Corso Di Programmazione Grafica aa 2007/2008
Le trasformazioni
Daniele Marini
Concetti
• Spazio affine
• Coordinate omogenee
• Matrici
• Traslazione, Scala, Rotazione, Shear
• Prodotto matrice-vettore colonna
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Richiami di geometria affine
• Spazio vettoriale lineare: operazioni di
somma tra vettori
• Campo scalare e operazioni prodotto
vettore per scalare
• Spazio affine, due nuove operazioni:
– addizione vettore - punto;
– sottrazione punto-punto
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Richiami di geometria affine
P  ( x, y , z )
v  (v x , v y , v z )
v  vx  v y  vz
2
2
2
v  P  Q vettore come differenza di due punti
P = v  Q somma punto - vettore : traslazio ne del punto di applicazio ne
v  u  v x u x  v y u y  v z u z prodotto interno (dot product)
uyv z  uzv y 


w  u  v  uzv x  uxv z  prodotto vettore (cross product)

uxv y  uyv x 

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Richiami di geometria affine
u  v  0 sse ortogonali
 (u  v)   u   v linearità
1 u1   2 u2  ....   n un  w combinazione lineare
se  1 u1   2 u2  ....   n un  0 vale per  1   2 ..   n  0
allora ( u1 ,...,un ) sono lineamente indipendenti
n è la dimensione dello spazio,
cos  
sin  
(u1 ,...,un ) è la base dello spazio
u .v
angolo tra due vettori
u.v
u v
u. v
il modulo del cross product dà il seno dell'
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angolo tra i due vettori
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Trasformazioni affini
• Rappresentate tramite matrici
• Più trasformazioni possono essere
combinate moltiplicando le rispettive
matrici tra loro, creando una sola
trasformazione
• Una trasformazione si ottiene in generale
combinando trasformazioni lineari (rotazioni,
scala e shear) seguite da una traslazione
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Trasformazioni affini
• La trasformazione affine conserva le rette, sia A una
generica trasformazione, scriviamo in funzione del
parametro t un segmento tra i punti p0 , p1
p(t)  tp  (1 t) p
0
1
Ap(t)  tAp  (1  t)Ap
0
1
• Siccome descriviamo poliedri mediante i vertici, le
facce e gli spigoli, questa proprietà ci garantisce
che possiamo trasformare soltanto i vertici: la
relazione lineare tra punti e la topologia della
struttura non cambiano.
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Definizione degli oggetti
• Gli oggetti possono essere definiti in un
proprio sistema di riferimento locale:
• i vertici dell’oggetto sono definiti rispetto a un
orientamento proprio e naturale
• un oggetto complesso può essere decomposto
in elementi più semplici col proprio riferimento
locale e in seguito assemblato aggregando
oggetti elementari
• un oggetto può essere istanziato più volte
• Per assemblare una scena e istanziare
più oggetti si applicano le trasformazioni
affini, che cambiano il riferimento locale
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Tipi di oggetti base
• Punti
– E’ definita l’operazioni di differenza tra
punti: produce un vettore
• Vettori, corrispondono all’entità linea
– Sono definite le operazioni sopra
ricordate
• Sono definite le operazioni tra punti e
vettori sopra ricordate
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Tipi di oggetti base - 2
• Piani: estensione della rappresentazione
parametrica della retta; t,w sono parametri,
P, Q ed R sono tre punti, con i quali
possiamo identificare un piano; la retta tra
P,Q si può scrivere:
S(t)=tP+(1-t)Q
• la retta tra S e R si può ora scrivere:
V(w)=wS+(1-w)R
• Combinando le due equazioni:
V(t,w)=w(tP+(1-t)Q)+(1-w)R
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Tipi di oggetti base - 3
• Questa può essere considerata come equazione del piano
per i tre punti P,Q,R:
V(t,w)=P+w(1-t)(Q-P)+(1-w)(R-P)
• Q-P ed R-P sono due vettori u v, da cui
V(t,w)=P+tu+wv
• Il piano può anche essere definito da un punto e due vettori
non paralleli.
• Se 0≤t≤1 e 0≤w≤1 tutti i punti di V(t,w) sono interni al triangolo
PQR
• Il vettore ortogonale a u e v è n=uxv quindi l’equazione del
piano può anche essere scritta come:
n.(P-Q)=0
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Sistemi di coordinate e sistemi
di riferimento (frame)
• Quanto detto fin’ora è indipendente da uno
specifico sistema di coordinate
• La definizione di una base di vettori linearmente
indipendenti e unitari permette di identificare un
sistema di coordinate
• Se definiamo i tre versori con una medesima origine
identifichiamo un sistema di riferimento (frame)
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Un frame standard
• Lo spazio può essere orientato in due modi:
– mano sinistra: avvolgete la mano all’asse x e puntate il pollice
verso x a sinistra, z (medio) viene verso di voi e y (indice) va verso
l’alto
– mano destra: avvolgete la mano all’asse x e puntate il pollice
verso x a destra, z (medio) viene verso di voi e y (indice) va verso
l’alto
• In OGL sono definiti molti frames:
–
–
–
–
–
–
Object o model frame
World frame
Eye (camera) frame
Clip coordinates
Normalized device coordinates
Window (screen) coordinates
• Il passaggio da un frame all’altro avviene tramite
trasformazioni
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Cambiamento di riferimento
• Un cambiamento del sistema di riferimento consiste nel
cambiare la base di vettori ortonormali
• La nuova base può essere espressa come combinazione
lineare della vecchia base:
– Vecchia base: v1v2v3
– Nuova base: u1u2u3
u1=a11v1+a12v2+a13v3
u2=a21v1+a22v2+a23v3
u3=a31v1+a32v2+a33v3
• aij sono i coefficienti delle combinazioni lineari per esprimere la
nuova base in funzione della vecchia
• Le equazioni non sono altro che il risultato del prodotto della
matrice dei coefficienti per la vecchia base
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Cambiamenti di riferimento
• Questi cambiamenti di riferimento
lasciano invariata l’origine: se
vogliamo traslare l’origine, non
possiamo rappresentare il
cambiamento con una matrice di 3x3
elementi.
• I cambiamenti di base possibili in
questo modo sono quindi solo:
rotazioni o scala (o shear)!
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Classi di trasformazioni
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Trasformare gli oggetti
• Le trasformazioni agiscono trasformando i vertici
dell’oggetto nel sistema di riferimento originale, o
come cambiamento di sistema di riferimento
• Denotiamo i vertici (punti) come
vettori colonna v
• R, T e S rappresentano gli operatori di rotazione,
traslazione e scala
• Il punto trasformato è quindi:
v’ = v + T
v’ = S v
v’ = R v
traslazione
scala
rotazione
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Coordinate omogenee
Spazio di classi di equivalenza: ogni punto in coordinate
cartesiane 3D corrisponde a infiniti punti nello spazio
omogeneo 4D che differiscono solo per un fattore
moltiplicativo w:
V (x, y,z) corrisponde a :
V (X  wx,Y  wy,Z = wz,w)
Il passaggio dallo spazio omogeneo allo spazio 3D:
x  X /w

y  Y /w
z  Z /w
solitamente si sceglie w=1
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Coordinate omogenee
• In alto: il generico punto
(x,y,z) in coordinate
omogenee corrisponde a
un unico punto sul piano z=1
• In basso: l’operazione di
somma in coordinate
omogenee dei vettori u,v
genera il vettore con
estremo in R, che
corrisponde anche alla
somma in coordinate
omogenee dei punti P, Q.
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Coordinate omogenee
• Utilizzando le coordinate omogenee le trasformazioni
necessarie alla modellazione possono essere espresse come
matrici 4x4, e l’applicazione di una trasformazione a un punto
si riduce a un prodotto vettore-matrice
• In particolare la traslazione viene espressa come
 1 0 0 Tx   x 

  
0
1
0
T
y   y

v '  Tv 

 0 0 1 Tz   z 

  
0 0 0 1  1
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Traslazione
1

0
T(t )  T(t x , t y , t z )  
0

0

0 0 tx 

1 0 ty 
0 1 tz 

0 0 1 
p'  T(t )  p  ( p x  t x , p y  t y , p z  t z ,1)
T1 (t )  T(t )
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Rotazione
0
1

 0 cos 
R x ( )  
0 sin 

0
0

 cos 

 sin 
R z ( )  
0

 0

0
 sin 
cos 
0
0

0
0

1 
cos 

0

R y ( ) 
sin 

 0
 sin  0 0 


cos  0 0 
0
1 0

0
0 1 
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0 sin 
1
0
0 cos 
0
0
0

0
0

1
R 1  RT
1
R i ( )  R i ( )
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Rotazione
rotazione attorno
all’origine
rotazione attorno al
centro dell’oggetto:
prima traslare
poi ruotare
poi contro-traslare
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Scala
 sx

0
S(s)  S( s x , s y , s z )  
0

0

0
sy
0
0
0
sz
0
0
0

0
0

1 
S 1 (s)  S(1 / sx ,1 / s y ,1 / sz )
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Trasformazioni inverse
• Denotiamo le inverse come: T-1, S-1, R-1
• La traslazione inversa si ottiene negando i
coefficienti di traslazione
• La scala inversa si ottiene prendendo il reciproco
dei coefficienti
• La rotazione inversa si ottiene negando l’angolo di
rotazione.
• Le trasformazioni sono invertibili salvo la scala 0!
• Nota se M è una matrice ortogonale M-1=MT
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Trasformazione generica
rigida (niente scala!)
• Una trasformazione rigida generica può
essere espressa come la concatenazione di
una traslazione e una rotazione
 r00

 r10
X  T( t ) R  
r
 20
0

r01 r02 t x 

r11 r12 t y 
r21 r22 t z 

0 0 1 
X1  (T(t )R) 1  R 1T(t) 1  RT T(t)
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Trasformazione delle normali
• La matrice M associata ad un oggetto può essere utilizzata
per trasformare punti, linee e poligoni o generici vettori
associati a punti di un piano.
• Però per la trasformazione delle normali deve essere utilizzata
la matrice N=(M-1)T
• Per capire la ragione notiamo che se n è la normale a un
piano e v è un vettore sul piano allora nTv=0, ma questa
equazione si può scrivere considerando la matrice di
trasformazione M: nTM-1Mv=0;
• Ovvero: nTM-1 è la trasposta del vettore normale trasformato
• Quindi la normale trasformata è la sua anti-trasposta: (M-1)Tn
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Composizione di
trasformazioni
• Si possono applicare trasformazioni in
successione, moltiplicando in ordine
opportuno le matrici (associatività)
v”=M2M1v = M2(M1v) =M2v’
– la trasf. M1 viene applicata per prima!
• ricordiamo che il prodotto di rotazioni non è
commutativo: R2R1 ≠ R1R2
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Composizione di
trasformazioni
• Possiamo applicare a ogni punto
separatamente le matrici:
(se ho 1000 punti devo applicare le matrici singolarmente per
ognuno)
p
A
B
C
q
• Oppure calcolare prima la matrice M:
C(B(A))
p
M
q
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Le trasformazioni per
modellare
• Da oggetti prototipo a loro “istanze”
• Tre trasformazioni nell’ordine:
– Scala
– Rotazione
– Traslazione
• Minst=T(R(S))
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Rotazioni:
Metodo di Eulero
y
Yaw - imbardata
x
-z
Pitch - beccheggio
Roll - rollio
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Metodo di Eulero
• Il metodo di Eulero costruisce le
trasformazioni come moltiplicazione di
matrici di rotazione intorno ai tre assi
E(h, p, r )  R z (r )R x ( p) R y (h)
• L’inversa della trasformazione può essere
calcolata come
E1  ET  (R z R x R y )T  R yT R xT R zT
• Purtoppo la rotazione non è
commutativa: R1R2≠R2R1
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Rotazione di Eulero
• Sviluppiamo la concatenazione delle
tre trasformazioni (scriviamo le matrici
3x3 per semplicità)
E(h, p, r )  R z (r )R x ( p) R y (h)
cos r cos h  sin r sin psin h sin r cos p cos r sin h  sin r sin pcos h 


sin
r
cos
h

corssin
psin
h
cos
r
cos
p
sin
r
sin
h

cor
sin
pcos
h




cos psin h
sin p
cos pcos h



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Rotazione attorno a un punto
e parallela a un asse
• Traslare l’oggetto nell’origine, i coefficienti
della traslazione T sono riferiti al punto p
• Ruotare attorno all’origine di un angolo q
• Traslare inversamente nel punto p
M=T-1RT
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Rotazione intorno ad un asse
generico
• Un altro modo per risolvere il problema è di
considerare la rototraslazione nell’origine come un
cambiamento di sistema di riferimento, cioè di base
ortonormale, eseguendo quindi la rotazione attrono
al nuovo asse, ad esempio x.
y
y
r
y
r
s
s
s
r
x
x
x
t
z
z
t
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z
t
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Cambiamento di base
• Sia r l’asse di rotazione desiderato, troviamo
due nuovi versori ortogonali ad r che
definiscono un nuovo riferimento.
• Per trovare il primo vettore ortogonale a r
moltiplico r per uno dei versori del frame
originale ex|y|z : ci sono due casi possibili: il
nuovo vettore è parallelo a r oppure è
ortogonale sia ad r sia ad ex|y|z ad es:
• r x ex = r x (1,0,0)T=(0,rz,-ry)=v
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Cambiamento di riferimento
• Moltiplicando scalarmente il nuovo
vettore trovato v.v, se è nullo r e ex
sono paralleli, si cerca un altro vettore
ortogonale a r ey|z
• Il vettore trovato sia s
• Il terzo vettore ortogonale a r ed s si
determina con il prodotto vettore tra i
due
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Rotazione intorno ad un asse
generico
(0,rz , ry ) se rx  ry e rx  rz

s  (rz ,0, rx ) se ry  rx e ry  rz
(r , r ,0) se r  r e r  r
z
x
z
y
 y x
ss/ s
t  rs
 rT 
 T
M  s 
 tT 
 
• Il test per valutare il
parallelismo tra r ed
ex|y|z può essere
semplificato come qui
indicato
• Si noti che essendo M
ortogonale, la sua
inversa è MT
X  M T R x ( )M
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Gimbal Lock
(blocco del giroscopio)
• Gimbal lock avviene quando le
rotazioni sono concatenate in
modo tale che un grado di libertà
viene perso, ad es quando due assi
di rotazione del giroscopio
vengono a coincidere.
• Esempio:
– rotazione di 90° intorno all’asse z
– volendo ruotare ora intorno a x, a
causa della rotazione precedente,
otterremo una rotazione intorno a y
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Gimbal Lock
• Se eseguiamo una rotazione di 90°
attorno a y otteniamo:
 cos r cos h  sin r sin h

E (h,  / 2, r )   sin r cos h  cos r sin h

0

 cos(r  h)


 sin(r  h)

0

0 cos r sin h  sin r cos h 

0 sin r sin h  cos r cos h 

1
0

0 sin(r  h) 

0  cos(r  h) 

1
0

• Abbiamo perso un grado di libertà!
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