Analisi delle Decisioni
Decisioni sequenziali
Chiara Mocenni
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Problemi decisionali
sequenziali
• Una lotteria modella una situazione
di rischio relativa a un singolo
evento
• In realtà il problema può riguardare
una successione di decisioni
• Alberi di decisione
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Esempio: organizzazione di
un concerto
• Avi deve organizzare un concerto
estivo, e deve decidere se
organizzarlo:
– A all’Aperto, in un parco
– C al Chiuso, in un teatro
– P sotto il Portico di una villa
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Il concerto
• La riuscita e l’incasso
dipenderanno dal luogo ma anche
dal tempo che farà, che potrà
essere:
– S Sereno
– R Pioggia
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I possibili risultati
Risultato
Profitto atteso
aperto, sereno
portico, sereno
chiuso, pioggia
chiuso, sereno
portico, pioggia
aperto, pioggia
€ 10,000
€ 9,000
€ 5,000
€ 4,000
€ 2,000
€0
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Assessment dell’utilità
• Col procedimento visto prima si può
stabilire l’utilità (per Avi) dei vari risultati
u(10,000) = 1
u(9,000) = 0.95
u(5,000) = 0.67
u(4,000) = 0.57
u(2,000) = 0.32
u(0)
=0
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1
0.95
0.67
0.57
0.32
2
4
5
9
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10
Bollettino meteorologico
• Il bollettino meteorologico dà:
– 40% probabilità di sereno
– 60% probabilità di pioggia
• Il tempo di domani può vedersi
come una lotteria i cui premi
dipendono dalla decisione presa
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sereno (0.4)
aperto
pioggia (0.6)
sereno (0.4)
chiuso
portico
1
0
0.57
pioggia (0.6)
0.67
sereno (0.4)
0.95
pioggia (0.6)
0.32
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Utilità attesa dei tre casi
U[aperto] = 0.4 * 1 + 0.6 * 0
= 0.4
U[chiuso] = 0.4 * 0.57+ 0.6 * 0.67= 0.63
U[portico] = 0.4 * 0.95+ 0.6 * 0.32= 0.57
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sereno (0.4)
aperto
0.4
chiuso
0.63
0.57
portico
pioggia (0.6)
sereno (0.4)
1
0
0.57
pioggia (0.6)
0.67
sereno (0.4)
0.95
pioggia (0.6)
0.32
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1
0.95
0.63
0.67
0.57
0.32
4.6
2
4
5
9
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10 (K€)
Utilità attesa
• L’utilità attesa della decisione è pari alla
massima utilità attesa delle lotterie tra le
quali avviene la scelta
• In questo caso, l’utilità attesa è 0.63 e
l’equivalente certo della decisione è 4,600
€ (ossia il decisore è indifferente tra partecipare
alla lotteria, cioè organizzare il concerto al
chiuso, e ricevere 4600 euro “sicuri”.)
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Decisioni e informazioni
• Fin qui l’unica informazione è la
probabilità di tempo sereno (0.4), e in
base a questo Avi prende la decisione
• Come cambia la situazione se è
possibile accedere ad altre fonti di
informazione?
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Informazione perfetta
• Supponiamo esista un oracolo che, in
modo infallibile, è in grado di
prevedere il tempo
• L’oracolo chiede un compenso in
denaro
• Qual è la massima cifra che ha senso
pagare per avere l’informazione?
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Informazione perfetta (II)
• Supponiamo che l’oracolo chieda
1,500 euro
• Qual è la nuova utilità attesa?
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sereno (1)
aperto
L’oracolo prevede
“sereno” (0.4)
0.92
0.92
chiuso
0.39
0.86
portico
pioggia (0)
sereno (1)
pioggia (0)
sereno (1)
pioggia (0)
0.92
-0.3
0.39
0.51
0.86
0.08
0.67
sereno (0)
0.51
L’oracolo prevede
“pioggia” (0.6)
aperto
-0.3
chiuso
0.51
0.08
portico
pioggia (1)
sereno (0)
pioggia (1)
sereno (0)
pioggia (1)
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0.92
-0.3
0.39
0.51
0.86
0.08
Informazione perfetta (II)
• La nuova utilità attesa è 0.67,
corrispondente a un equivalente certo
di € 5,000
• Poiché 5,000 > 4,600, la nuova
situazione è più conveniente
• Per Avi, è conveniente spendere €
1,500 per l’informazione
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Decisioni sequenziali
• Se l’informazione avesse avuto un
prezzo superiore, poteva non essere
più conveniente consultare l’oracolo
• Il problema diviene sequenziale:
• Consultare o no l’oracolo?
• Dove tenere il concerto?
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Il valore dell’informazione
• La massima cifra che ha senso
pagare per avere l’informazione
rappresenta il valore
dell’informazione (perfetta) per un
determinato decisore
• Come si determina il valore
dell’informazione?
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Il valore dell’informazione (II)
Per una classe abbastanza ampia di
decisori, il valore dell’informazione può
calcolarsi come differenza tra:
equivalente certo della decisione con
informazione gratuita
e
equivalente certo della decisione in
assenza di informazione
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Informazione gratuita
sereno (1)
aperto
1
L’oracolo prevede
“sereno” (0.4)
1
chiuso
0.67
0.95
portico
pioggia (0)
sereno (1)
pioggia (0)
sereno (1)
pioggia (0)
1
0
0.57
0.67
0.95
0.32
0.802
sereno (0)
0.67
L’oracolo prevede
“pioggia” (0.6)
aperto
0
chiuso
0.67
0.32
portico
pioggia (1)
sereno (0)
pioggia (1)
1
0
0.57
0.67
sereno (0)
0.95
pioggia (1)
0.32
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1
0.95
0.802
0.67
0.57
0.32
2
4
5
6.6
9
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10 (K€)
Informazione gratuita
sereno (1)
aperto
1
L’oracolo prevede
“sereno” (0.4)
1
chiuso
0.67
0.95
portico
pioggia (0)
sereno (1)
pioggia (0)
sereno (1)
pioggia (0)
1
0
0.57
0.67
0.95
0.32
0.802
sereno (0)
0.67
L’oracolo prevede
“pioggia” (0.6)
aperto
0
chiuso
0.67
0.32
portico
€ 6,600
pioggia (1)
sereno (0)
pioggia (1)
1
0
0.57
0.67
sereno (0)
0.95
pioggia (1)
0.32
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Il valore dell’informazione
Quindi il valore dell’informazione è:
equivalente certo della decisione con
informazione gratuita: € 6,600
equivalente certo della decisione in
assenza di informazione: € 4,600
= € 2,000
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Un decisore alternativo: Inat
• Supponiamo che per Inat:
u(10,000) = 1
u(9,000) = 0.9
u(5,000) = 0.5
u(4,000) = 0.4
u(2,000) = 0.2
u(0)
=0
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1
0.9
0.5
0.4
0.2
2
4
5
9
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10
Assenza di informazione
sereno (0.4)
0.48
aperto
0.4
chiuso
0.46
0.48
portico
€ 4,800
pioggia (0.6)
sereno (0.4)
1
0
0.4
pioggia (0.6)
0.5
sereno (0.4)
0.9
pioggia (0.6)
0.2
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Informazione gratuita
L’oracolo prevede
“sereno” (0.4)
1
sereno (1)
aperto
1
pioggia (0)
sereno (1)
chiuso
0.4
0.9
portico
pioggia (0)
sereno (1)
pioggia (0)
1
0
0.4
0.5
0.9
0.2
0.7
sereno (0)
0.5
aperto
0
L’oracolo prevede
“pioggia” (0.6)
sereno (0)
chiuso
0.2
0.5
portico
€ 7,000
pioggia (1)
pioggia (1)
1
0
0.4
0.5
sereno (0)
0.9
pioggia (1)
0.2
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Il valore dell’informazione
Quindi il valore dell’informazione per
Inat è:
equivalente certo della decisione con
informazione gratuita: € 7,000
equivalente certo della decisione in
assenza di informazione: € 4,800
= € 2,200
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Il valore dell’informazione
• Dunque per Avi (avverso al rischio) il
valore dell’informazione è inferiore
al valore che ha per Inat
(indifferente al rischio)
• Non sempre è così...
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Inat Avi
sereno (p)
aperto
1
1
0
0
0.4
0.57
pioggia (1-p)
0.5
0.67
sereno (p)
0.9
0.95
pioggia (1-p)
0.2
0.32
pioggia (1-p)
sereno (p)
chiuso
portico
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Confronto tra decisori (p=0.4)
• Quando p=0.4, Avi (avverso al
rischio) deciderebbe di svolgere il
concerto al chiuso, Inat (indifferente
al rischio) sotto il portico
• Il valore dell’informazione perfetta è:
VAVI = € 2,000
VINAT= € 2,200
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Confronto tra decisori (p=0.5)
• Consideriamo ora lo stesso
problema, ma con una maggiore
probabilità di tempo sereno, p=0.5
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Assenza di informazione
Inat Avi
0.5 / 0.5
aperto
sereno (0.5)
1
1
0
0
0.45 / 0.62sereno (0.5)
chiuso
pioggia (0.5)
0.4
0.57
0.5
0.67
sereno (0.5)
0.9
0.95
pioggia (0.5)
0.2
0.32
portico
0.55 / 0.64
pioggia (0.5)
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Confronto tra decisori (p=0.5)
• Stavolta ambedue i decisori
sceglierebbero il portico
• L’equivalente certo in assenza di
informazione è:
xAVI = € 4,700
xINAT= € 5,500
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Informazione
gratuita: Avi
sereno (1)
aperto
1
L’oracolo prevede
“sereno” (0.5)
1
chiuso
pioggia (0)
1
0
sereno (1)
pioggia (0)
sereno (1)
portico
pioggia (0)
0.84
sereno (0)
0.67
aperto
pioggia (1)
sereno (0)
L’oracolo prevede
“pioggia” (0.5)
chiuso
0.67
portico
€ 7,100
pioggia (1)
sereno (0)
pioggia (1)
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0.57
0.67
Informazione
gratuita: Inat
sereno (1)
aperto
1
L’oracolo prevede
“sereno” (0.5)
1
chiuso
pioggia (0)
1
0
sereno (1)
pioggia (0)
sereno (1)
portico
pioggia (0)
0.75
sereno (0)
0.5
aperto
pioggia (1)
sereno (0)
L’oracolo prevede
“pioggia” (0.5)
chiuso
0.5
portico
€ 7,500
pioggia (1)
sereno (0)
pioggia (1)
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0.4
0.5
Il valore dell’informazione: Avi
Equivalente certo della decisione con
informazione gratuita: € 7,100
Equivalente certo della decisione in
assenza di informazione: € 4,700
= € 2,400
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Il valore dell’informazione: Inat
Equivalente certo della decisione con
informazione gratuita: € 7,500
Equivalente certo della decisione in
assenza di informazione: € 5,500
= € 2,000
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Confronto tra decisori (p=0.5)
• Il valore dell’informazione perfetta è:
VAVI = € 2,400
VINAT= € 2,000
• Poiché i due decisori fanno la stessa
scelta, Avi è disposto a pagare di
più l’informazione rispetto a Inat
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Inat deve acquistare titoli...
• X assicurano un guadagno di € 250
• Y con probabilità 0.3, un guadagno
di € 275, con probabilità 0.7 un
guadagno di € 107; in quest’ultimo
caso può scambiarli con Z
• Z con probabilità 0.5 il guadagno può
essere € 375 o € 100
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Assenza di informazione
0.3
€ 248.75
Acquistare Y
€ 250
0.7
237.5
Y guadagna
Tenere Y
Y perde
237.5
Scambiare
€ 275
€ 107
0.5
Z guadagna
0.5
Z crolla
Acquistare X
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€ 375
€ 100
€ 250
Informazione gratuita sui titoli Z prima della dec. su X
0.3
Acquistare Y
€ 345
0.5
Z guadagna € 345
0.7
€ 107
375
€ 375
Scambiare
Acquistare X
Acquistare Y
0.7
€ 157.4
0.5
€ 250
€ 250
0.3
€ 297.5
Z crolla
€ 275
€ 275
Tenere Y
€ 107
107
€ 100
Acquistare X
€ 250
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Il valore dell’informazione su Z
• L’utilità attesa della lotteria nel nodo
radice è di € 297.50
• In assenza di informazione, l’utilità
attesa è di € 250
• Il valore dell’informazione su Z prima
di decidere su X è di:
€ 297.50 - € 250 = € 47.50
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Informazione gratuita sui titoli Z dopo aver deciso su X
Y guadagna
0.3
€ 275
L’oracolo prevede
che Z guadagnerà
€ 251.2
Acquistare Y
€ 251.2
€ 241
€ 375
0.7
Y perde
0.5
Scambiare
0.5
€ 107
L’oracolo prevede
che Z perderà
Tenere Y
€ 375
€ 107
€ 100
€ 107
€ 250
Acquistare X
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Il valore dell’informazione su Z
• L’utilità attesa della lotteria nel nodo
radice è di € 251.20
• In assenza di informazione, l’utilità
attesa è di € 250
• Il valore dell’informazione su Z dopo
avere già deciso su X è di:
€ 251.20 - € 250 = € 1.20
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Informazione gratuita sui titoli Y prima della dec. su X
€ 275
Acquistare Y
€ 275
Acquistare X
€ 250
L’oracolo prevede che
Y guadagnerà
€ 257.5
0.5
0.3
€ 237.5
€ 250
0.7
€ 237.5
L’oracolo prevede che
Y perderà
€ 375
0.5
€ 100
Tenere Y
€ 107
Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010
Acquistare X
€ 250
Il valore dell’informazione su Y
• L’utilità attesa della lotteria nel nodo
radice è di € 257.50
• In assenza di informazione, l’utilità
attesa è di € 250
• Il valore dell’informazione su Y prima
di decidere su X è di:
€ 257.50 - € 250 = € 7.50
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