Bari 24/09/07
UMI, Bari 24/09/07
STRUTTURE COMPLESSE
e
GEOMETRIA CONFORME
Simon Salamon
http://calvino.polito.it/~salamon
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Org
oppure
Geometria Hermitiana
conformemente piatta
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oppure
Geometria Hermitiana
senza tantissimi tensori
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Il caso classico: dimensione 2
Strutture complesse ortogonali
Il caso Euclideo: dimensione 4
Teoremi di tipo Liouville
Classificazione di quadriche
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Il caso classico: dimensione 2
Strutture complesse ortogonali
Il caso Euclideo: dimensione 4
Teoremi di tipo Liouville
Classificazione di quadriche
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Superficie di Riemann
Ogni superficie reale
ammette una metrica
Riemanniana indotta:
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Superficie di Riemann
La scelta di un versore
normale definisce una
struttura complessa
J : Tm M ! Tm M
sullo spazio tangente:
anche nel senso analitico…
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Coordinate isoterme
Teorema
Esistono coordinate per cui
diventa una varietà complessa e
una funzione olomorfa
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Coordinate isoterme
Teorema
Esistono coordinate per cui
In dimensione (reale) 2, una
struttura conforme orientata
è equivalente ad una
struttura complessa
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Coordinate isoterme
Teorema
Esistono coordinate per cui
La curvatura Gaussiana è
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La proiezione di Mercatore
Se
allora
è la proiezione
stereografica sul piano equatoriale
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Il caso classico: dimensione 2
Strutture complesse ortogonali
Il caso Euclideo: dimensione 4
Teoremi di tipo Liouville
Classificazione di quadriche
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Dimensioni superiori
Sia
una varietà orientata con
una struttura conforme fissata
Problema
Trovare (anche su
) una
struttura complessa ortogonale (SCO):
² J : Tm M ! Tm M ; J 2 = ¡ 1
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Scelte puntuali
Data
la scelta di J : T m M !
TmM
determina un sottogruppo
cioè un punto dello spazio
Z n è la varietà di spinori “puri”
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Isomorfismi speciali
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Spazi “twistor”
è lo spazio totale di un fibrato
su una sfera con fibra
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Via un “ottavo” della curvatura
è una SCO su
Si annulla una componente,
chiamata
del tensore di Weyl
Inoltre
.
per
è conformemente piatta
se ammette 8 SCO “indipendenti”
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Via un “ottavo” della curvatura
dim 4
Il tensore
determina le possibili SCO su
Ogni superficie di Del Pezzo ammette
una struttura bi-Hermitiana
dim 6 ?
è conformemente piatta
se ammette 8 SCO “indipendenti”
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Il caso classico: dimensione 2
Strutture complesse ortogonali
Il caso Euclideo: dimensione 4
Teoremi di tipo Liouville
Classificazione di quadriche
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Deformazioni
Una struttura complessa ortogonale su
è determinata da un’applicazione
con il seguente sistema di integrabilità
è una funzione
olomorfa in
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Tre soluzioni esplicite
definita su tutto
definita su
definita su
è una funzione
olomorfa in
H2
S2
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Tre soluzioni esplicite
definita su tutto
definita su
definita su
Problema
Su quali altri domini
esistono strutture
complesse ortogonali (SCO)?
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Il “grafico” di una SCO
è una submersione Riemanniana.
La geometria di
è compatibile
con lo splitting
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Il “grafico” di una SCO
Lemma
Data una SCO su
la sua immagine
è una superficie complessa in
.
Viceversa, ogni sezione complessa in
ha la forma
dove
è una SCO su
è una submersione Riemanniana.
La geometria di
è compatibile
con lo splitting
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Le soluzioni precedenti
Un piano
contiene
esattamente una fibra
La quadrica
contiene
per
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Il caso classico: dimensione 2
Strutture complesse ortogonali
Il caso Euclideo in dimensione 4
Teoremi di tipo Liouville
Classificazione di quadriche
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Strutture “intere”
I seguenti teoremi (di S.S. + J.Viaclovsky)
caratterizzano le soluzioni di tipo
Teorema 0
Sia
una SCO definita su
.
Allora
(cioè
) è costante
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Strutture “intere”
Teorema 1
Sia
una SCO su un aperto
Se
allora è conformemente
costante (e si estende a
)
Teorema 0
Sia
una SCO definita su
.
Allora
(cioè
) è costante
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Strutture “intere”
Teorema 1
Sia
una SCO su un aperto
Se
allora è conformemente
costante (e si estende a
)
Misura di Hausdorff
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Eliminazione delle singolarità
Il grafico di
è un insieme analitico
Shiffman 1968
è analitico
Basato su Bishop 1964,
generalizzazione di
Remmert-Stein 1955
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Eliminazione delle singolarità
Il grafico di
è un insieme analitico
Shiffman 1968
è analitico
Chow, Mumford
è algebrico, di deg 1
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Quadriche “reali”
Teorema 2
Sia
una SCO su
(che
non estende a
). Il grafico di
in
è contenuto in una quadrica
con
dove agisce su
ammette una metrica
Kähleriana completa
conformemente piatta
H2
K´ ¡1
S2
K´ 1
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Il caso classico: dimensione 2
Strutture complesse ortogonali
Il caso Euclideo in dimensione 4
Teoremi di tipo Liouville
Classificazione di quadriche
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Superfici quadriche in CP3
Si consideri una quadrica nondegenere
è bi-olomorfa a
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Il gruppo conforme
Problema
Trovare le orbite di
sullo spazio delle quadriche
Il risultato dovrebbe
dipendere da
parametri reali
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Il gruppo conforme
Problema
Trovare le orbite di
sullo spazio delle quadriche
Basta studiare l’azione del sottogruppo
sullo spazio delle matrici reali 3x3
SVD
Diagonalizzazione
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Forma canonica
Teorema 3
in
Qualsiasi quadrica nondegenere
è equivalente a quella associata a
per qualche
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Il luogo discriminante in S4
…è l’unione
dove
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2-tori in S4
Teorema 4
Sia
una quadrica
nondegenere. Ci sono tre possibilità:
è una circonferenza in
è un 2-toro liscio snodato
è un 2-toro pinzato in
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Il caso generico
ha 2 componenti
è un 2-toro liscio snodato
COROLLARIO
Esiste una SCO con
dominio massimale
un toro solido
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Problemi aperti
Caratterizzazione conforme
dei 2-tori disciminanti in
Studio di superfici cubiche e quartiche
in
contando rette “verticali”
Un teorema di Liouville per
basato sull’area
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Bibliografia
Apostolov-Gauduchon-Grantcharov, PLMS 1999
Atiyah-Hitchin-Singer, P Roy Soc Lond 1978
Bishop, Mich Math J 1964
Hitchin, arXiv:math/0608213
Pontecorvo, Diff Geom Appl 1992
Salamon-Viaclovsky, arXiv:0704.3422
Schoen-Yau, Invent Math 1988
Shiffman, Mich Math J 1968
Slupinski, J Geom Phys1996
Tricerri-Vanhecke, TAMS 1981
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Bibliografia
Apostolov-Gauduchon-Grantcharov, PLMS 1999
Atiyah-Hitchin-Singer, P Roy Soc Lond 1978
Bishop, Mich Math J 1964
Hitchin, arXiv:math/0608213
Pontecorvo, Diff Geom Appl 1992
Salamon-Viaclovsky, arXiv:0704.3422
Schoen-Yau, Invent Math 1988
Shiffman, Mich Math J 1968
Slupinski, J Geom Phys 1996
Tricerri-Vanhecke, TAMS 1981