Università degli studi di Cagliari
Disegno degli Esperimenti per l’industria (2)
Daniele Romano
Piani fattoriali a 2 livelli: disegno e analisi
2
ESEMPIO: Piano 2 con tre replicazioni (r=3)
Studio di un processo chimico
Fattori: concentrazione del reagente (A, %), quantità del catalizzatore (B, lb)
Risposta: resa della reazione (Y, %)
Fattori
Livelli
A (%)
─
15
+
25
B (lb)
1
2
Codifica delle variabili per ottenere i livelli standard (-1,+1)
X X
X (
)
2
X cod 
X X
(
)
2
X X
: media dei livelli
2
X X
: semiampiezza dell’intervallo
2
A  20
5
B  1.5

0 .5
Acod 
Bcod
Stima dell’ effetto di un fattore (effetto principale)
(Fattoriale 22)
Variazione nella risposta prodotta dal cambiamento nel livello del fattore
(dal livello basso al livello alto)
2 interpretazioni equivalenti
Media delle variazioni ai
due livelli dell’altro fattore

YA B
A


 
 Y A B   Y A B   Y A B 
Variazione della media ai
due livelli del fattore
A  Y A  Y A 


2
YA B  : media (sulle replicazioni) della risposta
per la combinazione di livelli A•B•
Y A B   Y A B 
2

Y A B   Y A B 
2
YA : media (sulle replicazioni e sui livelli dell’
altro fattore) della risposta al livello A•
In termini di totali di trattamento si ha:
A
a  (1)  ab  b
2r
A
a  ab (1)  b a  ab  b  (1)


2r
2r
2r
Interpretazione grafica degli effetti
A
b
─
(1)
a  ab  b  (1)
2r
B
ab
b
b  ab  a  (1)
2r
+
ab
─
a
+
a
(1)
Diagramma degli effetti principali
Y
Y A
Effetto positivo
Y A
Y
─
Y
A
Y A
+
Effetto nullo
Y A
Y A
Effetto negativo
─
Y A
─
A
+
A
+
Definizione dell’ effetto di interazione tra due fattori
Differenza tra l’effetto del fattore A al livello alto di B e l’effetto di A al
livello basso di B (divisa per due).

YA B
AB 


 
 Y A B   Y A B   Y A B 

b
ab
─
2
+
ovvero, con i totali di trattamento
AB 
ab  b  a  (1)  (1)  ab  a  b
2r
2r
Il fattore di scala 1/2 è convenzionale ed ha lo scopo di rendere
comparabili gli effetti di interazione e gli effetti principali
(1)
a
Grafico delle interazioni
Y
YA B 
Interazione
nulla
Y
YA B 
B+
─
YA B 
YA B 
YA B 
─
B─
A
Interazione
positiva
+
YA B 
Y
A
YA B 
B
YA B 
─
B+
YA B 
B+
+
YA B 
─
B
YA B 
YA B 
─
A
+
Interazione
negativa
Effetti principali per un fattoriale 23
A  Y A  Y A 
Y A B C   Y A B  C   Y A B C   Y A B  C 

4

Y A B C   Y A B  C   Y A B C   Y A B  C 
4
ovvero, con i totali di trattamento
a  ab  ac  abc (1)  b  c  bc a  ab  ac  abc  (1)  b  c  bc
A


4r
4r
4r
A
B
bc
c
abc
─
bc
+
+
b
abc
c
ac
C
b
ab
bc
+
c
ac
─
abc
ac
b
ab
ab
─
(1)
a
(1)
a
(1)
a
Effetti di interazione di ordine superiore a 2
L’effetto di interazione tripla ABC è la differenza tra l’effetto di
interazione AB al livello alto di C e l’effetto AB al livello basso di C
(divisa per due).
Analogamente vengono generati tutti gli effetti di interazione di ordine superiore.
ABC 

 AB C
1  Y A B  C 

2 
  AB C 

2
 Y A B  C   Y A B  C   Y A B  C 

 
2
  YA B C



 

 Y A B  C   Y A B  C   Y A B  C  

2

bc
abc
ovvero, con i totali di trattamento
abc  bc  ac  c   ab  b  a  (1) 
ABC 
c
4r
4r
a  b  c  abc  (1)  ab  ac  bc

4r
ac
b
ab
+
=─
=
(1)
a
Generalizzando ad un fattoriale 2n
Effetto =
YA B  ...
1
2 n 1
1

r
 c.l. (2n medie del tipo Y A B  ... , con segno ±1)
r
Y
ij... k
k 1
ovvero, in termini di totali di trattamento
Effetto =
1
2 n 1  r
 c.l. (2n totali, con segno ±1)
Tali combinazioni lineari, sia di medie di risposte che di totali, si chiamano contrasti.
Scrittura del piano fattoriale nella forma standard
Fattoriale 22
Fattoriale 23
Prove
A
B
AB
Prove
A
B
1
─
─
+
1
─
─
─
+
+
2
+
─
─
2
+
─
─
─
─
+
+
3
─
+
+ +
─
3
─
─
─
+
─
+
4
+
+ +
+
+
+
─ ─ + +
+ ─ + ─
─ + + ─
+ + + +
─
─
─
─
─
+
+
─
─
─
+
+
─
4
5
6
7
8
C
─
AB
AC
+
BC
ABC
─
+
A parte il divisore 2n-1, i segni dei coefficienti delle combinazioni lineari delle
risposte medie che compongono gli effetti corrispondono alle colonne del
piano fattoriale nella forma standard.
Se non ci sono replicazioni, la matrice del modello associata al piano fattoriale
ha in più la prima colonna, composta da valori tutti unitari, corrispondente al
termine noto del modello. A questo è associato l’effetto medio.
Algebra dei piani fattoriali
• Ogni colonna della matrice del modello, tranne la prima, ha tanti segni meno
quanti segni più (bilanciamento)
• Le colonne sono tutte ortogonali tra di loro:
XiT.Xj = 0, i,j=1,2n, i ≠ j
• Ogni colonna può essere ottenuta per moltiplicazione, riga per riga, di altre due
• La prima colonna è, rispetto alla moltiplicazione riga per riga, elemento identità
• Si può adottare un’aritmetica modulo 2:
A2=I
A3=A2.A=I.A=A
Relazione tra effetti fattoriali e coefficienti del modello della risposta
Modello della risposta
Yijk  0  1 Ai   2 B j  12 ( AB)ij   ijk ,
ijkN(0,s2) e mutuamente indipendenti
Scriviamo l’effetto calcolato usando il modello:

YA B
A



 
 Y A B   Y A B   Y A B 


2
 

1
 [  0  1 1   2  (1)  12  (1)   A B    0  1  (1)   2  (1)  12 1   A B  
2
  0  1 1   2 1  12 1   A B    0  1  (1)   2 1  12  (1)   A B  ]

 

1
 [ 4 1   A  B    A  B    A  B    A  B  ]
2
da cui :
E ( A)  21

Analogamente :
E ( B)  2 2
E ( AB )  212
L’effetto di un fattore (valor medio dello stimatore dell’effetto)
corrisponde al doppio del corrispondente coefficiente nel modello della
risposta
Calcolo della varianza degli stimatori degli effetti
Ogni effetto è calcolato come combinazione lineare di 2n medie della risposta
nei trattamenti (contrasto).
Effetto =
YA B  ...
1
2 n 1
1

r
 c.l. (2n medie del tipo Y   , con segno ±1),
A B ...
1
Var 
r

r
Y
ij... k
k 1
2
2
 1 
ns
Var effetto    n 1   2

r
2 
4
 n s2 
2 r
4
 s2
N
 s2
Yij..k  

r
k 1

r

Gli effetti calcolati corrispondono alle stime ai
minimi quadrati dei coefficienti (moltiplicate per 2)
Y  Xˆ

ˆ  X T X
ˆ  R 2
n
Y  R(2

1
1 
1  1  1
1

1

1

1


X  1  1
1 1  ,


1
1
1
1


... ripetuto r volte


X TY
1
n
r )1
r  1:
1
1  1  1
1

1

1

1
,
X 
1  1
1 1


1
1
1
1


In generale:
quindi:
4
0
XTX  
0

0
X X 2 rI
T
Effetto i 
n
1
2 n 1 r
2n
0 0 0
4 0 0
,
0 4 0

0 0 4
X X 
T
,
 Xi Y 
T
1
2
2n r

1
2n r
X R
X X 
T
I
1
( 2 n r )2 n
4 1 0
0 0 


1
4
0 0 
0


1
0
0
4
0



1 
0
0
0
4


ˆ  1  X TY
,

2n
2n r
 X i T Y  2 ̂ i
Valutazione della significatività degli effetti
Gli stimatori degli effetti, costruiti a partire dal piano fattoriale a due livelli,
sono variabili casuali Normali con media pari al valore vero dell’effetto e
varianza (comune a tutti gli effetti) data da:
Var effetto  
4
2n  r
s2 
4 2
s
N
La varianza s2 si può stimare utilizzando le replicazioni in ciascuno dei trattamenti:
1
sˆ 2  si2 
r 1
2


Y

Y
 ij i ,
r
i  1,2,..., 2 n
(r -1 gradi di libertà)
j 1
La media delle 2n stime calcolate è la miglior stima di s2 ottenibile:
ŝ  s 
2
2
1
2
n
2n

i 1
si2
(2n.(r -1) gradi di libertà)
continua
La valutazione di significatività si può fare con un test della media dell’effetto
Sotto l’ipotesi nulla (H0) la variabile casuale
T
stimatore effetto
2s/ N
è distribuita come una t-Student con 2n.(r -1) gradi di libertà
Quindi si rifiuta l’ipotesi nulla al livello di significatività (1-a) se:
effetto calcolato  t1a / 2, 2n ( r 1)  2s/ N
pdf
a/2
a/2
m=0
effetto
Analisi del caso proposto
Calcolo degli effetti
Oltre ai metodi visti si può applicare il metodo di Yates
Trattamenti
A
B
Ymedio
1
2
Divisore
Effetti
(1)
a
b
ab
–
+
–
+
–
–
+
+
26.7
33.3
20.0
30.0
60
50
6.6
10
110
16.6
-10
3.4
4
2
2
2
27.5
8.3
-5.0
1.7
Nome
I
A
B
AB
Diagramma di Pareto degli effetti
+
A
–
B
AB
+
1.7
5.0
8.3
effetto sulla resa (%)
Diagrammi
degi effetti
principali
e delle
interazioni
Test di significatività
degli effetti
Si esegue un test della media per ogni effetto
Sotto l’ipotesi nulla H0 tutti gli effetti hanno la stessa distribuzione:
Normale con media nulla e varianza 4 s 2
a/2
N
stima della varianza del’errore
tramite le replicazioni
(con 2n.(r -1) gradi di libertà)
ŝ 2  s 2 
1
2n
pdf
2n

si2
a/2
m=0
i 1
Imponendo una probabilità a di rifiutare erroneamente l’ipotesi nulla,
si avrà per ogni effetto:
si decide per H0 se:
effetto calcolato  t1a / 2, 2n ( r 1)  2s/ N
si decide per H1 se:
effetto calcolato  t1a / 2, 2n ( r 1)  2s/ N
soglia di significat ività  t1a / 2, 2n ( r 1)  2s/ N
Quindi è sufficiente calcolare la soglia di significatività e confrontarla con tutti
gli effetti calcolati (ad eccezione dell’effetto medio).
effetto
replicazioni
Combinaz. di
trattamenti
(1)
a
b
ab
1
s  2
2
2
22

i 1
A
B
y1
y2
y3
si2
–
+
–
+
–
–
+
+
28
36
18
31
25
32
19
30
27
32
23
29
2.3
5.3
7.0
1.0
15.6 =
si2
15.6
4
2

 3.9  sˆ eff
 2  3.9  1.3
4
2 3
22
 si2
i 1
per a  5% t0.975,8  2.306
soglia di significat ività  t0.975,8  sˆ eff  2.306  1.3  2.63
Graficamente è utile
rappresentare la soglia
di significatività sul
diagramma di Pareto
–
B
AB
l’ interazione
AB non è
significatività
(al livello 95%)
+
A
+
1.7 2.63 5.0
8.3
effetto sulla resa (%)
Scrittura del modello di previsione
Yˆ  27.5  4.15 A  2.5B
Definiamo i residui:
ei  Y  Yˆ
Calcolo dei residui:
e
Y, replicazioni
Combinaz. di
trattamenti
(1)
a
b
ab
A
B
I
II
III
Yˆ
–
+
–
+
–
–
+
+
28
36
18
31
25
32
19
30
27
32
23
29
25.85
34.15
20.85
29.15
N
I residui soddisfano la condizione:
I
II
III
2.15
1.85
-2.85
1.85
-0.85
-2.15
-1.85
0.85
1.15
-2.15
2.15
-0.15
 ei  0
i 1
Verifica di
normalità
Se il modello stimato della risposta è corretto, allora:
ei  ˆi
Come ottenere un grafico di probabilità normale su carta ordinaria
 Su un asse si rappresenta la variabile casuale di cui si dispone del
campione (xi , i=1,n), sull’altro la variabile casuale normale standardizzata Z
 Si ordina in senso crescente il campione osservato
 Si suddivide l’intervallo [0,1] in n sotto-intervalli uguali e si calcola la
coordinata del punto medio di ogni sotto-intervallo
( j  0.5)
,
n
j  1,2,..., n
0
1/12
3/12
5/12
7/12
9/12
11/12
 Ad ogni unità del campione ordinato (x(j) , j=1,n) si associa il valore della
variabile casuale Normale standardizzata zj per cui:
 j  0.5 
z j   1 
,
 n 
j  1,2,..., n
 Si rappresentano nel diagramma i punti di coordinate
x( j ) , z j ,
j  1,2,..., n
1
Verifica di
omoschedasticità
Residuals vs. Factors
Verifica di assenza di
legame tra media e
varianza della risposta
Verifica di
indipendenza
degli errori
Ottimizzazione
Yˆ  27.5  4.15 A  2.5B
Per massimizzare la resa si sceglie:
il fattore A al livello alto,
il fattore B al livello basso
Il modello di previsione nelle variabili originarie è:
A  20
5
B  1.5

0 .5
Acod 
Bcod
A  20
B  1.5
ˆ
Y  27.5  4.15 
 2.5 
5
0.5
Yˆ  18.4  0.83 A  5.0 B
Problema: in assenza di replicazioni, come valutare quali effetti sono importanti?
Un metodo semplice ed elegante (Daniel, 1959) prevede di diagrammare gli
effetti (ad eccezione dell’effetto medio) in un grafico di probabilità normale. In
questo modo, gli effetti trascurabili (con valor medio circa nullo) si disporranno
approssimativamente lungo una linea retta nella zona centrale del diagramma
mentre quelli importanti se ne discosteranno in modo evidente. La decisione si
fonda su una valutazione esclusivamente visiva.
Attenzione: il metodo consente una stima indiretta della varianza dell’errore
sperimentale.
Esperimento fattoriale con 7 fattori a due livelli, 16 prove
Fattori
A : temperatura delo stampo
B : velocità di inezione
C : tempo di mantenimento in pressione
D : tempo ciclo
E : composizione del fondente
F : dimensione della bocca di mandata
G : pressione di chiusura
Risposta
ritiro volumetrico del materiale (%)
Relazione di definizione della sovrapposizione:
I=ABCE=BCDF=ACDG
Piano frazionario 27-3
E=ABC F=BCD G=ACD
combinaz.
trattamenti
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
d
ad
bd
abd
cd
acd
bcd
abcd
A
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
–
+
B
–
–
+
+
–
–
+
+
–
–
+
+
–
–
+
+
C
–
–
–
–
+
+
+
+
–
–
–
–
+
+
+
+
D
–
–
–
–
–
–
–
–
+
+
+
+
+
+
+
+
E
–
+
+
–
+
–
–
+
–
+
+
–
+
–
–
+
F
–
–
+
+
+
+
–
–
+
+
–
–
–
–
+
+
G
–
+
–
+
+
–
+
–
+
–
+
–
–
+
–
+
Y (%x10)
6
10
32
60
4
15
26
60
8
12
34
60
16
5
37
52
Struttura di confondimento del piano
(interazioni fino all’ordine 3)
1° gruppo I=ABCE=BCDF=ACDG=ADEF=BDEG=ABFG=CEFG
altri gruppi
2 A = BCE = BFG = CDG = DEF
3 B = ACE = AFG = CDF = DEG
4 C = ABE = ADG = BDF = EFG
5 D = ACG = AEF = BCF = BEG
6 E = ABC = ADF = BDG = CFG
7 F = ABG = ADE = BCD = CEG
8 G = ABF = ACD = BDE = CEF
9 AB = CE = FG
10 AC = BE = DG
11 AD = CG = EF
12 AE = BC = DF
13 AF = BG = DE
14 AG = BF = CD
15 BD = CF = EG
16 ABD = ACF = AEG = BCG = BEF = CDE = DFG
Il piano è di risoluzione R=4
2 
73
IV
Calcolo effetti con metodo di Yates
Y
1
2
3
4
divisore effetti nome
6
16
108
213
437
16
27,3125
I
10
92
105
224
111
8
13,875
A
32
19
114
77
285
8
35,625
B
60
86
110
34
95
8
11,875
AB
4
20
32
143
-7
8
-0,875
C
15
94
45
142
-13
8
-1,625
AC
26
21
30
47
-15
8
-1,875
BC
60
89
4
48
3
8
0,375
ABC
8
4
76
-3
11
8
1,375
D
12
28
67
-4
-43
8
-5,375
AD
34
11
74
13
-1
8
-0,125
BD
60
34
68
-26
1
8
0,125
16
4
24
-9
-1
8
-0,125
CD
5
26
23
-6
-39
8
-4,875
ACD
37
-11
22
-1
3
8
0,375
BCD
52
15
26
4
5
8
0,625
ABCD
ABD
Valutazione degli effetti importanti
effetti importanti
Scrittura del modello di previsione
Yˆ  27.31  17.81B  6.94 A  5.94 AB
Minimizzazione del ritiro: B al livello basso, A al livello basso
Grafico degli effetti principali significativi
Grafico dell’interazione significativa
Normalità dei residui
Analisi della variabiità casuale in funzione dei fattori
Verifica dell’indipendenza degli errori
Verifica di assenza di legame tra
media e varianza della risposta