Le tavole input-output
Le versioni simmetriche
Jacopo Di Cocco
Corso di Contabilità nazionale
Facoltà di Economia – Bologna
Il mercato: i prodotti da chi a chi
• Per stimare dettagliatamente le interdipendenze
dell’economia è necessario sapere come le
specifiche offerte incontrano la corrispondenti
domande e da quali utilizzi queste siano
determinate.
• Questo si ottiene tramite tavole che illustrino, con
classificazione omogenea tra righe e colonne:
quali produzioni vengano domandate e da chi e
per cosa farsene (articolazione funzionale)
• Ciò viene realizzato costruendo tavole
simmetriche: prodotto per prodotto o branca per
branca
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
2
Tavole simmetriche
• Elaborare le tavole simmetriche delle
interdipendenze permette di riunire in un’unica
tavola quelle delle risorse (offerta) e degli impieghi
(domanda).
• Una tavola simmetrica delle interdipendenze
descrive dettagliatamente i processi di produzione
interni e le operazioni sui prodotti dell’economia
nazionale collegando funzionalmente domanda ed
offerta.
• E’ possibile utilizzarla per il modello input-output.
• Si parte da quella combinata e si usano gli algoritmi
e le ipotesi che illustreremo per stimare i dati
statistici mancanti (non rilevabili direttamente)
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
3
Formato delle simmetriche
• Le tavole simmetriche riportano al modello
aperto classico alla base del modello inputoutput
• Esse hanno un forma simile a quella della tavola
degli impieghi (use) comprendendo anche gli
risorse ed impieghi dei beni e servizi importati
• La differenza sostanziale è l’omogeneità della
classificazione di righe e colonne
• Ad esse si arriva incrociando le informazioni
della tavola delle risorse e di quella degli
impieghi.
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
4
La tavola prodotto per prodotto
• Nella tavola prodotto per prodotto anche le
colonne sono intestate ai prodotti e pertanto
mostrano i flussi dei diversi prodotti, da
chiunque realizzati, al gruppo dei produttori di un
dato prodotto, a qualunque branca
appartengano.
• Gli impieghi finali restano articolati per tipo
d’impiego e articolati per prodotto impiegato.
• Valori aggiunti sono quelli realizzati per ciascun
prodotto in tutte le branche che li generano,
identicamente i redditi che li compongono
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
5
La tavola branca per branca
• Nella tavola branca per branca anche le righe
sono intestate alle branche d’attività economica
e pertanto mostrano i flussi delle diverse
produzioni di branca, comunque composte, dalle
branche offerenti a quelle che le impiegano nel
loro processo produttivo di un paniere di beni.
• Gli impieghi finali restano classificati per tipo
d’impiego, ma divengono articolati per branca
offerente.
• Valori aggiunti e redditi restano quello realizzati
in ciascuna branca, anche grazie al loro mix
produttivo.
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
6
Dalle tavole risorse ed impieghi alle
tavole simmetriche
• Per realizzare direttamente le tavole simmetriche sarebbe
necessario poter rilevare presso i diversi produttori la struttura
dei costi dei diversi prodotti da loro realizzati.
• In carenza di informazioni statistiche sufficienti, la tavola
simmetrica è ottenuta tramite ipotesi e stime che danno luogo
ad algoritmi di calcolo matriciale che poi saranno utilizzati
anche per il modello input output.
• Questi i passi che percorreremo:
– Ulteriori convenzioni e algoritmi matriciali
– Tavola combinata risorse ed impieghi
– Tavole simmetriche: prodotto per prodotto o branca per branca (o
industria per industria, con industria sinonimo di branca d’attività
economica per qualsiasi attività produttiva).
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
7
Vettore diagonalizzato
• Un accento circonflesso su un
vettore indica che è un vettore
diagonalizzato (sia esso vettore
colonna e riga).
• Il vettore è trasformato in una
matrice quadrata con tante righe
e colonne come le righe del
vettore colonna o le colonne del
vettore riga; la matrice è tutta di
valori nulli, salvo sulla diagonale
principale ove gli elementi sono
nell’ordine i componenti del
vettore.
Jacopo Di Cocco
g1 0
gˆ  0 g 2
0
0
0
g3
Tavole Input-Output
0
8
Vettore diagonalizzato ed invertito
• Un vettore diagonalizzato
ed invertito ha sulla
diagonale principale i
reciproci degli elementi
del vettore originario.
1 / g1
0
0
• Esso consente di
ordinatamente dividere
gˆ 1  0 1 / g 2
0
tutti gli elementi di una
matrice per quelli di un
0
0
1 / g3
vettore;
• per riga pre-moltiplicando
e per colonna postmoltiplicando.
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
9
Matrice identità
• Svolge la funzione
dell’unità nel calcolo
matriciale.
• La matrice identità è una
matrice quadrata tutta di 0
salvo la diagonale di 1.
• Pre o post moltiplicata per
una matrice la lascia
invariata.
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
1 0 0
I 0 1 0
0 0 1
10
Matrice inversa
• Una matrice inversa, se
esiste, funge da
reciproco della
originaria quadrata e pre
o post moltiplicata per
questa dà la matrice
identità.
• Per le modalità di
calcolo si rinvia al
programma di
matematica
Jacopo Di Cocco
H *H 1  I
esempio numerico :
3 5
1 2
1
2 5

1 3
1
2 5 1 0
3 5


0 1
1 3
1 2
Tavole Input-Output
11
L’integrazione risorse - impieghi
• La matrice della produzione non è direttamente
collegata a quella delle risorse salvo che per il totale
dell’output per calcolare le interdipendenze tra i
produttori; è necessario integrare le due tavole tramite il
calcolo dei costi intermedi prodotto per prodotto o
branca per branca in modo che ad ogni variazione
indotta nella produzione di una branca o di un prodotto
si possano calcolare gli indotti sugli altri produttori.
• Per fare ciò si seguono tre passi:
– Redigere una tavola combinata risorse ed impieghi, per
disporre in unica tavola di tutti i dati da elaborare,
– Adottare un’ipotesi tecnologica sui costi di produzione
– Calcolare le tavole del modello classico, quadrate e
simmetriche nei consumi intermedi
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
12
La tavola combinata risorse ed impieghi
• Una tavola combinata delle risorse e degli impieghi
presenta sotto forma di una tavola unica (cfr. tavola
9.3 del SEC), aggiungendo, per la produzione e le
importazioni, due righe alla tavola degli impieghi (cfr.
tavola 9.2). Si noti che nella tavola 9.3 sono state
trasposte le righe e le colonne della tavola delle
risorse 9.1.
• Si fornisce uno schema semplificato (a 3 branche)
della tavola combinata indicando matrici e vettori
inseriti con i soli simboli già utilizzati nelle tavole
precedenti di seguito richiamati.
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
13
La tavola combinata a valori totali
Tavola 9.3
Impieghi
Prodotti (1)
Tavola combinata delle risorse e degli impieghi (ver.semp.)
codici
Agricoltura s.p.
P1
P.industriali
P2
P. dei servizi
P3
Agricoltura s.p.
A1
Industria
A2
Servizi
A3
Importazioni
dall'estero
Risorse e
Produzione (t.input)
Jacopo Di Cocco
P3
P2
P1
A1
A2
Impieghi finali
(4)
A3
b p
b p
b p
x 1,4 x 1,5 x 1,6
b p
b p
b p
x 2,4 x 2,5 x 2,6
b p
b p
b p
x 3,4 x 3,5 x 3,6
Ut
Et
Impieghi totali
(5)
qt
Tavola ai prezzi alla produzione, impieghi di qualsiasi origine
Branche
Valore aggiunto
Branche
Prodotti
v'
3
4
5
g
M'
iq'
q'
t
g'
Tavole Input-Output
14
La tavola combinata della produzione
interna
Tavola 9.3.a
Impieghi
Prodotti (1)
Tavola combinata delle risorse e degli impieghi prodotti int.
Prodotti
codici
Agricoltura s.p.
P1
P.industriali
P2
P. dei servizi
P3
Branche
A1
Industria
A2
Servizi
A3
Risorse e
Produzione (t.input)
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P2
P3
A1
A2
A3
b p
b p
b p
x 1,4 x 1,5 x 1,6
b p
x 2,4 bxp2,5 bxp2,6
b p
b p
b p
x 3,4 x 3,5 x 3,6
Impieghi finali
(4)
E
Impieghi totali
(5)
q
Tavola ai prezzi alla produzione, impieghi di origine interna
Agricoltura s.p.
Valore aggiunto
Importazioni
dall'estero
P1
Branche
v'
3
NB pedice p implicito
u'iU
4
5
g
M
q'
g'
Tavole Input-Output
15
La tavola combinata delle importazioni
Tavola 9.3.b
Impieghi
Prodotti (1)
Tavola combinata delle risorse e degli impieghi importati
Prodotti
codici
Agricoltura s.p.
P1
P.industriali
P2
P. dei servizi
P3
Branche
A1
Industria
A2
Servizi
A3
Importazioni
dall'estero
Risorse e
Produzione (t.input)
Jacopo Di Cocco
P2
P3
A1
A2
A3
b p
x 1,4
b p
x 2,4
b p
x 3,4
b p
x 1,5
b p
x 2,5
b p
x 3,5
b p
x 1,6
b p
x 2,6
b p
x 3,6
iU
Impieghi finali
(4)
iE
Impieghi totali
(5)
iq
Tavola ai prezzi cif in quanto impieghi di origine estera
Agricoltura s.p.
Valore aggiunto
P1
Branche
iM'
3
4
iq'
u'iU
5
Tavole Input-Output
16
Matrici, vettori ed identità
della tavola combinata
t
U  t U p,b  matrice dei consumi intermedi di prodotti per branca
t
U  U  i U  consumi int. totali  cons. int. prodotti  importati
E p Ep,n  Impieghi finali di produzione interna per prodotto e impiego
t
E  E i E  Impieghi finali totali  imp.fin. prodotti  importati
M ' p M 'b,p  matrice della produzione : offerta di origine interna
i
M ' i M 'r ,p  matrice delle importazio ni : offerta di origine esterna
V  Vh,b  matrice del valore aggiunto : fattori usati e retribuiti per branca
g  g b  p M 'b,p u  vettore della produzione per branca  offerta delle branche
g'  u' t U  u' V  u' t U  v  vettore della produzione  consumi intermedi  VA
q'  p q' p  u' M  u' p M 'b,p  vettore dell' offerta interna dei prodotti
i
q'  i q' p  u' i M '  u' i M 'o,p  vettore dell' offerta esterna dei prodotti
t
q'  q'  i q'  vettore dell' offerta totale dei prodotti
t
q p  t Uu  t Eu; p q  p Uu  p Eu; i q  i Uu  i Eu  impieghi totali 
impieghi intermedi  finali (totali o per origine);
t q p  p q p  i q p  impieghi totali di qualsiasi origine  prodotti  importati
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
17
Verso le tavole simmetriche
• Vi è una importante differenza concettuale fra una tavola
combinata delle risorse e degli impieghi ed una tavola delle
interdipendenze simmetrica: nella tavola delle risorse e degli
impieghi, le statistiche mettono in relazione prodotti e branche
produttrici (UAEL), mentre, nella tavola delle interdipendenze
settoriali simmetrica, i dati calcolati mettono in correlazione
prodotti con prodotti o branche con branche. Solo questo
consentirà di elaborare algebricamente il modello.
• Per quella prodotto per prodotto bisognerebbe aggiungere ai dati
delle branca che li producono in via principale le rispettive
quote di produzioni, costi e redditi sottraendoli alle branche che
li vedono come prodotti secondari.
• Per quelle branca per branca (di attività economica) bisogna
ridistribuire le domande dei singoli prodotti secondo le quote di
mercato che ciascuna detiene per ciascuna categoria.
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Tavole Input-Output
18
I calcoli dei coefficienti simmetrici
• Nel rispondere ai questionari, le aziende con più prodotti
forniscono abbastanza facilmente il valore della produzione
articolata per prodotto e gli acquisti intermedi sempre articolati
per prodotto, ma difficilmente dispongono di dati sui loro
utilizzi per linea di produzione e, anche se hanno una contabilità
analitica, questa raramente segue le classi CPA. Pertanto si
ricorre a stime (si vedano note e documenti di fonte ISTAT).
• Seguendo schemi teorici si stimano i coefficienti di fabbisogno
diretto e da questi si risale anche ai valori monetari oltre a
calcolare quelli diretti ed indiretti del modello input-output.
• Per distribuire i consumi intermedi in funzione dei prodotti
realizzati da ciascuna branca si stimano i consumi intermedi per
prodotto sulla base di:
– coefficienti di spesa delle branche, mix produttivo e quote di
mercato,
– scegliendo tra le ipotesi alternative sulle tecnologie usate.
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
19
Matrici e vettori delle SUT usati per la loro
conversione in tavole simmetriche
•
•
•
•
•
•
•
•
•
U: matrice intermedia della tavola use (dimensione: prodotto per branca);
E: parte della domanda finale della tavola use
Y: matrice del valore aggiunto (dimensione: fattore per branca);
M: matrice della produzione (make o supply) che descrive la produzione
interna (dimensioni: prodotto per branca);
g: vettore dell’output o produzione per branca fornitrice (ĝ :
diagonalizzato);
q: vettore dell’output od offerta per prodotto ( q̂: diagonalizzato).
B: matrice dei coefficienti di spesa per consumi intermedi per branca,
ottenuti dalla use (dimensione: prodotto per branca) = Ugˆ 1
C: matrice del mix produttivo tra produzioni principale1e secondarie nella
singole industrie o branche di attività economica M' gˆ (il simbolo ’
indica la trasposta);
D: matrice delle quote di mercato (le proporzioni in cui le diverse branche
producono l’output totale di un determinato prodotto): Mqˆ 1
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
20
I coefficienti di input di branca
• La matrice Bpb dei coefficienti diretti di fabbisogno dei diversi prodotti i per
consumi intermedi per branca j rappresenta le proporzioni tra valori medi dei
diversi input in funzione degli output di ciascuna branca.
• Essa è calcolata dividendo colonna per colonna le spese intermedie per il
valore della produzione ottenuta.
• La matrice è articolabile per origine interna ed esterna all’economia.
• Tutti i valori di Bpb sono positivi inferiori ad 1 ed anche la loro somma per
colonna è inferiore a 1 altrimenti non vi sarebbe valore aggiunto.
B  Ugˆ 1 ;t B  t Ugˆ 1 ;i B  i Ugˆ 1
t
B  B  i B  coefficien ti di input tota li  prodotti  importati
b1,1 b1,2
B  b2 ,1 b2 ,2
b3 ,1 b3 ,2
Jacopo Di Cocco
b1,3
b2 ,3
b3 ,3
u1,1
g1
u
 2 ,1
g1
u3 ,1
g1
u1,2
g2
u2 ,2
g2
u3 ,2
g2
Tavole Input-Output
u1,3
g3
u2 ,3
g3
u3 ,3
g3
21
La matrice del mix di prodotto
• La matrice Cp,b del mix di
prodotto mostra le
proporzioni dell’offerta dei
prodotti principali e
secondaria nell’offerta
complessiva delle diverse
branche.
• Essa è calcolata dividendo
riga per riga la trasposta dei
prodotti offerti da ciascuna
branca per l’offerta totale
della stessa. Con la
trasposizione si torna alla
matrice originaria della
tavola delle risorse.
Jacopo Di Cocco
C  M' g 1 ; Cp,b  M'p,b gˆ b,b
c1,1
c1,2
c1,3
C  Cp,b  c2 ,1 c2 ,2
c3 ,1 c3 ,2
c2 ,3
c3 ,3
1
m1,1
g1
m
 1,2
g1
m1,3
g1
m2 ,1
g2
m2 ,2
g2
m2 ,3
g2
m3 ,1
g3
m3 ,2
g3
m3 ,3
g3
Vale la seguente identità : u' C  u' ovvero la
somma dei coefficien ti di ogni colonna è 1 (o100%);
se le branche fossero tutte di produzione omogenea
(senza prodotti secondari) , solo la diagonale
principale sarebbe diversa da 0 e con tutti i campi  1
per cui sarebbe : C  I
Tavole Input-Output
22
La matrice delle quote di mercato
• La matrice pDpb delle
quote di mercato
rappresenta le
proporzioni con cui ogni
branca risponde alla
domanda di prodotti
rivolta a beni e servizi di
origine interna.
• Essa è calcolata
dividendo colonna per
colonna la matrice dei
prodotti offerti da
ciascuna branca per
quelli offerti
complessivamente da
tutte le branche.
Jacopo Di Cocco
Matrice delle quote di mercato dei produttori interni
D  Mqˆ 1 ;p Db,p  p M b,p p qˆ p,p
d1,1
D  d 2,1
d 3,1
d1, 2
d 2, 2
d 3, 2
m1,1
q1
m2,1
d1,3
d 2,3 
q
d 3, 3 m 1
3,1
m1, 2
m1,3
q2
m2, 2
q3
m2,3
q2
m3, 2
q3
m3,3
q2
q3
q1
- La somma per colonna è 1 per ogni prodotto : u' D  u'
- Per branche di produzione omogenea D  I
Matrice delle quote di mercato delle aree economiche esterne
i
1
D i Mqˆ 1 ;i Dr,p  i M r,p i qˆ p,p
- Righe riferite alle aree di provenienz a dall' esterno
- La somma per colonna è 1 per ogni prodotto : u' i D  u'
Matrici delle quote nel mercato complessiv o :
p
t
Db,p  p M b,p t qˆ p,p ;i t Dr,p  i M r,p t qˆ p,p
vale la seguente relazione :
u'p t Db,p  u'i t Dr,p  u
Tavole Input-Output
23
Matrici e vettori delle tavole simmetriche
• La struttura delle tavole nelle due versioni è identica
anche se cambia la classificazione delle righe e delle
colonne per prodotto o per branca.
• Entrambe consentono lo sviluppo del modello inputoutput pertanto si forniscono i simboli e le definizioni
senza specificare se si tratti di tavole prodotto per
prodotto o branca per branca.
• Successivamente si specificheranno simboli e formule
di calcolo delle matrici nelle due versioni.
• In entrambi i casi vettori (marginali) sono calcolati
per somma di righe e colonne.
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
24
Matrici e vettori della TIO simmetrica
X  matrice simmetrica degli scambi intermedi per prodotto o per branca
Xu  vettore marginale delle vendite intermedie per prodotto o delle branche
t X  p X  i X; le matrici degli scambi intemedi si articolano per origine
F  matrice degli impieghi finali : prodotto o branca per utilizzo
Fu  f e  f c  f i ; gli impeghi finali comprendon o consumi, investimen ti e la
domanda estera (esportazi oni)
t F  p F  i F; le matrici degli impieghi finali si articolano per origine
Xu  Fu  vettore degli impieghi totali, si articola per origine
u' X  totale dei consumi intermedi
V  matrice dei fattori primari
u' V  vettore del valore aggiunto
s'  u' X  u' V  vettore della produzione
H  matrice delle importazio ni ove le righe rappresent ano gli impieghi
u' H  vettore delle importazio ni totali CIF
s'u' H totale delle risorse
s  H' u  Xu  Fu le risorse totali uguagliano gli impieghi totali
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
25
Impieghi intermedi, finali e fattori
produttivi nelle TIO simmetriche
• Le matrici in valore degli scambi intermedi devono essere
calcolate tramite quella della tecnica di seguito illustrata e
conseguentemente si hanno i vettori marginali di vendite ed
acquisti intermedi.
• Se si considerano le tavole prodotto per prodotto gli impieghi
finali e totali restano quelli articolati per prodotto della use
(tavola degli impieghi); i costi per i fattori produttivi e il valore
aggiunto devono essere ridistribuiti e riaggregati per prodotto; la
produzione, le importazioni; le risorse coincidono trasposti con i
dati della make (tavola delle risorse).
• Se si considerano le tavole branca per branca gli impieghi finali
devono essere ridistribuiti e riaggregati per branca quelli totali
delle diverse origini coincidono con le risorse (prodotte,
importate e totali della make); i costi per i fattori produttivi, il
valore aggiunto la produzione, le importazioni e le risorse
coincidono con i dati della use.
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
26
Matrici e vettori delle simmetriche
X  matrice calcolata degli scambi intermedi prodotto per prodotto
t
X  p X  i X; le matrici degli scambi intemedi si articolano per origine
F  E matrice degli impieghi finali : prodotto per impiego
F b  M'qˆ 1E impieghi finali per branca, se le proporzion i delle
vendite sono fisse per prodotto
F b  gˆ M 1E impieghi finali per branca, se le proporzion i delle
vendite sono fisse per branca
t F  p F  i F; la matrice si articola per origine
Nel modello semplifica to consideria mo sintetizza ti in un vettore
i tre principali impieghi finali per cui si ha :
Fu  f e  f c  f i ; gli impeghi finali comprendon o consumi, investimen ti
e la domanda estera (esportazi oni)
q  vettore degli impieghi totali, identico alla combinata
si articola per origine : t q  p q  i q
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
27
Matrici e vettori della TIO prodotto per prodotto
X  Asˆ  matrice calcolata degli scambi intermedi prodotto per prodotto
t
X  p X  i X; le matrici degli scambi intemedi si articolano per origine
Xu  vendite intermedie per prodotto
F  E matrice degli impieghi finali : prodotto per impiego
t F  p F  i F; la matrice si articola per origine
Fu  Eu  e. ; totale degli impeghi finali
q  vettore degli impieghi totali, identico alla combinata
t q  p q  i q; gli impieghi si articolano per origine
u' X  totale degli impieghi intermedi per i singoli prodotti
V  matrice calcolata dei fattori primari inclusi nel V.A.
V  YD  matrice dei fattori impiegati per prodotto calcolata
con la tecnologi a per branca
I
V  YC 1  matrice dei fattori impiegati per prodotto calcolata
con la tecnologi a per prodotto
P
u' V
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
28
Matrici e vettori della TIO branca per branca
X  matrice simmetrica degli scambi intermedi per prodotto o per branca
Xu  vettore marginale delle vendite intermedie per prodotto o delle branche
t X  p X  i X; le matrici degli scambi intemedi si articolano per origine
F  matrice degli impieghi finali : prodotto o branca per utilizzo
Fu  f e  f c  f i ; gli impeghi finali comprendon o consumi, investimen ti e la
domanda estera (esportazi oni)
t F  p F  i F; le matrici degli impieghi finali si articolano per origine
Xu  Fu  vettore degli impieghi totali, si articola per origine
V  matrice dei fattori primari
u' V  vettore del valore aggiunto
s'  u' X  u' V  vettore della produzione
H  matrice delle importazio ni ove le righe rappresent ano le origini
u' H  vettore delle importazio ni totali CIF
s'u' H totale delle risorse
s  H' u  Xu  Fu le risorse totali uguagliano gli impieghi totali
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
29
La matrice della tecnica simmetrica
• La matrice della tecnica (A in termini generali) è
simmetrica in quanto:
– righe e colonne sono articolate entrambe o:
• per prodotto (o branca di produzione omogenea) A
~
• per branca di attività economica: A
– righe e colonne presentano la stessa articolazione
(aggregazione) e numerosità secondo il dettaglio adottato
• Entrambe possono essere calcolate adottando o la
tecnologia di prodotto o quella d’industria od
un’opportuna combinazione delle due; gli apici
sinistri indicano, se utile, la tecnologia utilizzata
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
30
L’ipotesi semplificatrice di linearità
• Il modello input-output è un modello lineare che assume
l’ipotesi di proporzionalità tra i diversi input (consumi
intermedi) ed output (produzione) questo significa che i rapporti
medi di fabbisogno di consumi intermedi verificati con la
matrice B restano invariati anche quando la produzione delle
singole branche varia, restano costanti anche la C e la D
• L’ipotesi si è empiricamente mostrata valida, almeno con
variazioni delle quantità attorno ad un certo intervallo da quelle
iniziali, se non sussistono strozzature che impediscano ad alcune
branche o al resto del mondo di adeguare la loro offerta
• I rapporti cambiano solo quando nel tempo le tecniche utilizzate
evolvono per novità tecnologiche, organizzative, economiche
• I rapporti di proporzionalità sono rappresentati nel modello dai
coefficienti delle matrici simmetriche della tecnica: A, calcolata
seguendo alcune ipotesi tecnologiche e l’articolazione
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
31
Le ipotesi tecnologiche
• Date le matrici rilevate e quelle di coefficienti B, C, D, per
calcolare le matrici simmetriche A dei coefficienti tecnici del
fabbisogno di consumi intermedi, si adotta una delle seguenti
ipotesi tecnologiche che riflettono sia le conoscenze tecniche
acquisite sia l’organizzazione produttiva:
– Tecnologia di prodotto: “ogni prodotto, indipendentemente
dall’industria in cui si origina, è fabbricato utilizzando la
stessa tecnologia” (stessi costi intermedi unitari)
– Tecnologia d’industria: “ogni prodotto (sia esso principale,
secondario, sottoprodotto) della medesima industria è
fabbricato con la stessa tecnologia” (stessi costi intermedi
in ciascuna branca indipendentemente dai prodotti realizzati)
– Tecnologia mista: una combinazione empirica delle prime
due
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
32
I coefficienti di spesa
• Il concetto di coefficiente tecnico implicherebbe una
misura in termini fisici (come in una ricetta di cucina),
ma questo renderebbe non aggregabili le quantità,
pertanto, anche nelle simmetriche si usano i valori
monetari degli input ed i coefficienti ottenuti dividendo
questi per il valore della produzione (output) sono
coefficienti di spesa usati come sostituti dei tecnici
• Essi possono cambiare anche per la variazione dei
prezzi relativi, ma la tendenza ad aumentare l’uso di ciò
che relativamente è inflazionato meno, anche se la
sostituibilità è limitata, li rende talvolta maggiormente
stabili di quelli fisici.
• Quindi si conserva la proporzionalità con la produzione
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
33
Le diverse versioni della A
1. La generica matrice A dei coefficienti di fabbisogno diretto
(tecnici o di spesa) si può presentare in sei versioni alternative
anche se svolgono la stessa funzione nel modello (industria e
branche [di attività economica] sono sinonimi):
 P A  prodotto per prodotto calcolata con la tecnologi a di prodotto,
 I A  prodotto per prodotto calcolata con la tecnologi a d' industria,
(è la versione scelta dall' ISTAT nei dati pubblicati nel 2006)

A  prodotto per prodotto calcolata con la tecnologi a mista,
P~
 A  industria per industria calcolata con la tecnologi a di prodotto,
I~
 A  industria per industria calcolata con la tecnologi a d' industria,
~
 M A  industria per industria calcolata con la tecnologi a mista,
M
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
34
Le matrici prodotto per prodotto
•
•
•
•
Il SEC privilegia le tavole prodotto
per prodotto
A è una matrice prodotto per
prodotto che mostra in milionesimi di
€ i coefficienti di fabbisogno diretto
di input intermedi dei diversi prodotti
per la produzione di un € del prodotto
in colonna
P
A se si assume la tecnologia di
prodotto, gli input unitari
dell’industria j sono costituiti dalle
medie ponderate (con i pesi della
matrice C) degli input di ogni
prodotto, da essa realizzato.
I
A se si assume la tecnologia di
industria gli input unitari nel prodotto
i sono la media ponderata (con i pesi
della matrice D) degli input dei
prodotti delle industrie che lo
producono.
Jacopo Di Cocco
B  P AC
ciò significa che un elemento generico della matrice :
bij è determinat o dal fabbisogno dell' input i nell' industria j
in funzione dei pesi relativi dei prodotti realizzati , così come
indicato dalla C (mix di prodotti per industria) .
bi , j  ai ,1c1, j  ai , 2 c2, j  .....  ai ,n cn , j
quindi : P A  B * C 1 (con C quadrata).
Talvolta, per eterogenei tà dei beni di un gruppo si possono
avere cefficient i negativi, economicam ente incongrui.
Con la teconolog ia di industria si ha :
A  BD
Gli input del prodotto j sono la media ponderata degli input
di prodotti nelle industrie che li producono con i pesi della
matrice D (quote di mercato); un elemento generico è :
ai , j  bi ,1d1, j  bi , 2 d 2, j  .....  bi ,n  d n , j
I
Tavole Input-Output
35
Le matrici branca per branca
•
•
•
•
Le matrici industria per industria
mostrano da quali produttori a quali
produttori vada la domanda per
consumi intermedi
~
A è una matrice branca per branca che
mostra in milionesimi di € i coefficienti
di fabbisogno diretto di input intermedi
delle diverse produzioni per la
produzione di un € della branca in
colonna
P ~
A se si assume la tecnologia di
prodotto, gli input unitari dell’industria
j sono costituiti dalle medie ponderate
(con i pesi della matrice C) degli input
di ogni prodotto, da essa realizzato.
I~
A se si assume la tecnologia di
industria gli input unitari nella branca i
sono la media ponderata (con i pesi
della matrice D) degli input dei prodotti
delle industrie che lo producono.
Jacopo Di Cocco
B  P AC
ciò significa che un elemento generico della matrice :
bij è determinat o dal fabbisogno dell' input i nell' industria j
in funzione dei pesi relativi dei prodotti realizzati , così come
indicato dalla C (mix di prodotti per industria) .
bi , j  ai ,1c1, j  ai , 2 c2, j  .....  ai ,n cn , j
quindi : P A  B * C 1 (con C quadrata).
Talvolta, per eterogenei tà dei beni di un gruppo si possono
avere cefficient i negativi, economicam ente incongrui.
Con la teconolog ia di industria si ha :
A  BD
Gli input del prodotto j sono la media ponderata degli input
di prodotti nelle industrie che li producono con i pesi della
matrice D (quote di mercato); un elemento generico è :
ai , j  bi ,1d1, j  bi , 2 d 2, j  .....  bi ,n  d n , j
I
Tavole Input-Output
36
Le tavole industria per industria
• Nelle tavole industria per industria la domanda per beni e
servizi intermedi dell’industria j si rivolge ai panieri di
prodotti dell’industria i: anche in questo caso si possono
assumere le due tecnologie.
• La matrice dei coefficienti di fabbisogno diretto di input
intermedi simmetrica da industria a industria (da branca a
branca di attività economica) è indicata con :
–
–
se calcolata con la tecnologia di prodotto
se calcolata con la tecnologia di industria
• Salvo diversa indicazione negli sviluppi successivi si
considereranno le tavole prodotto per prodotto preverite
dall’Eurostat, (l’ISTAT le calcola con la tecnologia per
branca)
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
37
La tecnologia mista
• Nella realtà alcuni prodotti seguono la tecnologia di
industria (ad esempio i sottoprodotti) altri quella di
prodotto. Per seguire questa più realistica ipotesi di
tecnologia mista si devono realizzare due diverse
tavole dell’offerta quella dei prodotti realizzati con la
prima tecnologia e quella dei prodotti realizzati con la
seconda per cui si avrà: M=IM+PM
• Di conseguenza tutti i coefficienti dovranno essere
calcolati separatamente secondo le due tecnologie poi
sommati dando loro un pesa relativo alla presenza
delle due tecnologie nella produzione delle singole
branche.
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
38
Matrici, vettori e coefficienti per la
tavola simmetrica
Tavola 9.12a
Impieghi
Prodotti (1)
Calcolo dei coefficienti simmetrici di consumi intermedi
Prodotti
codici
Agricoltura s.p.
P1
P.industriali
P2
P. dei servizi
P3
Branche
I
P2
P3
A1
A2
A3
b p
b p
x 1,4 bxp^-1
x 1,6
1,5
b p
b p
b p
x 2,4 x 2,5 x 2,6
^-1
b p
b p
b p
x 3,4 x 3,5 x 3,6
A = BD
B=Ug
p
-1
A = BC
C = M'g
-
X
Impieghi finali
(4)
f
E
Impieghi t.
(5)
d
Coefficienti calcolati per la produzione interna o per un'economia chiusa
Agricoltura s.p.
A1
Industria
A2
Servizi
A3
D=Mg^-1
I
Ai = DB
p i
A = C-1B
-
g
y'
Valore aggiunto
Importazioni
dall'estero
7
Produzione-t.i.
8=5+7
Jacopo Di Cocco
P1
Branche
e
q'
g'
Tavole Input-Output
39
Calcolo delle matrici X
• Moltiplicando le diverse A per i rispettivi
vettori della produzione (dei prodotti o
delle branche) diagonalizzati si ottengono
le matrici X delle corrispondenti versioni
delle simmetriche
• Le possibili versioni saranno 6 se si
considerano le tecniche miste, 4 se si
considerano solo quelle omogenee, 2 se
quelle per prodotto porta a coefficienti
negativi.
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
40
Tavole simmetriche e modello I/O
• Con le tavole simmetriche è possibile sviluppare il
modello delle interdipendenze industriale e calcolare
significativi moltiplicatori dell’indotto.
• Mostriamo solo i principali sviluppi del modello.
• Tra tutte le possibili versioni della simmetrica l’ISTAT
ha adottato prioritariamente una simmetrica prodotto
per prodotto ottenuta con l’ipotesi della tecnologia di
industria.
• Quanto sarà mostrato del modello I/O è possibile
applicarlo a tutte le simmetriche, per prodotto o
industria, con qualsiasi ipotesi costruite.
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
41
Una tavola simmetrica semplificata
prodotto per prodotto
Tavola 9.4 Versione semplificata di tavola delle interdipendenze simmetrica (prodotto per prodotto, tecnologia industria)
Prodotti
Prodotti
X=IAg^
Componenti del
valore
aggiunto
y=Zg^
Produzione per
prodotto
s’=pq
Resto del mondo
Totale
Jacopo Di Cocco
Spesa per
consumi
finali
Resto del mondo
Fe=EEx
–
Investimenti lordi
Totale
Fi =EI
q
Fc=ECf
–
–
–
m’=mq
–
r'=tq'
–
–
–
–
–
Tavole Input-Output
–
r‘u=u'tq
42
T9.4 Tavola simmetrica delle interdipendenze: prodotto per prodotto, prez.d'acquisto
Impieghi e
costi di produzione
Prodotti (1)
codici
Agricoltura s.p.
P1
Prodotti
(1)
P1
x 1,1
P2
x 1,2
P3
x 1,3
P4
x 1,4
P5
P6
(2)
Impieghi finali
Impieghi t.
(3)
(4)
(5)
Xu
Ex
x 1,5
x 1,6 S x 1,j f1,ex
Cf
I
a
FU
qt
f1,cf
f1,I Sf1,n
a
qt2
qt1
P.industriali
P2
x 2,1
x 2,2
x 2,3
x 2,4
x 2,5
x 2,6 S x 2,j f2,ex
f2,cf
f2,I Sf2,n
a
P. costruzioni
P3
x 3,1
x 3,2
x 3,3
x 3,4
x 3,5
x 3,6 S x 3,j f3.ex
f3,cf
f3,I Sf3,n
a
qt3
Servizi tradizion.
P4
x 4,1
x 4,2
x 4,3
x 4,4
x 4,5
x 4,6 S x 3,j f4.ex
f4,cf
f4,I Sf3,n
a
qt4
x 5,3
x 6,3
x 5,4 x 5,5 x 5,6 S x 5,j f5.ex
x 6,4 sx 6,5 x 6,6 S x 6,j f6.ex
f5,cf
f6,cf
f5,I Sf5,n
f6,I Sf6,n
a
qt5
a
qt6
Servizi fin.pr.no.
P5
A.servizi pu.priv.
P6
Totali Ci, If
R.lavoro.dip.
U'X
w'
x 5,1
x 6,1
x 5,2
x 6,2
S x i,1 S x i,2 S x i,3 S x i,4 S x i,5 S x i,6 S x i,j Sfi,ex Sfi,cf Sfi,I Sfi,n
S qti+Srj
a
T. consumi intermedi per branca
Totali impieghi finali T.impieghi
Tavola dei fattori e delle risorse
Yu X = matrice d.consumi intermedi calcolati
yl,1 yl,2 yl,3 yl,4 yl,5 yl,6 Syl,j XU = vendite intermedie p.a.
t'
yt,1
yt,2
yt,3
yt,4
yt,5
yt,6
Syt,j U'X = acquisti intermedi p.a.
Ammortamenti
a'
R.N.Gestione
p'
ya,1
yr,1
ya,2
yr,2
ya,3
yr,3
ya,4
yr,4
ya,5
yr,5
ya,6
yr,6
Sya,j F = matrice degli impieghi finali p.a.
Syr,j aqt = impieghi totali per prodotto
A.impos.i.n.s.pe.
a
Valore aggiunto
U'Y
Produzione-t.i.
s'
Tot.Importazioni cif
m'
Impos.n. s. prodotti
Totali delle risorse
Jacopo Di Cocco
p
a
Syi,1 Syi,2 Syi,3 Syi,4 Syi,5 Syi,6 Syi,j Y = matrice del valore aggiunto
b
s1
m.1
t'
p
r'
a
b
s2
m.2
t1
p
r1
a
b
s3
m.3
t2
p
r2
a
b
s4
m.4
t3
p
r3
a
b
s5
m.5
t4
p
r4
a
b
s6
m.6
Sbsj s = produzione lorda vendibile dei prodotti
SmI,j
m =vettore delle importazioni cif
t6
Stj
p
r6
Srj
a
t5
p
r5
a
Tavole Input-Output
t' = imposte indirette nette sui prodotti
r' = risorse per prodotto p.a.
43
Articolazioni della TIO simmetrica
prodotto per prodotto
•
•
•
•
•
•
•
Le due versioni prodotto per prodotto e industria per industria sono
sostanzialmente analoghe salvo la differenza dell’articolazione dei beni
utilizzati dei loro produttori
La tavola prodotto per prodotto segue il modello I/O classico di omogeneità
merceologica dei produttori.
Si articola logicamente nella matrice dei consumi intermedi, in quella degli
impieghi finali, in quella dei fattori della produzione e delle risorse.
I consumi intermedi sono presentati per gruppo merceologico o branca di
produzione omogenea di origine (colonne) per gruppo merceologico o
branca omogenea di destinazione (righe): da chi a chi.
Gli impieghi finali sono articolati per impiego (colonne) e per prodotti
utilizzati (branca di produzione omogenea fornitrice) quindi la matrice F = E
Consumi intermedi ed impieghi finali sono articolati per origine interna o
esterna all’economia.
La matrice dei fattori e delle risorse vede in colonna i prodotti realizzati e in
riga i fattori e le risorse (prodotte e importate) utilizzate per costruirli.
Bisogna calcolare i fattori primari utilizzati nelle diverse industrie che
producono i prodotti della colonna Y = Z*M’
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
44
Articolazioni della TIO simmetrica
industria per industria
• Le versione industria per industria (industria = branca di attività
economica) privilegia le unità produttive locali più facili da rilevare e
calcolare. Consente tuttavia di calcolare il modello I/O.
• Si articola logicamente nella matrice dei consumi intermedi, in quella
degli impieghi finali, in quella dei fattori della produzione e delle
risorse.
• I consumi intermedi sono presentati per branca di attività economica
produttrice (colonne) per corrispondente paniere di beni utilizzati
dalle branche di destinazione (righe): da chi a chi.
• Gli impieghi finali sono articolati per impiego (colonne) e per paniere
di prodotti utilizzati (branca di attività economica fornitrice).
• Consumi intermedi ed impieghi finali sono articolati per origine
interna o esterna all’economia.
• La matrice dei fattori e delle risorse vede in colonna le branche di
attività economica utilizzatrici e in riga i fattori e i diversi panieri delle
risorse prodotte ed importate.
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
45
Produzione e risorse della TIO simmetrica:
versione prodotto per prodotto
Y  matrice del valore aggiunto per prodotto (colonne) e
per componente (salari, ammortamen ti, risultato di gestione)
P
P
Yu  vettore riga del valore aggiunto ai prezzi base
s t X' u  P Y' u p q  produzione dei prodotti od offerta coincident e
con gli impieghi di origine interna
m  i q  i Xu  i Fu  vettore delle importazio ni totali per prodotto
r  t q  X' u  P Y' u  m  vettore delle risorse  agli impieghi totali di
qualsiasi origine ai prezzi base
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
46
Produzione e risorse della TIO simmetrica:
versione branca per branca
Y  matrice del valore aggiunto per prodotto (colonne) e
per componente (salari, ammortamen ti, risultato di gestione)
Yu  vettore riga del valore aggiunto ai prezzi base
g  t X' u  Y' u  produzione delle branche od offerta coincident e
con gli impieghi delle forniture delle industrie attive sul territori o
b
m  i Xu  i Fu  vettore delle importazio ni totali per branca
r  g  m  X' u  Y' u  m  vettore delle risorse  agli impieghi totali di
qualsiasi origine ai prezzi base
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
47
Un esempio d’uso
• Per un studio sul peso e gli effetti delle
attività immobiliari si sono calcolate le
matrici simmetriche e quindi il modello
input output anche per gli anni successivi
al 2000 in cui si disponeva solo di quelle
delle risorse e degli impieghi.
• Si possono vedere nell’apposita cartella le
elaborazioni prodotte.
Jacopo Di Cocco
Tavole Input-Output
48