione a coordinate cartesiane:
  t;   2

 x  R  sin   cos t
 y  R  sin   sin t

 z  cos 

 x  R cos t
 y  R sin t

z  0
Quanti gradi di libertà ha il sistema?
Cosa succede eliminando il tempo?
Quadriamo, sommiamo ed otteniamo la:
x 2  y 2  R 2 (cos2 t  sin2t )  R 2
cosa rappresenta ?:
L’equazione della traiettoria
Il moto è periodico (di periodo T):
si ripete con le stesse modalità passando dalla stessa
posizione negli istanti:
t , t  T , t  2T , t  3T , t  4T ,.......
In un tempo T infatti l’ angolo varia di 2π ( a v=cost.!!!):
D 2
2


T 
Dt
T

A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
69
Esempio 3
Da: H. Ohanian (come molti altri)
Un’ auto entra in una curva a 90° con una
velocità costante con modulo V=25 m/s ed
Esce dopo 6 s.
Quanto vale la sua accelerazione media in
questo intervallo di tempo?

v1
y

v1

v2
o

v2
 Dv
a

Dt
A.A.2006-07
v1


4
Dv
x
Dv cos 45  v1
cos 45  5.9m / s 2
6.0
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
70
Problema cinematico inverso
Date la velocità e l’ accelerazione trovare le leggi orarie.
Sia dato un punto che si muove di moto con accelerazione
costante.In t=0 siano:
x  x0
vx  vx ,0
E se la velocità cresce in modo lineare con il tempo
vx  vx ,0  ax  t
x  x0  vx  t
x  x0  vx  t  x0  vx ,0  ax  t  t
Cos’è
x  x0  v0  t  a  t
2
Ma non è vera anche se corretta dal punto
di vista dimensionale PERCHE’?
La velocità, se considero un moto accelerato, è variabile
con il tempo. E’ più ragionevole quindi usare la velocità
media:
v0  v
v 
2
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
71
Con la velocità media:
x  x0  vx  t 
1
x  x0  v0 ,x  vx  t
2
1
x  x0  v0 ,x t  v0 ,x  a x t t 
2
1
x  x0  v0, x  t  a x  t 2
2
E questa relazione è corretta
Ma il vero problema consiste nella ricerca di una
funzione “generale” di cui si conosce la derivata:
dx
se v  v0  cos t  x  v0t
dt
x  C  v0t
Ma la soluzione più generale è:
v
Cos’è?
Vediamo un caso più difficile:
v  vt 
ad
esempio
v  a0t
In pratica il problema consiste nella ricerca della
funzione primitiva ( integrazione )
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
72
Dxi Dxi
v(ti )  lim

 Dxi  v(ti )Dti
Dt 0 Dt
Dti
i
t2
t2
t2
t1
t1
t1
Dx   Dxi   v( ti )Dti Dx  x(t 2 )  x(t1 )  Dlim
 v(ti )Dti
t 0
t2
t2
lim
Dt 0
 v(t )Dt   v(t )dt  x(t )  x(t )
A.A.2006-07
i
t1
i
2
1
t1
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
73
Abbiamo quindi un procedimento generale per
risolvere il problema cinematico inverso
dx
vx 
dt
dx=vx dt x   vx dt  C
Costante ignota.........
Ma se sono definiti l’ istante e la posizione iniziali......
x
t
 dx   vx dt
x0
t0
Dove in generale:
vx  vx t 
t
x  x0   v x dt 
t0
Se la velocità è costante ( moto rettilineo uniforme ):
t
x  x0  v x  dt 
t0
x  x0  vx t  t0 
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
74
Analogamente per i moti uniformemente
accelerati:
d  dx  d 2 x
a x     2  x
dt  dt  dt
dv
ax  x
dt
dv x  a x  dt v x   a x dt  C1
vx
t
 dv   a dt
x
vx 0
x
t
v x  v x0  a x  dt
t0
v x  v x0  a x  t  t0 
t0
Possiamo scrivere altre relazioni interessanti:
dx
v x dv x  v x a x dt  a x
dt  a x dx
dt
vx
x
x
1 2 2
vx0 vx dv  x0 ax dx 2 vx  v0 x  x0 ax dx


Se l’accelerazione è costante:
v  v  2  ax  x  x0 
2
x
A.A.2006-07
2
x0
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
75
In generale:
t
t
t0
t0
dv x  a x dt   dv x  a x  dt  a x t  t0 
v x  v0 ,x  a x t  t0 
dx
vx 
 dx  v x dt
dtt
x
 dx   v t dt   v
t
x
x0
t0
t0
0 ,x
 a x t  t0 dt
t
t
t0
t0
x  x0   v0 ,x  dt a x  t  t0 dt
1
2
x  x0  v0 ,x t  t0   a x t  t0 
2
La ricerca della primitiva stabilisce che se una F(x)
è primitiva della f(x) allora anche qualunque altra
funzione del tipo G(x)=F(x)+c è primitiva della f(x)
e possiamo scrivere:
F ( x)   f ( x)dx  c
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
76
......e nel nostro caso, se supponiamo di conoscere
l’accelerazione in funzione del tempo (...adesso in tre
diensioni ):
 
a  a (t )
a x  a x (t )
a y  a y (t )
a z  a z (t )
v x   a x (t )dt  c1x
v y   a y (t )dt  c1 y
v z   a z (t )dt  c1z
Le tre costanti non sono determinabili dal sistema. Se
deriviamo le velocità otteniamo le stesse accelerazioni
per qualunque valore delle costanti.
Le vi sono funzioni del tempo: cosa succede se
poniamo t=t0 ( es. t0 =0) ?
Condizioni iniziali
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
77
ESEMPIO 4
Un punto materiale si muove con accelerazione data
da:
v x t   a x ( t )dt  c1x


v y t    a y ( t )dt  c1 y
v t   a ( t )dt  c
1z
 z
 z
a x  2t
a y  3
a z  0
v x t   t 2  c1x

v y t   3t  c1 y

v z t   c1z
v x t   2tdt  c1x


v y t    3dt  c1 y
v z t   c1z

Se all’ istante t=5s abbiamo misurato le velocità
abbiamo trovato (in metri al secondo):
v x (5)  30
v y (5)  10
v z (5)  12

30  25  c1x
10  15  c1 y

12  c1z
2



v
5

5
 c1x
x

Poniamo t=5s v y 5  3  5  c1 y

v z 5  c1z

5  c1x
 5  c1 y

12  c1z
Integrando ancora:
 xt   v x (t )dt  c2 x



 y t    v y (t )dt  c2 y

z t    v z (t )dt  c2 z


A.A.2006-07
ed
2

v

t
5
 x
v y  3t  5

v z  12
 xt   (t 2  5)dt  c2 x



 y t    (3t  5)dt  c2 y

z t    12dt  c2 z


Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
78

t3
E ancora per t= 5s:
 xt    5t  c2 x
3

 x5  41.7  25  c2 x
3 2


 y t   t  5t  c2 y
2
 y 5  37.5  25  c2 y


 z t   12t  c2 z
 z 5  60  c2 z


COSA CI MANCA PER AVERE LA SOLUZIONE?
e se all’ istante t=5s abbiamo misurato le posizioni ed
abbiamo, per esempio, trovato (in metri):
 x(5)  3

 y (5)  0
 z (5)  2

3  41.7  25  c2 x

0  37.5  25  c2 y

 2  60  c2 z
 x  41.7  25  63.7

 y  37.5  25  12.5
 z  60  62

 x5  3

 y 5  0
 z 5  2

E l’ equazione del moto
completa si scrive:
c2 x  63.7

c2 y  12.5

c2 z  62

t3
 xt    5t  63.7
3

3 2



y
t

t  5t  12.5

2

 z t   12t  62


 t3
 3


r t     5t  63.7 î   t 2  5t  12.5  ˆj  12t  62k̂

3
 2
A.A.2006-07
finqui 18 Gennaio 2007
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
79
Riassumiamo le più importanti “formule” in una dimensione:
1
x  x0  v x  v0 , x  t
2
1
x  x0  v0 , x t  a x t 2
2
v x  v0 , x  a x t
v x2  v02, x  2a  x  x0 
.....e in tre dimensioni:



r  r0  v  t
1 



r  r0  v  v0   t
2
1  2



r  r0  v0t  a t
2



v  v0  a t
 
 
  
v  v  v0  v0  2a  r  r0 
Ognuna delle quali vale tre relazioni scalari
(tranne l’ ultima!)
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
80
Equazioni del moto per la
caduta libera
y

g
pxt   yt   zt 
o
x
z
Le formule del moto uniformemente accelerato
si trasformano in:
1
v y  v0, y  t
2
1
y  v0 , y t 
gt 2
2
v y  v0 , y  gt
v y2  v02, y  2 gy
y 
Con: t0  0 e y0  yt0   0
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie

g  9.81ms2
81
z
v0
ESEMPIO 5
  30
α
P
z0= h
y
o
x
z0  h  8m

v0  12ms 1
A che distanza il punto P cade dall’ origine?
Quanto tempo rimane in volo?
L’ accelerazione del punto P è:
a x  0

a y  0

a z   g
 
g : g  9.8ms2
vx t  0  v0, x  0

v y t  0  v0, y  v0 cos 
vz t  0  v0, z  v0 sin 
Condizioni iniziali
Integrando le eq. del moto:
Aggiungendo
le condiz. Iniz.
v x t   c1x
v x t   0

v y t   c1 y

v y t   v0 cos 

v z t    gt  c1z

v z t    gt  v0 sin 

 xt   c2 x

Se integriamo  y t   v0 cos  t  c2 y
ancora:

 z t    1 gt 2  v0 sin  t  c2 z

2
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
82
E ricaviamo la legge oraria:

x  0

 y  v0 cos  t

1
 z   gt 2  v0 sin  t  z0
2

1 2



ˆ
r t   v0 cos  tj  v0 sin  t  gt  z0  kˆ
2


Quali caratteristiche ha il moto?
Come possiamo determinare la traiettoria?
1
y2
z  2
g  tg  y  h
2
2 v0 cos 
z0  h
Come troviamo la “gittata”?

v02
2 gh
yc  sin  cos  1  1  2 2
g
v0 sin 





cosa indicano i segni + e – nella eq. della gittata??
cos’è e quanto vale il “tempo di volo”?
qual’è la quota massima raggiunta?

v0
2 gh
yc

sin  1  1  2 2
tc 

g
v0 sin 
v0 cos 

dz
y
 g 2
 tg
2
dy
v0 cos 
A.A.2006-07




v02
ym  sin  cos 
g
2
2
v
sin

0
Prof. Savrié z
Mauro

 z0
m
Università di Ferrara 2 g
www.fe.infn.it/~savrie
83
Esempio 7
Un punto materiale si muove secondo la
legge oraria:
2

x

2
t

 y  2t  1

z  0
Cosa possiamo dire del moto ?
Si trovino:
1) velocità media nell’ intervallo di tempo tra
t1=1s e t2=5s e la velocità istantanea, in modulo
ed argomento, in t=4s.
2) l’ accelerazione ;
xt 2   xt1  2t22  2t12
vx 

 12ms 1 dipende da t
t 2  t1
t2  t1
y t 2   y t1 

t 2  t1
2t  1  2t1  1  2ms 1
 2
t 2  t1
vy 
z t 2   z t1 
vz 
 0ms 1
t 2  t1
A.A.2006-07
non dipende da t
non dipende da t
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
84
v x t  

v y t  

v z t  
 t   4t
x
 t   2
y
 t   0
z
N.B.
La velocità non è costante né in modulo né
in argomento (direzione)!! Infatti:

v  vx2  v y2  vz2  2 4t 2  1
vy 1
tan   
v x 2t
Per l’accelerazione:
N.B.
a x t   x ' ' t   4

a y t   y ' ' t   0

a z t   z ' ' t   0
L’ accelerazione è costante in modulo e in
argomento (direzione)!! Infatti:

a  a x2  a y2  a z2  4ms 2
ay
tan  
 0   0 180
ax
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
85
Variazione di g con la latitudine
luogo
latitudine
g
Quito (Ecuador)
0° Nord
9.780 ms-2
Madras ( India)
13° Nord
9.783 ms-2
Hong Kong (Cina)
22° Nord
9.788 ms-2
Cairo (Egitto)
30° Nord
9.793 ms-2
New York (USA)
41° Nord
9.803 ms-2
Londra ( Inghilterra)
51° Nord
9.811 ms-2
Oslo (Norvegia)
60° Nord
9.819 ms-2
Murmansk (Russia)
69° Nord
9.825 ms-2
Spitsbergen
80° Nord
9.831 ms-2
Polo Nord
90° Nord
9.832 ms-2
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
86
(ancora) il caso (?) del moto circolare uniforme
Che avevamo già iniziato a vedere
L’equazione del moto:
1.
In forma vettoriale:
 
r  r t 
2.
In forma scalare (coodinate cartesiane):
 x  x(t )
 y  y (t )
 z  z (t )
3.
Nel moto circolare:
In rappresentazione polare:
In rappresentazione cartesiana:
A.A.2006-07
  
2

r  cos t.  R
  s  v  t 
R
R

 
 
 x  R cos v  t
R


 y  R sin v  t R

 z  0
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
87
Condizioni del moto ( circolare uniforme):

v  cos t.
: moto uniforme

r  cos t.
: moto circolare

v
   cos t.
r
V:
LT-1
R:
L
V/R: LT-1L-1=T-1
Dimensionalmente:
y
p’
s

r t  Dt 
o

r t 
p
x
v s
t
v s1
s

ma   rad 
R Rt
R
v 
     velocità angolare
R t
unità di misura:
A.A.2006-07
rad./s
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
s-1
88
Le equazioni del moto diventano allora:

 x  R cos t
 y  R sin t

z  0
Per la velocità (vettoriale) istantanea:
dx

v x  dt  R sin t

dy

 R cos t
v y 
dt

dz

v z  dt  0

Ed il suo modulo:

v  vx2  v y2  vz2
  2 R 2 sin 2 t   2 R 2 cos 2 t
  2 R 2  R
La velocità è costante ?, perchè?
E le derivate delle Vx,Vy,Vz sono diverse da 0 ?, Perchè?
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
89
 
proviamo a calcolare : r  v
 
r  v  xvx  yv y
 r cos t  r sin t   r sin t r cos t   0
 
r e v sono tra loro ortogonali
y

v t  Dt 
p’

r t  Dt 
o

r t 

v t 
p
x
Accelerazione del moto:

dv x d 2 x
2
2
a





r
cos

t



x
 x
2
dt
dt

dv y d 2 y

 2   2 r sin t   2 y
a y 
dt
dt

a z  0



a  ax2  a y2  az2   2 r   r   v
Quali sono la direzione ed il verso
dell’ accelerazione?
 
a  v  axx vxx  a yy v yy  0?
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
y

v  r

a   2r p
o
x
90
Supponiamo che la velocità sia costante (in modulo):
(ma è del tutto generale)
y

v t  Dt 

Dv
p’
Dθ
o

v t 
α
β
Δθ

v t  Dt 
p

v t 
p=p’
θ
x



dv
Dv
calcoliamo : a t  
 lim
dt Dt 0 Dt

ma vediamo che lim  D  0   ,  
Dt  0
2
ha la direzione della normale entrante



Dv
v t  Dt   v t 

a  lim
 lim
Dt 0 Dt
Dt 0
Dt

 sin D

2 v sin D

2  v lim 
2  D 
 lim
Dt 
Dt 0
Dt 0  D
Dt
2


D 

sin

2  lim D
 v  lim
Dt
D 0 D
 Dt 0
2 

A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
91

Università di Ferrara
 v 1    vwww.fe.infn.it/~savrie


quindi compattando in notazione vettoriale:

 dv
a
 vrˆ  vˆ
dt
E’ generale!!!
dato un vettore v di modulo costante e che ruota con velocità angolare
costante ω, la sua derivata è un vettore di modulo pari a ωv e ruotato di
π/2 nel senso in cui ruota v
Se la velocità varia in direzione e modulo:


v  vvˆ
dv d vvˆ  dv
dvˆ

 vˆ  v
dt
dt
dt
dt
dv

vˆ  vtˆ
dt
Ortogonale a V
Parallelo a V
tˆ : versore  a vˆ centripeto
Ed anche questo risultato è generale!!!
La derivata di un vettore v può essere scritta come somma
di due termini vettoriali: un termine parallelo al versore
del vettore , avente come modulo la derivata dv/dt e l’ altro
ortogonale a v ( nel senso in cui ruota v avente come
modulo ωv ( dove ω è la velocità angolare istantanea con
cui il vettore ruota).
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
92
N.B. Sappiamo che possiamo scrivere per la velocità:

v  vêv  v̂
̂ 

v
Versore tangente alla
nello stesso verso di
traiettoria
Proviamo ad esprimerlo in altro modo:
y
ê
 v 
v vr

êr r

 
v  r  d reˆr  dt
 reˆr  reˆr
  
v  vr  v
x
ê  d ê   ê   ê
r



dt



v  rêr  rê v  rêr  rê
ricordiamocela: è importante!!!!
v  v r v
2
A.A.2006-07
2

2
2 2
2
2 2



 r r   r r 
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
93
N.B. anche per per l’accelerazione:
Accelerazione tangenziale
 d
a  v̂ 
dt
 0

a  v 0
 0
1.
2.
3.

a  vˆ  v̂
  
a  a  an
Accelerazione normale
(radiale)
Se la velocità cresce con il tempo v  0
la
accelerazione ha la stessa direzione di ˆ
Se la velocità diminuisce con il tempo v  0 la
accelerazione ha verso opposto a quello di ˆ
e
quindi a quello della velocità
Se il moto è uniforme v  0
l’ accelerazione
tangenziale è nulla .
Cerchiamo di comprendere le proprietrà del’accelerazione
Radiale (detta anche normale):

an  vˆ
A.A.2006-07
finqui 24
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
Gennaio www.fe.infn.it/~savrie
2007
94
D
Ds  v Dt
̂
1
n̂ '
̂
R
2
R
o
'
D
̂
'
'
D  d
Curvatura: C  lim

Ds  0 D s
ds
1 ds

Raggio di curvatura: R 
C d
ˆ   n̂
v Dt D
v
Ds
D 


R'
R' Dt
R'
o
Centro di curvatura istantaneo
D d 
lim

Dt 0 Dt
dt
d v
  vC
dt R
2
 v
an  nˆ
R

an  vˆ  vnˆ
  
2 1

ˆ
a  a  an  v  v R nˆ
A.A.2006-07
v 
a  v   
R
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
2
2
2
95
Coordinate cartesiane ( moto piano!!!):
  
a  a  an  vˆ  v 2 R 1nˆ
y
n̂
O


 dv dvx ˆ dv y ˆ
a

i
j
dt
dt
dt
ˆ
x
 d 2x ˆ d 2 y ˆ
a  2 i  2 j  axiˆ  a y ˆj
dt
dt
dv
v2
a x  cos   sen
dt
R
Coordinate polari:
visto prima
dv
v2
ay 
sen  cos 
dt
R

d 
 dv d  dr
a
  eˆr  r
eˆ 
dt dt  dt
dt 

d
v
d 2r
dr deˆr dr d
d 2
d deˆ

a
 2 eˆr 

eˆ  r 2 eˆ  r
dt dt
dt dt dt dt
dt
dt dt
deˆ
d
deˆr d

eˆr
Ma sappiamo che:

eˆ
dt
dt
dt
dt
2
 dr d
d 2 
  d 2 r  d  
a   2 
 r 2  eˆ
  eˆr  2
dt 
 dt  
 dt
 dt dt
2
2

 1 d  2 d 
d
r
d



 
a   2 
  eˆr  
r
 eˆ
A.A.2006-07 dt
Prof.
Savrié
Mauro
r dt  dt 
 dt  


Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
96
Come nel moto rettilineo uniforme:

t
d

 d  dt  d   dt
0
t0
dt
Se ω=costante:   0   t  t0 
Se ω≠cost. :
d

dt t

dω d 2
α
 2
dt
dt
t
 d   dt    dt
  0   t  t0 
t0
0
t0
ma :
d

 0   t  t0 
dt
integrando :

t
t
 d    dt   dt
0
t0
0
t0
1
  0  0 t  t0    t  t0 2
2
 valgono le
A.A.2006-07
Per
Prof. Savrié Mauro
stesse
formule
che
Università
di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie

r
per
…….
97
Esempio 8
Calcolare la velocità e l’ accelerazione di un punto
materiale mobile su una triettoria circolare, nota che sia la
legge oraria s=s(t) ( ascissa curvilinea).
y

r (t )
o

r (t )  Rrˆ(t )
p
s=s(t)
x
tˆ :
Dato che R è costante:

dR
v (t ) 
rˆ(t )  Rtˆ
dt
versore tangente alla traiettoria e
ortogonale a r nel senso in cui r ruota

ˆ (t )
r (t )  Rr

v (t )  Rtˆ
  v/ R

ˆ

dv d
d

d
t
a (t ) 
 Rtˆ   R
tˆ  R
dt dt
dt
dt

d ˆ
d ˆ
a (t )  R
t  R 1    rˆ   R
t  R 2 rˆ
dt
dt
2
d
v
aT ( t )  R
 R
ar ( t )   R 2  
dt
R
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
98
L’ angolo e’ una quantita’ vettoriale?
A.A.2006-07
La velocità
Prof. Savrié Mauro
Università
di Ferrara
angolare
e’ una
quantita’ vettoriale?
www.fe.infn.it/~savrie
99
Per il moto circolare uniforme abbiamo visto che:
y

v

R

o
z
o
iˆ
p(x,y)
 ds
d
v 
R
 R
dt
dt
s
o’ x
Come rappresentiamo ω?vediamolo
in 3d anche se è un moto piano:
ω
R
k̂
è chiaro cos’è?
R  r sin 
 d

ˆ
dt

v
p(x,y,z)
γ r
ĵ

v  R  r sin 
y
  
v  r
x
se il moto è vario(v≠cost.)
abbiamo già visto che:

dv dv
 v̂  vn̂ 
dt dt
ˆ  k̂

 
dv dv
 vˆ    v
dt dt
e se il modulo della velocità è costante:

dv  
 v 
dt
A.A.2006-07
formula di Poisson
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
100
abbiamo visto che per il moto circolare:


dv d Rtˆ 
d ˆ
d ˆ
ˆ
a (t ) 

R
t  R 1   r   R
t  R 2 rˆ
dt
dt
dt
dt
2
dv
d

d

Per cui avremo che:
at 
R
 R 2  R

dt
dt
dt
v
y
v2

2
a



R
a
n
T

R
a  p(x,y)

r
o

 s
an
a   2 R2   4 R2  R  2   4
o’ x
an  2 R
  a tan 
e le dim ensioni ?
aT
R
se il moto è circolare uniforme: 
z
ω
p(x,y,z)

y
A.A.2006-07
  
v   r visto prima!
 d   r 
a
dt
e poichè α=0 → ω=costante:

r
o
x
0


dv
dr  
 
 v
dt
dt
 
 
a      r 
   
a      r    2 R
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
101


 
       
a  b  c  b a  c   c a  b




2
    r   r cos    r
2

a


r
cos



r cos 
 z

2

a y   rsen
2
2

a


r
cos



r cos   0
 z

2

a y   R
a  ax2  a y2   4 R 2   2 R
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
102
Esempio 9
Tutti I punti sulla terra si
muovono con la stessa 
l latitudine
r =CA=raggio terrestre 6.35 106m
R=r cos l
v  R  r cos l
a   2 R   2 r cos l
se   7.292 10 s
5 1
v  459 cos l ms
1
vmax  459 ms 1  1652 Kmh -1
a  3.34 10 cos l ms
2
2
2
amax  3.34 10 ms  0.3% g
-2
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
103
I MOTI RELATIVI
z
osservatore

vA
A

rA

r
 BA

vB
rB
Velocita’ rispetto ad O
B


drA
vA 
dt
o
y


drB
vB 
dt
x
Le velocità di B relativa a A e di A relativa ad B sono:

vBA

drBA

dt

 
rBA  rB  rA

v AB

drAB

dt
Dove:

 
rAB  rA  rB
Ne segue che:


rBA  rAB



vBA  vAB
N.B.
Le velocità di A relativa a B e di B relativa ad A sono uguali
ed opposte
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
104
Derivando le posizioni relative:



drBA drB drA


dt
dt
dt



drAB drA drB


dt
dt
dt
Ed usando le definizioni di velocità:

 
vBA  vB  vA

 
vAB  vA  vB
N.B.
le velocità relative sono la differenza delle velocità che A
e B hanno rispetto all’ osservatore “fisso” in O ( sistema
di riferimento o,x,y,z)
Esempio 9.1
Un aeroplano A viaggia in direzione N alla velocita’ di 300 mi h-1
rispetto al suolo. Un altro, B, viaggia in direzione N60W alla
velocita’ di 200mi h-1. trovare le velocita’ relative.
W

 
v AB  v A  vB
α=60°
N

 vA
vB

 vB 
v AB  v A2  v B2  2v A v B cos 60  264mih 1

v
  AB
vB
v AB

E

 vA 
vBA
sin 
S
A.A.2006-07
sin  
vB sin 60
v AB
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
sin 
  40.7
105
Dati due 
sistemi in moto traslazionale relativo uniforme con
velocità v tr :
y

r
A
y‘

r ' vtr
o

x o’
x’
z
z’
in t=t0 O≡O’

 ˆ
oo'  vtrt dove vtr  i vtr
x≡x’
Che relazione esiste tra la posizione di A rispetto a O (XYZ)
e quella di A rispetto a O’(X’Y’Z’)?
' 
 
r  r  oo'  r  vtrt
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
106
Ricaviamo così le:
Trasformazioni di Galileo
 x'  x  vtr t

 y'  y
z'  z

N.B.
 x'  x  vtr , x t

Ma in generale : y '  y  v
tr , y t

 z '  z  vtr , z t
Si suppone t=t’ ( il tempo è assoluto!!)
Derivando l’ equazione vettoriale:

vtr 
'  
v  v  vtr
'  
r  r  vtr t
Velocità di trascinamento
proiettando l’ equazione precedente sugli assi di riferimento:
Vx'  Vx  vtr , x
 '
V y  V y  vtr , y
Vz'  Vz  vtr , z

Vx'  Vx  vtr
Se c’è trascinamento  '
V  Vy
Solo lungo x ( ad es.)  y'
Vz  Vz
Se A si muove in una particolare direzione ( es. Y): Vx=Vz=0; Vy=V
Vx'  v
 '
Vy  V
'

Vz  0
'
V  v2  V 2
Ma se deriviamo ancora (l’ eq. vettoriale):
'

dV
dV

0
dt
dt


a'  a
a x'  a x
 '
a y  a y
'

a z  a z
L’ accelerazione è invariante per
A.A.2006-07
Prof.Galileo!
Savrié Mauro( assi paralleli 107
trasformazioni di
Università di Ferrara
in traslazione uniforme
relativa)
www.fe.infn.it/~savrie
finqui 26 Gennaio 2007
La relazione che lega il vettore posizione di
un punto materiale nel sistema “fisso” ed in
quello “mobile” è quindi data da:
'  
r  r  v0t
che è sempre vera!!!!!!!!
e per le componenti cartesiane si legge:

r   x i  y j   z k 


  x  V0 x t i  y  V0 y t j   z  V0 z t k
ma questo implica che
x    x  V0 x t  ecc. ecc.
}?
moltiplichiamola scalarmente per:
i , j , k 

  
y    j   i x  V t    j   j  y  V t    j   k  z  V t 
z    k  i  x  V t    k  j   y  V t    k  k  z  V t 
x   i  i x  V0 x t   i   j  y  V0 y t  i  k  z  V0 z t 
A.A.2006-07
0x
0y
0z
0x
0y
0z
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
108
 
 
 
 i  ii  j  i  k 
 x  
  x  V0 x t 

         
 y     j   i  j   j  j   k   y  V0 y t 
 
 z    k  i k  j k  k   z  V0 z t 


 
Ovvero:
 x  V0 x t 
 x 


 
matrice di
y

R
y

V
t

0y 

R 
 
trasformazione
 


 z 
 z  V0 z t 
nel caso di assi cartesiani paralleli:
 100 

 E solo in questo caso
R   010

 vale che:
 001
x    x  V0 x t  ecc. ecc.
N.B.
Una relazione di eguaglianza tra vettori implica l’
eguaglianza tra le rispettive rappresentazioni cartesiane
solo rispetto ad uno stesso sistema di riferimento
Le componenti del vettore al I membro di un’ eq.ne sono uguali alle
componenti omologhe del vettore al II membro purchè sia il I che il II
membro siano ottenuti da proiezioni sugli assi di uno stesso sistema di
riferimento!!!
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
109
ovviamente vale anche che per le velocità:
 vx 
 vx  V0 x 
 


 v y   R  v y  V0 y 
 


 vz 
 vz  V0 z 
e per le accelerazioni:
 a x 
 ax 
 
 
 a y   R  a y 
 
 
 az 
 az 
N.B.
Tutto questo vale per i sistemi di riferimento
in moto relativo rettilineo ed uniforme
Cosa succede in caso di moti relativi
rotazionali ?
...............lo vedemo più avanti!
A.A.2006-07
rivisto finqui 20.12.07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
110
Seguono trasparenze di bakup
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
111
CIFRE SIGNIFICATIVE
ED ARROTONDAMENTI
A) CIFRE SIGNIFICATIVE
•
•
•
•
Il digit diverso da zero più a sinistra si chiama:
digit più significativo
Se non c’è il punto decimale, il digit diverso da zero più a
destra si chiama:
digit meno significativo
Se c’è il punto decimale, il digit più a destra si
chiama:
digit meno significativo
anche se è zero;
I digit compresi tra quello più significativo e quello meno
significativo si chiamano:
digit significativi (cifre significative)
B) OPERAZIONI
•
Moltiplicazione e divisione:
Si conserva un numero di cifre significative del
numero con precisione minore
•
Somma e sottrazione:
si conserva un numero di cifre decimali quante
quelle del numero che ha meno cifre decimali
Eleminando le cifre non significative si fanno gli:
C) ARROTONDAMENTI
•
•
•
•
Troncare il numero al numero di cifre significative voluto e
trattare quelle in eccesso come una frazione decimale
Se la frazione è maggiore di 0.5 si incrementa il digit meno
significativo
Se la frazione è minore di 0.5 non si incrementa
Se la frazione è 0.5 si incrementa solo se ( ad esempio) è
dispari
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
112
Esempi
1.
2h 7m 11.0s si può scrivere:



7.6310 103 s al decimo di secondo
7.631 103 s al secondo
7.63 103 s alla decina di secondi
2.
7.63 103*7.6 103 =5.7988 107
si deve scrivere come: 5.8 107
3.
7.631 103 + 7.6 103 = 15.231 103
si deve scrivere come: 15.2 103
I seguenti numeri hanno tutti 4 cifre significative:
• 1234. ; 123400 ; 123.4
• 1001 ; 1000. ; 10.10 ; 0.0001010 ; 100.0
0.0018 ha 2 c.s. (1.8 10-3)
0.001800 ha 4 c.s. (1.800 10-3)
4.
5.
6.
15.7 cm è misurata al decimo di centimetro e significa
che è compresa tra 15.65cm e 15.75cm. ( 3 cifre sign.)
15.70 cm è misurata al centesimo di centimetro ed è
compresa tra 15.699 e 15.701 ( 4 cifre sign.)
3.4062Kg è una massa misurata al decimo di grammo ed
ha 5 cifre significative.
9800N è misurato al Newton( 4 cifre sign.)
9.80 103 è misurato alla diecina di N
9.8 103 è misurato al centinaio di N
A.A.2006-07
Prof.eSavrié
Mauro
0.001, 0.00010,0.00100
1.001
hanno rispettivamente 113
1,2,3 e 4 cifre sign. Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
23.340 
5.465 
0.322 
58.0

0.0038 
0.00001 
31.127
58.00381  5.87
415.5 
3.64 
0.238 
4.20 
1.6523 
0.015 
5.8673  5.87
419.378  419.4
moltiplicazione e divisione:
il risultato deve essere arrotondato in modo da contenere lo stesso
numero di cifre significative quante ce ne sono nel fattore noto con la
minore precisione.
9.84 : 9.3  1.06
Attenzione:
1.1??
come si arrotonda?
1.1 ha due cifre significative ma una differenza di 1 sulla cifra meno
significativa comporta una precisione dell’ 1% in 1.1 e diel 10% in 9.3
1.1  0.1  10%
9.3  0.1  1%
si arrotonda a:
1.06
in questo modo la variazione di 1 sulla cifra meno significativa del
risultato ha lo stesso livello di precisione di una variazione di 1 nel
numero meno preciso dell’ operazione.
funzione trigonometriche?
il valore delle funzioni deve avere lo stesso numero di cifre significative
dei loro argomenti:
A.A.2006-07
sen35  0.57
sen35Prof.
.0Savrié
 0.574
Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
114
Precisione ed Accuratezza
Accuratezza
valuta quanto le misure effettuate sono prossime al
valore vero della grandezza da misurare
Precisione
valuta quanto esattamente le misure vengono
effettuate, indipendentemente dal loro valore e
significato (riproducibilità della misura).
Misura accurata
Misura precisa
Valore vero
Valore misurato
Misura accurata e precisa
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
115
h(mm)
t(s*10-2)
1
100
15
2
200
22
3
300
25
4
400
29
5
500
32
6
600
35
7
700
38
8
800
40
9
900
43
10
1000
45
11
1100
47
12
1200
49
13
1300
51
14
1400
53
15
1500
55
16
1600
57
17
1700
59
18
1800
61
19
1900
62
20
2000
64
#=numero d’ ordine della misura
h=altezza del punto di misura
t=tempo trascorso dall’ istante di riferimento
K=costante della legge
tempo(s)
#
70
60
50
40
30
20
10
0
0
500
1000
1500
2000
altezza(mm)
Dall’ interpolazione dei dati si vede che
la legge è quadratica :
t  h1/ 2
Se ripetiamo l’ esperimento ( h=cost.) a
differenti latitudini, si ha che :
t  g 1/ 2
Siamo “autorizzati” a fare l’ ipotesi che:
A.A.2006-07
h
tk
Prof. Savrié Mauro
g
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
116
K t
#
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
g
h
K  1.419
t  K
h
g
tempo(s)
Possiamo ipotizzare che il fenomeno
sia “regolato” da una legge del tipo
( forma analitica ):
70
60
50
40
30
20
10
0
k
1.45
1.54
1.43
1.44
1.42
1.42
1.42
1.40
1.42
1.41
1.40
1.40
1.40
1.40
1.41
1.41
1.42
1.42
1.40
1.41
<t>
14.3
20.3
24.8
28.3
32.0
35.1
37.9
40.5
43.0
45.3
47.5
49.6
51.7
53.6
55.5
57.3
59.1
60.8
62.4
64.1
h
h
tk
 1.4
g
g
E infatti vedremo che:
0
500
1000
A.A.2006-07
altezza(mm)
1500
2000
Δt
0.7
1.7
0.2
0.7
0.0
-0.1
0.1
-0.5
0.0
-0.3
-0.5
-0.6
-0.7
-0.6
-0.5
-0.3
-0.1
0.2
-0.4
-0.1
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
1 2
h  gt
2
117
temperature (°C)
Si ricorre alla “interpolazione dei dati”
10
8
6
4
2
0
-2 0
10
20
30
time(s)
La curva interpolante si sceglie in base a:
• criteri fisici
• criteri statistici
Un esempio interessante (?)
interrutore
h
A.A.2006-07
cronometro
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
118
A.A.2006-07
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
119
E se il vettore è un vettore unitario (versore di un

Vettore a ) come cambia con il tempo?

a
ê
Sia a il versore di un vettore
Se in un tempo Dt ruota di un angolo Dφ piccolo:
Dêa  D
Versore del vettore
Dêa
Dêa  Dêa  êDê  D  êDê
Quando Dφ→0
êDê  ê
êa t 
D êa
D
êa t  Dt 
êDê
ê
E per la definizione di derivata:
dêa
Dêa
 D
 d
 lim
 lim 
 êDê  
ê
dt Dt 0 Dt Dt 0 Dt
 dt
êa   ê 
A.A.2006-07
è importante:
è il modulo della
velocità angolare
Prof. Savrié Mauro
Università di Ferrara
www.fe.infn.it/~savrie
120