Corso di biomatematica Lezione 1:
La misura e gli errori
Davide Grandi
Sommario
•La Misura:
•Tipi di misura- diretto ed indiretto
•Strumenti:
•Cifre significative
•Tipi di errore:
•Massimo
•Statistico e Sistematico
•Stima ed errori relativi
•Media e media pesata
La Misura-1
attività di un qualsiasi ricercatore:
dai dati sperimentali determinare il valore di una grandezza
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La Misura-2
Stabilire quale teoria descrive meglio un fenomeno
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La Misura-3
Passare dalle osservazioni alle ipotesi
•Leggo dei numeri sugli strumenti e mi chiedo quali valori
sono più compatibili con la definizione della grandezza
oggetto della misura (continuo)
•Quale teoria è più compatibile con i fenomeni osservati
(discreto)
Non arriverò mai ad un valore CERTO
1. Per determinare il valore di una grandezza andrò
incontro ad errori di misura
2. Per una teoria posso avere una legge probabilistica
(genetica: le osservazioni non sono conseguenza logica
della teoria) o deterministica (fattori esterni alla teoria..)
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La Misura -4
La definizione di misura può essere quindi:
1. assegnare un valore ad una grandezza (attraverso una
unità di misura di riferimento ed uno strumento di
misura)
2. Raccogliere e classificare delle osservazioni su determinati
fenomeni (classi di fenomeni)
L’errore (o incertezza) è la differenza tra il risultato di una
misura e il valore vero cercato
Gli errori si possono ridurre ma non eliminare da una
misura!
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Definizioni
1. Misurazione: insieme di operazioni che portano alla
determinazione del valore del misurando, cioè della
grandezza da misurare, inizia specificando il metodo e la
procedura di misurazione
2. Misura: valore del misurando ottenuto in seguito ad una
misurazione (l’unità di misura deve sempre essere
espressa)
3. Valore vero: è il valore consistente con una particolare
grandezza data, è quello che si otterrebbe con una
misurazione perfetta, pertanto non determinabile (e ne
possono esistere più d’uno consistente con una
definizione non dettagliata…)
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Definizioni-2
1. Definizione di misurando: deve essere definito con
sufficiente completezza, rispetto all’accuratezza richiesta,
affinchè il valore associato con la sua misurazione sia
unico.
2. Risultato di una misurazione: valore attribuito al
misurando in seguito ad una misurazione. E’ solo
un’approssimazione o una stima del valore del
misurando, ed è completo accompagnato dall’incertezza
della stima. E’ importante citare se sono state effettuate
correzioni.
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Esempio
•
Misurare la profondità di un pozzo:
Supponiamo di misurare la profondità di un pozzo
gettandogli dentro un sasso. La grandezza che andrò a
misurare è dunque il tempo impiegato dal sasso per
arrivare all’acqua.
Abbiamo bisogno anche di un modello che rappresenti (in
forma matematica) la realtà, ovvero di una “formula” che
metta in relazione il tempo e la profondità:
h=gt2/2 (prima appross. trascuro la resistenza dell’aria)
con g=9,8 m/s2 accelerazione di gravità, h profondità e t
tempo
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Esempio
Con un cronometro fatto partire appena lascio cadere il
sasso misuro il tempo che intercorre tra questo istante e il
tonfo finale del sasso.
Se ripeto più volte la stessa misura non troverò lo stesso
valore, infatti possono accadere ad esempio i seguenti
fatti:
1. Asincronia tra l’inizio della misurazione el’istante in cui
rilascio il sasso
2. Non perfetto sincronismo tra il tonfo e lo stop del
cronometro
3. Velocità iniziale del sasso non nulla
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Tipi di misurazione
• Metodo di misurazione diretto: si definisce metodo di
misura diretto se la misura è ottenuta mediante l’uso di
uno strumento atto alla misurazione della grandezza X
del misurando
In questo caso avrò una grandezza omogenea a quella che
voglio misurare che sarà scelta come campione,
convenzionalmente assunta dunque come unità di misura.
Dovrò avere chiaro il concetto di confronto (ad esempio
cosa vuol dire che una grandezza è il doppio o il triplo di
un’altra…)
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Tipi di misurazione
•
Metodo di misurazione indiretto:si definisce metodo di
misura indiretto se il risultato della misura è espresso in
termini di valori di altre grandezze, essendo ovviamente
nota la relazione fra queste ed il misurando. Questo è il
sistema più frequente, ed è possibile utilizzare molti
fenomeni (ad esempio fisici) per detrminare una
grandeza in maniera indiretta.
Generalmente le grandezze (almeno quelle fisiche) sono
legate tra loro da relazioni matematiche (ad esempio
v=s/t), per cui avrò diverse unità di misura, e queste
fisseranno l’unità di misura della grandezza derivata.
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Strumenti di misura
• Schematizzazione di uno strumento di misura:
1. Elemento rivelatore sensibile alla grandezza da misurare
ed interagisce con essa
2. Trasduttore che trasforma l’informazione in maniera
utilizzabile dallo sperimentatore
3. Dispositivo che fornisce visivamente o graficamente il
risultato (indice mobile su scala graduata)
Chiamiamo G la grandezza da misurare,M(G) la sua misura,
mentre il valore della grandezza (“vero”) sarà V(G) e avremo
V(G)=M(G) solo per una misura priva di errori, R(G) la
risposta dello strumento [TARATURA: relazione R(G)-V(G)]
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Strumenti di misura
•
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Caratteristiche degli strumenti:
Intervallo di funzionamento
Prontezza
Sensibilità
Errore di sensibilità
Precisione
Accuratezza
Il valore vero di una grandezza non può essere conosciuto
con una precisione minore della sensibilità dello strumento
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Strumenti di misura
• Intervallo di funzionamento
dato dal valore massimo (portata) e minimo (soglia) della
grandezza che lo strumento può misurare, al di fuori di
questo intervallo, oltre a danneggiarsi eventualmente, lo
strumento non ha una risposta legata a V(G)
• Prontezza
È legata al tempo necessario perchè lo strumento risponda
ad una data variazione della sollecitazione. Minore è questo
tempo (detto tempo caratteristico) maggiore è la
prontezza (importante se G ha tempi di variazione piccoli)
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Strumenti di misura
• sensibilità
È definita come il rapporto tra la variazione R(G) e la
corrispondente variazione V(G)
dR(G )
S
dV (G )
dato che non è detto che R(G) dipenda linearmente da V(G)
anche la sensibilità può quindi essere funzione di V(G).
Limite all’accuratezza: R(G) DR(G) corrisponde a M(G)
DV(G) dove DV(G) è detto errore di sensibilità e vale
2DR (G )
2DV (G ) 
S
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Strumenti di misura
• precisione
È un indicazione di quanto la R(G) non dipende da V(G), la
risposta di uno strumento cioè può non essere sempre la
stessa per lo stesso tipo di sollecitazione. I risultati M(G) di
varie operazioni di misura non sono identici per lo stesso
valore di V(G).
Ottengo quindi una distribuzione di valori di M(G), la cui
larghezza dipende dalle caratteristiche dello strumento.
La precisione difficilmente è modificabile, al contarrio della
sensibilità di uno strumento
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Strumenti di misura
• accuratezza
Si definisce accuratezza di uno strumento la sua capacità di
fornire una risposta prossima al valore vero del misurando. Il
reciproco di questa quantità e’ detta inaccuratezza e cerca di
quantificare la presenza di errori.
Una volta evidenziata l’inaccuratezza se ne deve ridurre
l’entità o tramite un aggiustamento (altero le caratteristiche
dello strumento) oppure tramite una calibrazione, ovvero
non altero lo strumento ma stimo la differenza tra i valori
indicati e i corrispondenti valori veri.
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Cifre significative
Il numero di cifre significative del risultato di una misura è
strettamente correlato alla bontà della misura e non può
essere scelto arbitrariamente
Per ottenere le cifre significative si toglie l’eventuale virgola
al numero e si contano tutte le cifre a partire dalla prima a
sinsitra non nulla, ad esempio:
1,23 104
3 cifre
0,1230  105
4 cifre
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Cifre significative
Solitamente si conviene scrivere l’errore con non più di due
cifre significative, quindi:
la misura dovrà avere un numero di cifre tali che quella più
a destra occupi lo stesso posto, rispetto alla virgola, di quella
più a destra dell’errore
T=(13,27  0,01) s
I valori di una grandezza NON devono essere riportati con
un numero eccessivo di cifre significative
Se le cifre sono più di quelle necessarie: arrotondo
R=10,05762 W e s= 27mW avrò R=(10,058 0,027) W
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L’errore
• Errore
L’errore è il riultato di una misurazione meno il valore vero
del misurando. Non essendo noto quest’ultimo al posto
dell’errore si utilizza la stima dell’incertezza
Gli errori possono avere numerose cause, dagli strumenti alle
costanti utilizzate, a osservazioni ripetute in maniera non
identica
• Misure non ripetibili
Se riesco ad eseguire una sola operazione di misura
(impossibilità di ripeterla o evento unico) non ha senso
parlare di fluttuazioni statistiche , per cui l’indeterminazione
è dovuta solo alle caratteristiche dell’apparato.
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Errore massimo
Supponiamo di misurare il periodo di un pendolo semplice e
di ottenere:
T1 = 3 s
T2 = 3 s
T3 = 3 s
….
T10 = 3 s
Ora definiamo la frequenza f di una certa misura il rapporto
f=n/N
Con n numero di volte che ottengo una misura e N numero
totale di misure
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Errore massimo
Avremo dunque f(3) = 1
Ma non possiamo affermare che il periodo T=3 s infatti detto
e l’errore della misura dato da e = T-Tv posso solo dire che
ogni valore di compreso tra –0.5 s e +0.5 s è ugualmente
Probabile, data la sensibilità dell’orologio, ogni valore tra 2.5
e 3.5 s dà lo stesso risultato.
Quindi avendo T=3 s e DT = 0.5 s la mia misura sarà
T=3.0  0.5 s
Questo viene chiamato errore massimo e costituisce un
riconoscimento della limitata sensibilità dell’apparato usato
(non evidenzia le fluttuazioni casuali, ok per misura singola)
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Errore massimo
In generale data una grandezza x che chiameremo variabile
casuale che assume valori nell’intervallo a  x  b e tutti
hanno la medesima probabilità di realizzarsi, la frequenza
sarà sempre uno.
Il valor medio della variabile è
ab
x
2
All’ampiezza dell’intervallo, (b-a) si associa il doppio
dell’errore di sensibilità, ovvero
2Dx  b  a
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Errori casuali
Gli errori casuali sono dovuti ad un numero elevato di
fattori per i quali non è possibile un analisi puntuale.
Agiscono in entrambe le direzioni fornendo valori sia in
eccesso che in difetto rispetto al valore vero
Alcune volte l’errore casuale può essere introdotto dallo
sperimentatore stesso che fa parte dell’apparato
Per studiare gli errori casuali è necessario effettuare un
numero sufficientemente alto di misure.
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Errori casuali
L’errore casuale è uguale all’errore meno l’errore sistematico
il suo valore non può essere conosciuto esattamente perchè
non è noto il valore vero.
Gli errori casuali provengono da impredicibili variazioni
temporali e spaziali delle grandezze influenti.
Sebbene non sia possibile compensare completamente gli
errori casuali il loro effetto può essere ridotto aumentando il
numero di osservazioni e calcolando la media aritmetica di
un numero sufficientemente alto di misure:
L’errore casuale è il risultato di UNA misurazione meno la
media che si otterrebbe con infinite osservazioni.
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Errori casuali e la media
Dato uno strumento con errore di sensibilità piccolo, in
modo da poter evidenziare gli errori casuali, vogliamo
misurare una grandezza G
Effettuiamo N misure ottenendo i valori x1, x2, …xN, nelle
stesse condizioni sperimentali.
Vogliamo però assegnare un valore alla grandezza G e ci
chiediamo quindi quale sia il valore più attendibile x per G.
Non posso prendere un valore xi e scartare gli altri N-1, per
cui x dovrà dipendere da tutti i valori misurati.
In maniera grafica posso rappresentare tutte le misure su un
piano XY dove la coordinata X è l’indice della misura e la
coordinata Y è appunto la misura stessa (i, xi )
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Errori casuali e la media
Tracciamo una retta parallela all’asse delle ascisse (y=k) e
misuriamo la distanza di ogni misura xi dalla retta in valore
assoluto.
Prendiamo questa retta in maniera tale da avere “all’incirca”
lo stesso numero di valori sopra e sotto la retta e ipotizziamo
che il valore di questa retta sia il valore cercato, cioè k=x
Posso definire
zi = xi -x
Abbiamo che i punti con xi > x avranno distanza positiva
dalla retta e quelli con xi < x distanza negativa
L’ipotesi che y=k sia il valore cercato richiede che la somma
delle distanze di tutti i punti sia nulla
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Errori casuali e la media
Ovvero che i punti appartenenti ai due “semipiani” abbiano
lo stesso peso. Segue che:
N
 ( x  x)  0
i
i 1
N
N
N
x N x 0
x x  0
i 1
i
i 1
i 1
i
In tal modo otteniamo:
N
N  x   xi
i 1
1 N
x    xi
N i 1
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Errori casuali e la media-app
Dall’analisi matematica se voglio minimizare la distanza:
D( x)   ( xi  x)
2
D' ( x)   2 ( xi  x)(1) 0
 ( xi)  N x 0
In tal modo otteniamo ancora:
1 N
N
x    xi
N  x   xi
N i 1
i 1
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Scarti
L’errore da attribuire ad una singola misura xi detto xv il
valore vero, sarà:
e x x
i
i
v
Quindi l’errore da attribuire a x sarà:
 x  x
e x

N x  1

x


( 
1
 xv 
N
i
v
e
e
v
)

x
x
N
i
N
1

N
i
v
i
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Scarti
Poichè gli errori ei saranno sia positivi che negativi tanto più
N è grande più vicino a zero sarà l’errore e ovvero la media
aritmetica approssima tanto meglio il valore vero quante più
misure faccio.
Ora lo scarto dalla media della misura i-esima sarà
z x x
i
i
Che unitamente alla relazione
 zi 
i
e
e
e x x
i
i
v
mi darà:
Ovvero uno scarto qualsiasi differisce dall’errore
corrispondente di una quantità costante: l’errore della media
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Errori sistematici
L’azione degli errori sistematici è tale da condurre a valori
sistematicamente in eccesso o in difetto rispetto al valore
effettico, hanno cioè sempre lo stesso segno
Difficoltà nel distinguere errori sistematici: il valore vero non
è conosciuto, per cui neanche un numero elevato di misure
talvolta può identificarli
Cause errori sistematici:
• difetto di funzionamento dello strumento
• errate condizioni di impiego
• interazione tra strumento e sistema in misura
• imperfetta definizione del fenomeno
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Errori sistematici
L’errore sistematico è pari all’errore meno l’errore casuale,
ed anche il suo valore non può essere conosciuto perchè non
si conosce il valore vero.
Gli errori sistematici producono variazioni di verso ed entità
costanti, al ripetersi delle misurazioni.
Non possono essere eliminati ma possono essere ridotti: se
viene identificato ad esempio un effetto sistematico che può
essere quantificato, e se è significativo per l’accuratezza
richiesta, è possibile applicare una correzione numerica che
ne compensi l’effetto.
L’errore sistematico è la media di un numero infinito di
osservazioni meno il valore vero del misurando
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Riepilogo errori
La deviazione standard della media aritmetica di una serie di
misurazioni non è l’errore casuale della media ma una
misura dell’incertezza della media dovuta ad effetti casuali.
Se il valore di una misurazione è stato corretto per tutti gli
errori sistematici, il valore atteso dell’errore sistematico
corretto si assume sia nullo
Dopo la correzione dell’errore sistematico , il risultato di una
misurazione è solo una stima del valore del misurando
In generale (somma in quadratura vedi più avanti..):
k

k
  k
2
casuale

2
sistematico
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Errore relativo
Data una misura
x=x  x
non sempre l’errore x fornisce informazioni esaustive,
soprattutto sulla bontà della misura (x= 1 km, x = 1cm)
Per questo spesso la bontà della misura è legata anche alla
relazione che lega x a x, ovvero introduco l’errore
frazionario o relativo:
er= x /|x|
O anche l’errore prcentuale
e%= er•100
Entrambi indicano approsimativamente la qualità o bontà di
una misura (adimensionali, confronto tra quantità omog.)
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Media pesata
Dato il problema di stimare una grandezza x, effettuiamo N
misure ottenendo i valori x1, x2, …xN, , però in contesti
diversi e indipendenti, ciascuna quindi affetta da un diverso
errore ei
La stima “migliore” quindi non potrà essere semplicemente
la media aritmetica (questa dà a ciascuna misura la
medesima importanza, mentre adesso voglio dare alla misura
più precisa un peso maggiore). Introducendo un termine del
tipo:
x
e
i
2
i
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Media pesata
Soddisfa le nostre richieste poichè al diminuire dell’errore
diminuisce il peso

i
1

e
2
i
Nel caso in cui tutte le misure possiedano la medesima
incertezza ei =e e quindi il medesimo peso , la somma di tutti
i termini con il peso deve ridursi a quella della media, ovvero
da
x

e
i
2
i
e

1
e
2
  i
i
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Media pesata
Abbiamo, dividendole
 x   x    x   x


N 
N
i
i
i
i
i
i
La media pesata dunque si definisce come:


x
x 

i
p
i
x

i
e


i
2
i
1
e
2
i
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i