Potenziale costante V(x)=cost
La forza (gradiente del potenziale) è nulla → Particella libera
Quando la relazione tra l’energia totale di una particella e la sua energia
potenziale è tale che classicamente la particella sarebbe limitata a una regione
limitata dello spazio perché l’energia potenziale eccederebbe quella totale al di
fuori di tale regione, allora la teoria di Schroedinger predice che l’energia totale è
quantizzata.
Quando questa relazione è tale che la particella non è legata ad una regione
limitata allora la teoria predice che l’energia può assumere qualunque valore
Ma anche la funzione con –k è soluzione associata con lo stesso valore dell’energia.
Sono due onde che viaggiano in direzione opposta
Potenziale costante V(x)=cost
Una combinazione lineare delle due funzioni è ancora soluzione dell’equazione
per la stessa energia (eq alla derivata seconda quindi due costanti di integrazione)
Se una delle costanti è presa nulla si ha un onda che viaggia in una direzione o
nell’altra. Se le due costanti sono uguali si ha un’onda stazionaria
Vediamo nel caso di onda che viaggia in una direzione i valori di aspettazione della
posizione e dell’impulso
 

p    p      i   k


x 

2 

x
x    * x 
0

2 

*

*
P( x)  *  cos t
p  0
x  
Gradino di Potenziale
V(x>0)=V0
V(x<0)=0
Prendiamo 0<E<V0 e consideriamo separatamente l’eq
per x positive e negative
Funzione d’onda finita in tutto
l’intervallo di validità
Continuità della funzione d’onda in x=0
Continuità della derivata della funzione d’onda in x=0
Gradino di Potenziale
V(x>0)=V0
V(x<0)=0
Interpretiamo la soluzione trovata
Onda incidente
Onda evanescente
onda piana che viaggia da -∞ verso 0
una che viaggia da 0 verso -∞
esponenziale decrescente da 0 verso -∞
B* B
R  * 1
AA
Coefficiente di riflessione
OPPURE
Onda stazionaria
Onda evanescente
Penetrazione in una zona
classicamente esclusa (x>0)
Onda riflessa
Penetrazione in una
zona classicamente
esclusa
V(x>0)=V0
V(x<0)=0
1

x  
k2
2m(V0  E )
Distanza di penetrazione x per una particella,
r = 10 -6 m
r = 104 kg/m3 ,
v = 10 -2 m/sec,
V0(x>0)=2K(x<0)
V0-E=K=
Per particelle più massive e/o energie maggiori
(tipiche dei casi della meccanica classica) la
penetrazione diminuisce ancora
Gradino di Potenziale
Prendiamo ora E>V0 e consideriamo separatamente l’eq
per x positive e negative
Due (coppie di) onde con diverso impulso/lunghezza d’onda nelle due diverse regioni di potenziale.
Non c’è però ragione di considerare un onda che si propaga nella direzione delle x decrescenti per
x>0 Quindi D=0
Continuità della funzione d’onda in x=0
Continuità della derivata della funzione d’onda
Gradino di Potenziale
V(x>0)=V0
V(x<0)=0
Interpretiamo la soluzione trovata
Onda incidente
Onda riflessa
onda piana che viaggia da -∞ verso 0
una che viaggia da 0 verso -∞
Onda trasmessa
una che viaggia da 0 verso ∞
Coefficiente di riflessione
(Assumendo k1=2k2
4
ovvero E  3 V0 → R=1/3)
X<0 onda stazionaria (probabilità oscillante tra il
valore di min e quello di max)
X>0 onda viaggiante (probabilità costante su
tutta la regione)
Barriera di potenziale
Le soluzioni nelle zone a potenziale nullo sono note
Per le usuali considerazioni si può assumere D=0
Per la zona all’interno della barriera invece bisogna considerare separatamente il
caso di E maggiore o minore di V0
In entrambi i casi non si può assumere che G=0
La regione è limitata e quindi nessuno dei
due esponenziali esplode in alcun limite
All’interfaccia x=a si ha riflessione dell’onda
e quindi occorre prevedere una
componente che viaggia nella direzione
delle x decrescenti
Barriera di potenziale
E<V0
Abbiamo 5 parametri da determinare usando le 4 relazioni di continuità (2 relazioni
per 2 interfacce). Rimane l’ultimo parametro (ad es. A) per la normalizzazione
Fino ad x=a la situazione è uguale al caso
del gradino di potenziale
Onda stazionaria a destra e funzione
esponenzialmente decrescente
oltrepassata l’origine
La novità è che dopo a torna ad esistere una onda che viaggia nella direzione delle x
crescenti con ampiezza che dipende dallo spessore della barriera di potenziale
Barriera di potenziale
E>V0
Abbiamo onde viaggianti in tutte le regioni ma all’interno della barriera la lunghezza
d’onda aumenta ovvero la velocità diminuisce
2mV0 a 2
9

Potenziale a gradino
Barriera di potenziale
In entrambi i casi la riflessione tende a uno per E/V0 → 0 e a zero per E/V0 → ∞
Ma per la barriera di potenziale si ha un passaggio più progressivo a causa dello
spessore finito della zona classicamente esclusa che permette il tunneling di una
parte dell’onda.
Inoltre si osservano oscillazioni dovute alla interferenza delle onde riflesse alle due
interfacce della barriera (lo stesso vale anche per la parte trasmessa)
Il caso del potenziale a gradino corrisponde al limite della barriera di potenziale di
larghezza infinita
Fenomeni di tunneling attraverso barriere di energia sono frequenti.
La riflessione totale frustrata alla doppia interfaccia di due mezzi è l’analogo classico
del tunneling di particelle
Ma il tunnelling attraverso una barriera di
potenziale è anche all’origine di un paradosso
riguardo all’emissione di particelle nel
decadimento a di nuclei radioattivi. Dagli
esperimenti di Rutherford si era determinato il
potenziale nucleare con grande precisione.
Però si osservava che nel decadimento a di
nuclei radioattivi l’energia della particella
emessa era sensibilmente minore del
potenziale Coulombiano a distanze nucleari. La
risposta sta nel tunneling quantistico attraverso
una barriera di potenziale.
Un altro esempio lo si può trovare
nell’oscillazione della molecola di
Ammonia NH3 tra le sue due
configurazioni
Feynman, Leighton, and Sands, "The Feynman Lectures on Physics volume III
chapter 9 "The Ammonia Maser."
La buca di potenziale
Classicamente la particella oscillerebbe
tra le due pareti per un valore di energia
(<V0) qualsiasi
Quantisticamente si comporta nella stessa maniera ma solo per dei valori discreti
di energia (E<V0).
X
Imponendo le condizioni di continuità si determinano i coefficienti A,B,C,G. Ma
sembrerebbe scomparire la costante di ampiezza arbitraria (normalizzazione). Ma
non è così perché ora l’energia E non è più un parametro libero ma può
assumere solo un set discreto di valori.
La buca di potenziale
I valori di energia E>V0 invece sono tutti
permessi e danno onde propaganti come
nei casi precedenti
Le funzioni d’onda saranno del tipo riportato qui
sotto. La onda deve essere stazionaria e questo
impone che la lunghezza d’onda sia in relazione
con la dimensione della buca (la penetrazione
Quanto più profonda sarà la buca
nella zona classicamente proibita entra
tanto minore sarà la penetrazione
anch’essa nel conto)
al di fuori
La buca infinita di potenziale
Imponiamo le condizioni di continuità sulla
funzione d’onda ai due estremi della buca
Sommando e sottraendo perveniamo
alle due relazioni.
Entrambe devono essere soddisfatte.
Possiamo imporre che una tra A e B
sia nulla e che k soddisfi l’altra
n=1,3,5, …
n=2,4,6, …
E0=0 non è permesso dal principio di indeterminazione.
x  a
2n
p  2 pn 
a
Oscillatore armonico semplice
• Potenziale continuo
• Vastissima applicazione
• Insieme al potenziale Coulombiano copre
una gamma vastissima di fenomeni fisici
• Tutte le piccole vibrazioni intorno ad una
posizione di equilibrio
• Ogni potenziale dotato di minimo può
essere approssimato per piccole
oscillazioni da un oscillatore armonico
Oscillatore armonico semplice
1 2
V ( x)  kx
2
•

1



Classicamente frequenza
2 2
• Classicamente energia (x0 ampiezza)
k
m
E  1 kx02
2
Energia di punto zero
• Quantisticamente energia
• Funzioni d’onda
 n  An H n (u )e
u2 
mk 2
x

u 2
2
En  (n  1 )
2
n
Autofunzioni