Algebra di Boole
Algebra di Boole
• I fondamenti dell’algebra Booleana sono stati delineati dal matematico inglese
George Boole in un lavoro pubblicato nel 1847 riguardante l’analisi della
logica e in particolare l’algebra della logica.
• Questa algebra include una serie di operazioni che si
effettuano su delle variabili logiche, dette appunto variabili Booleane: quantità
che permettono di
codificare le informazioni su due soli livelli.
• Nell'algebra di Boole essendo, a differenza di quella tradizionale, un'algebra
binaria, le variabili possono assumere soltanto due stati:
0 / 1; v/f ( vero, falso); l/h (low, high); t/f (true, false); on/off;
(acceso/spento)
• La definizione di ciascuna operazione booleana si può dare sotto forma di
tabellina (la tabella di verità)
• Realizzazione di Reti logiche: circuiti che realizzano una funzione logica
Operazioni logiche/booleane :
perché sono importanti
• Sono facili da realizzare utilizzando circuiti elementari
• È possibile dimostrare che tutte le funzioni hardware
interessanti (circuiti elettronici, microprocessori, ecc.) possono
essere calcolate utilizzando una opportuna combinazione delle
funzioni logiche
• Esistono procedimenti automatici per realizzare le funzioni
disponibili nell’hardware
• Possiamo scrivere programmi che dialogano direttamente con
l’hardware e manipolare sequenze binarie direttamente
• Identità con l’algebra usuale
• Tutte e sole le operazioni definite da Boole sono applicabili alla
schematizzazione dei circuiti di commutazione elettronici
•Boole postulo’ una tabella di associazione fra variabili logiche con quattro possibili coppie di
valori sono associate fra loro tramite una condizione logica, ad esempio AND oppure OR.
Viene definita una operazione logica
AND fra queste coppie dia i seguenti risultati:
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
Abbiamo due possibili valori logici (1/0, vero/falso , on/off…) e quindi quattro possibili coppie:
La scelta dei possibili valori di accoppiamento che qui abbiamo operato e’ legata al
nostro desiderio di implementare un qualche tipo di meccanismo o dispositivo che sia
capace di operare in modo automatico su quantita’booleane.
Esempio: un circuito elettronico capace di operare su valori binari (che fornisce
proprio i valori sopra indicati) e’ il seguente:
Un esempio di implementazione di un circuito logico
Consideriamo un circuito composto da due interruttori e da una lampadina:
Creiamo un circuito collegando interruttori
e lampadina ai poli di un generatore:
+
_
Se gli interruttori, come in questo caso, sono entrambi Off, il circuito non sara’ chiuso e
la lampadina restera’ spenta:
Un esempio di implementazione di un circuito logico
+
_
Basta che anche uno solo dei due interruttori sia Off, perche’ il circuito rimanga interrotto e la
lampadina resti spenta
Basta che anche uno solo dei due interruttori sia Off, perche’ il circuito rimanga interrotto e
la lampadina resti spenta
+
_
Se invece mettiamo entrambi gli interruttori sulla posizione On, il circuito verra’ chiuso
e la lampadina si accendera’!!
+
_
Possiamo istituire una corrispondenza fra il comportamento di questo circuito e la
tabella di verita’ vista prima.
Switch 1
Switch 2
Off
Off
Off
0
0
0
Off
On
Off
0
1
0
On
Off
Off
1
0
0
On
On
1
1
1
On
Lampadina
Operatori Logici o porte logiche
Circuiti logici ( logic gate) per
costruire reti logiche
AND produce 1 in output solo se entrambi
gli input sono 1, zero altrimenti.
A B Z
A B Z
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
A
0
0
0
1
Z=AB
B
0
1
0
1
0
1
1
1
A
Z=A+B
B
AND
OR
OR produce 1 in output se anche uno solo
dei valori in input e’ 1
A Z
NOT e’ un operatore di inversione,
scambia lo zero con 1 e viceversa
0
1
A
1
0
Z=A
NOT (Inverter)
NAND agisce prima come l’AND e poi ne
complementa l’output.
NOR agisce prima come l’OR e poi ne
complementa l’output.
XOR restituisce un 1 se il numero di 1 in
ingresso e’ dispari.
XNOR agisce prima come l’XOR e poi ne
inverte l’output.
A B Z
A B Z
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
A
Z=AB
B
Quelli indicati sono solamente i tipi basilari
di gate logici, sui quali e’ poi possibile
costruire logiche piu’ complesse:
A
B
0
1
0
1
1
0
0
0
A
Z=A+B
B
NAND
NOR
A B Z
A B Z
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
Z=A  B
Exclusive-OR (XOR)
0
1
0
1
1
0
0
1
A
B
Z=AB
Exclusive-NOR (XNOR)
Questo gate di tipo AND con tre ingressi si
comportera’ in modo analogo a quello con
due ingressi: si avra’ in output un 1 se e solo
se tutti gli ingressi sono posti ad 1. La tabella
di verita’ sara’ composta da otto combinazioni
dei tre ingressi A,B,C
Questo esercizio puo’ essere ampliato a piacere
costruendo elementi adatti a risolvere sistemi
logici di arbitraria complessita’...
A B C Z
0
0
1
1
0
0
1
1
A
B
C
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
Z = ABC
OR
AND
NOT
Proprieta’
Proprieta’
Regole di De Morgan
X Y  X  Y
X  Y  X Y
Funzioni Logiche
• Data una espressione booleana si può trovare la tabella della verità che
la rappresenta.
• Per determinare il valore dell’espressione si può determinare il valore
delle sotto espressioni che compongono l’espressione iniziale:
Esempio: F= ( A AND ( NOT B )) OR C
prima NOT B, poi A AND (NOT B) ed infine tutta l’espressione (A AND
(NOT B)) OR C:
U= (X OR (NOT Y)) AND ((NOT X ) OR Z) OR (Y AND Z)



  x  y  x  z  yz
u  f x, y, zEsempio
  
Esempio
f 0,1,1  0  1  0  1  11  0  0  1  1  1  0 1  1  0  1  1
x
y
z
x
y
x +y
x+z
(x + y )(x + z )
yz
u
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Reti Logiche e porte logiche nell’elettronica digitale
• Le reti logiche sono strettamente legate all’algebra di
boole, sono reti composte da tre tipi di elementi (AND,
OR e NOT) collegati tra loro detti porte logiche.
• Ogni porta logica ha degli ingressi booleani (sulla
sinistra) ed una uscita booleana (sulla destra) gli elementi
hanno una rappresentazione grafica che è la seguente:
• Le porte logiche possono essere combinate fra loro, si può quindi
codificare in linguaggio binario qualsiasi diagramma di flusso (flow chart)
e convertirlo poi in circuito logico.
• Per esempio, la frase:
"se è bel tempo ed è caldo esco; tuttavia, se ho un impegno esco in ogni
caso" richiede una porta AND ed una porta OR unite tra loro come in figura.
La combinazione di più porte logiche, permette di ottenere risultati più articolati.
• Per esempio, nella figura sotto è mostrata una porta NOR, costituita dalla
combinazione di due porte AND, due porte NOT ed una porta OR.
• Questa porta permette di selezionare un valore positivo (1) se e solo se uno dei
due dati in ingresso è positivo (a differenza della porta OR che fornisce un valore
unitario anche se entrambi i dati in ingresso sono positivi).
Si possono così costruire circuiti in grado di effettuare operazioni
matematiche e se combiniamo tra loro più porte logiche si possono ottenere
rapidamente, e senza confusione, decisioni immediate per problemi anche
complessi.
Circuiti Elettronici Digitali
• I circuiti elettronici digitali sono costituiti da transistor.
•Un transistor permette di far passare o non far passare elettroni.
•Il passaggio di elettroni è un segnale elettronico binario (1 se passano
elettroni, 0 se non passano).
•La caratteristica che distingue gli interruttori elettronici dai più comuni
interruttori elettrici è che essi sono comandati da un segnale elettronico
binario e non dall'intervento umano.
•Questo significa che è possibile usare il segnale elettronico di un transistor
per comandare un altro transistor e così ottenere un nuovo segnale elettronico
che, a sua volta, può comandare un altro transistor e così via.
•L'insieme di questi interruttori elettronici che si comandano a vicenda viene
detto circuito elettronico.
•Vi sono infinite possibilità di costruzione di circuiti elettronici, ma
essenzialmente sono tutte riconducibili agli elementi fondamentali qui
esaminati.
Reti Logiche
• Le reti logiche elaborano informazione
rappresentata da segnali digitali. Sono gli
elementi architettonici dei calcolatori.
• L’algebra di Boole costituisce il mezzo
matematico fondamentale per descrivere il
funzionamento di queste reti, che nella maggior
parte dei casi elaborano segnali binari.
Reti Logiche
Un uscita di un elemento può essere collegata ad un ingresso di un altro
elemento per realizzare una rete logica.
Una rete logica ha un insieme di segnali booleani di ingresso e un insieme di
segnali booleani di uscita vediamo un esempio:
Questa rete ha due ingressi X e Y ed una uscita F, a questa rete può essere
associata una espressione booleana che determina il valore di F in
funzione di X e Y, in questo caso si ha:
F = ( NOT (X AND Y) ) AND ( (NOT X) OR Y )
I calcolatori elettronici sono realizzati utilizzando milioni di
componenti elementari AND/OR/NOT.
Funzioni logiche: realizzazione con porte NAND, NOR
Le porte NAND, NOR sono molto piu’ numerose delle
AND, OR nei progetti normali in quanto
sono piu’ facili da costruire usando dei transistor
Qualsiasi espressione logica puo’ essere realizzata con porte
NAND, NOR, NOT
In realta’, NOT e’ inutile
(NOT = NAND o NOR con gli ingressi collegati insieme)
X
0
Y
0
X NOR Y
1
X
0
Y
0
X NAND Y
1
1
1
0
1
1
0
Logica multi-livello: conversione tra forme
Reti NAND-NAND e NOR-NOR
Leggi di DeMorgan:
(A + B)' = A' • B';
Scritte diversamente: A + B = (A' • B')';
(A • B)' = A' + B'
(A • B) = (A' + B')'
In altre parole:
OR e’ come NAND con ingressi complementati
AND e’ come NOR con ingressi complementati
NAND e’ come OR con ingressi complementati
NOR e’ come AND con ingressi complementati
Equivalenza
OR/NAND
A
0
0
1
1
A
1
1
0
0
B
0
1
0
1
B
1
0
1
0
A +B
0
1
1
1
A• B
0
1
1
1
A +B
1
1
1
0
A• B
1
1
1
0
A
B
OR
A
B
Nand

A
B
OR

A
B
Nand
Logica multi-livello: conversione tra forme
Equivalenza
AND/NOR
A
0
0
1
1
A
1
1
0
0
B
0
1
0
1
B
1
0
1
0
A• B
0
0
0
1
A+ B
0
0
0
1
A• B
1
0
0
0
A +B
1
0
0
0
A
B
AND
A
B
NOR

A
B
AND

A
B
NOR
Si possono convertire reti con AND ed OR in reti con NAND
e NOR, introducendo le inversioni opportune (“bolle”)
Per mantenere i livelli logici, ogni inversione deve avere
un’inversione corrispondente
Logica multi-livello: conversione tra forme
Esempio: trasformare rete AND/OR in rete NAND/NAND
(A) A
(B) A
B
B
AND
OR
C
D
C
D
NAND
AND
NAND
A
(C) A
B
(D) B
C
D
C
D
NAND
NAND
NAND
NAND
Reti combinatorie e reti sequenziali
• reti combinatorie: i segnali di uscita
dipendono unicamente dai segnali di
ingresso applicati alla rete all’istante
considerato.
• reti sequenziali: i segnali di uscita
dipendono dai segnali di ingresso applicati
alla rete nel tempo, fino all’istante
considerato.
Reti combinatorie
• una rete combinatoria realizza una funzione booleana
con n ingressi ed m uscite
• Assegnando le variabili binarie x1x2….xm ai segnali di
ingresso e le variabili z1z2….zm ai segnali di uscita, il
comportamento della rete si specifica tramite una
tabella del tutto analoga a quella che si impiega per
assegnare le funzioni booleane
• Ciascuna variabile di uscita è quindi esprimibile in
forma algebrica, come espressione booleana delle
variabili di ingresso.
• ogni espressione booleana la si può rappresentare
usando solo and, or e not
Fine