Didattica della Matematica
Matematica 2
Anno Accademico 2003-2004
L’importanza delle Matematiche nella vita di tutti i giorni: I processi di
matematizzazione, cenni su grandezze e loro misura.
Il numero Naturale. Richiami sulle Operazioni con i Naturali. Alcune proprietà
Filippo Spagnolo
Facoltà Scienze della Formazione
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http://math.unipa.it/~grim
Materiali Didattici SISSIS e
Formazione Primaria
Conferenze dell'AICM
Attività di Ricerca e pubblicazioni
del GRIM
Proceedings dei Convegni del
gruppo Internazionale “21st
Project for Mathematics
Education”
1
Il processo di matematizzazione
• Il ruolo delle grandezze nel
rapporto con le altre
discipline: primo approccio
alla matematizzazione.
• Matematica ed arte: La
sezione Aurea, la spirale di
Archimede;
• Matematica nella Natura:
Fibonacci e il numero di
foglie in un albero.
2
Modelli, Metafore, …
Pitagora ed i processi di quantificazione
nella cultura occidentale
• Cosa significa Modellizzare:
esempi di collegamento con
le discipline scientifiche e
non. Il ruolo della Metafora.
• Nel Novecento cosa
significa matematizzare: i
grafi, algebra astratta e
linguistica, ecc…
• Nell'insegnamento:
matematizzazione attraverso
le grandezze, Modellizzare
analizzando la coerenza
interna del modello.
3
Lavoro di gruppo:
• Individuare nei libri
di testo in vostro
possesso le attività
di matematizzazione
attraverso le
grandezze;
• Provate a costruire
una grandezza in
relazione alle
scienze umane.
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Il problema delle "Grandezze" è quello più
generale applicabile poi alle discipline più
disparate che richiedono anche un approccio
"quantitativo".
• Possiamo parlare di
"Grandezze Omogenee"
quando possiamo fare le
operazioni di sommare e
confrontare. Questo è
sufficiente per discipline
come la fisica.
• Una teoria organicamente
più forte.
5
Rapporto storico epistemologico tra
"Grandezze" e "misura".
• Commensurabilità e
incommensurabilità.
• Rapporto Razionale e Reale.
Il problema di √2.
1u
1u
u
Piuttosto che definire il
rapporto si cercava di
metterlo in relazione ad un
altro rapporto dello stesso
tipo: 2 sta a 7 come 4 sta a
14.
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Le Frazioni sono gli strumenti
adeguati per esprimere i rapporti.
Euclide: geometricamente.
La nozione di rapporto in Q e in R.
(a/b è la stessa cosa di a:b da un
punto di vista formale e di
comportamenti da parte di allievi
su di un problema dato?)
a:b rapporto geometrico
(operatore, scalare)
Rapporti interni: grandezze
omogenee;
Rapporti esterni: grandezze di
natura diversa;
Diversi tipi di rapporti: numerici,
rapporto come differenza
numerica (cosa bisogna
aggiungere ad A per ottenere B).
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Proporzione…
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Mettere in relazione due oggetti in una
analogia permette il trasporto di una
struttura o una proprietà conosciuta
dall'una verso l'altra. Essa permette di
parlare con un linguaggio dell'altro e
definire una tale struttura dai caratteri
comuni di questi oggetti. Questa analogia
è alla base della modellizzazione.
Una proporzione è definita come
l'uguaglianza tra due rapporti.
La teoria delle proporzioni è formalizzata
nel XVIII secolo dopo la formalizzazione
dell'algebra.
Lunghezze e misure.
La lunghezza d'un segmento è l'insieme
di tutti i segmenti congruenti ad esso.
Confronto di lunghezze. Portiamo il
primo segmento sul secondo.
Evidenziamo le parti congruenti. Quindi
si può affermare quale dei due è più
grande.
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• Gli approcci al Numero Naturale:
• L'idea del numero naturale è complessa e
richiede pertanto "un approccio che si avvale di
diversi punti di vista (ordinalità , cardinalità,
misura, insiemistica, ricorsività , etc...) " [3] e
viene acquisita dopo lunga interiorizzazione da
parte del bambino.
• Approccio insiemistico (cardinale) - Russell
• Approccio ordinale
• Approccio ricorsivo - Peano
• Approccio basato sulla misura
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In "Arithmetices Principa nova methodo exposita" [1] del 1889 G.Peano espone
l’Aritmetica in forma di sistema ipotetico-deduttivo, assumendo quattro
concetti primitivi (numero, unità, successivo e uguale) e nove assiomi (di cui
quattro riguardanti l’eguaglianza).
In seguito assumerà soltanto i concetti primitivi di zero, numero naturale, e
successivo di un numero naturale.
I numeri naturali formano una classe (insieme);
Zero è un numero naturale;
Il successivo di un numero naturale è un numero naturale;
Numeri naturali che hanno lo stesso successivo sono uguali;
Zero non è successivo di alcun numero naturale;
Sia S una classe: se zero è un elemento di S e se ogni qulavolta un numero
naturale x sta in S anche il successivo di x sta in S, allora tutta la classe
dei numeri naturali è contenuta in S.
[1]- art.16,[22]
10
=1, 2, ..., n, ...
dove "1" sta per "unità"
ed n=n+1 per "successivo".
N 0=0, 1, 2, ..., n, ...
dove "0" sta per "zero"
ed n=n+1 per "successivo".
P =2, 4, ..., 2n, ...
dove "2" sta per "unità"
e (2n) =2n+2 per "successivo".
P0=0, 2, 4, .., 2n, ...
dove "0" sta per "unità"
e (2n) =2n+2 per "successivo".
M=n, 2n, 3n, .., kn,...
dove "n" sta per "unità" e
(kn) =kn+n per "successivo".
M0=0, n, 2n, .., kn, ...
dove "0" sta per "zero"
e (kn) =kn+n per "successivo».
Per a0,A=1/a, 1/a2,.., 1/ak, ..
dove "1/a" sta per "unità"
ed (1/ak) =1/ak1/a per "successivo".
Per a0,A0=1/a0, 1/a, ...., 1/ak,
...
dove "1/a0 "sta per "zero"
e (1/ak) =1/ak1/a per "successivo".
Per b0,B=b, b2, ...., bk, ....
dove "b" sta per "unità" e
(bk) =bkb per "successivo".
Per b0,B0=b0, b, ...., bk, ....
dove "b0 " sta per "zero" e
(bk) =bkb per "successivo".
La struttura N0 (+, ) è più ricca
della struttura N (+, ) in quanto
possiede un elemento neutro
rispetto ad entrambi le
operazioni; l’elemento neutro
dell’operazione di moltiplicazione
si comporta in entrambi i modelli
in maniera naturale rispetto
all’operazione di addizione
mentre l’elemento neutro
dell’addizione ha rispetto
all’operazione di moltiplicazione
un comportamento non
naturale, in quanto n0=0 n N,
cioè "lo zero distrugge" ogni
naturale; segue quindi che
l'elemento neutro dell'addizione
non ha comportamento
"naturale" anche rispetto
all'operazione di divisione,
inversa della moltiplicazione.
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Il principio di Induzione completa
Sia N l'insieme dei numeri nNaturali; ad ogni numero naturale n
corrisponda una proposizione Pn. Se accade che:
– P0 è vera.
– Se Pm è vera allora è vera anche Pm' (essendo m' il successivo
del numero naturale m) Allora Pn è vera  nN.
– I numeri naturali formano una classe (insieme);
– Zero è un numero naturale;
– Il successivo di un numero naturale è un numero naturale;
– Numeri naturali che hanno lo stesso successivo sono uguali;
– Zero non è successivo di alcun numero naturale;
– Sia S una classe: se zero è un elemento di S e se ogni qulavolta un
numero naturale x sta in S anche il successivo di x sta in S, allora
tutta la classe dei numeri naturali è contenuta in S.
Dimostrazione: Sia M il sottoinsieme di N tale che Pm è vera per tutti e
soli gli mM. Si ha 0M e ogni qualvolta un numero naturale x sta in M
allora sta in M anche il successivo di x. Allora, per l'assioma 5; NM; ma
per ipotesi M è formato da numeri naurali, cioè MN; ne segue che M=N
cioè Pn è vera per ogni nN.
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Le operazioni in N con gli assiomi del Peano.
L'addizione.
a+0=a
a+b'=(a+b)'
Dimostriamo con l'induzione che:
"Ad ogni naturale n associamo la proposizione Pn: Esiste il numero naturale
a+n."
(cioè la definzione 2 è ben posta).
P0 è vera: a+0=a ed a è un numero naturale.
Se Pm è vera allora esiste il numero naturale a+m e dunque anche il suo
successivo (a+m)' è un numero naturale (assioma 2); poiché per definizione è
a+m'=(a+m)' esiste il numero naturale a+m' e quindi Pm' è vera.
Allora per il principio di induzione completa, Pn risulta vera  nN, cioè esiste
il
numero naturale a+n, qualunque sia il numero naturale n.
Le proprietà delle operazioni si possono tutte dimostrare con il principio di
induzione completa: associativa, commutativa.
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• La moltiplicazione.
• a0=a
• ab'=(ab)+a essendo a,bN e b' il
successivo di b.
• Si dimostra per induzione. Come anche le
proprietà associativa e commutativa.
• Ordinamento.
• Presi a,bN, si dice che a è minore o uguale
a b, e si scrive ab, s esiste un cN
• tale che b=a+c.
• Presi a,bN si dice che a<b se è ab e ab.
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La ricorsività.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
z=x+y
Cominicia con
x=1 e y=1
calcola
z=x+y
scrivi y al
posto di x
scrivi z al
posto di y
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L'approccio Cardinale.
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Per l'approccio cardinale è
indispensabile avere come prerequisito la conoscenza della teoria
ingenua degli insiemi.
Introdurre poi una relazione:
"… essere eqipotente…", due
insiemi sono equipotenti se
possono essere messi in
corrispondenza biunivoca tra di
loro.
Nel caso finito;
Nel caso infinito: Cantor.
L'unione di due insiemi ():
corrisponde alla somma se i due
insiemi sono disgiunti.
Addizione.
 m,nN, siano A e B tali che
AB= e tale che card A= m e Card
B= n. Si definisce m+n=Card (AB).
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Sottrazione.
Sia A un insieme finito, Card A=m;
sia BA, CardB=n; si definisce mn=Card (A\B). (A\B= differenza tra
due insiemi)
Moltiplicazione.
Siano m,nN; siano A, B due
insiemi (non necessariamente
disgiunti) tali che Card A=m, Card
B=n. Si definisce mn=card (AxB)
Divisione.
Sia A un insieme. Per partizione di A
si intende ogni suddivisione degli
elementi di A a due due disgiunti.
Se è possibile ripartire gli elementi
di A in insiemi a due a due disgiunti
ciascuno costituito da b elementi,
diremo che il naturale a è divisibile
per il naturale b e chiameremo
quoziente di a per b il numero q
degli insiemi della partizione.
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Approccio ordinale.
Nell'approccio ordinale gli elementi
da prendere in considerazione
sono:
La corrispondenza biunivoca;
La relazione d'ordine.
Quindi si definirà una
corrispondenza biunivoca tra un
determinato insieme A e
l'insieme N. La corrispondenza
biunivova ordinata sarà anche
chiamata
isomorfismo d'ordine.
N rappresenta:
sia la card A (corrispondenza
biunivoca)
sia una corrispondenza biunivoca
ordinata.
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