GEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICA
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge
Con questo learning object si vuole studiare e definire la legge geometricodescrittiva relativa alla condizione di parallelismo tra elementi geometrici aventi le
stesse caratteristiche .
Si indaga quindi il rapporto relativo al
parallelismo tra piani
L’indagine affronta sia la procedura deduttiva sia la procedura impositiva.
Al termine dell’analisi si definisce un quadro sintetico di riferimento che comprende
sia gli aspetti teorici che quelli grafici che quelli concettuali.
La presentazione si conclude con alcune esemplificazioni grafiche corredate della
relativa spiegazione, con lo sviluppo grafico di alcuni esercizi e la proposta di temi
scritti da volgere e sviluppare in forma di elaborati grafici.
La presentazione si chiude con la creazione di una griglia di valutazione per gli
elaborati grafici che prende in esame i tre momenti del processo rappresentativo:
conoscenza, competenza e capacità.
Per approfondimenti consultare il sito
http://www.webalice.it/eliofragassi
GEOMETRIA DESCRITTIVA DINAMICA
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge
PARALLELISMO TRA
ELEMENTI UGUALI
PARALLELISMO TRA PIANI
Il disegno è stato eseguito nell’a. s. 1997/1998
Da Deiana Maria Paola della classe 3°B
dell’ “Istituto d’arte Mazara” di Sulmona
per la materia :
“Disegno geometrico e architettonico”
Insegnante: Prof. Elio Fragassi
La revisione delle formalizzazioni è stata curata dalla
dott.ssa Gabriella Mostacci
Il materiale può essere riprodotto citando la fonte
Autore
Prof. Elio Fragassi
PARALLELISMO TRA PIANI
INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA (1)
Cominciamo l’analisi iniziando con
l’ “INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA ”
In questa circostanza, considerando
l’intersezione tra le rispettive tracce dei
piani, si origina un punto improprio.
Ricordando, pertanto, le impostazioni
iniziali si può esprimere, come di seguito,
la formalizzazione esplicativa
Ricordando gli specifici
elementi geometricorappresentativi, così come
caratterizzati nella tabella A
della presentazione introduttiva
n°1, resta stabilito che per
definire il parallelismo tra due
piani necessita definire il
caratteristico rapporto
descrittivo,
concreto, definito,
continuo e costante
tra le "tracce" dei piani che,
dal punto di vista geometrico,
si rappresentano a modo di
"rette", come nel disegno a
fianco di figura 04
PARALLELISMO TRA PIANI
INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA (2)
t1 // t1
T1r ; r’
r
t2 // t2

 // 
T2r ; r”
Mentre la definizione verbale può essere espressa come nel modo seguente
Se le omonime tracce di due piani distinti sono parallele, allora
e solo allora, possiamo asserire che tali sono i piani reali
Sempre con riferimento alla fig. 04, sviluppando, graficamente, il
parallelismo tra le tracce dei piani si ha quanto di seguito.
Le tracce dei due piani  e  intersecandosi generano le tracce
improprie della retta r (T1r ; T2r)
PARALLELISMO TRA PIANI
INDAGINE ESPLICATIVA O DEDUTTIVA (3)
Poiché le due tracce
T1r e T2r
della retta r sono improprie
la retta r, intersezione tra  e , dovendo passare per esse sarà una retta
anch'essa impropria dimostrando e verificando la soluzione descrittiva che esprime
il parallelismo tra due piani nel modo seguente:
    r
//
Stante, quindi, questo rapporto definito, continuo e costante tra gli stessi
elementi rappresentativi di  e di , si può asserire che i due piani, nel
reale, sono paralleli enunciando la definizione geometrico-descrittiva che
ampliata con il concetto di retta impropria recita come di seguito:
Se le intersezioni delle omonime tracce di due piani
distinti determinano le tracce di una retta impropria
allora, e solo allora, possiamo asserire che i due piani
reali sono paralleli.
PARALLELISMO TRA PIANI
INDAGINE APPLICATIVA O IMPOSITIVA (1)
Se la condizione geometrica invece di essere ricercata, deve essere
imposta o applicata
a due o più piani, allora è necessario operare,
graficamente, in modo tale che si verifichino le relazioni di cui si è discusso
al punto precedente.
Di conseguenza, volendo costruire due piani paralleli è necessario imporre,
durante l'elaborazione grafica, che le omonime tracce dei piani siano tali;
pertanto avremmo la seguente definizione.
Perché due piani siano paralleli è necessario che
tali siano le rispettive omonime tracce
Ampliando l'operazione ed applicando il concetto di punto improprio è
necessario fare sì che l'intersezione delle omonime tracce dei piani
determinino tracce improprie di una
retta, anch'essa, impropria
PARALLELISMO TRA PIANI
INDAGINE APPLICATIVA O IMPOSITIVA (2)
Conseguentemente si può definire la seguente sintetica formalizzazione
insiemistico-descrittiva impositiva ed applicativa
t1  t1
//
T1r  r’
  
r
t2  t2
T2r  r’’
Da questa ne discende la definizione insiemistico-descrittiva che si
esprime come di seguito.
Perché due piani siano paralleli è necessario che la
relativa intersezione generi una retta impropria
che può essere sintetizzata dalla seguente formalizzazione
 //       r
PARALLELISMO TRA PIANI
QUADRO SINTETICO DELLA CONDIZIONE DI PARALLELISMO TRA DUE PIANI
Piano
Piano
t1
1a
traccia
Definizione fisica
dell'elemento
rapprsentativo
Definizione
geometrica
elemento
rapprsentativo
Nomenclatura
dell'elemento
rappresentativo
Didascalia elemento
rappresentativo
Didascalia elemento
Elemento geometrico
CARATTERISTICHE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICI
PARALLELISMO TRA DUE PIANI
Definizione grafica degli elementi
geometrici
Relazione insiemistica sintetica
delle leggi del parallelismo tra
piani
Formalizzazione esplicativa
Retta
Reale
t1//t1

//
t2
2a
traccia
t1
1a
traccia
Retta
Reale
t2
t2//t2
Formalizzazione applicativa
Retta
Reale

2a
traccia
r
t1//t1
r
//
Retta
Reale
r'
t2//t2
r"
PARALLELISMO TRA PIANI
ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA ESPLICATIVA O DEDUTTIVA(1)
Seguono alcune esemplificazioni
grafiche relative all’aspetto
esplicativo del parallelismo tra
piani diversi per tipologia e
variamente collocati nello spazio
dei diedri
Data la
seguente
formalizzazione
esplicativa
risolvere i
quesiti seguenti
t1t1  T1r
r


t2t2  T2r
Risultato
Dato
T2r
T1r
T1r

T2r
Se estendiamo le prime tracce dei piani  e  si determina la posizione impropria

della prima traccia T1r in quella direzione così come si determina la seconda

Spiegazione traccia impropria T2r estendendo le seconde tracce dei due piani.
Poiché le intersezioni delle tracce dei piani determinano tracce improprie della
retta intersezione si deduce che i piani sono paralleli.
PARALLELISMO TRA PIANI
ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA ESPLICATIVA O DEDUTTIVA(2)
Dato
Risultato
T1r
r’
r”
T2r
Estendendo la t1 fino ad intersecare la t1 si ottiene la traccia reale
della retta d’intersezione T1r. Allo stesso modo, estendendo t2 fino
ad intersecare la t2 si ottiene la traccia reale T2r della retta
Spiegazione d’intersezione. Avendo individuato le tracce reali della retta r,
possiamo graficizzare a completamento della rappresentazione della
retta reale d’intersezione anche le due proiezioni r’ e r”.
Poiché le intersezioni delle tracce dei piani generano tracce di una
retta reale, si deduce che i due piani non sono paralleli.
PARALLELISMO TRA PIANI
ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA ESPLICATIVA O DEDUTTIVA(3)
Dato
Risultato
T2r
T1r
T2r
Spiegazione
T1r
La particolare posizione dei due piani proiettanti non deve ingannarci. Infatti
le tracce dei piani oltre ad essere parallele sono allineate.
Pertanto estendendo le prime tracce dei piani  e  otteniamo due rette che,
oltre ad essere parallele sono anche coincidenti determinando, su questa

direzione, la posizione impropria della traccia T1r
. La medesima cosa si ottiene
estendendo le seconde tracce dei piani determinando, su questa direzione, la

posizione impropria della traccia T2r
.
Poiché le intersezioni delle tracce dei piani determinano tracce improprie
della retta intersezione si deduce che i piani sono paralleli.
PARALLELISMO TRA PIANI
ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA ESPLICATIVA O DEDUTTIVA(4)
Dato
Risultato
T1r
r’
T2r
r”
Anche in questo caso è bene non farsi ingannare dal parallelismo grafico ma è
necessario controllare l’aspetto grafico con la formalizzazione teorica. Il piano
 proiettante in 2° proiezione nel II D interseca con la t1 la t1 definendo la
traccia reale T1r . Estendendo, poi, la t2 e la t2 del piano  proiettante in
Spiegazione
prima proiezione nel II D si determina la posizione della traccia reale T2r.
Completando la rappresentazione della retta r con le proiezioni r’ ed r” si
completa la rappresentazione della retta r ottenuta come intersezione dei due
piani. Poiché le intersezioni delle tracce dei piani generano tracce di una retta
reale, si deduce che i due piani non sono paralleli.
PARALLELISMO TRA PIANI
ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA APPLICATIVA O IMPOSITIVA(1)
Seguono alcune esemplificazioni
grafiche relative all’aspetto
applicativo del parallelismo tra
piani diversi per tipologia e
variamente collocati nello spazio
dei diedri
Data la
seguente
formalizzazione
applicativa
risolvere i
quesiti a lato
Dato
T
1r
t1t1  T1r
//
t2t2  T2r
Risultato
T1r
t 1
T2r
T2r
t2
(t1; t2) rispettando la collocazione spaziale e
grafica del terzo diedro, si costruiscono le due tracce del piano (t1; t2) in
modo tale che le intersezioni di queste con le omonime del piano  determinino
 e T  della retta r d’intersezione tra  e .
le tracce improprie T1r
2r
Definite le tracce del piano
Spiegazione
t2
t1
PARALLELISMO TRA PIANI
ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA APPLICATIVA O IMPOSITIVA(2)
Dato
Risultato

T1x
t2 T2a
x’
T2b
a”  b”
a’
b’
t2
T
1b
Spiegazione
T
1a
x”
T2x
Si definiscono, anzitutto, gli elementi rappresentativi delle due rette a(A,B)
e b(B,C) per determinare le rispettive proiezioni e tracce.
Mediante le tracce di queste due rette si determina il piano (A,B,C) che si
caratterizza come un piano orizzontale perpendicolare a p2+. Conducendo, poi,
per il punto X(X’;X”) la retta (x//a) si determinano le tracce T
1x e T2x per le
quali condurre //.
Poiché la traccia T
1x è impropria e la traccia T2x è reale, il piano passante per
essa sarà un piano  orizzontale perpendicolare a p2-.
Pertanto il risultato sarà costituito da due piani orizzontali //.
PARALLELISMO TRA PIANI
ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA APPLICATIVA O IMPOSITIVA(3)
Dato
Risultato
t2
T2s
s”
T2r
r”
s’
r’
T1r
T1s
t1
Dopo aver costruito, a piacere, una retta r appartenente al piano
dato , applicando i concetti di appartenenza tra punto e retta e di
parallelismo tra rette, si determina la retta s contenente il punto A
Spiegazione ma anche parallela alla retta r appartenente al piano .
Completata la ricerca delle tracce della retta s(T1s; T2s) per queste
ultime si conduce un piano che sarà //.
Il piano  contenente il punto A , come il piano dato , sarà un piano
generico con le tracce allineate.
PARALLELISMO TRA PIANI
ESEMPLIFICAZIONI GRAFICHE IN FORMA APPLICATIVA O IMPOSITIVA(4)
Dato
t2
Risultato
t2
x”
T2x
x’
t1
Spiegazione
t1

T1x
Definito il piano (t1; t2) passante per le rette r ed s; applicando i concetti
di appartenenza tra punto e retta e di parallelismo tra rette, definiamo la
retta x(x’, x”) in modo tale che contenga il punto X (X’, X”) e sia parallela alle
rette assegnate r ed s.

Completata la ricerca delle tracce della retta x (T1x, T2x) per esse si
conducono la tracce del piano //.
 è il punto di una traccia impropria, dovendo associare al
Siccome T1x
concetto di punto improprio il concetto di parallelismo, è necessario cha la

traccia t1 sia parallela alla proiezione x’ che contiene la traccia T1x.
PARALLELISMO TRA PIANI
PROPOSTE DI TEMI GRAFICI SULLA CONDIZIONE DI PARALLELISMO TRA PIANI (1)
Esercizio
Risoluzione
t2
t2
T2r
T2s
s”
r”
s’
r’
T1s
T1r
t 1
t1
t2 
T2b
T2a
a”
T2x
b”
x”
a’
T1a
t1
t2
x’
b’
T1b
T1x
t1
PARALLELISMO TRA PIANI
PROPOSTE DI TEMI GRAFICI SULLA CONDIZIONE DI PARALLELISMO TRA PIANI (2)
Risoluzione
Esercizio
T2s
s”
T2r
s’
r’
T1r
T1s

T1y
T2r
t1
r”
y’
T2y
y”
T2x
t2
r”
x”
r’
x’

T1r

T1x
PARALLELISMO TRA PIANI
PROPOSTE DI TEMI GRAFICI SULLA CONDIZIONE DI PARALLELISMO TRA PIANI (3)
Risoluzione
Esercizio
t2
r’
T2r

T1r
r”
s”
T2s
s’

T1s
t1
T2s
t2
s”
T2r
r”
r’
T1r
s’
T1s
t1
PARALLELISMO TRA PIANI
PROPOSTE DI TEMI GRAFICI SULLA CONDIZIONE DI PARALLELISMO TRA PIANI (4)
Risoluzione
Esercizio
T2a
a”
t2
b”
T2b
T1r
s”
T2s
T1s
s’
t1
t1
b’
a’
T1a
T1b
t2
r’
r”
T2r
PARALLELISMO TRA PIANI
TEMI SCRITTI DA VOLGERE IN FORMA DI ELABORATI GRAFICI
1.
Dati X(X'=4; X"=6) ed Y(Y'=2; Y"=3) definire un piano X quindi costruire e
rappresentare un piano (Y)//
2. Dati i punti A(A'=1; A"=6), B(B'=2; B"=4), C(C'=6; C"=1) definire il piano (A,B) quindi per il
punto C condurre il piano //
3. Dati la retta r(T1r=3; T2r=6) ed il punto B(B'=1; B"=1) costruire il piano (r,B), quindi per X(X'=3; X"=6) definire e rappresentare il piano //.
4. Dati il punto X(X'=2; X"=-3) e due rette (r,s)X, definire e rappresentare (r,s), quindi per il
punto Y(Y'=-2; Y"=3) costruire e rappresentare il piano (Y)//.
1.
Dati il piano (p1+; p2+ ) ed il punto A(A'=3; A"=3) condurre per questo punto un piano //.
2. Dati il piano (p1-; p2+ ) ed il punto B(B'=1; B"=-5) condurre per questo punto un piano //.
3. Dati il piano (p1+; p2+ ) ed il punto C(C'=-3; C"=3) condurre per questo punto un piano //.
4. Dati il piano (p1+; p2+ //lt) ed i punti X(X'=-3; X"=6), Y(y'=6;Y"=-3) costruire e definire per
essi due piani  e  distinti tali che (X)// e (Y)//.
1.
Definire e rappresentare i piani (//p1+; p2+), (//p1+; p2+) in modo tale che sia //.
2. Definire e rappresentare i piani  e  aventi le seguenti caratteristiche (p1+; p2+)// (p1+;
p2+).
3. Definire e rappresentare due piani proiettanti in seconda proiezione, paralleli tra loro e collocati
nel II D.
4. Definire e rappresentare due piani proiettanti in prima proiezione, paralleli tra loro e collocati
nel IV D.
PARALLELISMO TRA PIANI
GRIGLIA DI VALUTAZIONE DELLE ELABORAZIONI GRAFICHE
Si riporta, di seguito, una griglia utilizzata per la valutazione delle esercitazioni grafiche sviluppate sotto
forma di elaborati. Si considerano tre parametri fondamentali:
1)Conoscenze teoriche
2)Capacità logiche
3)Competenze grafiche
VALUTAZIONE DELLE ESERCITAZIONI GRAFICHE
Ogni elaborato è costituito da quattro esercizi che vengono, singolarmente, valutati secondo la seguente griglia
Test
Eserc.
1
2
Elementi della valutazione
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)
0,00 0,50 1,00
Capacità logiche (Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)
Competenze grafiche (Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)
0,00 0,50 1,00
0,00 0,50 1,00
Capacità logiche
0,00 0,50 1,00
(Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)
Competenze grafiche
3
(Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
Capacità logiche
0,00 0,50 1,00
(Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
0,00 0,50 1,00
Capacità logiche
0,00 0,50 1,00
Competenze grafiche
(Precisione, chiarezza, leggibilità, essenzialità, didascalie,ecc.)
PUNTEGGIO TOTALE
2,50
2,50
0,00 0,25 0,50
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)
(Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)
2,50
0,00 0,25 0,50
0,00 0,50 1,00
(Capacità di trasporre conoscenze teoriche in elaborazioni grafiche)
Punti
0,00 0,25 0,50
Conoscenze teoriche (Conoscenza dei concetti, delle regole, delle leggi)
Competenze grafiche
4
Valutazioni
2,50
0,00 0,25 0,50
10,00
Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può
consultare il seguente sito
http://www.webalice.it/eliofragassi