TQuArs – a.a. 2010/11
Tecniche quantitative per l’analisi nella ricerca sociale
Giuseppe A. Micheli
Lezione B.8
Regressione lineare
In questa lezione..
In questa lezione ripartiremo dall’interpolazione di una nuvola di punti
mediante la spezzata di regressione (funzione che è la migliore di tutte
le possibili interpolanti), per poi passare a funzioni rettilinee, magari
meno buone, ma capaci di spiegare e di estrapolare.
Faremo la conoscenza con le stime dei parametri di una retta ottenute
col metodo dei minimi quadrati. In particolare:
Esamineremo le proprietà di queste stime.
Svilupperemo le procedure di calcolo e di estrapolazione.
Individueremo una idonea misura di goodness of fit.
Accenneremo alla stima della retta con intercetta vincolata.
Confronteremo le stime ottenute con quelle che si ottengono
interpolando la retta entro la linea di regressione.
Preciseremo la procedura di calcolo per dati in forma di tabella.
La linea di regressione ha davvero
scarso appeal
La funzione (di qualunque tipo) che si adatta ‘meglio’ ai dati di una nuvola di
punti, minimizzando la funzione di perdita, è solo e sempre la spezzata di
regressione. Ma francamente, la spezzata è una legge che non soddisfa le
nostre esigenze interpretative e decisionali. Per almeno due ordini di motivi:
Perché, essendo una funzione ‘ad assetto variabile’, priva di una sua
personalità, non ci consente di cogliere il tipo di relazione tra X e Y (Y cresce
con progressione aritmetica o geometrica con X? E’ monotona crescente o ha
un picco e poi cala con una forma parabolica, o oscilla in forma sinusoidale?).
Non ci consente insomma di individuare una ‘legge semplice e chiara
che definisca Y in funzione di X’.
Perché non ci consente di fare simulazioni sul variare di Y per valori non
osservati di X (per esempio, data la spezzata di regressione, quale potrebbe
essere una performance attesa a 23 o a 24 anni?): non ci consente cioè di
estrapolare stime fuori del campo di variazione osservato.
Ben consapevoli di non trovare la migliore interpolante possibile,
preferiamo allora cercare non una generica funzione, ma la retta
Yj = i = a + bxi
che meglio si adatta ai punti del grafico.
Stimare la retta miglior
interpolante
Si tratta insomma di stimare i parametri a (intercetta all’origine) e b (pendenza)
della retta che minimizzano la funzione di danno quadratico:
D = (yj - i)2fij = (yj – a - bxi)2fij = min
Ma quale retta, tra le infinite possibili che passano entro la nuvola di punti, è quella
che meglio vi si adatta, minimizzando D? Proviamo a interpolare tra i dati due
possibili regole. La seconda Y**=E(Y) ha una varianza residua elevata VW**=23,4.
La prima Y*=180+2X, tracciata ‘a naso’ si adatta assai meglio. Ma sarà la migliore?
Xi
Yi
Y*i= 180+2X
i
(Yi-Y*i)2
Y**i= 220
(Yi-Y**i)2
18
212
216
16
220
64
230
18
218
216
4
220
4
226
18
215
216
1
220
25
19
218
218
0
220
4
19
220
218
4
220
0
20
218
220
4
220
4
20
224
220
16
220
16
21
220
222
4
220
0
21
226
222
16
220
36
22
229
224
25
220
81
19,6
220
222
218
214
210
17
18
19
20
21
22
23
9,0
23,4
Stimare col metodo dei minimi
quadrati
Si definisce “Metodo dei Minimi Quadrati” (MMQ) quello che consente di
stimare la forma analitica dei parametri che minimizzino la funzione D. Si
dimostra che le stime ai Minimi Quadrati (LS, least squares) della retta sono:
aYX = intercetta all’origine = mY – bYXmX
bYX = coefficiente angolare = covYX/varX
La retta stimata ai MQ ha la forma analitica:
Y  a yx  byx X  my 
cov yx
var x
mx 
cov yx
var x
X  my 
cov yx
var x
 X  mx 
Quel che c’è di intrigante nel Metodo dei Minimi Quadrati è che per stimare la retta
ottima interpolante è sufficiente avere a disposizione quattro soli parametri
statistici empiricamente calcolabili.
Di questi uno solo (la covarianza) ha a che fare con la distribuzione congiunta
(Y,X). Gliu altri tre (le due medie e la varianza della variabile indipendente, o
esplicativa) sono addirittura parametri univariati!
La procedura di calcolo
Per stimare la retta ai MQ dobbiamo dunque impiantare la tavola di calcolo già usata per rXY (i quadrati di Y non servono, ma tra poco torneranno utili!!). I calcoli intermedi sono: mX=19,6; mY=220; m2X=386; VX=1,84; mXY=4317,6; covXY=+5,6.
Quindi bYX=covYX/varX=5,6/1,84=3,04 e aYX=mY–bYXmX=220-(3,04x19,6)=160,35
Nella fattispecie, la retta ai MQ – con pendenza più forte di quella precedente - ha
una varianza residua ancora migliore (6,357 vs 9). Si noti un’altra proprietà delle
stime Y*i basate sulle stime MQ: esse lasciano inalterata l’intensità totale di Y.
Inoltre VY=23,4 e rXY=0,853.
Xi
Yi
Y i2
X i2
X iY i
Y*i=a+bXi
(Yi-Y*i)2
230
226
222
218
214
210
17
18
19
20
21
22
23
18
212
44944
324
3816
215,13
9,80
18
218
47524
324
3924
215,13
8,23
18
215
46225
324
3870
215,13
0,02
19
218
47524
361
4142
218,17
0,03
19
220
48400
361
4180
218,17
3,33
20
218
47524
400
4360
221,22
10,36
20
224
50176
400
4480
221,22
7,74
21
220
48400
441
4620
224,26
18,16
21
226
51076
441
4746
224,26
3,02
22
229
52441
484
5038
227,30
2,88
19,6
220
48423
386
4317,6
220,00
6,357
Interpolare, estrapolare
La retta ai MQ stimata è Y* = 160,35 + 3,04X. La prima cosa da fare è tracciarla
entro il grafico, per ‘vedere’ l’andamento della ‘legge rettilinea’ che associa X a Y.
Per tracciarla basta calcolare i valori teorici Y* corrispondenti a due valori di X agli
estremi del grafico (per es.: se X=18 Y*=215,13) e poi congiungerli.
Ma possiamo ora anche ‘estrapolare’ stime dalla funzione. Per esempio, nessun
atleta seguito ha 23 anni, ma in base alla nostra funzione possiamo prevedere che a
23 anni la performance possa essere Y*=160,35+(3,04x23)=230,27 (wow!).
230
226
222
218
214
210
17
18
19
20
21
22
23
se la retta
non si
insinua bene
tra i da-ti
delle due
l’una: o
avete
sbagliato a
calcolare la
retta o avete
sbagliato a
tracciarla!!
Xi
Yi
Y*i=a+bXi
(Yi-Y*i)2
18
212
215,13
9,80
18
218
215,13
8,23
18
215
215,13
0,02
19
218
218,17
0,03
19
220
218,17
3,33
20
218
221,22
10,36
20
224
221,22
7,74
21
220
224,26
18,16
21
226
224,26
3,02
22
229
227,30
2,88
19,6
220
220,00
6,357
Scomporre la varianza intorno
alla retta ai minimi quadrati
Abbiamo detto che la proprietà di spaccare (scomporre) la varianza totale della
variabile da spiegare in due parti (una quota ‘spiegata’ dall’explanans e una
‘residuale’) vale per poche funzioni y=(x), oltre alla spezzata di regressione.
La proprietà di scomposizione della varianza vale per le funzioni lineari di
regressione stimate col metodo dei MQ, e in primo luogo per la retta MQ:
VarT(Y) = VarWR + VarBR
dove VarWR è la somma dei quadrati degli scarti tra valori osservati e ‘teorici’
(calcolati cioè in base all’equazione stimata) ponderati per le rispettive frequenze.
Analogamente al rapporto di correlazione 2YX
possiamo così costruire una misura del grado di adattamento (goodness of fit) della
retta MQ ai dati, ossia una misura del grado
in cui la relazione rettilinea con l’explanans X
‘spiega’ la variabilità di Y. La misura è:
230
226
222
218
214
210
17
18
19
20
21
22
23
varBR (Y )
varW R (Y )
R 
 1
varT (Y )
varT (Y )
2
yx
Il coefficiente di determinazione
Come YX anche 2YX è una quantità compresa tra 0 e 1, che si può calcolare come
complemento a uno del rapporto tra la varianza residua e la varianza totale di Y.
Nel caso dei 10 atleti V(Y)=23,4; VWR(Y)=6,353; R2YX=1-(6,353/23,4)=0,728.
Possiamo dire che il 72,8% della variabilità di performance dipende dall’età.
Per quell’esempio avevamo già calcolato 2=1-(VWG/VY)=0,7565: a conferma che è
la spezzata di regressione (e nessun’altra funzione) l’ottima interpolante. La retta
MQ è solo un second best. Vale la disequazione:
Y*i=a+bXi
(Yi-Y*i)2
215,13
9,80
215,13
8,23
215,13
0,02
218,17
0,03
218,17
3,33
221,22
10,36
221,22
7,74
224,26
18,16
224,26
3,02
227,30
2,88
220,00
6,357
2
2
0  Ryx
  yx
1
Il calcolo di R, passando dalla stima dei valori teorici e dagli
scarti al quadrato (varianza residua) è però un po’ faticoso.
Ma c’è una splendida sorpresa. Se la retta è stimata ai MQ (e
solo in tal caso) senza alcun ulteriore vincolo si dimostra che il
coefficiente di determinazione è esattamente pari al
quadrato del coefficiente di correlazione lineare!
R
2
yx
  xy 
2
Nel nostro esempio:
R2YX=(0,853)2 =0,728
Un esempio
Un’analisi cross-section su due misure di pari opportunità (X=% donne che
lavora, Y=disuguaglianza nei redditi) per 12 paesi europei mostra che se sale l’occupazione femminile cala la disuguaglianza (ma R2YX è bassa)
regione
X
Y
Italia
0,42
0,82
Portogallo
0,59
0,76
bYX=-(0,0095/0,0175)=-0,5428
Gran Bret.
0,65
0,74
aYX=0,61-(-0,5428x0,55)=0,91
Grecia
0,44
0,68
Spagna
0,32
0,67
Irlanda
0,39
0,67
Olanda
0,60
0,61
0,9
Austria
0,56
0,51
0,8
Belgio
0,60
0,50
Germania
0,53
0,50
Finlandia
0,72
0,45
Danimarca
0,78
0,42
TOTALE/N
0,55
0,61
E(X)=0,55; V(X)=0,0175; E(Y)=0,61; V(Y)=0,0169
Cov=-0,0095; XY=-(0,0095/0,0172)=-0,5523
R2YX=(XY)2
=0,305 (bassa)
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Un secondo esempio: scomporre
un miscuglio
regione
Distribuzione di 18 regioni italiane (Piemonte+Vald’Aosta
e Abruzzi+Molise) secondo X=Divorzi per 100mila abitanti
al 1988 e Y=coppie non coniugate per 1000coppie al 2001
60
50
40
30
20
10
0
Y
XY+
Laz
X+
Y+
Ven
XY-
X+
Y-
Umb
X
0
20
40
60
80
100
120
XY= 0,88 (ma se separassimo nord e sud,
cosa troveremmo? Alla prossima lezione ..)
X
Y
Piemonte
90
56
Lombardia
86
50
Trentino
71
50
Veneto
37
38
Friuli
53
54
Liguria
118
55
Emilia
97
60
Toscana
65
42
Umbria
48
26
Marche
36
27
Lazio
44
40
AbruzziMol
17
16
Campania
31
16
Puglie
26
17
Basilicata
25
9
Calabria
21
14
Sicilia
36
20
Sardegna
33
24
51,9
34,1
Media
Scomporre un miscuglio / 2
Se separiamo le 8 regioni del Nord
dalle 10 del Centro -Sud troviamo
rette diverse con grado di
adattamento assai più basso.
E’ dunque la distinzione Nord/Sud a
‘fare la differenza’!
60
50
40
30
20
10
0
Italia
Nord
CSud
E(X)
51,9
77,1
31,7
E(Y)
34,1
50,6
20,9
CovXY
420,11
123,44
59,57
V(X)
816,7
589,7
86,4
V(Y)
278,5
50,24
69,1
XY
0,88
0,717
0,771
bYX
0,514
0,209
0,6895
aYX
7,4
34,46
-0,956
R2YX
0,776
0,514
0,594
60
50
40
30
20
10
0
0
20
40
60
80
100
120
0
20
40
60
80
100
120
Reg
V
C
Pie
176
52
VdA
149
82
Lom
138
50
Tre
106
50
Ven
136
38
Fri
187
54
Lig
241
56
Emi
192
60
Tos
192
42
Umb
186
26
Mar
169
27
Laz
130
40
Abr
147
18
Mol
148
11
Cam
77
16
Pug
95
17
Bas
119
9
Cal
102
14
Sic
99
20
Sar
116
24
Un terzo esempio:
manipolare outliers
Costruiamo il diagramma di dispersione delle venti regioni
italiane in base a due indici di struttura al censimento della
popolazione del 2001: V è l’indice di vecchiaia (Pop>64/
Pop<15%), C è la quota di coppie non coniugate sul
totale delle coppie, per mille. Due osservazioni:
(1) Il diagramma
si addensa generalmente in un’area a forma di ellisse, che si definisce ‘nuvola di
punti’.
(2) Rispetto ai
confini dell’ellisse
alcuni casi assumono una coordinata anomala: si
parla di ‘outliers’.
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
C
Val d’Aosta
Liguria
V
50 75 100 125 150 175 200 225 250
Manipolare outliers/2
Cosa succede se escludiamo dall’analisi il dato anomalo della Val d’Aosta?
rXY=0,526  R2YX=0,277
rXY= 0,593  R2YX= 0,352
bYX= 0,247; aYX= -3,032
bYX=0,252; aYX=-1,324
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
C
Val d’Aosta
Liguria
V
50 75 100 125 150 175 200 225 250
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
C
Liguria
V
50 75 100 125 150 175 200 225 250
La retta ai MQ mantiene la stessa pendenza, ma si sposta un po’ più in alto
Un quarto esempio:
computer e cellulari
X= numero di computer per 100 abitanti, Y=numero di
cellulari per 100 abitanti, al 97 in 15 paesi europei.
C’è correlazione tra i 2 fenomeni?
Centro E.
E.Mediter
Nord E.
Europa
E(X)
25,83
11,25
34,00
24,67
E(Y)
14,17
16,25
35,00
21,67
CovXY
2,6945
15,9375
24,00
70,6886
V(X)
7,472
10,6875
6,40
85,556
V(Y)
5,806
30,1875
114,00
137,956
+0,409
+0,887
+0,888
+0,651
XY
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Country
X
Y
Austria
25
18
Belgio
25
12
Francia
23
12
Germania
23
13
Olanda
29
13
Svizzera
30
17
155
85
7
9
Italia
16
24
Portogallo
10
18
Spagna
12
14

45
65
Danimarca
35
31
Finlandia
35
46
Svezia
35
41
UK
29
16
Norvegia
36
41

170
175
TOT
370
325
24,67
21,67

Grecia
TOT/N
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Computer e cellulari/2
C’è, sì, correlazione tra i due fenomeni, ma la
correlazione è assai diversa per i paesi del
centro Europa, rispetto a quelli del sud e del
nord. La covarianza tra computer e cellulari è
quindi diversa nelle tre ripartizioni
geografiche. Forse le ripartizioni geografiche
influiscono, prima che sulle correlazioni, già
sulle distribuzioni di frequenza di X e Y?
Cellulari
V(Y/geo)
ngeo
V(Y/geo)ngeo
5,806
6
34,836
Sud
30,1875
4
120,750
Nord
114,000
5
570,000
15
725,586
Centro
VWG(Y) = 48,3724;
VT(Y)=137,956
VWG(Y)/VT(Y)=0,351; 2YG=1-0,351=0,649
Abbiamo già le varianze vincolate delle tre ripartizioni geografiche (e la varianza
generale) sia per X che per Y. Il calcolo di 2XG e 2YG ci dice che la varianza della
diffusione dei computer è spiegata in misura altissima dal parametro geografico,
mentre meno forte è la sua influenza sull’uso di cellulari.
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Computer
V(X/geo)
ngeo
V(X/geo)ngeo
7,472
6
44,832
Sud
10,6875
4
42,750
Nord
6,400
5
32,000
15
119,582
Centro
VWG(X)=7,972;
VT(X)=85,556
VWG(X)/VT(X)=0,093: 2XG=1-0,093=0,907
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Computer e cellulari/3
Sia X il numero di computer e Y il numero
di cellulari per 100 abitanti, al 1997, in 15
paesi europei. La retta stimata ai MQ che
lega Y a X per l’intero continente è:
Y=1,287+0,82X.
Ma essa si scompone in tre diverse relazioni funzionali per Nord, Centro e Sud:
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Centro E.
E.Mediter
Nord E.
Europa
E(X)
25,83
11,25
34,00
24,67
E(Y)
14,17
16,25
35,00
21,67
CovXY
2,6945
15,9375
24,00
70,6886
V(X)
7,472
10,6875
6,40
85,556
V(Y)
5,806
30,1875
114,00
137,956
XY
+0,409
+0,8873
+0,888
+0,651
bXY
+0,3606
+1,4912
+3,75
+0,8262
aXY
+4,855
-0,526
-92,5
+1,287
R2XY
0,167
0,788
0,789
0,424
YX=0
4,85
-0,53
-92,5
1,29
YX=20
12,07
29,30
-17,5
17,81
YX=40
19,28
59,12
57,5
34,33
Y=-92,5+3,75X al Nord (R2=0,79)
Y=+4,85+0,36X al Centro (R2=0,17)
Y=-0,53+1,49X al Sud (R2=0,79)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
NB: instabilità della relazione
se V(X) è bassa
Nei 5 paesi del Nord la relazione MQ trovata è
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Y=-92,5+3,75X
24
28
32
36
40
La goodness of fit è alta (79% della varianza di
Y è spiegata da X) ma qualcosa non quadra: la
relazione è tutta ‘trainata’ dal caso inglese, che
si differenzia dagli altri. Se si esclude il dato
UK la prima cosa che colpisce è che la V(X)
diventa piccolissima. E R2 diventa insignificante
Country
X
Y
Danimarca
35
31
Nord a 5
Nord a 4
E(X)
34,00
35,25
Finlandia
35
46
E(Y)
35,00
39,75
Svezia
35
41
CovXY
24,00
0,3125
UK
29
16
V(X)
6,40
0,1875
Norvegia
36
41
V(Y)
114,00
29,6875
bXY
+3,75
+1,6667
aXY
-92,5
-19,00
R2XY
0,789
0,0175!!
Attenti: se la varianza dell’explanans X
è molto piccola, diffidare delle stime
MQ di una retta!
Corollario 1: Minimi quadrati
vincolati
In alcuni casi i risultati della stima della retta sono sottoposti ad alcuni vincoli,
legati alla specificità del fenomeno studiato.
Per es. si può voler interpolare la nuvola di punti con una retta che passi per l’origine, dove quindi l’intercetta all’origine sia vincolata: aYX=0.
In questo caso il coefficiente di regressione stimato (con
il metodo dei minimi quadrati ‘vincolato’) è pari a:
bYX
mYX

m2 X
Per ricordarsi questa variante si noti come (non a caso) numeratore e denominatore sono i primi addendi rispettivamente del numeratore e denominatore della
formula completa, espressa con le le formule operative di covYX e di varX)
bYX
covYX
mYX  mY m X


var X
m2 X  ( m X ) 2
Naturalmente se la funzione non è stimata ai MQ o è stimata coi MQ vincolati la
relazione R2YX=(YX)2 non sussiste e la bontà dell’adattamento va misurata
attraverso la VarWR.
Un esempio
Su 5 contribuenti è stato rilevato il reddito procapite
(X) in migliaia di euro, e il consumo per beni di base
(Y) in centinaia di euro. Ecco i calcoli per la retta
MQ: mX=3; mY=5; m2X=13,8; m2Y=28,6; VX=4,8;
VY=3,6; mXY=18,2; covXY=+3,2. Quindi bYX=0,67;
aYX=3; rYX=0,77; Y=3+0,67X. Se X=0 allora Y=3;
se X=6 allora Y=5…
Xi
Yi
Y i2
X i2
X iY i
1
3
9
1
3
1
5
25
1
5
3
3
9
9
9
3
6
36
9
18
7
8
64
49
56
3
5
28,6
13,8
18,2
Ma la retta interpolata ci dice una cosa curiosa: che con zero entrate c’è comunque un
consumo di 300 euro. Non va mica bene..
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
A noi interessa trovare una retta magari meno
buona (aumenterà la varianza residua) ma
che per redditi nulli abbia consumi nulli: insomma una retta che passi per l’origine. Essa
avrà quindi intercetta aYX=0 e pendenza
bYX=18,2/13,8=1,32. La retta Y=1,32X si
impenna ora molto più brusca. Calcolate voi la
varianza residua e confrontatela con quella
della retta non vincolata.
Corollario 2: Interpolante della
linea di regressione
Generalmente l’interpolante lineare ottima secondo il criterio dei MQ è ottenuta
minimizzando la somma dei quadrati degli scarti tra tutte le osservazioni e le
corrispondenti interpolanti teoriche. Ma si dimostra che:
Si ottiene esattamente la stessa retta ai MQ minimizzando gli scostamenti
quadratici tra le medie vincolate EY|xi e i rispettivi valori teorici.
I due modi per determinare i parametri della retta ai MQ sono dunque equivalenti.
Ma la varianza di Y calcolata tra medie
vincolate Y|xi non potrà che essere inferiore (a volte molto inferiore!) alla varianza
tra tutte le osservazioni Yj. Quindi:
   
2
Y
2
Y
Y ,X

cov Y , X
Y X

cov Y , X
Y X
 Y , X
a yx  m y  byx mx  m y  byx mx
byx 
cov yx
var x

cov yx
var x
Attenzione quindi!!
Interpolando la retta MQ intorno alla spezzata, va bene fidarsi dei parametri della retta, ma non del coefficiente di determinazione R2YX= (YX)2!
Il solito esempio (con una
variante)
I soliti dieci atleti..
Xi
Y Vi
ni
Xi ni
YVini
Xi2ni
YVi2ni
XiYVini
18
215
3
54
645
972
138675
11610
226
19
219
2
38
438
722
95922
8322
222
20
221
2
40
442
800
97682
8840
218
21
223
2
42
446
882
99458
9366
214
22
229
1
22
229
484
52441
5038
10
19,6
220
386
48417,8
4317,6
230
210
17
18
19
20
21
22
23
Torniamo ai dieci saltatori ma con una variante:
I tre ragazzi di 18 anni saltavano – ricordiamo – rispettivamente 212, 215 e 218
cm: insomma c’era il più bravo e il meno bravo. Facciamo ora l’ipotesi che tutti
e tre saltino 215 cm (cioè la media) e che quindi non ci sia variabilità entro la
classe di età. E lo stesso facciamo per i 19enni e così via. Stimiamo la
regressione MQ delle medie vincolate YVi delle performances al variare dell’età
(è tra l’altro un buon esercizio di calcolo con modalità congiunte ponderate per
le rispettive frequenze): otterremo una identica retta (bYX=160,35
aYX=3,04) ma adattamento molto più elevato (R2YX=0,958)!!
..e una controprova
I soliti dieci atleti..
230
226
222
218
214
210
17
18
19
20
21
22
23
I soliti dieci atleti
ma più variabilità..
230
Ma supponiamo che i dieci
ragazzi abbiano la stessa
performance
media per età,
ma tra quelli di
pari età ci sia
più variabilità:
Il diagramma è
più disperso. E
la retta MQ?
Xi
Yi
Y i2
X i2
X iY i
18
210
44100
324
3780
18
220
48400
324
3960
18
215
46225
324
3870
19
214
45796
361
4066
19
224
50176
361
4256
20
214
45796
400
4280
20
228
51984
400
4560
21
216
46656
441
4536
21
230
52900
441
4830
22
229
52441
484
5038
19,6
220
48447,4
386
4317,6
226
Si trova bYX=160,35; aYX=3,04 (la retta stimata è la
stessa) ma R2YX=0,36 (l’adattamento peggiore)!!
222
218
214
210
17
18
19
20
21
22
23
Morale: a parità di spezzata di regressione (quindi di retta ai minimi quadrati) la
goodness of fit può variare assai.
Corollario 3: Stima da dati in
forma di tabella
Come già il coefficiente di correlazione, anche la retta ai MQ può essere calcolata a
partire da una tabella a doppia entrata. Facciamo un esempio.
Per 50 studenti conosciamo informazioni: il numero di componenti la famiglia (X)
e il voto mediano (Y) ai temi in classe. Stimiamo la relazione lineare tra X e Y.
Xi\Yj
0
1
2
3
4
n.j
5
4
4
2
0
0
10
6
4
6
4
2
0
16
7
2
4
4
4
2
16
8
0
2
2
2
2
8
ni. E(Y/x)
10
5,80
16
6,25
12
6,50
8
7,00
4
7,50
N=50
xi2
0
1
4
9
16
yi2
xi yi
33,64
0
39,06 6,25
42,25 13,00
49,00 21,00
56,25 30,00
I calcoli intermedi (effettuati analiticamente sull’intera distribuzione congiunta) sono: mX=1,60; mY=6,44; VX=1,44; VY=42,44; covXY=+0,58. I parametri stimati
sono bYX=0,4 e aYX=5,8. Ma l’adattamento è basso: rXY=+0,074 e R2XY=0,0055.
Se invece avessimo associato la dimensione familiare non ai voti di ciascuno studente ma alle sole medie vincolate (colonne cerchiate), e avessimo quindi stimato
la retta MQ intorno alla spezzata di regressione, avremmo trovato la stessa retta,
ma con goodness of fit ben diversa: VE(Y(X)=0,234; rXE(Y/X)=+0,991; R2XE(Y/X)=0,982