Napoli, 10 Maggio 2007
Guida all’uso dell’Eurocodice 2 nella progettazione strutturale
- materiali
- analisi strutturale
- stati limite ultimi
Prof. ing. Piero Marro
Dr. ing. Matteo Guiglia
Dr. ing. Maurizio Taliano
Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica
Politecnico di Torino
1
Materiali (Sez. 3-EC2)
Calcestruzzo
C12/15 – C90/105
fck = resistenza cilindrica a compressione caratteristica a 28 giorni.
ENV: da 12 a 50 N/mm2
EN:
(9 classi)
da 12 a 90 N/mm2 (14 classi)
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2
Caratteristiche meccaniche e fisiche correlate a fck
(Prospetto 3.1-EC2 )
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3
fck
12  90 N/mm2
90/12 = 7,5
fctm
1,6  5,0 N/mm2
5,0/1,6 = 3,1
Ecm
27  44 kN/mm2
44/27 = 1,6
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4
Calcestruzzi ad alta resistenza
- elementi compressi
- travi precompresse
- elementi in ambiente aggressivo
- meno conveniente per travi non precompresse in quanto:
• sfruttamento della resistenza solo in zona compressa
• elevate percentuali di armatura, difficoltà di collocazione
• limiti inflessione
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5
Resistenza a compressione di progetto fcd
ENV:
fcd
fck

C
con MRd,NRd  fcd  0,85
EN:
fcd
fck

  cc
C
(cc= 0,85)
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6
fck
Conseguenza della definizione di fcd 
  cc
C
- nuove tabelle e nuovi diagrammi dei manuali fck  50 N/mm2
alterati da 1 / 0,85
EN
ENV


0.20
0.23
=0,5
=0,5
=0
=0







Nuove tabelle e diagrammi per fck > 50 N/mm2
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7

Diagramma c-c di progetto: parabola (esponenziale) - rettangolo
c
(N/mm2)
2,6 ‰
50
C90/105
C80/95
40
2,4 ‰
2,3 ‰
30
2,7 ‰ C70/85
2,9 ‰
C60/75
C50/60
2,0%
3,5%
20
C30/37
2,0 ‰
3,5 ‰
10
0
1,0 ‰
2,0 ‰
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3,0 ‰
c
8
Diagramma c-c di progetto: bilineare
c
(N/mm2)
2,3 ‰
50
2,6 ‰ C90/105
2,2 ‰
40
2,0 ‰
1,9 ‰
30
1,75%
2,6 ‰ C80/95
2,7 ‰ C70/85
2,9 ‰ C60/75
C50/60
3,5%
20
1,75 ‰
3,5
C30/37
‰
10
0
1,0 ‰
2,0 ‰
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3,0 ‰
c
9
Distribuzione rettangolare delle tensioni
cu3
x
η f cd
λx
F
c
d
As
F
s
s
η1
λ<1
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10
Acciaio per cemento armato ordinario
EN:
400 ≤ fyk ≤ 600
ITALIA:
B450C εuk  75 ‰
ENV:
alta duttilità εuk  50 ‰
s
s


s
s
10 ‰
εud = 0,9 εuk = 67,5 ‰
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11
Analisi strutturale (Sez. 5-EC2, da 5.1 a 5.7)
Imperfezioni geometriche
Valori riferiti alla Classe 1 (esecuzione normale) di ENV 13670 "Execution"
Inclinazione:
i   o   h   m
N
o  1 / 200
L
h 
i
2
L
0,66   h  1
1
m
 m  0,5  (1  )
(es. m  5   m  0,77)

θi per S.L.U.

in particolare con effetti del secondo ordine
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12
Analisi strutturale
Nell'evoluzione della risposta della struttura alle azioni compaiono:
- fessure
- plasticizzazione dell’acciaio
- plasticizzazione del calcestruzzo
deformazioni
rotazionali
anelastiche
Nelle strutture isostatiche  aumento inflessione
Nelle strutture iperstatiche
 reazioni vincolari, sollecitazioni M,V
(risposta non lineare)
 deformazioni elastiche complementari
(compatibilità)
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13
• Le rotazioni anelastiche prendono il posto di deformazioni elastiche:
localmente M diminuisce
• L'effetto locale di rotazioni anelastiche ha segno opposto a quello
della causa che le ha determinate
L
L
q L2 /8
M(q)
Trave continua di sezione
rettangolare.
Fessurazione all’appoggio
centrale
+
X
X
M1
+
1
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14
In EC2 quattro metodi prendono in conto questi fenomeni in
modo diverso
 Analisi lineare elastica (ALE)
 Analisi lineare elastica con ridistribuzione
limitata (LR)
 Analisi plastica (P)
 Analisi non lineare (ANL)
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15
ALE (analisi lineare elastica)
Vale per S.L.E. e S.L.U.
In presenza di carichi
•
elasticità, sezioni interamente reagenti fino a S.L.U.
•
vantaggio: principio sovrapposizione effetti
•
sarebbe necessaria una limitazione di x/d (che EC2 non impone);
altrimenti  incertezza di modello, rischio rottura fragile
ENV
Come:
DIN 1045:2001
x/d = 0,45 (fck  35 N/mm2)
x/d = 0,45 (fck  50 N/mm2)
x/d = 0,35 (35 < fck  50 N/mm2)
x/d = 0,35 (50 < fck  100 N/mm2)
In presenza di deformazioni impresse (effetti termici, cedimenti vincolari):
•
analisi S.L.U. con sezioni fessurate e senza tension-stiffening
•
analisi S.L.E. con graduale evoluzione della fessurazione
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16
LR (analisi lineare elastica con ridistribuzione limitata)
Metodo progettuale per S.L.U.
Dove compare una cerniera plastica, M viene ridotto rinviando la
sollecitazione verso altre parti :
 si può di ridurre localmente l’armatura tesa, As, in funzione
della ridistribuzione δ
 i valori di ridistribuzione δ (max 30%) dipendono da:
• classe dell’acciaio (in Italia, classe C)
• fck e cu
• x/d
 se la ridistribuzione δ è troppo spinta, anche se ammissibile
per lo S.L.U., σc e σs possono risultare eccessive allo S.L.E.
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P (analisi plastica)
Applicazione della teoria della plasticità. Vale solo per S.L.U.
 Metodo Statico (lower bound method):
- struttura resa isostatica
- rispetto delle condizioni di equilibrio e di plasticità
- Qu,vero  Qlim (calcolato)
 Metodo Cinematico (upper bound method)
- struttura trasformata in un meccanismo
- posizione arbitraria delle cerniere con possibilità di
affinamento
- Qu,vero  Qlim (calcolato)
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18
P (analisi plastica)
In EC2:
 Applicazioni del metodo statico
- schema puntoni-tiranti
- metodo strisce per le piastre
- metodo θ variabile per le travi
 Applicazioni del metodo cinematico
- travi e piastre (linee di rottura)
- richiesti: acciai di classe B o C
- duttilità diffusa senza verifica capacità rotazione se
x/d  0,25 per fck  50 N/mm2
x/d  0,15 per fck > 50 N/mm2
altrimenti si richiede la verifica di θpl
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19
ANL (analisi non lineare)
- Tiene conto di tutti i fenomeni
- Costituisce un procedimento evolutivo al passo
- Vale per SLE e SLU
- Rispetta le condizioni di equilibrio e di compatibilità
- Richiede modellazione σ-ε acciaio e calcestruzzo, nonché valori θpl
- Richiede l’uso di elaboratore
EC2 non fornisce regole specifiche
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20
Confronto fra i metodi di analisi
 Travi duttili, progetto base ALE senza ridondanze di As:
portanza ANL = portanza ALE
 Travi duttili, progetto base ALE con ridondanze di As:
portanza ANL > portanza ALE
 Travi duttili progettate con LR:
ANL conferma SLU, ma evidenzia eventuali insufficienze a SLE
 Portanza Pcinematico > Portanza ANL
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21
S.L.U. per flessione semplice e composta (Sez. 6.1-EC2)
- 1 pagina EC2  30 pagine Guida
- metodi noti, novità su materiali:
- S.L.U.:
cu2
x
c2
- calcestruzzo
50  90 N/mm2
- acciaio
ud  67,5 ‰
c (c)
fcd
funzione esponenziale:
  
fcd  1   1  c
   c2

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n

 
 
fck
(N/mm2)
n
50
2,00
60
1,60
70
1,45
80
1,40
90
1,40
22
cu2
fcd
Fc
c2
x
2 x
c
d
Fc = b β1 x fcd
s
M = Fc (d - β2 x)
Tabelle di β1 , β2 per ogni fck, anche per x > h
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Problemi svolti:
 Dati: geometria, meccanica della sezione e retta deformazione,
determinare NRd e MRd
 Dati: geometria, meccanica della sezione e NEd, determinare
MRd
 Dati: geometria, NEd e MEd , determinare As e A's
Applicazioni a sezioni
rettangolari e a T
As
(kNm)
Rd
Momento M
As = 3600 mm
b=400
2
d'=50
1000
800
D ati:
h=600
As
 c  s   3,5‰  syd
 c  s   3,5‰ 10‰
Trattazione in termini
dimensionali non trattandosi
di un manuale
d'=50
1200
30 N /m m
2
f yk = 450 N /m m
2
f ck =
 c = 1,5
 s = 1,15
As = 2400 mm2
 c  s   3,5‰ 25‰
 c  s   3,5‰ 0
600
 c  c ,inf   3,5‰ 0
400
As = 1200 mm2
MRd=NRd h/30
Esempio: diagramma
di interazione NRd – MRd
200
P. Marro, M. Guiglia, M. Taliano
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As = 0
 c  s   3,5‰ 50‰
 c   2, 0 ‰
0
2000
0
-2000
-4000
-6000
Sforzo normale NRd (kN)
24
-8000
S.L.U. per taglio (Sez. 6.2-EC2)
Elementi privi di armature trasversali
Sono le nervature dei solai e le piastre. Non le travi perché queste
devono avere almeno l'armatura minima (Sez. 9-EC2).
V Rd,c 1,4
bw d
2
(N/mm )
d
EN
ENV
d=200 mm
fck=90
50
1,2
40
1,0
30
50
30
20
0,8
20
bw
0,6
r
0,4
0,5
1,0
P. Marro, M. Guiglia, M. Taliano
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1,5
2,0
l
Asl
bw d
25
Travi con armature trasversali
Un solo metodo di verifica: θ variabile (in ENV anche metodo "standard“).
A
B
Fcd
V (cot   cot)
M
½z

N

d
z = 0 ,9 d
V
½z
V
Ftd
C
s
D
Campo di θ più ristretto rispetto a ENV :
1  cot θ  2,5 (anziché 0,4 - 2,5)
(45° θ 21,8° anziché 68,2°-21,8°)
Formule derivanti dall'applicazione del metodo statico della plasticità.
Pur essendo un metodo lower bound, è necessario adottare σc = ν fcd (con ν < 1,
funzione di fck)
Effetto del taglio: correnti superiore e inferiore tesi, anima compressa, in
funzione di α e di θ
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26
Taglio resistente delle bielle compresse e delle armature
Asw k VEd

s
cot 
Asl  k ' VEd cot 
 = 90°
V
Rd
0,50
Collasso simultaneo
A
V
 f cd b z
w
Rd,max
B
0,34
V
Rd,s
Collasso
staffe
C
0
0,5
A sw
s
1,0
1,5
2,0
2,5
45,0°
33,7°
26,5°
21,8°
P. Marro, M. Guiglia, M. Taliano
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minima
cot 

27
Armature necessarie
 = 90°
1,0
0,8
Asl  k ' VEd cot 
0,6
Asw k VEd

s
cot 
0,4
0,28
Asw
s minima
0,2
0
1,0
1,5
2,0
P. Marro, M. Guiglia, M. Taliano
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2,5
cot 
28
Taglio resistente delle bielle compresse
V
 = 45° 1,00
Rd
 = 60° 0,79
 f cd b z
w
 = 90° 0,50
A
B
0
0,5
1,0
1,5
P. Marro, M. Guiglia, M. Taliano
Dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica, Politecnico di Torino
2,0
0,48
0,42
0,34
2,5
cot 
29
S.L.U. per torsione (Sez. 6.3-EC2)
- torsione di compatibilità  armature minime (Sez.9-EC2)
- torsione di equilibrio
 verifica statica
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30
Per torsione di equilibrio: sezione resistente tubolare ideale con flusso di
τ calcolato alla Bredt
zi
A
T
B
Ed
tef /2
t ef
A - linea media
B - perimetro esterno della sezione effettiva
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31
Ogni tratto zi della sezione tubolare si comporta come una sezione
rettangolare soggetta a taglio. Risultano:
 bielle compresse di inclinazione θ variabile:
- inclinazione θ come per il taglio
- c  ν fcd con ν < 1 come per il taglio
 armature trasversali tese: staffe  = 90°
 armature longitudinali tese (analogia correnti trave a taglio)
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32
Combinazioni taglio-torsione
 sollecitazioni limitate (assenza fessure)
TEd
 diagramma di interazione lineare fra
VRd,c e TRd,c ,
sollecitazioni resistenti per sezioni non
armate. Si dispone solo l'armatura
minima.
 sollecitazioni importanti
 diagramma di interazione lineare fra
VRd,max e TRd,max ,
sollecitazioni resistenti corrispondenti
alla resistenza delle bielle compresse.
Si dispone l'armatura necessaria.
TRd,c
VEd
VRd,c
TEd
TRd,max
VRd,max
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33
VEd