Problem Solving
Gruppo Intervento 3:
Valentina Amato, Mariateresa Basile,
Gabriella Crispino, Ida Del Prete,
Piera Scotto di Rinaldi, Roberta Vivolo
Problem solving
La PIZZA
Una pizzeria prepara due pizze dello stesso
spessore ma di dimensioni diverse. La più
piccola ha un diametro di 30 cm e costa
3€. La più grande ha un diametro di 40
cm e costa 4 €.
Quale delle due pizze è più conveniente?
PISA 2003
Le nostre soluzioni
Ipotesi : le pizze sono dello stesso tipo.
Per stabilire quale delle pizze sia più conveniente abbiamo
analizzato i seguenti rapporti:
Diametro/Prezzo;
Area/Prezzo;
Volume/Prezzo.
Diametro/Prezzo
Soluzione: Le due pizze sono ugualmente
convenienti
Il prezzo delle pizze varia linearmente con il diametro,
in particolare si nota che il prezzo aumenta di 1 euro
per ogni 10 cm di diametro.
Più la pizza è grande, più costa.
Proporzionalità diretta tra diametro e prezzo
Area/Prezzo
Modello: Pizza = Cerchio
Soluzione: la più conveniente è la pizza più grande.
Abbiamo calcolato il rapporto area/prezzo. In
particolare abbiamo ottenuto:
Pizza A (d=30cm)
Pizza B (d=40 cm)
Area = 706,5 cm2
Area = 1256 cm2
A/P= 235,5 cm2/€
A/P= 314 cm2/€
Quanto si risparmia?
Calcolando il prezzo della pizza in base al costo al cm2 della pizza A
15 2 : 3  20 2 : x
20 2  3
 5,4€
2
15
per comprare la pizza B, paghiamo 5,4 €, con un incremento del
prezzo di 1,40€…
…il pizzaiolo è onesto….
Punto di vista alternativo
Ci siamo chieste quanto costasse la pizza al
cm2, paragonando la situazione all’acquisto
di un immobile. Siamo giunti alle seguenti
conclusioni:
Pizza A (d=30cm)
Pizza B (d=40 cm)
Area = 706,5 cm2
Area = 1256 cm2
P/A= 4*10-3 €/cm2
P/A= 3*10-3 €/cm2
Anche in questo caso la più conveniente è la pizza B
Volume / Prezzo
Modello: Pizza = Cilindro
Lo spessore h non è più trascurabile.
A parità di h otteniamo:
Pizza A (d=30cm)
Pizza B (d=40 cm)
Volume = 706,5*h cm3
Volume = 1256*h cm3
V/P= 235,5*h cm3/€
V/P= 314*h cm3/€
Dal rapporto V/P notiamo che ancora una volta risulta
più conveniente la pizza con diametro maggiore.
CONVENIENTE
IN CHE SENSO?
Analisi delle soluzioni
Convenienza = diametro/prezzo
In questo caso non c’è una pizza più
conveniente dell’altra!
Analisi delle soluzioni
Convenienza = superficie/prezzo
Modellizzare la pizza come un cerchio
Trascurare lo spessore
Analisi delle soluzioni
Convenienza = volume/prezzo
Modellizzare la pizza come un cilindro
Convenienza come funzione dello spessore
Se il diametro rimane costante, il prezzo rimane costante,
all’aumentare dello spessore aumenta la convenienza.
Abbiamo proposto il problema a …
• Enzo, 13 anni
• Luigi, 37 anni
• Antonio, 19 anni
Istogramma delle frequenze
• Giancarmine, 12 anni
• Giuseppe, 36 anni
7
6
• Raffaele, 32 anni
• Orazio, 26 anni
5
4
3
• Lucia, 55 anni
• Alessandro, 33 anni
2
1
0
• Marianna, 11 anni
• Concetta, 17 anni
• Mena, 18 anni
Proporzionalità
diretta
Area
Volume
Le loro soluzioni
Punto di vista di Giuseppe:
“se le pizze hanno lo stesso spessore allora il panetto
utilizzato per la pizza con diametro minore è più
piccolo rispetto a quello della pizza con diametro
maggiore… inoltre c’è una diretta proporzionalità tra
il diametro e il prezzo, ogni 10 cm vale 1 €,
all’aumentare del panetto aumenta il prezzo della
pizza. Quindi la convenienza dipende dalla fame e dai
soldi che ho in tasca!”
Punto di vista di Enzo:
“se la pizza è più grande allora ha un volume più
grande… se considero lo spessore della pizza
allora è un solido, quindi possiamo dire che è un
cilindro … quando aumento la lunghezza della
circonferenza aumenta il volume e c’è una
proporzionalità diretta. Quindi la convenienza
della pizza dipende dalla fame e dal numero di
persone che la mangiano.”
Convenienza intesa come:
Giancarmine, 12 anni, : “Compro la pizza da
3€, così ho più soldi in tasca!”
Enzo, 13 anni: “Compro la pizza più grande
perché mangiano più persone!”
Giuseppe, 36 anni, “Compro la pizza in base
alla fame che ho!”
Analisi UMI
Livello scolare: Scuola secondaria inferiore, I biennio scuola secondaria superiore
Contesto
Vita sociale
Abilità interessate
Modellizzazione
Individuare relazioni
significative tra
grandezze
Individuare e
riconoscere
nel mondo reale le
figure geometriche
note e descriverle con
la terminologia
specifica
Conoscenze
Nuclei coinvolti
Funzioni
lineari
Relazioni e
funzioni
Funzioni
quadratiche
Spazio e figure
Area di
figure piane
Argomentare,
congetturare,
dimostrare
Volume
di solidi
Risolvere e porsi
problemi
Collegamenti
esterni
Economia
Se le pizze fossero
state differenti?