Il metodo semiprobabilistico agli
stati limite:
il calcestruzzo armato
IL METODO DELLE TENSIONI AMMISSIBILI
Il grado di sicurezza necessario per mantenere la struttura entro il campo elastico
viene raggiunto ponendo dei limiti alle tensioni massime (tensioni ammissibili) fissati
dalle normative, che possono verificarsi nell’elemento strutturale; queste tensioni
vengono ottenute dividendo le tensioni di rottura σr per un coefficiente di sicurezza γ
variabile da materiale a materiale:
_
σ = σr / γ .
Calcolate quindi le tensioni σ prodotte dalle azioni esterne sull’elemento strutturale,
deve sempre risultare in ogni punto:
_
σ<σ.
Questo procedimento, applicato da oltre 100 anni e ancora oggi applicato, è
soggetto a numerose critiche, e precisamente:
a) i coefficienti di sicurezza γ sono sempre molto elevati, il che può far credere
sempre di disporre di margini di sicurezza, maggiori di quelli effettivi;
b) nella fase di calcolo il progettista assume grandezze in modo deterministico e
non sempre aderenti alla realtà esecutiva, da cui dipende il comportamento
della struttura in fase di esercizio, comportamento che costituisce quindi un
fenomeno casuale, un fattore di incertezza non considerato;
c) la verifica delle tensioni locali non sempre significa ottenere dimensioni
ottimali di un elemento strutturale nei confronti della sicurezza a rottura;
d) l’ipotesi del comportamento elastico di una struttura è valida per materiali
quali l’acciaio, mentre è molto incerta per altri quali il calcestruzzo e inoltre
non permette di considerare le risorse inelastiche dei materiali;
e) non è possibile effettuare verifiche nei confronti di alcune eventualità, quali le
fessurazioni, la corrosione o il comportamento al fuoco.
Al contrario il metodo presenta alcuni importanti vantaggi:
a) Possibilità di utilizzare il “principio della sovrapposizione degli effetti”
potendo assumere come lineare il comportamento della struttura;
b) Buona attendibilità delle sollecitazioni calcolate con tale metodo
(almeno per azioni statiche);
c) Buon comportamento mostrato dalle strutture progettate in passato col
Metodo delle Tensioni Ammissibili.
Il metodo semiprobabilistico agli stati limite
Il metodo agli stati limite permette di progettare una struttura
considerando tutte le condizioni del suo comportamento, eliminando,
per quanto possibile, l’aspetto aleatorio nella misura delle grandezze
utilizzando criteri probabilistici, ossia basati sul calcolo delle probabilità
che un determinato evento possa verificarsi.
La struttura viene pertanto progettata in modo da restare idonea, con
accettabile probabilità e con un adeguato grado di sicurezza, all’utilizzo
previsto, ossia per il suo normale uso, senza subire danni e dovrebbe
sopportare eventi eccezionali, più gravosi di quelli normali, con
adeguata capacità di resistenza senza giungere al crollo.
Una struttura, o una sua parte, raggiunge uno “stato limite” quando
non è più in grado di svolgere la sua funzione o non soddisfa più le
condizioni per le quali è stata progettata, per cui viene considerata
fuori servizio.
Il termine semi-probabilistico sta ad indicare che le aleatorietà comunemente
presenti nella definizione del modello strutturale e delle azioni vengono
parzialmente tenute in conto attraverso l’utilizzo di valori di resistenza e ad
azioni detti “caratteristici”, ossia corrispondenti a determinate probabilità di
occorrenza, fissate sulla base della probabilità di rovina che si vuole ottenere.
Gli stati limite possono essere:
• stati limite ultimi: corrispondono al collasso della struttura o altre forme di
cedimento strutturale che mettono in pericolo l’incolumità delle persone;
possono derivare da:
a) perdita di equilibrio della struttura, o di una sua parte, considerata come un
corpo rigido;
b) rottura localizzata della sezione dovuta ad azioni statiche o per fatica;
c) instabilità per eccessiva deformazione;
d) deformazione elastica o plastica non ammissibile;
e) degrado o corrosione;
f ) trasformazione della struttura, o di una sua parte, in un meccanismo labile;
• stati limite di esercizio: sono quelli che precludono il normale utilizzo della
struttura, oltre i quali la struttura stessa non possiede più il grado di sicurezza
previsto; sono dovuti a:
a) deformazioni eccessive;
b) fessurazioni premature o eccessive;
c) degrado o corrosione dei materiali;
d) spostamenti eccessivi che però non determinano una perdita di equilibrio;
e) vibrazioni eccessive.
Oltre questi stati limite, ve ne sono altri legati a eventi eccezionali (uragani,
esplosioni, incendi, urti ecc.), nei confronti dei quali non vengono generalmente
effettuate verifiche salvo casi specifici, però la struttura deve essere progettata e
realizzata in modo da evitare danni con gravità sproporzionata all’evento.
Uno stato limite può essere raggiunto a causa di numerosi fattori aleatori che si
combinano fra loro, dovuti a incertezze relative:
– ai valori di resistenza dei materiali considerati nel calcolo, ossia differenza fra i
valori effettivi e quelli assunti dal progettista;
– alla geometria della struttura (per esempio limitate differenze fra la sezione
prevista di un elemento e quella realizzata);
– ai carichi permanenti e sovraccarichi che difficilmente vengono mantenuti per
tutta la vita della struttura;
– alla differenza fra le tensioni effettive e quelle calcolate.
Le verifiche devono essere effettuate sia nei confronti degli stati limite ultimi, sia
di quelli di esercizio.
Per il calcolo le norme di riferimento attuali sono:
- D.M. 14/09/2006, Testo Unico Costruzioni;
- Eurocodice 2.
-…
Deve tenere in conto il carattere aleatorio delle grandezze in gioco:
METODO PROBABILISTICO (O SEMI-PROBABILISTICO)
Deve prevedere verifiche sia in condizioni di esercizio che nei riguardi del collasso:
VERIFICHE AGLI STATI LIMITE
Stati limite ultimi: nei riguardi del collasso;
Stati limite di esercizio: per assicurare funzionalità sotto carichi di esercizio.
METODO SEMI-PROBABILISTICO O METODO DEI COEFFICIENTI
PARZIALI
1) Si definiscono le combinazioni di carico di progetto sulla base dei valori
caratteristici (reali) delle azioni (in dettaglio nel seguito):
I coefficienti parziali variano a seconda del tipo di stato limite -s.l.u. o s.l.s.e
del tipo di situazione, es:
Situazione persistente: normale uso;
Situazione transitoria: condizioni temporanee (esecuzione e riparazione);
Situazione eccezionale: es. incendio, impatto, etc.;
Situazione sismiche: (atipica rispetto alle precedenti).
2) Si calcolano le sollecitazioni di progetto Sd (sovente con calcolo lineare).
3) Si calcolano i valori di progetto delle resistenze dei materiali sulla base dei
valori caratteristici:
Il coefficiente parziale γm dipende dal tipo di materiale, ad esempio:
Calcestruzzo: γc = 1.6 (di norma),
Acciaio: γs = 1.15,
4) Si calcolano le resistenze di progetto (es. momento ultimo) Rd:
5) Si svolge la verifica:
Rd > Sd , probabilità di raggiungere una situazione limite molto piccola;
Rd = Sd , Stato limite;
Rd < Sd , probabilità di raggiungere una situazione limite elevata.
Probabilità di crisi (convenzionale) : 10-5÷10-6 (s.l. ultimi), 10-2÷10-3 (s.l. servizio)
Combinazioni di carico (Azioni di calcolo)
“Le azioni sulla costruzione devono essere cumulate in modo da determinare
condizioni di carico tali da risultare più sfavorevoli ai fini delle singole verifiche,
tenendo conto della probabilità ridotta di intervento simultaneo di tutte le azioni
con i rispettivi valori più sfavorevoli“.
Stati limite ultimi:
Fd = γg Gk + γp Pk + γq ( Q1q + ∑ ψ0i Qik ),
Gk il valore caratteristico delle azioni permanenti;
Pk il valore caratteristico della forza di precompressione;
Q1k il valore caratteristico dell’azione di base di ogni combinazione;
Qik i valori caratteristici delle azioni variabili tra loro indipendenti;
γg= 1,4 (1,0 se il suo contributo aumenta la sicurezza);
γp= 0,9 (1,2 se il suo contributo diminuisce la sicurezza);
γq= 1,5 (0 se il suo contributo aumenta la sicurezza);
ψ0i = coefficiente di combinazione allo stato limite ultimo (minori di 1).
Stati limite di esercizio
I coefficienti di combinazione dipendono dalla frequenza prevista per tale combinazione
di carico.
Combinazioni rare:
Fd = Gk + Pk + ( Q1q + ∑ ψ0i Qik ),
Combinazioni frequenti:
Fd = Gk + Pk + ψ11 Q1q + ( ∑ ψ2i Qik ),
Combinazioni quasi permanenti: Fd = Gk + Pk + ( ∑ ψ2i Qik ),
γg= γp = γq= 1
Azione
ψ0
ψ1
ψ2
Carichi variabili per:abitazioni
0,7
0,5
0,2
uffici, negozi, scuole
0,7
0,6
0,3
Autorimesse
0,7
0,7
0,6
Vento, neve
0,7
0,2
0
PROCEDIMENTO DI VERIFICA (flessione semplice)
Assegnati i Carichi caratteristici
Gk , Qk1 ,Qki
Caratteristiche geometriche e
Proprietà caratteristiche dei
Materiali fck,fyk, εyk
Calcolare
Combinazioni Carichi progetto Fd
Proprietà dei Materiali di
progetto fcd,fyd, εyd
Calcolo della struttura
Calcolo Resistenze
Es. Mom. Resistente di progetto Mrd
Calcolo effetti delle azioni
Es. Mom. flettente Msd
Verifica della sezione
Msd≤Mrd
DETERMINAZIONE DELLE SOLLECITAZIONI ULTIME
(PER TENSIONI NORMALI)
Comportamento del calcestruzzo compresso all’aumentare del livello tensionale
IPOTESI ALLA BASE DELLA TEORIA DELLE SEZIONI IN C.A. (PRESSO) INFLESSE:
1) Sezioni rette restano piane dopo la deformazione;
2) Perfetta aderenza acciaio-calcestruzzo;
3) Trascurabile la resistenza a trazione del calcestruzzo;
4) Comportamento di calcestruzzo ed acciaio definito da
assegnati legami costitutivi (non lineari);
5) Stati limite definiti da prefissati livelli di deformazione
ultime per calcestruzzo (crisi lato cls) ed acciaio (crisi lato
acciaio).
Analoghe alle
tensioni
ammissibili
Caratteristiche
degli s.l.u.
CONVERSIONE RESISTENZA SU PROVINI CUBICI IN RESISTENZA SU
PROVINI CILINDRICI:
fck= 0.83 Rck ,
CARICHI DI LUNGA DURATA: Un provino soggetto nel tempo ad uno carico assiale
superiore all’85% del carico di rottura PERVIENE A ROTTURA in un tempo finito.
RESISTENZA DI PROGETTO PER IL CALCESTRUZZO:
fcd = 0.85 fck / γc = 0.85 0.83 Rck / γc = 0.44 Rck , (per γc = 1.6).
ESEMPIO: adottando un Rck = 30 N/mm2 si ha fcd = 13.2 N/mm2 .
Se la sezione è sollecitata a sforzo normale centrato, la normativa italiana prevede che
il coefficiente γc debba essere maggiorato del 25%, ossia: γc = 1.6 · 1.25 = 2.
DIAGRAMMI DI PROGETTO (DESIGN)
Legge costitutiva del calcestruzzo
Legge costitutiva dell’acciaio

f yd 
10%o
m
SLU:  ms = 1.15,
SLE : ms = 1.0.
f yd
fyd/Es
f yk

Per una sezione in calcestruzzo armato l’importante è definire correttamente
RISULTANTE e POSIZIONE DELLA RISULTANTE.
deformazioni
tensioni e risultanti
A’s
F’s
yc
λyc
Fc
Fs
Verifica allo SLU
Deve risultare:
MSd ≤ MRd(Nsd),
Dove:
MSd è il momento prodotto dai carichi di progetto (per la condizione di
carico esaminata);
MRd è il momento resistente ultimo della sezione in funzione dello sforzo
normale agente NSd;
La verifica della sezione coincide con il calcolo del suo momento ultimo
MRd (capacità) in corrispondenza del collasso.
SLU
Il collasso di una sezione convenzionalmente è determinato dal
raggiungimento della deformazione ultima nel calcestruzzo e/o nell’acciaio.
Cioè, la deformazione di:
Calcestruzzo compresso:
Acciaio teso:
εcu = 0.002, (compressione);
εcu = 0.0035, (flessione).
εsl = 0.010.
c1
cu
3/7 h
(2)
(1)
h
(3)
O
sl
(4)
(5)
sy
b
Il diagramma definisce 5 campi di rottura:
1.
2.
3.
4.
5.
Piccola eccentricità (Trazione);
Sezione debolmente armata;
Sezione normalmente armata;
Sezione fortemente armata;
Piccola eccentricità (Compressione).
 cu  3.5 0 00
 sl  10 0 00
 sy 
f yd
Es
Campo 1: I possibili diagrammi di deformazione sono definiti dal fascio di
rette uscenti dal punto O, corrispondente allo stato limite ultimo per
trazione nell’acciaio con un allungamento unitario εs = 10‰; il calcestruzzo
non fornisce alcun contributo alla resistenza della sezione che è totalmente
tesa. L’asse neutro è esterno alla sezione, che risulta quindi soggetta a
trazione semplice o con piccola eccentricità. La crisi della sezione avviene
per il cedimento dell’acciaio teso.
c1
3/7 h
(2)
(1)
h
(3)
O
sl
b
(4)
(5)
sy
cu
Campo 2: I diagrammi di deformazione possibili sono definiti dal fascio di
rette con origine in O. L’asse neutro è interno alla sezione, per cui la sezione è
in parte tesa e in parte compressa e quindi è soggetta a flessione semplice o
flessione composta (presso-flessione). La resistenza del calcestruzzo non è
completamente sfruttata (salvo al limite per εcu = − 3,5‰), mentre l’acciaio
viene completamente utilizzato e quando raggiunge il suo allungamento limite
avviene la crisi della sezione (rottura di tipo “duttile”).
c1
3/7 h
(2)
(1)
h
(3)
O
sl
b
(4)
(5)
sy
cu
Campo 3: I diagrammi di deformazione possibili sono individuati dal fascio
di rette uscenti dal punto O’. Questo campo è caratterizzato dalle possibilità di
massimo accorciamento del calcestruzzo (εc = − 3,5‰) e di massimo
allungamento dell’acciaio (εs = 10‰); si ha il massimo sfruttamento dei due
materiali. L’asse neutro è interno alla sezione che è in parte tesa e in parte
compressa ed è sollecitata a flessione semplice o composta.
c1 O’
cu
3/7 h
(2)
(1)
h
(3)
O
sl
b
(4)
(5)
sy
Campo 4: Il fascio di rette che individua i vari diagrammi ha origine in O’.
L’asse neutro è interno alla sezione che risulta in parte compressa e in parte
tesa, ed è soggetta a flessione semplice o composta. L’allungamento
dell’acciaio è compreso fra εsy (tensione allo snervamento) ed εs = 0; la
tensione dell’acciaio in zona tesa si mantiene, in situazione di rottura,
inferiore al limite di snervamento, per cui l’acciaio risulta poco utilizzato,
mentre il calcestruzzo arriva al suo massimo accorciamento (εcu = − 3,5‰),
per cui la rottura avviene per schiacciamento del calcestruzzo (rottura fragile).
c1
(1)
h
O
sl
b
(4)
(5)
sy
cu
3/7 h
(2)
(3)
O’
Campo 5: Il fascio di rette ruota attorno al punto O” e l’asse neutro è esterno
alla sezione, salvo il caso limite dove l’asse neutro coincide con il lembo
inferiore della sezione. La sezione è compressa e l’armatura metallica è
compressa e quindi subisce un accorciamento; la sezione è sollecitata a
flessione composta. La rottura della sezione avviene per schiacciamento del
calcestruzzo compresso quando viene raggiunto εcu = − 3,5‰ o quando è
uniformemente compresso con deformazione c1=0.002..
c1 O’
cu
(2)
3/7 h
(1)
O”
h
(3)
O
sl
b
(4)
(5)
sy
I campi di interesse sono i campi 2 e 3.
In questa situazione si ha:
1. L’acciaio teso è sempre snervato (σs = fyd);
2. La sezione ha rottura duttile.
A’s
c1
3/7 h
(2)
(1)
h
(3)
As
O
sl
b
(4)
(5)
sy
cu
SEZIONE RETTANGOLARE
F’s
d’
A’s
A’
s
h
G
d”
LEGAME COSTITUTIVO
yc
y c
Fc
●
As
Fs
b
deformazioni
tensioni e risultanti
EQUILIBRIO:
1. Traslazione: Nsd = Fc + F’s - Fs = 0.8 b yc fcd + A’s σ’s - As fyd ,
2. Rotazione attorno al baricentro G :
MRd (Nsd) = Fc(h/2 - 0,4 yc) + F’s(h/2 - d’) + Fs(h/2 - d”) ;
MRd (Nsd) = 0,8 b yc fcd (0,5h - 0,4 yc) + A’s σ’s (0,5h - d’) + As fyd (0,5h - d”) .
CONGRUENZA:
yc
Ipotesi di sezione piana: date le deformazioni εc e εs la posizione dell’asse neutro
risulta:
s
yc

c  s
d
.

yc 
c
c  s
d
yc
ε’s
la deformazione nell’acciaio compresso ε’s risulta:
 s
yc  d 
c  s
d


 c  c
 c  d

yc  d
yc
yc
yc
d
d
d
 c  c  s
  c (1   )   s 
d
d


E’ possibile così valutare la tensione nell’acciaio compresso σ’s :
c
  s   c
se ε’s < ε’sy allora
σ’s = Es ε’s ,
se ε’s ≥ ε’sy allora
σ’s = fyd .
c1
Campo 2
(2)
cu
3/7 h
(1)
h
(3)
O
sl
(4)
(5)
sy
b
Equazioni di equilibrio (funzioni di εc!):
c
d fcd + A’s E’s[ c (1  ' )  s]' - As fyd ,
c  0.01
c
c
2. Rotazione (G) : MRd (Nsd) = 0,8 b
f
(0,5h
0,4
d)
d cd
c  0.01
c  0.01
+ A’s E’s [ c (1  ' )  s'] (0,5h - d’) + As fyd (0,5h - d”) .
1. Traslazione: Nsd = 0.8 b
0.0035
0.002
c1
Campo 3:
(2)
O’
cu
3/7 h
(1)
h
(3)
O
sl
(4)
(5)
L’acciaio compresso è
sempre snervato
essendo fyd/Es =εyd=
0.002.
sy
b
Equazioni di equilibrio (funzioni di εs!):
1. Traslazione: Nsd = Fc + F’s - Fs = 0.8 b
2. Rotazione attorno al baricentro G :
0.0035
d fcd + A’s σ’s - As fyd ,
0.0035  s
MRd (Nsd) = Fc(h/2 - 0,4 yc) + F’s(h/2 - d’) + Fs(h/2 - d”) ;
MRd (Nsd) = 0,8b
0.0035
0.0035
d fcd(h/2 - 0,4
d)+A’s σ’s(h/2 - d’) + As fyd(h/2 - d”) .
0.0035  s
0.0035  s
Dominio di rottura
Variando εc e εs , si possono ottenere diverse coppie:
(Nsd, MRd(Nsd)) .
Si possono diagrammare, eventualmente normalizzando:
nsd = Nsd/ bdfd ,
mRd = MRd / bd2fd .
_
_
mrd
msd
nsd
Pressoflessione Retta:
Determinazione del campo di rottura
Il campo di rottura associato ad una determinata sezione dipende oltre che
dalla quantità di armatura (come succede nella flessione semplice) anche
dall’entità dello sforzo normale N. All’aumentare di N si passa da sezioni
duttili a sezioni fragili fino a schiacciamento per compressione uniforme.
Come per il caso di flessione, è utile poter determinare a priori il campo di
rottura associato ad una determinata armatura e sforzo normale. A tale scopo è
sufficiente determinare il valore di N che corrisponde alle linee di separazione
tra i diversi campi di rottura e confrontare il valore di calcolo Nd con i vari N
prima calcolati per individuare in quale intervallo ci si colloca.
c1
Campo 1:
(2)
3/7 h
(1)
h
(3)
O
sl
b
(4)
(5)
sy
cu
Campo 2:
c1
(2)
3/7 h
(1)
h
(3)
O
sl
b
(4)
(5)
sy
cu
Campo 3:
c1 O’
(2)
3/7 h
(1)
h
(3)
O
sl
b
(4)
(5)
sy
cu
Campo 4:
c1
3/7 h
(2)
(1)
h
(3)
(4)
O
sl
b
(5)
sy
O’
cu
Campo 5:
c1
3/7 h
(2)
(1)
O”
h
(3)
O
sl
b
(4)
(5)
sy
cu
O’
Per la verifica
● (nsd,msd)
Si controlla che:
MSd < MRd(Nsd);
Cioè la coppia:
(Nsd, MSd),
deve essere interna al dominio di rottura.
Se la coppia (Nsd, MSd), è esterna al dominio di rottura, la verifica non è
soddisfatta.
Determinazione del Momento Ultimo nel caso di flessione
semplice
Per la determinazione del Momento Ultimo della sezione considerata occorre
seguire in sequenza i seguenti due passi:
1. Determinazione della posizione dell’asse neutro
2. Determinazione del valore del Momento Ultimo
Vediamo di individuare una espressione del Momento Ultimo in relazione al
campo di rottura precedentemente determinato.
Fs ’
yc
Fc
E’ un caso particolare, con NSd = 0;
L’equazione di equilibrio alla rotazione
fornisce un unico momento resistente MRd ;
L equazione di congruenza rimane la stessa.
Equazioni di equilibrio
Alla traslazione:
0  0.8by cfcd  As' 's  A sf yd .
Alla rotazione attorno al punto di applicazione della risultante delle
compressioni del calcestruzzo:
MRd = A’sσ’s (0.4yc - d’) + fydAs(d - 0.4yc).
Fs
Nella flessione, nel caso di sola armatura tesa (A’s = 0), le equazioni di
equilibrio sono:
* Alla traslazione
* Alla rotazione
0  0.8by cfcd  A sf yd .
MRd = Asfyd (d - 0.4yc).
Dalla prima si ricava l’asse neutro:
yc = (Asfyd/0.8bfcd );
sostituendo nella seconda, si ottiene il momento resistente:
Asfyd
MRd = Asfyd d (1 - ———) .
2 bd fcd
Introducendo la percentuale meccanica di armatura ms:
Asfyd
μs = —— .
bd fcd
L’asse neutro risulta:
yc=d (μs/ 0,8).
Il momento resistente è dato anche dalla:
MRd
As fyd

 As fyd d  1 
 2bdfcd

ms bdfcd  ms

A
d 1

s
A
2

s


 ms 
2

bd
f
m
cd s  1 

2 


Per la congruenza, si ha:
yc 
c
d.
c  s
Quindi si può scrivere:
m s  0.8
c
.
c  s
cioè esiste un legame fra la percentuale meccanica di armatura e le
deformazioni del calcestruzzo e dell’acciaio.
yc 
c
c  s
d
ms d
0.8
 ms  0.8
c
c  s
  c  0.8  ms   ms s
Nel Campo 2:
c1
cu
3/7 h
(2)
(1)
h
(3)
● ● ●
(4)
(5)
sl
sy
b
m s  0.8
La percentuale meccanica di armatura ms varia fra:
ms = 0,
ms = 0.8 (0.0035/(0.0035+0.01) ) = 0.207,
che è la percentuale meccanica di armatura msdi separazione fra sezioni
debolmente e normalmente armate.
c
.
c  s
Nel Campo 3:
c1
cu
3/7 h
(2)
(1)
h
(3)
● ● ●
(4)
(5)
sl
sy
b
La percentuale meccanica di armatura ms varia fra:
m s  0.8
c
.
c  s
ms = 0.207,
ms = 0.8 (0.0035/(0.0035+fyd/Es) ) ≈ 0.52,
che è la percentuale meccanica di armatura ms bilanciata (cioè rottura del cls
allo snervamento delle barre).
Sezioni con percentuale meccanica di armatura ms:
μs ≥ μs,bilanciata ,
hanno un comportamento tipicamente fragile e sono non opportune.
Le deformazioni sono funzione della percentuale meccanica di armatura ms:
Nelle sezioni debolmente armate: εc = 0.01μs /(0.8 - μs) ≤ 0.0035,
Nelle sezioni normalmente armate: εs = 0.0035 (0.8 – μs) / μs ≤ 0.01 .
Noto il momento agente MSd, l’armatura si ottiene risolvendo l’equazione:
MSd = MRd = b
d2
μs
fcd μs 1 - —
2
,
rispetto alla percentuale meccanica di armatura ms:
MSd
ms = 1 - 1 – 2 ———
= 1 - √ 1 – 2 msd ≤ μs,bilanciata .
2
b d fcd
msd è un momento di progetto adimensionalizzato.
Per avere μs ≤ μs,bilanciata, il momento agente deve essere:
msd ≤ μs,bilanciata ( 1- μs,bilanciata/2) = 0.385 .
Se msd> 0.385, dato che msd= MSd/(bd2fcd), si dovrebbero aumentare le
dimensioni b e/o d (meglio), oppure la classe di calcestruzzo (cioè fcd).
La relazione:
MRd
As fyd 

 As fyd d  1 

2
bdf
cd 

si può semplificare in
MRd  As fyd d 0.9
e quindi, ricavando l’armatura tesa,
MRd
As 
0.9fyd d
Poichè si è controllato che sia msd ≤ 0,385, si ha sicuramente
ms ≤ 0.428 < μs,bilanciata,
cioè l’armatura è sicuramente minore di quella bilanciata e la sezione
evidenzia un comportamento duttile. Si può anche aggiungere armatura in
compressione, che aumenta anche la duttilità.
STATI LIMITE DI ESERCIZIO [SEZ. 7 – EC2]
Nel Documento EC2, al punto 7.1 vengono presi in considerazione i seguenti stati
limite di esercizio:
- Limitazione dello stato di tensione [7.2 – EC2];
- Controllo della fessurazione [7.3 – EC2];
- Controllo della deformazione [7.4 – EC2].
Limitazione dello stato di tensione [7.2 – EC2]
Lo stato di compressione nel calcestruzzo deve essere convenientemente
limitato per evitare fessurazioni longitudinali, microfessurazioni, nonché
elevati valori della deformazioni viscose che riducono la funzionalità della
struttura. Per le armature, lo sforzo di trazione deve essere limitato per
evitare deformazioni anelastiche o intollerabili ampiezze di lesioni ed
eccessive deformazioni.
L’EC2 non specifica come calcolare lo stato tensionale in esercizio. Viene
indicato che può farsi riferimento a sezioni non fessurate quando lo stato di
trazione nel calcestruzzo soddisfa la limitazione σct≤fct,eff. La tensione fct,eff
può essere assunta pari al valore medio fctm della resistenza a trazione o al
valore fctm,fl della resistenza a trazione per flessione purché tale tensione sia
utilizzata per il calcolo della armatura minima, operando secondo le
indicazioni riportate in [7.3.2 – EC2]. I valori di fctm sono riportati al variare
della classe del calcestruzzo nella [Tab. 3.1 - EC2], mentre il valore medio
fctm,fl è fornito dalla relazione [3.23 - EC2] al punto [3.1.8 - EC2].
Il calcolo dello stato tensionale in esercizio può effettuarsi assumendo
un comportamento lineare elastico dei materiali, considerando la
sezione totalmente reagente quando risulta σct≤fct,eff, oppure la sezione
fessurata, astraendo dal contributo offerto dal calcestruzzo integro fra le
fessure, allorché risulti σct>fct,eff. In entrambi i casi occorre fare
riferimento a sezioni omogeneizzate, in particolare è necessario
introdurre il rapporto n =Es/Ecm.
Nelle analisi relative a situazioni tensionali di carattere non permanente,
il calcolo deve effettuarsi facendo riferimento al reale modulo elastico
medio del calcestruzzo, mentre per tensioni generate da azioni
permanenti può assumersi un valore convenzionale ridotto del modulo
elastico per tenere conto degli effetti indotti dalla viscosità del
calcestruzzo. A tale riguardo può convenientemente assumersi il valore
n =15. I valori di Ecm, una volta fissata la resistenza caratteristica
cilindrica a compressione fck, si ricavano dalla [Tab. 3.1 - EC2], mentre
per il modulo elastico dell’acciaio viene indicato il valore Es=200 GPa.