UNIVERSITA’ DI URBINO
FACOLTA’ DI ECONOMIA
TEORIA DEI VALORI ESTREMI E
APPLICAZIONI AL CALCOLO DEL “VALUE AT RISK”
Gianna Figà-Talamanca
Università della Calabria
Value at Risk 1
Il Value at Risk (Valore a Rischio) è definito come la perdita massima al di
sotto della quale si può andare solo con una bassa probabilità .
Se con Xt, t=1,2,…,n rappresentiamo la serie storica del rendimento della
nostra posizione finanziaria X, si ha:
P( X n1  VaR)  
Value at Risk 2
Il Value at Risk è quindi un quantile, corrispondente in genere al 5% o all’
1%, della distribuzione di probabilità del rendimento della posizione
finanziaria X su un orizzonte temporale prefissato (1 giorno, una settimana,
etc.).
Dal 1986 il Comitato di Basilea ha stabilito che le istituzioni finanziarie
sono tenute a calcolare (stimare) il proprio VaR come misura del capitale a
rischio della società.
Le istituzioni sono altresì tenute ad accantonare un capitale come
assicurazione contro eventuali perdite, in modo proporzionale al VaR
calcolato e alla loro affidabilità (rientrando nel passato nel VaR calcolato,
etc.).
L’utilizzo del VaR é stato ed é ancora molto criticato dagli accademici e altre
misure di rischio sono state introdotte. Nonostante questo il VaR é tuttora
utilizzato da molte istituzioni e per migliorarne le prestazioni è necessario dare
una accurata descrizione delle “code” della distribuzione dei rendimenti (ProfitLoss) che non può essere ben rappresentata da una distribuzione normale.
Istogramma per le perdite giornaliere
MIB30
SP500
Analisi delle “code”: il Q-Q plot
Si ottiene rappresentando in ascissa i quantili teorici per la distribuzione
normale ed in ordinata i quantili della distribuzione empirica. Se i punti
risultano sulla diagonale la distribuzione empirica è ben descritta da quella
teorica. Si può notare che nelle code l’approssimazione è scarsa e il VaR non
può essere ben stimato dal quantile di una distribuzione normale.
MIB30
SP500
Distribuzioni leptocurtiche
Una possibile soluzione è quella di rappresentare la distribuzione dei
rendimenti con una distribuzione diversa dalla normale e che goda della
proprietà di leptocurtosi (indice di curtosi > 3) che è causa delle “code
grasse.
Possibili esempi di tali distribuzioni
possono essere la distribuzione t-di
student, la distribuzione iperbolica o
altre, i cui parametri possono essere
stimati
utilizzando
tutte
le
osservazioni passate disponibili sui
rendimenti
della
posizione
finanziaria X.
La Teoria dei Valori Estremi
Si occupa dello studio di eventi rari ed è inizialmente nata nell’ambito della
previsione di catastrofi naturali.
Nelle applicazioni finanziarie l’evento raro può corrispondere al fallimento di una
società, al crollo del prezzo di un titolo azionario o di un portafoglio.
La Teoria dei valori estremi (EVT) si affianca all’analisi statistica standard, che
analizza i fenomeni “nella medi” fornendo strumenti di diagnbistica come
appunto il QQ-plot, per studiare gli venti rari, ovvero quelli che si trovano nelle
code di una distribuzione.
In particolare, l’applicazione della EVT in ambito finanziario cerca di stimare la
forma distribuzione del rendimento di una posizione finanziaria SOLO per quanto
riguarda le code di tale distribuzione e la si basa sull’analisi dei soli dati
“estremali” nella serie storica dei rendimenti passati.
Dalle medie agli estremi…
Ricordiamo che la distribuzione di un v.a. X è caratterizzata dalla sua
Funzione di Ripartizione definita come:
FX ( x)  P( X  x)
e che una successione di variabili aleatorie X1,X2,…Xn si dicono
identicamente distribuite se hanno la stessa funzione di ripartizione (la stessa
distribuzione).
Indici sintetici importanti nella distribuzione di una v.a. sono la media e la
varianza definite rispettivamente come:
EX  




 xdF ( x)   xf ( x)dx




V X    x 2 dF ( x)   x 2 f ( x)dx
Dalle medie agli estremi 2…
Due dei teoremi cardine dell’inferenza statistica “standard” riguardano appunto
la distribuzione della MEDIA di una successione di variabili aleatorie:
Siano X1,X2,…Xn… variabili aleatorie indipendenti ed identicamente distribuite
con media  e varianza 2 e sia:
X 1  X 2  ...  X n
Xn 
n
la media aritmetica delle prime n.
Legge dei grandi numeri
Xn  
n  
Teorema centrale del limite
n
Xn  

 N (0,1)
d
Dalle medie agli estremi 3…
Per rappresentare le code di una distribuzione si analizzano gli eventi
estremali che possono essere rappresentati da due diverse variabili:
1) Il massimo “a blocchi” delle variabili aleatorie osservate;
2) Il valore degli eccessi sopra una soglia prefissata u detta threshold.
La distribuzione del massimo campionario
Consideriamo nuovamente la successione X1,X2,…Xn… di v.a. i.i.d ponendo
la nostra attenzione non più sulla media aritmetica ma sul massimo
campionario delle v.a. Definiamo quindi:
M n  max( X 1 , X 2 ,..., X n ).
La distribuzione del massimo è descritta dalla funzione di ripartizione ottenuta
come:
FM ,n ( x)  P( M n  x)  F ( x) .
n
Banalmente, se x è un valore tale che F(x)<1 allora:
FM , n ( x )  0.
n  
Risultato di poco interesse
La distribuzione del massimo campionario 2
Un risultato limite interessante si ottiene invece normalizzando la variabile massimo
mediamte una costante an di scala e una costante bn di posizione per cui si abbia:
 M n  bn

n
P
 x   F (an x  bn )  H ( x)
n 
 an

Se una tale distribuzione limite H esiste ed è non degenere, allora deve
necessariamente appartenere ad una certa classe di distribuzioni denominate
del “valore estremo generalizzato” (GEV).
In tale caso si dice che le v.a. X1,X2,…Xn…hanno la funzione H come
dominio di attrazione per il massimo .
Distribuzioni GEV
Il “Three Types Theorem”
Se il massimo campionario “normalizzato” ammette una distribuzione limite
H non degenere allora questa può essere descritta da una delle seguenti forme
funzionali:


Gumbel
H ( x )  exp  e  x , x
0

H ( x)  

exp(

x
)

x0
x0
Fréchet
1

H ( x)  

exp(

x
)

x0
x0
Weibull
con  positivo.
Distribuzioni GEV: Parametrizzazione unica
Le tre tipologie di funzioni di ripartizione possono essere scritte in una
forma comune del tipo:
1 

x  
 

 
H ( x)  exp  1  
  

 

Dove  é un parametro di posizione,  > 0 è un parametro di scala e  è un
parametro di forma (il più importante nella descrizione della forma delle
code).
Per 0 ritroviamo la distribuzione di Gumbel, per  > 0 la distribuzione
di Frechét con  = -1, per  < 0 la distribuzione di Weibull con  = --1.
In modo informale possiamo dire che il caso  > 0 corrisponde a
distribuzioni con code pesanti e lunghe che decrescono come una funzione
potenza x -1/ , il caso  =0 alle distribuzione intermedie con code che
decadono in modo esponenziale e il caso  < 0 corrisponde a distribuzioni
con code corte e finite a destra.
Consideriamo ora di avere una successione di v.a. con comune funzione di
ripartizione F appartenente ad una classe nota: quale è la distribuzione limite
GEV del massimo campionario?
Distribuzione Esponenziale
F ( x)  1  exp(  x)
 e
F (bn  an x)  1 
n

con
x
n
an  1, bn  log n
n
 n
  exp( e  x )

Gumbel
Distribuzione Normale
1
F ( x) 
2
x
2
exp(

u
2)du


 e
F (bn  an x)  1 
n

x
n
1
a

1
b
,
b

F
(1  1 n)
con
n
n
n
n
 n
  exp( e  x )

Gumbel
Code Paretiane
Si dice che la distribuzione di una v.a. X ha code Paretiane di ordine  se:
P( X  x)  1  F ( x)  cx  , con  , c  0, per x  
In questo caso, ponendo

an  nc  , bn  0
1
F (an x)  1  can x 
n

 n

 x
 1 
n

si ottiene:
n

 
 n
 exp(  x  )

ovvero il dominio di attrazione del massimo per una distribuzione con code di
tipo Pareto è una Fréchet.
La distribuzione degli “eccessi”
Fissato un valore soglia u indichiamo con Y la v.a. degli eccessi da u, Y=X-u.
Consideriamo la distribuzione condizionata:
Fu ( y )  P(Y  y X  u )  P( X  u  y X  u ) 
P(u  X  u  y ) F ( y  u )  F (u )


P( X  u )
1  F (u )
Quando la soglia u tende al valore massimo per la v.a. X è possibile trovare una
funzione di distribuzione limite per tale distribuzione condizionata.
La distribuzione degli “eccessi” 2
Se un tale limite esiste questo appartiene alla classe delle distribuzioni Pareto
Generalizzate (GPD) ovvero, se:

Fu ( y ) u
 G ( y;  u ,  ) dove ω  sup x: F(x)  1
allora:
 
y
1  1    ,   0
 


G ( y;  ,  )  
 1  exp  y ,   0

 
1 
Pareto
e
Beta
Esponenziale
Si noti che, assegnata una distribuzione F per la successione di v.a. iid, un tale
limite per la distribuzione condizionata degli eccessi esiste SE E SOLO SE
esiste il limite per la distribuzione del massimo campionario e il parametro di
forma  coincide.
Pertanto, nuovamente, se il parametro di forma è positivo la distribuzione
possiede code lunghe e pesanti, se è negativo, code corte o troncate e se è nullo
code che decadono in modo esponenziale.
Risultati interessanti sulle caratteristiche delle distribuzioni GPD sono i
seguenti:
E Y  
VY  

1 
2
, per   1
, per   1 2
(1   ) (1  2 )
  y
E Y  y Y  y  0 
, per   1
1 
2
Consideriamo ora di avere una successione di v.a. con comune funzione di
ripartizione F appartenente ad una classe nota: quale è la distribuzione limite
GPD degli eccessi sopra una soglia u?
Distribuzione Esponenziale
F ( x)  1  exp(  x)
con
u 1
exp( u )  exp  (u  z ) 
Fu ( u z ) 
 1 - exp(  z )
exp( u )
Esponenziale!
Distribuzione Normale
1
F ( x) 
2
Fu ( u z ) 
x
2
exp(

u
2)du

con
u 1 u

F (u  z u )  F (u ) n
 1 - exp(  z )
1  F (u )
Esponenziale!
Code Paretiane e GPD
Nel caso in cui la distribuzione originale abbia code paretiane, sia u=bu,
con b > 0, allora:
F (u  buz )  F (u ) n
F ( u z ) 
 1-( 1  bz)
1  F (u )
che appartiene alle GPD se poniamo =1/ e b=.
Distribuzioni GPD e Quantili
Una volta noti (stimati) i parametri che compaiono nella distribuzione
GPD è possibile calcolare i quantili della distribuzione in funzione di
questi e del threshold u scelto. Si ha, per 1-q<1-F(u) ovvero q> F(u):




  n
Z q  u  
(1  q)   1
  N u



con
Z q : P(Y  Z q X  u)  q e
Nu  numero di osservazio ni sopra il threshold
Tramite questa formula è possibile calcolare direttamente il VaR!
Stima dei parametri su osservazioni di mercato
Il parametro che risulta più importante da stimare per capire la forma delle
code della distribuzione empirica dei dati di mercato (rendimenti della nostra
posizione finanziaria) è il parametro di forma .
Questo può essere indifferentemente stimato tramite la distribuzione del
massimo (a blocchi) fissato un numero sufficientemente alto n di
osservazioni oppure tramite la distribuzione condizionata degli eccessi,
fissato un threshold sufficientemente alto.
Il numero di osservazioni in un caso, il threshold nell’altro sono scelte
arbitrarie che possono alterare il valore della stima.
Il Caso MIB30: X= log-perdita giornaliera
u=0,034
u=0,021
u=0,012
Approssimazione della coda nel caso del MIB30
Confronto: GPD versus Tail Empirico dell'indice MIB30
1
0.9
0.8
Soglia fissata a
u=0,021.
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
GPD teorica
Tail Empirico
0.1
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
u
0.03
0.035
0.04
0.045
Confronto: GPD versus Tail Empirico dell'indice MIB30
1
0.9
0.8
0.7
0.6
Soglia fissata a
u=0,012.
0.5
0.4
0.3
0.2
GPD teorica
Tail Empirico
0.1
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
u
0.03
0.035
0.04
0.045
Analisi standard
S&P 500
Media
Stdev
0,00047
0,0107
Skewness
Kurtosis
-1,9115
40,27
S&P 500
Stima del parametro di forma al variare del threshold
(del numero di osservazioni nella coda)
Valore plausibile intorno a 0.3
S&P 500 – Stima del parametro di forma e dei Quantili (VaR)
VaR (99%)
Parametro di forma
0,0975
0,27
0,1061
0,3
0,1155
0,33
Come variano le stime dei quantili in base al threshold?
S&P 500: VaR al variare del threshold
Valore plausibile intorno a 0.1, proprio quello trovato in corrispondenza di =0.3
S&P 500 –Funzione di ripartizione stimata ed empirica
Analisi standard del tasso di
cambio Jap. Yen /UK £.
Media
Stdev
0,00012089
0,077
Skewness
Kurtosis
0,3406
6,1588
Japanese Yen /UK £. – Stima del parametro di forma
Risulta difficile trovare un valore ottimale
Japanese Yen / UK £. – Stima del VaR al 99%
VaR (99%)
Parametro di forma
0,0609
0,22
0,066
0,25
0,0717
0,28
L’intervallo per il quantile è accettabile, ma come varia la stima con il threshold?
Japanese Yen to UK £. – VaR al variare del threshold
Japanese Yen/UK £.
Funzione di ripartizione stimata ed empirica
Analisi standard del Future
sul Caffè.
Media
Stdev
0,000546
0,0204
Skewness
Kurtosis
-0,2413
14,9788
LIFFE Coffee Fut. – Stima del parametro di forma
LIFFE Coffee Fut. – Var al 99%
VaR(99%)
Parametro di forma
0,1858
0,27
0,202
0,3
0,22
0,33
LIFFE Coffee Fut. – VaR al variare del threshold
LIFFE Coffee Fut.
Funzione di ripartizione stimata ed empirica
Confronto tra la stime del VaR al 99% ipotizzando una
distrobuzione normale e con la teoria dei valori estremi.
VaR- Normale VaR-EVT
S&P 500
2,5%
10,6%
Coffee futures 4,8%
20,2%
Yen /UK
6,6%
1,8%