I piaceri della dualità:
un esempio
Renato Betti – Politecnico di Milano
y  bx  c  0
S(x,y)
R(a,b)
Renato Betti – Politecnico di Milano
Corrispondenza fra curve    '
y  bx  c  0
'

Renato Betti – Politecnico di Milano
y  bx  c  0
Renato Betti – Politecnico di Milano
y  bx  c  0
Renato Betti – Politecnico di Milano
y  bx  c  0
Renato Betti – Politecnico di Milano
y  bx  c  0
Renato Betti – Politecnico di Milano
y  bx  c  0
 xt

2
y

t

c
t  bt  c  0
2
y  x2
b
Renato Betti – Politecnico di Milano
t 2  bt  c  0
Renato Betti – Politecnico di Milano
t  bt  c  0
2
2t  b  0
b  2t

2
c

t

b 2  4c  0
(discriminante dell’equazione di secondo grado)
1 2
2
La parabola di equazione c  b è la duale della y  x
4
Renato Betti – Politecnico di Milano
y  bx  c  0
 xt

3
y  t
t  bt  c  0
3
yx
c
3
b
Renato Betti – Politecnico di Milano
t  bt  c  0
3
Renato Betti – Politecnico di Milano
Un’equazione di terzo grado ha
sempre almeno una soluzione reale
Renato Betti – Politecnico di Milano
t  bt  c  0
3
3t 2  b  0
b  3t

3
 c  2t
2
4b  27a  0 (discriminante dell’equazione di terzo grado)
3
2
La cubica cuspidata di equazione 4b 3  27a 2  0
3
è la duale della cubica di equazione y  x
Renato Betti – Politecnico di Milano
t
2n
2nt
2 n 1
 bt  c  0
t
2 n 1
(2n  1)t 2 n  b  0
b  0
 b  2nt 2 n1

2n
c

(
2
n

1
)
t

 bt  c  0
b  (2n  1)t 2 n

2 n 1
c

2
nt

Renato Betti – Politecnico di Milano
L’equazione t 2 n  bt  c  0 ha due radici reali distinte
se il punto (a,b) è esterno alla curva (convessa) di
equazioni parametriche
 b  2nt 2 n1

2n
c

(
2
n

1
)
t

Ha due radici reali coincidenti
se il punto (a,b) appartiene alla
curva, non ne ha se il punto è
interno alla curva.
L’equazione ha una radice
reale di molteplicità superiore
a due solo se a = b = 0.
Renato Betti – Politecnico di Milano
L’equazione
radice reale.
t 2 n 1  bt  c  0
ha sempre almeno una
Ha tre radici reali e distinte quando il punto (a,b) è interno alla
curva cuspidata di equazioni
b  (2n  1)t 2 n

2 n 1
c

2
nt

Ha una radice reale doppia se (a,b)
appartiene alla curva ed una sola
radice reale se il punto è esterno alla
curva.
L’equazione ha una radice
reale di molteplicità superiore
a due solo se a = b = 0.
Renato Betti – Politecnico di Milano
Renato Betti – Politecnico di Milano
t 5  bt  c  0
t  bt  c  0
4
Provate a studiare
Grazie
t  bt  ct  d  0
4
2