ALGEBRA DI BOOLE
L’algebra di Boole è un sistema algebrico sviluppato a metà dell’‘800
dal matematico e logico inglese George Boole, per formalizzare la
sillogistica aristotelica mediante una logica delle classi.
Essa fu interpretata dallo stesso autore anche come una struttura di
relazioni logiche tra proposizioni, mostrando così le affinità
profonde esistenti tra la logica e l’usuale algebra.
L’algebra di Boole è rimasta pressoché ignorata per oltre 80 anni,
cioè fino al 1937, quando lo scienziato americano Claude Elwood
Shannon propose per primo di applicarla all’analisi e alla sintesi di
circuiti a relè, che sono caratterizzati dai due stati di funzionamento
“aperto” e “chiuso”.
Da allora l’algebra di Boole viene impiegata per la progettazione
dei circuiti elettronici di tutti i computer.
L’algebra booleana originaria era definita su un insieme costituito
da due elementi (successivamente è stata generalizzata per
insiemi costituiti da un numero di elementi uguale a una qualsiasi
potenza del 2), che a seconda dei casi vengono chiamati vero,
falso.
Per esempio, nel calcolo proposizionale si usano come elementi di
partenza delle proposizioni semplici, a ciascuna delle quali si
possa attribuire in modo univoco il valore di verità vero o falso.
Per esempio:
“5 è un numero dispari”
ha valore vero, mentre
“5 è un numero pari”
ha valore falso.
Una proposizione semplice suscettibile di assumere i due soli valori,
vero o falso si dice variabile booleana o di commutazione.
Nel seguito indicheremo le variabili booleane con le lettere x, y, e i
loro valori di verità con v, f *.
Unendo più proposizioni tramite nessi logici si formano proposizioni
complesse, il cui valore di verità è ricavabile in maniera
puramente formale dai valori delle proposizioni costituenti.
* Si consideri, in generale, la seguente tabella
Operatori AND (&&), OR (||), NOT (!)
Le operazioni più semplici che si possono compiere sulle proposizioni
sono:
a) congiunzione, tramite il connettivo “e”. Esempio:
“5 è un numero dispari e 6 è un numero pari”
b) disgiunzione, tramite il connettivo “o”. Esempio:
“5 è un numero dispari o 6 è un numero pari”
c) negazione, tramite l’avverbio “non”. Esempio:
“5 non è un numero dispari”.
A queste operazioni corrispondono rispettivamente gli operatori
booleani AND (&&), OR (||), NOT (!) così definiti:
AND (&&) produce una variabile con valore v se e solo se collega
due variabili entrambe con valore v, cioè:
f
f
v
v
&&
&&
&&
&&
f
v
f
v
=
=
=
=
f
f
f
v
OR (||) produce una variabile con valore v se collega due variabili
di cui una almeno abbia valore v, cioè:
f
f
v
v
||
||
||
||
f
v
f
v
=
=
=
=
f
v
v
v
NOT (!) produce una variabile con valore v se anteposto a una
variabile con valore f, e una con valore f se anteposto a una v, cioè:
!v = f
!f = v
In particolare,
•AND e OR collegano tra loro due variabili e sono detti perciò operatori
binari o diadici;
•NOT opera su una sola variabile ed è detto perciò operatore unario o
monadico.
Tabelle di verità
Nell’applicare l’algebra di Boole ai circuiti elettronici si sostituisce
spesso il valore v con 1 e il valore f con 0. Perciò i tre
operatori booleani visti in precedenza possono essere descritti
anche con le seguenti tabelle di verità:
In esse le righe corrispondono a tutte le possibili combinazioni dei
valori di verità delle variabili booleane, e le colonne corrispondono
alle variabili booleane e al valore dell’espressione risultante.
In effetti, esiste una stretta somiglianza tra le tabelle di verità e i
diagrammi di Venn impiegati nelle operazioni tra insiemi.
Per esempio, la figura seguente è un diagramma di Venn che
mostra due insiemi, S e T, ognuno rappresentato da un’ellisse.
1
2
3
S
4
T
I due insiemi potrebbero rappresentare, rispettivamente:
• S l’insieme delle persone di questa aula con i capelli castani
• T l’insieme delle persone di questa aula con gli occhi azzurri
Come si vede, le due ellissi dividono il piano in 4 regioni, numerate
da 1 a 4:
1
2
3
S
4
T
1. la regione 1 rappresenta gli elementi che non appartengono né a S
né a T, cioè le persone che non hanno né i capelli castani né gli
occhi azzurri
2. la regione 2 rappresenta la differenza S-T, cioè le persone che
hanno i capelli castani e non gli occhi azzurri
3. la regione 3 rappresenta l’intersezione () di S e T, cioè le
persone con capelli castani e occhi azzurri
4. la regione 4 rappresenta la differenza T-S, cioè le persone che
hanno gli occhi azzurri e non i capelli castani
5. le regioni 2, 3 e 4 rappresentano l’unione () di S e T, cioè le
persone con capelli castani o con occhi azzurri.
Perciò l’operazione di congiunzione (AND) sui valori di verità
corrisponde alla intersezione () tra insiemi, la disgiunzione (OR)
corrisponde alla unione e la negazione (NOT) alla
complementazione (¯).
Gli operatori AND, OR, NOT godono di due importanti proprietà, note
come teoremi di De Morgan:
che si possono dimostrare per esaustione, ossia scrivendo le tavole
della verità dei due termini e osservando che sono uguali per tutte le
possibili combinazioni dei valori assunti dalle variabili x, y.
Per esempio, per la prima si avrebbe:
Operatore OR esclusivo XOR (^)
L’operatore di disgiunzione OR necessita di alcuni chiarimenti, dato che
la lingua italiana usa il connettivo “o” con due significati diversi.
Consideriamo come esempio le seguenti frasi:
a) “l’insalata si condisce con olio o con aceto”
b) “verrò con il bus o con il tram”
nel caso a) il fatto di condire l’insalata con olio non esclude la possibilità
di condirla con aceto, e la “o” ha un valore inclusivo;
nel caso b) una modalità di spostamento esclude l’altra, e la “o” ha
valore esclusivo.
Per distinguere il caso a) dal caso b) è allora opportuno considerare,
accanto all’operatore OR visto in precedenza - che d’ora in poi
chiameremo, più propriamente, OR inclusivo - un operatore detto OR
esclusivo o XOR, di simbolo ^, che produce una proposizione vera se
una e soltanto una delle proposizioni che collega risulta vera.
Dato che produce il risultato 1 quando collega due variabili con
valori di verità diversi, XOR è detto anche operatore di
anticoincidenza.
La tavola di verità di XOR è pertanto la seguente:
Osservazione. Se confrontiamo la precedente tavola di verità
dell’operatore XOR con quella dell’espressione
_
_
x·y + x·y
che si ricava con la seguente tabella:
vediamo che esse sono identiche. Vale pertanto l’identità:
che ci dice che:
XOR può essere sostituito connettendo
in modo opportuno gli operatori AND, OR, NOT.
Pertanto XOR è un operatore composto.
Porte logiche
Come accennato, gran parte dell’importanza dell’algebra di Boole
deriva dal fatto che essa trova applicazione nella teoria dei circuiti
elettrici, in quanto è possibile realizzare dei dispositivi fisici
abbastanza semplici che funzionano secondo le sue regole.
Tali dispositivi, che si chiamano porte logiche o gate, si potrebbero
realizzare in linea di principio con dei semplici interruttori comandati
da relé: ogni interruttore si trova normalmente nello stato di aperto
(in cui cioè non fa passare corrente), e viene chiuso fornendo una
tensione opportuna (di soglia) al proprio relè.
L’interruttore è inserito in un circuito comprendente un generatore
che eroga la stessa tensione; questa corrisponde alla variabile
booleana 1 (o vero), mentre una tensione inferiore corrisponde
alla variabile 0 (o falso).
Se colleghiamo due di questi interruttori in serie con il generatore
otteniamo un circuito equivalente all’operatore AND.
Infatti questo circuito fornisce in uscita la tensione
1 se e solo se entrambe le tensioni applicate ai
due relè agli ingressi hanno valore 1 (e quindi
fanno chiudere i corrispondenti interruttori).
In alternativa, si possono collegare due interruttori
in parallelo con un generatore, ottenendosi
l’equivalente dell’operatore OR. Infatti adesso
sarà presente la tensione 1 in uscita se
almeno una delle due tensioni in ingresso
assume il valore 1.
Se invece si realizza un interruttore che sia chiuso quando non si
fornisce la tensione di soglia al suo relè, e aperto quando si fornisce
tale tensione, esso costituisce l’equivalente dell’operatore NOT.
Anche l’operatore XOR può essere realizzato con un semplice circuito,
collegando due interruttori a due vie (o deviatori) a un generatore,
come indicato in figura.
Si vede infatti che se gli stati dei due deviatori sono diversi (come in
figura, dove quello di sinistra vale 0 e quello di destra 1) ai capi
del circuito si verifica una tensione, in caso contrario no.
In maniera analoga si potrebbero realizzare con interruttori dei circuiti
equivalenti agli operatori NAND e NOR che vedremo più avanti.
Di fatto, gli attuali computer utilizzano porte logiche costituite da
transistori a effetto di campo a metallo-ossido semiconduttore (in
inglese: Metal-Oxide Semiconductor Field Effect Transistor, o
MOSFET).
Un transistore MOSFET può lavorare in tre modi: cut-off (funziona
come un interruttore aperto), zona triodo (funziona come un
resistore) e saturazione (funziona come un amplificatore).
Le porte sono realizzate in circuiti integrati, costruiti secondo una
delle tecnologie pMOS, nMOS o cMOS.
La logica pMOS realizza circuiti nei quali la corrente è trasportata da
“buche” o “vacanze di elettroni”, che si comportano come cariche
elettriche positive. E’ la più economica, ma anche la più lenta delle
tre.
La logica nMOS realizza circuiti nei quali la corrente è trasportata da
elettroni. Sebbene sia semplice da progettare e realizzare, essa
presenta alcuni seri svantaggi:
• una corrente continua fluisce attraverso un circuito logico nMOS
anche quando esso è inattivo, il che dà luogo a un consumo di
energia statico;
• un circuito nMOS è lento nel commutare tra gli stati alto e basso,
ed è suscettibile a rumore elettrico.
Per queste ragioni, durante gli anni ’80 la logica nMOS è stata
sostituita dalla logica cMOS per realizzare circuiti digitali caratterizzati
da bassa potenza e alta velocià (quali i micropocessori).
La logica cMOS utilizza come “mattoni” transistori MOSFET di tipo sia
n sia p, complementando ogni nMOSFET con un pMOSFET e
collegando lo stesso ingresso a entrambi.
In tal modo, quando un transistore conduce l’altro non conduce
(idealmente), e quindi la corrente può scorrere solamente quando gli
ingressi cambiano.
Per semplicità, in alcuni degli esempi che seguono, utilizzeremo
comunque circuiti in logica nMOS e pMOS.
Produzione dei MOSFET. Accenniamo brevemente alla modalità
di produzione dei circuiti MOSFET, sviluppata alla fine del 1958
dal fisico svizzero Jean A. Hoerni.
Sopra un disco sottilissimo di silicio levigato a specchio si fa
crescere un film di ossido di silicio.
L’ossido costituisce una pellicola isolante che protegge la superficie
del cristallo da qualsiasi contaminazione chimica, e in particolare
impedisce alle sostanze successivamente immesse di penetrare
nelle regioni del silicio che esso ricopre.
All’ossido si sovrappone uno strato di fotoresist, un materiale
fotosensibile che esposto a luce ultravioletta diventa inattaccabile
dai reagenti chimici utilizzati per rimuovere l’ossido.
Quindi si espone il fotoresist a luce ultravioletta, sovrapponendogli
una maschera che contiene il disegno del primo strato del circuito. Il
processo è analogo alla stampa di una fotografia da un negativo.
A questo punto si sottopone il disco a tre bagni chimici successivi: il
primo scioglie la parte di fotoresist non esposta alla luce;
il secondo attacca l'ossido nelle zone non più protette dal fotoresist
e il terzo rimuove il fotoresist residuo, lasciando a nudo l’ossido e il
silicio.
Per realizzare un circuito integrato planare il processo si ripete più volte,
sovrapponendo ogni volta alle finestre appena realizzate un nuovo
strato di ossido.
A questo punto si creano i transistori con un procedimento detto
“drogaggio”, facendo penetrare nelle zone di silicio non coperte
dall’ossido quantità infinitesime di elementi opportuni (in genere boro,
fosforo o arsenico) detti “droganti”, e si rimuove l’ossido che ricopre la
zona di separazione.
Nella zona scoperta si fa ricrescere uno strato di ossido più sottile, quindi
si deposita su tutta la lastrina uno strato protettivo, nel quale si incidono
due piccole finestre in corrispondenza delle regioni drogate.
Infine si deposita uno strato di metallo, solitamente alluminio, che viene
inciso per ricavare l’elettrodo centrale del gate.
Come si vede, il prodotto finale è una piastrina in cui tutte le connessioni
elettriche si trovano su una sola superficie del dispositivo, che perciò
è detto planare, mentre la struttura interna è stratificata come quella
di un sandwich.
Circuiti logici
Le funzioni dell’operatore AND possono essere svolte dal seguente
circuito logico:
Il suo simbolo è:
Le funzioni dell’operatore OR possono essere svolte dal seguente
circuito logico:
Il suo simbolo è:
Le funzioni dell’operatore NOT possono essere svolte dal seguente
circuito logico, detto anche invertitore:
Il suo simbolo è:
Le funzioni dell'operatore XOR possono essere svolte dal seguente
circuito logico in tecnologia nMOS:
Il suo simbolo è:
Sommatore binario
Se ricordiamo la tabella relativa alla somma di due bit, già vista
vediamo che la colonna del Riporto è l'AND dei due addendi,
quella del Risultato è il loro XOR.
Quindi, per sommare tra loro due bit possiamo usare questi due
circuiti logici, ottenendo il seguente circuito, detto semisommatore):
Per costruire un circuito sommatore completo, che realizzi la tavola di
verità con tre ingressi e due uscite già vista in precedenza
eseguiamo due operazioni preliminari:
1. sommiamo y e Ripprec, e consideriamo la sola colonna Risultato
2. eseguiamo l’XOR tra la colonna appena trovata e x: otteniamo
proprio la colonna Risultato.
Inoltre, il Ripatt vale 1 se almeno due degli ingressi valgono 1. Ciò
suggerisce che possiamo usare due semisommatori:
• il primo somma x e y e produce una somma parziale;
• il secondo somma a questa somma parziale Ripprec per produrre
il Risultato finale.
Se uno o l’altro dei due semisommatori produce un riporto, vi sarà
un riporto in uscita. Così Ripatt sarà una funzione OR delle
uscite Riporto del semisommatore.
Il circuito sommatore completo risultante è indicato in figura.
Dato che il circuito precedente è piuttosto complicato per essere
usato in diagrammi logici di grandi dimensioni, il sommatore binario
viene rappresentato con un apposito simbolo:
Esso è in grado di sommare due bit, oltre a un eventuale riporto
dall’ordine di grandezza immediatamente inferiore, e inviare un
riporto all’ordine di grandezza immediatamente superiore.
Per sommare due numeri costituiti da più bit, si deve utilizzare un
sommatore completo per ogni coppia di bit da sommare.
Così, per sommare due numeri da 4 bit ciascuno, e produrre una
somma da 4 bit (con un eventuale riporto), servono 4 sommatori
completi, con le linee di riporto collegate in cascata, come mostra la
figura.
Operatore NOR
Si può poi definire l’operatore NOT OR, o NOR, come negazione
dell’OR, cioè
x NOR y = NOT (x OR y)
In base a questa definizione, NOR ha la seguente tavola di verità:
Esso quindi produce una proposizione vera se e solo se collega due
proposizioni entrambe false.
Come esempio si può considerare la proposizione:
“si sta bene se non si ha fame o sete”
nella quale si accetta solamente il caso che le due proposizioni
componenti siano entrambe false.
Anche NOR è un operatore composto, nel senso che può essere
sostituito da operatori semplici. Infatti dalla sua definizione si ha:
_____
x NOR y = x + y
mentre, per la seconda legge di De Morgan,
_____
_
_
x + y = x · y
Operatore NAND
Si può poi definire l’operatore di incompatibilità NOT AND, o NAND,
come negazione dell’AND, cioè
x NAND y = NOT (x AND y)
In base alla sua definizione, NAND ha la seguente tavola di verità:
Esso quindi:
• produce una proposizione falsa se e solo se collega due proposizioni
entrambe vere, oppure:
• produce una proposizione vera se collega due proposizioni di cui una
almeno sia falsa.
Come esempio si può considerare la frase:
“a tavola la persona educata non mangia e parla”
nella quale si esclude solo il caso che le due proposizioni componenti
siano entrambe vere (la persona educata non mangia mentre
parla), ma non quelli che siano entrambe o una sola false (la
persona educata può non mangiare e/o non parlare).
Le funzioni dell’operatore NAND possono essere svolte dal seguente
circuito in tecnologia cMOS:
o, in forma
equivalente,
Il suo simbolo è:
La figura a lato mostra il tracciato fisico
del precedente circuito NAND in
tecnologia cMOS.
Anche NAND è un operatore composto, ossia può essere sostituito
da operatori semplici. Infatti dalla sua definizione si ha:
mentre, dalla prima legge di De Morgan,
Quindi si può sostituire un NAND con un OR e due NOT.
Circuiti universali. I circuiti NAND e NOR godono della seguente,
interessante proprietà:
Qualsiasi circuito logico si può realizzare con una
opportuna combinazione di soli circuiti NAND oppure
di soli circuiti NOR, che pertanto sono detti circuiti universali.
Ci limitiamo a mostrare ciò per il circuito NAND che, essendo in
pratica il più economico da produrre, risulta perciò particolarmente
interessante.
x AND y
equivale a
equivale a
quindi
x OR y
equivale a
quindi
(x NAND x) NAND (q NAND y)
equivale a
NOT x
quindi
(x NAND y) NAND (x NAND y)
equivale a
equivale a
x NAND x
Il circuito NOR si può ottenere con la seguente disposizione di
quattro circuiti NAND:
Il circuito XOR si può ottenere con la seguente disposizione di
quattro circuiti NAND:
Operatori logici orientati al bit (bitwise)
Le operazioni booleane viste in precedenza si possono eseguire, oltre
che su variabili logiche, anche sui singoli bit che costituiscono il
valore di una costante o di una variabile.
Per manipolare i singoli bit il C usa gli operatori indicati in tabella.
AND bit a bit (&). Esegue un confronto bit a bit tra due operandi. Il
risultato di ogni confronto tra due bit è 1 se e solo se i bit confrontati
sono entrambi 1, altrimenti è 0.
Per esempio, supponiamo di eseguire l’AND bit a bit tra
Se convertiamo i numeri precedenti nei loro equivalenti decimali, la
precedente operazione si può riscrivere, in modo apparentemente
bizzarro, come
179 & 213 = 145
L’operazione AND bit a bit è molto utile per mascherare o eliminare dei
bit selezionati da un operando.
Ciò è una conseguenza diretta del fatto che l’AND di qualsiasi bit con
“0” produce come risultato il bit “0”, mentre l’AND di qualsiasi bit con
“1” lascia il bit inalterato.
Perciò, se eseguiamo l’AND bit a bit di una configurazione generica di
bit - che indichiamo con xxxxxxxx - con un “filtro” costituito dal
numero binario 00001111, otteniamo la situazione seguente:
Quindi si può dire che, a seguito dell’operazione AND bit a bit,
• gli 0 mascherano, o bloccano, i bit di un operando, mentre
• gli 1 lasciano passare i bit di un operando.
OR inclusivo bit a bit (|). Esegue un confronto bit a bit tra due
operandi, producendo 1 se almeno uno di essi vale 1, altrimenti
producendo 0.
È molto utile per forzare dei bit selezionati ad assumere il valore 1 o
per lasciarne altri invariati.
Ciò è conseguenza del fatto che:
• l’OR inclusivo di qualsiasi bit con 1 forza come risultato il bit 1,
mentre
• l’OR inclusivo di qualsiasi bit con 0 lascia invariato il bit di
partenza.
Come prima, supponiamo di eseguire l’OR inclusivo bit a bit di una
generica configurazione di bit - che indichiamo con xxxxxxxx con il “filtro” 11110000.
La situazione risultante sarà la seguente:
Osserviamo che:
l’OR inclusivo con 0 ha lo stesso effetto dell’AND con 1.
OR esclusivo bit a bit (^). Esegue un confronto bit a bit tra due
operandi, producendo 1 se uno e uno solo di essi vale 1, altrimenti
producendo 0.
È molto utile per creare l’opposto, o complemento, di tutti i singoli bit
di una variabile, in conseguenza del fatto che:
- l’OR esclusivo di qualsiasi bit con 1 forza un risultato che è
l’opposto o il complemento del bit di partenza, mentre
- l’OR esclusivo di qualsiasi bit con 0 lascia inalterato il bit di
partenza.
Perciò l’OR esclusivo della generica configurazione di bit xxxxxxxx
con il “filtro” 00001111 produce la situazione seguente:
Spostamento a sinistra (<<). L’operatore di spostamento a sinistra
<< fa sì che i bit di un operando siano spostati a sinistra di un
numero indicato di posizioni.
Ad esempio, l’istruzione:
operando = operando << 4
sposta a sinistra di quattro posizioni i bit di operando, riempiendo le
posizioni lasciate vuote con “0”.
Se, ad esempio, operando fosse il numero 11001111, si avrebbe:
Spostamento a destra (>>). L’operatore di spostamento a destra >>
fa spostare a destra di un numero indicato di posizioni i bit di un
operando.
Ad esempio, l’istruzione
operando = operando >> 3
sposta a destra di tre posizioni i bit di operando.
Se operando vale sempre 11001111 come prima, la situazione è
indicata in figura dove, come si vede, a causa dello spostamento i tre
bit più a destra di operando vengono “persi”.