Fisica 2
18° lezione
Programma della lezione
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Soluzioni dell’equazione delle onde
Soluzioni progressive e regressive
Onde sinusoidali
Lunghezza d’onda e periodo dell’onda
Polarizzazione
Trasporto di energia di un’onda
Vettore di Poynting
Intensità di energia di un’onda sinusoidale
Soluzioni dell’equazione delle onde
• Per semplicità ci limiteremo a studiare l’equazione per f
dipendente da una sola variabile spaziale x e dal tempo t:
2
1 2
f x, t   2 2 f x, t   0
2
x
v t
• Soluzioni di questo tipo sono dette onde piane
• Si può dimostrare che una qualunque funzione di
argomento x-vt o di argomento x+vt è soluzione di questa
equazione
g ( x  vt)
h( x  vt)
• Inoltre l’equazione è lineare, quindi date due soluzioni
qualunque, anche una combinazione lineare arbitraria di
esse è soluzione
Significato della soluzione g
• Consideriamo il valore di g nel punto x=x1
al tempo t=t1
• Consideriamo poi il valore di g nel punto
x=x1 al tempo t=t2
g
t=t1
g(x1,t1)
x1
x
Significato della soluzione g
• Scriviamo l’argomento in x=x1 al tempo t=t2
x1  vt2  x1  v(t2  t1 )  vt1  x1  Dx  vt1
• È lo stesso valore che in x=x1-Dx al tempo t=t1
• Questo vale per tutti i punti sull’asse x
g
t=t2
g(x1,t2)
x1-Dx
x1
x
Significato della soluzione g
• Significa che la funzione al tempo t2 si trova traslando
la funzione all’istante precedente t1 della quantità Dx
• La funzione g rappresenta quindi un’onda
progressiva, cioè che si sposta verso x positivi, con
velocità v
g
t=t2
g(x1,t2)
x1-Dx
x1
x
Significato della soluzione h
• Similmente possiamo affermare che la funzione h
rappresenta un’onda regressiva, cioè che si sposta
verso x negativi, con velocità -v
Onde piane e.m. - componenti
longitudinali
• Studiamo la componente x del rot E
 
B
E E y
 E x  z 
 x
y
z
t


• Essa e` nulla, in quanto per un’onda piana c’e`
dipendenza dalla sola coordinata spaziale x
• Otteniamo l’equazione 
Bx  x, t   0
t
• Similmente, studiando la componente x del rot B

otteniamo
E  x, t   0
t
x
• Quindi le componenti x dei campi sono costanti
nel tempo
Onde piane e.m. - componenti
longitudinali
• Applichiamo ora le prime due equazioni di Maxwell
  Bx By Bz
 B 


0
x
y
z
  Ex E y Ez
 E 


0
x
y
z
• Poiche’ le componenti dipendono solo dalla coordinata
spaziale x, otteniamo


x
E x  x, t   0
x
Bx  x, t   0
• Quindi le componenti x dei campi oltre ad essere
costanti nel tempo, sono costanti rispetto a x
• Si possono scegliere queste costanti uguali a zero
E x  x, t   0
Bx x, t   0
• Cio` significa che le componenti dei campi nella
direzione di propagazione del moto sono nulle, ovvero
l’onda e` trasversale
Soluzioni sinusoidali
• Studiamo una soluzione particolarmente semplice,
scegliendo per g la forma seno
g ( x  vt)  A sin k x  vt
• Cerchiamo il significato di k: dimensioni dim( k )  L1
• Fissato un valore per t, scegliamo due punti x1 e x2 tali
per cui la funzione assume lo stesso valore
x1
x2
Lunghezza d’onda
• Gli argomenti possono differire per un multiplo di 2p
k ( x1  vt)  k ( x2  vt)  2np
• Questo definisce la relazione tra x1 e x2
k ( x2  x1 )  2np
• La minima distanza tra x1 e x2 che soddisfa la richiesta
si ha per n=1 e rappresenta la lunghezza d’onda
x2  x1 min

•
•
2p
 
k
La costante k prende il
nome di numero d’onde
x1
x2
k
2p

Periodo dell’onda
• Fissato un valore di x scegliamo due tempi t1 e t2 tali
che la funzione assuma lo stesso valore
• Gli argomenti possono differire per un multiplo di 2p
k ( x  vt1 )  k ( x  vt2 )  2np
• Questo definisce la relazione tra t1 e t2
kv(t2  t1 )  2np
• Il minimo intervallo di tempo che soddisfa questa
richiesta si ha per n=1 e rappresenta il periodo
dell’onda
2p
(t 2  t1 ) min  T 
T
t1
t2
kv
Soluzioni sinusoidali
• Abbiamo l’importante relazione tra i parametri dell’onda
2p
kv 

T
• Possiamo scrivere l’onda sinusoidale in uno qualunque
dei modi seguenti
A sin k  x  vt 
A sin kx  t 
  x t 
A sin 2p   
   T 
Onde e.m. sinusoidali - componenti
trasversali
• Partendo dall’equazione per Ey e scelta una soluzione sinusoidale
E y ( x, t )  E y 0 sin kx  t 
• Troviamo la soluzione per Bz integrando rispetto al tempo
l’equazione


• Ottenendo
t
Bz  x, t   
x
E y  x, t   kEy 0 coskx  t 
Bz  x, t   k  E y 0 coskx  t dt 
k

E y 0 sin kx  t 
• Cioè E e B hanno la stessa forma sinusoidale e sono in fase
Bz  x , t  
1
1
E y 0 sin kx  t   E y x, t 
c
c
• Esiste una relazione analoga tra Ez e By
Polarizzazione
• Le onde e.m. piane sono puramente trasversali
• I gradi di libertà trasversali sono due
• Consideriamo il campo E, i due gradi di libertà
corrispondono alle componenti Ey, Ez
• Potremmo fare le stesse considerazioni con il
campo B
• Questo non aumenta i gradi di libertà, poiché
ad ogni componente di E è associata una
componente di B
Polarizzazione
• Supponiamo che il campo E sia

E ( x, t )  E y 0 sin kx  t  ˆj  Ez 0 sin kx  t kˆ
• Quindi
 il campo B risulta essere
B( x, t )  Bz 0 sin kx  t kˆ  By 0 sin kx  t  ˆj
• Nel piano trasversale il vettore E
oscilla di moto armonico lungo un
segmento la cui proiezione lungo y
va da -Ey0 a Ey0 e lungo z da -Ez0 a
Ez0
• Un’onda siffatta le cui componenti
oscillano in fase, è detta polarizzata
linearmente
y
B
z
E
Polarizzazione
• Supponiamo
che il campo E sia

E( x, t )  E0 sin kx  t  ˆj  E0 coskx  t kˆ
• Quindi
 il campo B risulta essere
B( x, t )  B0 coskx  t  ˆj  B0 sin kx  t kˆ
• Nel piano trasversale il vettore E
descrive un cerchio di raggio E0
• Un’onda siffatta le cui
componenti oscillano sfasate di
T/4, è detta polarizzata
circolarmente
y
E
z
B
Trasporto di energia
• L’energia e.m. che
attraversa A nel tempo Dt è
uguale all’energia
contenuta nel volume di
base A e altezza cDt
• Questa si trova
moltiplicando la densità di
energia per il volume del
cilindro
• C’è un contributo elettrico
ed uno magnetico
A
cDt
Trasporto di energia
• Parte elettrica
1
U E  u E DV   0 E 2  AcDt
2
• Parte magnetica
U M  u M DV 
1
20
B 2  AcDt
A
cDt
• L’intensità (istantanea)
dell’energia incidente è
definita come l’energia
incidente diviso l’area e il
tempo
U
1
1 2
2
S
 uE c  uM c   0 E c 
Bc
ADt
2
20
Vettore di Poynting
c 
• Tenendo conto che
1
2
E
B
c
 0 0
• L’intensità si può riscrivere in qualunque delle forme
S  0E c 
2
1
0
B c
2
1
0
EB
• Introduciamo il vettore di Poynting che ha S per
modulo e direzione e verso dell’onda
 1  
S
EB
0
• S è perpendicolare ai campi E e B e rappresenta il
flusso istantaneo di energia e.m.
Intensità media
• Molto spesso interessa l’intensità media, cioè la
media nel tempo di S
T
1 1
I  S   EBdt
T 0 0
• Calcolo di I
T
2
E
1 1 2
1
1
1 2
2
0
I 
E dt 
E 

Eeff
T 0 0c
0c
0c 2 0c
  0 cE
2
eff

c
0
2
Beff