PROBLEM SOLVING
ARITMETICO
DOTT.SSA Tania Mattiuzzo
Cell.347.9675812
la soluzione dei problemi matematici richiede
competenze cognitive
• abilità che definiscono la competenza testuale (comprensione
lessicale, sintattica e semantica almeno in buona parte simile a
quella richiesta per la comprensione dei testi non matematici);
• quelle di tipo rappresentazionale della situazione problemica (es.
saper rappresentare mentalmente oppure graficamente la situazione
descritta nel testo, in particolare il rapporto tra i dati e domande a cui
rispondere;
• quelle che consentono la generalizzazione delle conoscenze: saper
riconoscere cioè la struttura profonda di un problema al di là degli
oggetti o degli eventi di cui si parla (abilità di categorizzazione);
• quelle relative alle abilità di management dei compiti da svolgere
(es. pianificazione delle fasi necessarie per la soluzione di un
problema; saper essere in grado di autovalutare il proprio operato;
individuare l’errore nell’applicazione delle procedure, ecc.)
abilità di management dei compiti
da svolgere
• Questo ultimo aspetto introduce le
ricerche ad indirizzo metacognitivo che
hanno dato spazio ad alcuni processi di
controllo nel problem solving matematico.
Si tratta in particolare degli studi
pioneristici della Brown sul ruolo dei
processi di previsione, pianificazione,
monitoraggio e valutazione del proprio
operato di fronte al compito.
Stenberg (1987) successivamente identifica il ruolo di sei
differenti processi di controllo che un soggetto utilizzerebbe
nella soluzione di problemi matematici:
• la decisione sulla natura del problema
• la selezione delle componenti per la
soluzione
• la selezione di una strategia per la
combinazione degli elementi
• la decisione su una rappresentazione
mentale
• la distribuzione delle risorse
• il monitoraggio dei processi di soluzione.
comprensione del testo del
problema
• ad essa viene riconosciuto un ruolo cruciale
nelle fasi iniziali per identificare di che cosa si
tratta nel testo (identificazione del problema),
anche se solo indirettamente collegata alla
metacognizione (es. organizzazione del testo,
posizione del quesito, ecc.)
• La comprensione del problema è fortemente
aiutata dal recupero di uno schema di memoria
che si riferisca a quel tipo di problema.
• Questo schema, in connessione con un
insieme di conoscenze metacognitive sulle
tipologie dei problemi, è quello che aiuta a
riconoscere la somiglianza tra problema in
esame ed altri problemi svolti.
• Dopo che il problema è stato compreso, il
solutore deve determinare quali sono gli
elementi noti, quali quelli sconosciuti e che cosa
viene esattamente richiesto, per arrivare a
definire il problema in modi nuovi.
• Il confronto tra tipologie di problemi favorisce la
procedura di classificazione e la
generalizzazione delle conoscenze.
E’ questo il miglior predittore delle abilità del
soggetto.
rappresentazione del testo
• abilità che si basa sulla selezione,
reinterpretazione e riorganizzazione degli
elementi offerti dal testo del problema
problema attraverso “la costruzione di una
mappa mentale degli elementi, della
relazione fra gli elementi e degli scopi”
L’attività di pianificazione
• prevede che gli elementi del testo vengano organizzati in un certo
modo.
In Cornoldi et al. (1995; pag. 17) “…i buoni solutori, procedendo
nella soluzione, devono tener sotto controllo, aggiornare e
completare il piano iniziale . Inoltre, al di là dell’efficienza del piano
elaborato, esso ha comunque implicato dei costi (il soggetto ha
dovuto impiegare tempo e risorse cognitive, ha dovuto sforzarsi per
evitare di distrarsi durante la concentrazione in operazioni mentali di
pianificazione abbastanza astratte) che in molti casi non sono
compensati dai benefici poi avuti durante la soluzione. … Un
soggetto con buone abilità metacognitive non è necessariamente
quello che pianifica maggiormente, ma quello che sa capire fino a
che punto è appropriato pianificare e quando è necessario
aggiornare e completare il piano”…’’
Studenti con difficoltà nel
risolvere problemi di matematica
• Cosa conosciamo sull’origine di queste
difficoltà
• Cosa possiamo fare
Proviamo a risolvere il
seguente problema
Se il reddito annuo di Paolo venisse
raddoppiato, guadagnerebbe 50 Euro
più di Luigi. Paolo guadagna 70 Euro in
più della metà del reddito di Marco.
Marco guadagna 180 Euro a settimana.
Qual è il reddito di Luigi?
Ora pensate ai processi
cognitivi e alle strategie
metacognitive che avete usato
per risolvere il problema.
Avete probabilmente usato
alcune delle seguenti strategie e
processi:
•
•
•
•
•
•
•
•
Rilettura del problema o alcune sue parti
Identificazione delle parti
Formulazione del quesito
Visualizzazione o disegno o diagramma
Farsi uno schema elaborativo
Valutazione del risultato
Effettuare delle operazioni e ricontrollare il lavoro
Controllare di aver risolto il problema
correttamente (prodotto e elaborazione)
Buoni risolutori di problemi di
matematica hanno una conoscenza
matematica che include:
•
•
•
•
Conoscenza dei concetti
Conoscenza dichiarativa
Conoscenza dei processi mentali
Conoscenza di strategie
Domande
• Cosa sappiamo al riguardo di risolutori abili e meno
abili di problemi di matematica?
• Cosa possiamo fare per aiutare gli studenti a divenire
risolutori più abili di problemi di matemica?
Per rispondere a queste domande, è importante:
• Capire le teorie sottostanti
• Avvicinarsi al problema con la stessa metodologia
che si usa per la ricerca
• Utilizzare modalità di intervento che si sono rilevate
efficaci
Risolvere problemi è un’attività cognitiva
complessa.
Cosa sappiamo a riguardo di risolutori abili e meno
abili di problemi di matemica che usano la
conoscenza di strategie?
• PS/SL abili
– Repertorio di conoscenze cognitive e
metacognitive e uso appropriato di queste
– Alta motivazione
– Abilità di memoria
– Linguaggio sviluppato
– Emotività sotto controllo
– Molto attenti
– Persistenti
– Auto motivati
– Si controllano da soli
– Abilità ad adattarsi e a generalizzare strategie
•PS/SL meno abili
–Mancanza o repertorio limitato di strategie
–Difficoltà nella selezione, organizzazzione e nell’uso di
strategie appropriate
–Difficoltà nell’abbandono di strategie non efficaci
–Abilità metacognitive non sviluppate
–Bassa motivazione
–Impulsivi
–Problemi di attenzione, memoria e linguaggio
–Non persistenti
–Non auto motivati
–Inabilità a trovare e correggere errori
–Mancanza di visualizzazione dei problemi
–Inabilità a generalizzare
Alcune ricerche hanno messo in
evidenza che studenti con difficoltà a
risolvere problemi di matematica
paragonati agli studenti tipici
presentavano differenze rilevanti
in….
•
•
•
•
•
.
Abilità matematica elementare
Abilità nel valutare la difficoltà del problema
Percezione delle proprie abilità
Persistenza
Debole uso di strategie: in particolare la
strategia di rappresentazione grafica del
problema
Ricerca sull’intervento:
Cosa possiamo fare?
Insegnamento delle strategie
cognitive:
• Questo dà ulteriore assistenza sul metodo per
insegnare agli studenti come decidere sul da farsi.
• Gli studenti imparano a
– Capire problemi di matematica,
– Analizzare le informazioni presentate,
– Sviluppare schemi logici per risolvere problemi,
– Valutare le loro soluzioni.
Processi cognitivi e strategie
metacognitive
Processi cognitivi
• Leggere e capire il problema.
• Parafrasare il problema
usando parole proprie.
• Visualizzare il problema
facendo un illustrazione o
creando un’immagine mentale.
• Fare un’ipotesi o creare un
diagramma per risolvere il
problema.
• Dare una soluzione
approssimativa.
• Fare i calcoli aritmetici.
• Controllare l’elaborazione e il
prodotto.
Strategie metacognitive
(auto motivazione)
• Sviluppare l’auto
apprendimento
• Porsi molte doamnde sul
pocedimento: indagare le
possibili soluzioni
• Controllare e Correggere
Insegnamento delle strategie
cognitive
Strategie di monitoraggio individuale
aiutano i risolutori di problemi a
• Acquisire la conoscenza strategica e attivare
importanti processi cognitivi,
• Indirizzare se stessi mentre si assilimilano le
informazioni e si applicano le strategie, e
• Regolare l’uso di strategie e il proprio
progresso nel risolvere i problemi.
Accertamento dell’abilità nel
risolvere i problemi
Accertamento iniziale e controllo continuo:
• Valutare il rendimento dello studente nel risolvere
problemi di matematica
• Accertarsi della conoscenza e dell’uso di strategie da
parte di ogni studente
• Usare processi di accertamento rivolti verso gli
studenti, basati sull’elaborazione, e direttamente
relativi al programma di istruzione
• Capire la conoscenza elementare degli studenti, il
livello di abilità, lo stile di apprendimento, il metodo di
elaborazione dati, le attività strategiche usate,
l’atteggiamento, e la motivazione per l’apprendimento
della matematica
• L’insegnante deve essere capace di giudicare i
bisogni sia individuali che del gruppo
Istruzione esplicita
•
•
•
•
Lezioni altamene strutturate e organizzate,
Aiuti e indizi adeguati,
Pratica indirizzata e ben distribuita,
Feedback immediato e produttivo sul
rendimento dello studente,
• Incoraggiamento positivo,
• Imparare più del necessario, e
• Padronanza del materiale.
Istruzione implicita
• Tecnica di discussione indirizzata usando una
routine specifica per risolvere il problema
• Impegnarsi attivamente nel processo
d’apprendimento
• Obiettivo di rendimento che gli studenti si
pongono da soli
• Trovare successo immediato
• Fare pratica nella verbalizzazione di processi
cognitivi e strategie di controllo individuale
Modello di elaborazione
Il modello di elaborazione: pensare ad alta
voce mentre si dimostra un’attività cognitiva.
• Aiuta gli studenti ad applicare i procedimenti e le strategie
di risoluzione di problemi
• Enfatizza l’appredimento per imitazione
• Dà agli studenti l’opportunità di osservare e sentire come
risolvere un problema di matematica
• L’insegnante mostra agli studenti come esporre il
ragionamento e a farlo a loro volta mentre risolvono
problemi di matematica
• Mostra agli studenti sia cosa fare che cosa non fare
• Modello dei ragionamenti corretti consente di osservare
l’applicazione adeguata e corretta dei processi e delle
strategie
• Modello dei ragionamenti incorretti consente agli studenti di
osservare come localizzare e correggere gli errori
Feedback sul rendimento
• Feedback sul rendimento e progresso mentre
si imparano e si applicano le strategie e i
procedimenti per risolvere problemi.
– Rendimento durante sessioni di pratica e controlli
sul progresso periodico viene anche analizzato.
– Gli studenti imparano a incoraggiarsi, valutarsi e
controllare il proprio rendimento.
– Elogi ed incoraggiamento da parte degli altri
studenti e dell’insegnante per aver correttamente
risolto un problema o aver migliorato nei controlli
periodici del rendimento.
– Uso di elogi specifici indirizzando il feedback
verso lo studente in questione.
Incoraggiamento
• Essenziale per studenti che imparano a risolvere problemi
• Bisogna sapere esattamente quali ragionamenti sono elogiati e
incoraggiati in modo che si possano ripetere
• Dà opportunità di fare pratica nel dare e ricevere feedback e
incoraggiamento
• Mostra che gli studenti hanno successo e che possono
migliorare le loro abilità nel risolvere problemi
• L’incoragiamento deve riflettere accuratamente il risultato
ottenuto dallo studente
• Serve ad informare gli studenti che stanno rendedo bene e
stanno facendo progressi
• L’incoraggiamento da parte degli altri studenti per aver
partecipato nelle sessioni di pratica è parte essenziale del
programma
• L’obiettivo finale è di far sì che gli studenti si rendano conto che
hanno fatto bene e che si lodino per questo.
Riepilogando……
•
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
L’intervento suggerito si basa sulla
esplicitazione al soggetto di sette fondamentali
categorie di strategie e processi cognitivi e tre
metcognitive. I processi cognitiv sono:
leggere per comprendere
parafrasare per tradurre
visualizzare per trasformare
ipotizzare per pianificare
stimare per predire
calcolare
e controllare
Mentre…..
Le strategie metacognitive sono:
• autoistruirsi in relazione alla conoscenza e
all’uso di strategie
• Autointerrogarsi
• automonitorarsi.
References
•
•
•
•
•
•
•
•
.
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La discalculia
…..
Per l’analisi dei disturbi delle procedure
esecutive e di calcolo si concorda con la prassi
comune di definire l’età minima per porre la
diagnosi non prima della fine del 3° anno della
scuola primaria (3a elementare), soprattutto per
evitare l’individuazione di molti falsi positivi.
Nel corso dell’ultimo anno della scuola
dell’infanzia:
i bambini in genere raggiungono
•l’enumerazione fino a dieci (enunciazione della
serie verbale automatica),
•il conteggio fino a cinque,
•il principio di cardinalità
•la capacità di comparazione di piccole
quantità.
Per i bambini che non avessero ancora raggiunto queste
competenze l’obiettivo è realizzare attività didattichepedagogiche mirate.
Alla fine della prima elementare vanno individuati i
bambini che non hanno raggiunto una o più delle
seguenti abilità:
• a) il riconoscimento di piccole quantità,
• b) la lettura e la scrittura dei numeri entro il dieci,
• c) il calcolo orale entro la decina anche con supporto
concreto.
L’individuazione di tali difficoltà è finalizzata alla
realizzazione di attivitàdidattiche-pedagogiche mirate
durante il secondo anno della scuola primaria.
Schema dei processi
PROCESSI
SEMANTICI
PROCESSI
LESSICALI
PROCESSI
SINTATTICI
COUNTING
CALCOLO A
MENTE
CALCOLO
SCRITTO
Le aree di intervento
• Lessico: il nome dei numeri con attività che sollecitano
sia la componente fonologica che visuopercettiva
• Semantica: la quantità continua e discreta,
l’indipendenza della quantità dagli aspetti visuopercettivi
e fonologici, i codici per esprimere le quantità, il
significato delle operazioni
• Sintassi: i sistemi di grandezza, l’ordinamento secondo
la dimensione
• Counting: dal subitizing alla capacità di operare con le
quantità
• Calcolo mentale: operare con i numeri attraverso
strategie
• Calcolo scritto
Le domande base
• Lessico: che numero è?
• Counting: quanti sono?
• Sintassi: quali regole organizzano il
sistema quantitativo del numero?
• Semantica: Dove ce n’è di più?
Dove ce n’è di meno?
Che fare per averne di più?
E per averne di meno?
APPRENDIMENTO DEL
NUMERO E DISCALCULIA
• Negli anni che vanno dal 1870 al 1890, gli
studiosi dell’afasia osservarono che alcuni
dei loro malati avevano perso la capacità
di leggere e scrivere numeri. Questo
deficit venne interpretato come un aspetto
del quadro sintomatologico dell’afasia
• Vennero però osservati anche pazienti
che avevano mantenuto la capacità di
leggere e scrivere numeri, ma non
quella di leggere e scrivere parole
• E più raramente, quadri opposti:
incapacità di leggere o scrivere numeri,
con mantenuta capacità di leggere o
scrivere parole
• Henschen nel 1919 introdusse il termine di
“acalculia” per designare: qualsiasi tipo di
compromissione nell’uso dei numeri e in
senso più stretto per designare
specificatamente il disordine di calcolo
Kosc, 1974 definisce la
discalculia evolutiva
• Un disordine strutturale delle abilità
matematiche, che ha la sua origine in un
disordine genetico o congenito in grado di
influire nella formazione di alcune aree del
cervello, in assenza di disordini simultanei
alle funzioni mentali generali.
Disturbo specifico delle abilità
aritmetiche
Questo disturbo implica una specifica compromissione delle abilità
aritmetiche e, in particolare:
• La padronanza delle capacità di calcolo fondamentali proprie delle
quattro operazioni.
• Esso si caratterizza per l’incapacità a comprendere i concetti alla
base di particolari operazioni aritmetiche,
• mancata comprensione dei termini o dei segni matematici, mancato
riconoscimento dei simboli numerici,
• difficoltà ad attuare manipolazioni aritmetiche standard, difficoltà a
comprendere quali dati sono pertinenti al problema aritmetico in
esame,
• difficoltà ad allineare correttamente i numeri o a inserire decimali o
simboli durante i calcoli,
• difettosa organizzazione spaziale dei calcoli aritmetici, incapacità ad
apprendere in modo soddisfacente le tabelle della moltiplicazione.
Le prestazioni aritmetiche del bambino devono
essere significativamente al di sotto del livello
atteso in base alla sua età, al suo livello intellettivo
generale e alla sua scolarizzazione. Anche in
questo caso la valutazione può essere effettuata
sulla base di un test aritmetico standardizzato
somministrato individualmente
(ad esempio il test ABCA/Test delle abilità di calcolo aritmetico, Lucangeli et al., 1998 e il
Test AC-MT, Cornoldi et al., 2002).
Dagli studi emerge che i bambini che
presentano questo disturbo tendono ad
avere capacità uditivo percettive verbali
nella norma, mentre le capacità
visuopercettive e visuospaziali sono
compromesse.
Quali sono le componenti che
possono essere compromesse nella
Discalculia Evolutiva
• Elaborazione del numero: conoscenza
lessicale, semantica e sintattica del
numero e processi di transcodifica
• Conoscenza di fatti numerici: tabelline e
conoscenza del significato dei segni
• Conoscenza procedurale: algoritmi di
calcolo
LA CONOSCENZA DEL NUMERO
• Tra i modelli cognitivi che sostengono la
specificità delle componenti coinvolte
quando si eseguono dei calcoli o si
riconoscono dei numeri, descrivo
brevemente quello di McCloskey e
Caramazza, che fornisce un primo, anche
se schematico generale inquadramento
dell’elaborazione di informazioni
numeriche e delle modalità attraverso le
quali avviene il calcolo.
due sistemi specifici e indipendenti alla base
dell’apprendimento della matematica
• il sistema responsabile
dell’elaborazione dei
numeri
che consente di operare
con i numeri, cioè
riconoscerne i simboli
grafici, contare, attribuire
ad ogni numero la sua
quantità, attribuire ad
ogni cifra che compone
un numero il suo corretto
valore posizionale, ecc.
• il sistema preposto
all’elaborazione del
calcolo
cioè il sistema che
riconosce i simboli
aritmetici e specifica gli
algoritmi di calcolo.
Modello McCloskey e Caramazza
SISTEMA DI ELABORAZIONE DELL’INPUT
NUMERICO (/7/+/2/)
SISTEMA DI CALCOLO (ACCESSO AGLI ALGORITMI
E AI FATTI NUMERICI)
SISTEMA DI ELABORAZIONE DELL’OUTPUT
NUMERICO (/9/ OPPURE /NOVE/)
Un’altra importante distinzione è da operarsi tra
meccanismi di comprensione e produzione dei numeri (cfr.
Temple, 1991; Lucangeli e Passolunghi, 1995)
• Comprensione
capacità percettive e
mnestiche che
permettono la decodifica
del numero
(riconoscimento
dell’etichetta, attribuzione
di una quantità,
elaborazione della
relazione sintattica tra gli
elementi che
costituiscono il numero)
• Produzione:
sono chiamate in causa
la capacità di selezionare
gli elementi fondamentali
del lessico numerico in
base al loro valore
semantico e sintattico
Un deficit a livello della:
• Comprensione:
• Produzione:
impedisce l’output del
impedisce l’accesso al
sistema
sistema cognitivo dei
numeri
All’interno dei sistemi di
comprensione e produzione
• si distinguono unità funzionali di elaborazione
in base al codice uditivo (fonologico) e visivo
(grafemico o arabico) indipendenti tra loro (per
cui possono essere compromessi
selettivamente). A questo livello sono coinvolte
le attività di transcodifica che consentono il
passaggio da un codice all’altro.
• Un deficit in uno di questi sistemi darà luogo
a difficoltà specifiche che comprometteranno il
corretto funzionamento dell’intero sistema e di
conseguenza l’apprendimento della matematica.
• Possiamo collocare con la frequenza della
prima classe della scuola primaria lo sviluppo de
“Il sistema di elaborazione del calcolo”, che
comprende tutti i processi che hanno luogo dopo
l’elaborazione dell’input e prima della
produzione dell’output (per esempio i processi di
conta, la rievocazione dei fatti numerici e degli
algoritmi di calcolo, ecc.), e comprende tre
componenti tra loro indipendenti (McCloskey et
al.,1985)
1. processazione dei segni delle operazioni
(in base al codice arabo o verbale)
2. recupero delle conoscenze sui numeri in
Memoria a Lungo Termine (conoscenza
dei cosiddetti fatti numerici)
3. l’attivazione delle componenti di memoria
procedurale che specificano gli algoritmi
per ogni operazione.
TIPI DI ERRORI
• LESSICALI: sono quelli che riguardano il “nome” delle cifre
che compongono il numero senza coinvolgere il loro posto
all’interno del numero es. 4 al posto di 7; 15 al posto di 13;
31 al posto di 32
• SINTATTICI: sono quelli in cui risulta compromessa la
capacità di stabilire i rapporti tra le cifre in una struttura
sintattica corretta, pur rimanendo integra la capacità di
codificare le singole cifre es. 13 invece di 31 e 184 invece
di 148
• ERRORI NEL SISTEMA DI CALCOLO:
 Errori nel recupero di fatti aritmetici es. 3+3=9; es. 3x3=6
 Errori nel mantenimento e nel recupero delle procedure es.
nell’operazione 3+5, il b. parte da 3 per aggiungere 5
invece che porre l’addendo più grande come punto di
partenza
 Errori nell’applicazione delle procedure sono gli errori di
riporto, di incolonnamento, di prestito es. 75-58=20 perché
5-8=0 e 7-5=2; es. 506-228=388 in cui il prestito è avvenuto
una sola volta, a carico delle decine
 Difficoltà visuospaziali es. difficoltà nel riconoscere i segni
di un’operazione (+ e x); es difficoltà ad acquisire i concetti
di “dall’alto verso il basso” “oppure da sinistra verso destra”
Ricordiamo…LA DISCALCULIA
EVOLUTIVA
• Tra i Disturbi Specifici di Apprendimento è quella meno
conosciuta
• Non è sufficiente avere generiche difficoltà in matematica
per essere definiti discalculici devono essere rispettati
specifici parametri condivisi dalla comunità scientifica
• Le difficoltà riguardano i compiti numerici e aritmetici di
base come leggere e scrivere correttamente i numeri o
eseguire calcoli a mente o per iscritto con sufficiente
rapidità e precisione
Una definizione
(Christine Temple)
“la discalculia è un disturbo delle abilità
matematiche e aritmetiche che si manifesta in
bambini di intelligenza normale, che non
hanno subito danni neurologici. Essa può
presentarsi associata a dislessia, ma è
possibile che ne sia dissociata”