Anova a due fattori
• Esempio di piano fattoriale: il caso della
progettazione robusta di batterie
Temperatura (°F)
Tipo di
Materiale
1
2
3
15
130
Durata Batterie 70
155
34
125
40
20
70
74
180
80
75
82
58
150
188
136
122
25
70
159
126
106
115
58
45
138
110
174
120
96
104
168
160
150
139
82
60
1. Che effetti hanno il tipo di materiale e la temperatura sulla durata delle batterie?
2. C’è una scelta di materiale suscettibile di dare una durata elevata,
indipendentemente dalla temperatura (batteria robusta al D temperatura)
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Progettazione batteria
Progettazione batteria
F0.05, 4, 27=2.73
Progettazione batteria
Interaction Plot (fitted means) for Risposta
15
70
125
150
125
Materiale
1
2
3
100
Materiale
75
50
Temperatura
15
70
125
150
125
100
Temperatura
75
50
1
2
3
Progettazione batteria
• Quando l’analisi della varianza indica che le
medie di riga o di colonna differiscono tra loro, di
solito interessa confrontare le medie individuali
di riga o di colonna, per individuare differenze
specifiche
• Inoltre, quando le interazioni sono significative, i
confronti tra le medie di un fattore vanno operate
fissando l’altro fattore ad un livello
Progettazione batteria
• Test di Tukey per il tipo di materiale fissando la
temperatura a 70°F: confronto a coppie
Statistica
di Student
Medie aritmetiche
al variare del tipo
di materiale a 70°F
MS E
675.21
 3.50
 45.47
n
4
3 vs. 1 : 145.75  57.25  88.50  T0.05
T0.05  q0.05 (3, 27)
3 vs. 2 : 145.75  119.75  26.00  T0.05
2 vs. 1 : 119.75  57.25  62.50  T0.05
Questa analisi indica che al livello di temperatura 70°F la
durata media della batteria è la stessa per i materiali 2 e 3,
ma significativamente più bassa per il materiale 1
Progettazione batteria
Calcolo dei residui:
eijk  yijk  yˆ ijk
dove yˆ ijk è definito come valore previsto. Tuttavia,
yˆ ijk  yij. ,
ossia il valore previsto è proprio la media aritmetica delle osservazio ni nella ij - esima cella
Temperatura (°F)
Tipo di
Materiale
1
2
3
15
70
125
130
155
34
40
20
70
74
180
80
75
82
58
150
188
136
122
25
70
159
126
106
115
58
45
138
110
174
120
96
104
168
160
150
139
82
60
Progettazione batteria
Residual Plots for Risposta
Normal Probability Plot of the Residuals
Residuals Versus the Fitted Values
99
50
50
25
Leggero
Scostamento
Residual
Percent
90
10
1
-50
-25
0
Residual
25
50
10,0
-25
7,5
50
5,0
2,5
-60
-45
-30
-15
0
Residual
15
30
45
75
100
125
Fitted Value
150
Residuals
Versussi
the
Order of the Data
Se i nostri
residui
dispongono
50
secondo una distribuzione
25
perfettamente
Normale con media
0 possiamo affermare che la
nulla,
-25
sperimentazione
è stata condotta
in assenza
di errori sistematici, e
-50
che quindi
la10dispersione
delle
1
5
15
20
25
30
35
Observation
Order
misure è dovuta alla casualità
Residual
Frequency
0
-50
Histogram of the Residuals
0,0
La varianza dei residui cresce al
crescere della durata della batteria
Nota sul NPP
Nota sul NPP
Probabilit a cumulata sperimenta le : i n  1
Nota sul NPP
Nota sul NPP
Per una distribuzi one normale :
x
z

Ma come si calcola z?
Nota sul NPP
 z  
z


1
exp  z 2 2 dz
2
Nota la cumulata si entra nelle tabelle
della distribuzi one normale standardiz zata
e per interpolaz ione se ne desume z!
Nota sul NPP
Nota sul NPP
Probabilit à cumulata sperimenta le : i  0.5 n 
Tabelle della Distribuzione Cumulativa
Normale Standardizzata
Nota sul NPP
• Ulteriori considerazioni: Consideriamo una curva di distribuzione
normale standard nella variabile z, ossia la f(z). Ipotizziamo che la
nostra distribuzione sia perfettamente identica a quella normale
standardizzata; allora, prendendo il valore della prob. cumulata
sperimentale per un certo residuo (calcolata come j/(n+1)) ed
entrando nelle tabelle standard (ossia nelle tabelle della
distribuzione di Gauss), dovremmo trovare un valore di z
esattamente uguale al nostro residuo.
• Poiché però la nostra distribuzione si avvicinerà soltanto a quella
normale standard, i valori di z e dei residui risulteranno differenti a
meno di una costante (la deviazione standard) per uno stesso valore
di probabilità cumulata (z = R/).
• Nel caso sperimentale quindi, avremo dei punti che si dispongono
su una retta quanto più la nostra distribuzione si avvicina a quella
Normale.
Progettazione batteria
Residual Plots for Risposta
Normal Probability Plot of the Residuals
Residuals Versus the Fitted Values
99
50
50
25
Leggero
Scostamento
Residual
Percent
90
10
1
-50
-25
0
Residual
25
50
10,0
-25
7,5
50
5,0
2,5
-60
-45
-30
-15
0
Residual
15
30
45
75
100
125
Fitted Value
150
Residuals
Versussi
the
Order of the Data
Se i nostri
residui
dispongono
50
secondo una distribuzione
25
perfettamente
Normale con media
0 possiamo affermare che la
nulla,
-25
sperimentazione
è stata condotta
in assenza
di errori sistematici, e
-50
che quindi
la10dispersione
delle
1
5
15
20
25
30
35
Observation
Order
misure è dovuta alla casualità
Residual
Frequency
0
-50
Histogram of the Residuals
0,0
La varianza dei residui cresce al
crescere della durata della batteria
Progettazione batteria
• Entrambi i grafici denotano una leggera
disuguaglianza della varianza, con la
combinazione di trattamento di 15°F e tipo
di materiale 1
Residuals Versus Materiale
Residuals Versus Temperatura
(response is Risposta)
50
50
25
25
0
0
Residual
Residual
(response is Risposta)
-25
-50
-25
-50
-75
-75
1,0
1,5
2,0
Materiale
2,5
3,0
0
20
40
60
80
Temperatura
100
120
140
E’ possibile che questa particolare combinazione di trattamenti produca una durata
della batteria un po’ più variabile rispetto alle altre. Il problema tuttavia non è
abbastanza grave da avere un impatto rilevante sull’analisi e sulle conclusioni!