Strati antiriflesso
Un’importante applicazione delle proprietà di interferenza delle lamine è
la deposizione di strati antiriflesso sulle superfici ottiche. Ricordiamo la
formula della riflettività data da Fresnel: R = R┴ = n1  n2
n1  n2
Si hanno i due casi a seconda che n2>o < n1
In entrambi il coefficiente
di riflessione per l’intensità
2


n

n
2
è: r  R   1 2 
n n 
 1 2
Uno strato antiriflesso è
costituito da uno strato di spessore d di materiale di indice di rifrazione
n2 interposto tra il primo mezzo n1 (es aria) ed il secondo n3 (es vetro). n1
< n2 < n3. Si ha la situazione di sinistra della figura. Strato antiriflesso:
n2 d = λ0/4 per n2  n1n3 si ha completa elisione. λ0 = lunghezza
d’onda nel vuoto.
Siccome n () l’elisione si ha
perfettamente per una  ed approssimativamente per le  vicine
Strati riflettenti
Se si ha la situazione di destra di figura e cioè sia depositato uno strato
intermedio con n2 > n3 e di spessore: n2 d = λ0/4: λ0 = lunghezza d’onda
nel vuoto, si ha un rafforzamento dell’intensità riflessa. Su questo
principio si costruiscono specchi a riflettività variabile (a seconda del
numero degli strati) e specchi dicroici che cioè sono riflettenti per una
determinata λ e trasparenti per altre. Specchi dicroici sono utilizzati ad
es. per miscelare e/o dividere diverse componenti spettrali ad es per la
ricostruzione del colore (componenti RGB) nei proiettori.
Specchi ad alta riflettività per laser
Nel funzionamento dei laser sono necessari specchi ad alta riflettività su
bande spettrali relativamente strette. Si utilizzano diversi strati dielettrici
del tipo visto alternativamente con basso ed alto indice di rifrazione e
ciascuno di spessore λn/4. Si ha la situazione di figura.
Sommando
coerentemente
il
contributo di n doppi strati si
ottengono elevate riflettività su
bande spettrali strette: specchi
selettivi in λ. Siccome l’effetto di
interferenza costruttiva delle varie
riflessioni dipende dalla differenza
di cammino tali specchi presentano
riflettività variabile anche con l’angolo di
incidenza della radiazione:
L’interferometro di Michelson
Esso è costituito come in figura. Un fascio di
luce proveniente dalla sorgente monocromatica
S incide su una lastra M che ha una faccia a
specchio semitrasparente posta a 45o; una parte è
riflessa verso lo specchio M1, una parte eguale è
trasmessa verso lo specchio M2 passando
attraverso la lastra G. I fasci riflessi da M1 e M2
tornano verso la faccia semiriflettente di M: quello proveniente da M1
parzialmente trasmesso e quello proveniente da M2 parzialmente riflesso
arrivano dopo un telescopio sulla retina dell’osservatore dove
interferiscono: essi sono coerenti perché ottenuti da una stessa sorgente
per divisione di ampiezza. La lastra G detta di compensazione assicura
che in entrambi i percorsi vi sia lo stesso spessore di vetro attraversato;
in questo modo i cammini ottici sono indipendenti dalla dispersione e
quindi non vi sono effetti di dipendenza da  attraverso n; G è essenziale
se si usa luce bianca, mentre è utile per radiazione monocromatica ed
assicura che la differenza di cammino ottico dipenda per ogni  solo da
d1 – d2 cioè dalla differenza di percorso tra i due bracci. Se i due specchi
sono esattamente perpendicolari tra loro l’effetto è equivalente a quello
prodotto da una lamina d’aria di spessore d = d1 – d2 : la luce proveniente
da M1 gioca il ruolo di luce proveniente dalla faccia inferiore della
lamina, quella proveniente da M2 di luce riflessa dalla faccia superiore
della lamina. La lamina d’aria equivalente è quella sotto lo specchio M1 e
la linea tratteggiata, bordo superiore della lamina è l’immagine M2’ di M2
prodotta da M. Se l’interferometro è illuminato con un fascio parallelo
tutto il fascio verso l’osservatore è chiaro o scuro a seconda che
l’interferenza è costruttiva o distruttiva; se la sorgente è estesa la figura
di interferenza consiste in anelli chiari e scuri con il centro chiaro o scuro
a seconda che l’interf. sia costr. o distr. In ogni caso se si mantiene fisso
M2 e si sposta finemente con continuità M1, si varia lo spessore d1 – d2
della lamina: per ogni spostamento di /4 si osserva il cambiamento da
frangia chiara a frangia scura. Spostando lo specchio di una quantità L si
può confrontarlo con /4 contando quante frange chiare e scure si sono
alternate. L’interferometro di Michelson costituisce quindi un
sensibilissimo misuratore di spostamento.
Le applicazioni sono numerose: confronto del metro campione con la 
della riga emessa da atomi di Cd:  = 643.8 nm; se ne trovano 1.5531635
106 in 1 m. Base per la definizione ottica dell’unità di lunghezza.
Invarianza della velocità della luce dal sistema di riferimento:
Supponiamo che la direzione MM2 sia parallela alla velocità della terra
(e MM1 perpendicolare). Se la velocità della luce c si compone con
quella della terra v nel tratto MM2 è c – v e nel tratto M2M è c + v. Ciò fa
variare la condizione di interferenza perché lo sfasamento viene a
dipendere per fissi d1 e d2 anche da v. L’effetto benché entro la sensibiltà
dello strumento non si vede confermando l’ipotesi di Einstein della
costanza di c in ogni sistema inerziale, Si noti che invece c varia se il
sistema in cui si propaga la luce non è inerziale cioè ad es. subisce
un’accelerazione; è questa la base su cui si fonda il funzionamento dei
giroscopi laser.
Infine l’interferometro di Michelson può essere utilizzato per misurare
il grado di coerenza temporale di un’onda luminosa. L’interferenza tra le
due onde avviene tra due fasci che hanno percorso distanze diverse e
quindi tempi di percorrenza diversi. Se la differenza dei tempi è
superiore alla durata dell’emissione imperturbata del treno d’onde ad es.
di un atomo, l’interferenza non è più possibile perché vi è
sovrapposizione di onde incoerenti provenienti da emissioni diverse
degli atomi.
I max  I min
VP 
I max  I min
Onde elettromagnetiche stazionarie
L’esperimento di Hertz mise in evidenza la natura delle onde e.m. e la
loro velocità di propagazione che risultò essere circa c = a quella delle
onde luminose. Tale fatto (assieme a molti altri) fornì la conferma della
natura e.m. della luce come prevista da Maxwell.
Il dispositivo di Hertz è mostrato in fig.
S1 ed S2 sono caricate dal secondario di un
trasformatore fino alla tensione di innesco
delle due sferette piccole che costituiscono
uno spinterometro. Durante la scarica il
sistema è equivalente ad un dipolo elettrico
oscillante: infatti con la scintilla ha origine una scarica oscillante di
frequenza = 1/2π√LC e pulsazione  = 2 data dalle caratteristiche
elettriche LC del circuito ( R piccola) ( es.  = 4 107 Hz). Dal dipolo
vengono emessi un campo Ei ed un campo Bi che si propagano con le
caratteristiche delle o.e.m.. Lungo la direzione di propagazione x è posta
una lastra conduttrice ( a circa 13 m). Il campo Ei sul conduttore crea un
campo Er tale che la somma Ei +Er = 0 perché su esso non vi può essere
un campo elettrico parallelo. Il campo riflesso Er si propaga in senso opposto di Ei. Indichiamo con Ei = E0 sin( kx - t)
Er = E0 sin( kx + t)
le onde incidente e riflessa: E (x, t) = E0 [sin( kx - t) + sin( kx + t)] =
2E0 sin kx • cos t ; sulla superficie del conduttore si invertono sia il
verso del campo che del vettore di Poynting: Si = (1/μ0)EixBi ; il campo
magnetico Bi = (Ei/c) uz non si inverte:
la superficie è un massimo del campo magnetico per
cui: B = Bi + Br =2 (E0/c) cos kx cost uz. Un’onda
e.m. di questo tipo è un’onda stazionaria: essa non si
propaga: manca la dipendenza da kx  t. Fissato x
i campi E e B oscillano con pulsazione .
L’ampiezza dell’oscillazione varia da 0 al valore
max. 2E0 (per E) e 2E0/c (per B). Per il campo
magnetico le posizioni dei nodi (min) e dei ventri
(max) sono dati da:
kx = (2m + 1) (/2) x = (2m + 1) (/4) m = 0, 1,2
kx = m 
x = m (/2)
m = 0, 1,2
La distanza tra due nodi o ventri consecutivi è /2; la distanza tra un
nodo ed un ventre è /4. Per trovare le posizioni dei nodi e dei ventri
Hertz utilizzò una spira R di area  con un’apertura. La spira è posta
perpendicolare all’asse z: la si sposta lungo x: Il flusso attraverso la spira
è: ( B)  2 E0  cos kx cos t e nella spira si origina la f.e.m.
c
indotta:
il modulo di E varia da un max
d 2 E0 
E

cos kx sin t 2E /c nei ventri a 0 nei nodi:
0
dt
c
si può regolare la spaziatura dell’apertura della
spira in modo che vi sia scintilla quando E è al
valore max.. In questo modo si può misurare la
distanza tra ventri; in particolare un ventre dista di
/2 dalla lastra. Dalla distanza dei ventri si misura
; nota la frequenza del generatore di o.e.m. si
ricava la velocità c = . La formazione di onde stazionarie è
caratteristica di altri sistemi ad es. meccanici (corde oscillanti). Nell’elettromagnetismo un’importante applicazione delle onde stazionarie si
ha nella trattazione delle cavità risonanti.
Consideriamo una cavità parallelopipeda chiusa con pareti conduttrici e
riempita uniformemente di dielettrico isolante e trasparente con
dimensioni date dalla fig. Il campo E x, y, z, t 
obbedisce all’equazione:
 2
2
2 
   2  2  2 
 x y z 
2
2
1

E
 2 E  2 2  0 con
v t
ora alle pareti:
E n  0
Si effettua una separazione di variabili:
E  u x, y, z At  sostituendo si ha:
 2u   k 2u
d2A
2
equaz. di Helmotz e




v
k
A
2
dt
ha soluzione: A  A0 sin t    con A0 e
quest’ultima
 costanti:   kv
Si definisce modo (soluzione dell’eq. di Helmotz) una configurazione
stazionaria di campo e.m. I modi sono dati da:
u x  ex cos k x x  sin k y y  sin k z z con: k 2  k 2  k 2  k 2
u y  e y sin k x x  cos k y y  sin k z z
u z  ez sin k x x  sin k y y  cos k z z
x
y
z
e le condizioni al contorno:
x  2a
y  2a
zd
l l,m,n: interi positivi→ numero di ventri lungo x,y,z
2a
m Per ogni terna (l,m,n):
ky 
2
2
2
2a

l

m

n


 
 
 
2
2 
l ,m,n  v    

n



kz 
2
a
2
a
d

 
 
  

d
kx 
Le frequenze dei modi sono determinate dai numeri interi l,m,n: le
frequenze dei modi sono discrete.
Pur essendo il formarsi di onde stazionarie caratteristico di tutti i
fenomeni ondulatori con la luce visibile la separazione tra nodi e ventri è
/4 circa eguale a 0.15 m e quindi difficile da “vedersi”.
Le cavità risonanti ottiche hanno grande importanza per i laser. In alcuni
casi, es. laser a semiconduttore le cavità possono avere dimensioni
confrontabili con la  della luce visibile.