PRIMI ELEMENTI DI
GEOMETRIA NELLO
SPAZIO
Adriana Lanza . Liceo “Cavour” Roma
LA TERZA DIMENSIONE
ESCHER
RETTILI
• L’esperienza sensoriale dei corpi che ci
circondano suggerisce l’intuizione delle
<<tre dimensioni>> : larghezza,
lunghezza, altezza.
Un’osservazione più attenta ci porta a
precisare questa affermazione, legata al
semplice fatto che esistono punti non
complanari , ovvero
dato un piano, possiamo trovare almeno un
punto fuori di esso
proprio come i rettili di Escher, che escono
dal foglio e da figure piane si trasformano
in figure solide
Qual è il numero massimo di punti
sicuramente complanari?
L’esperienza e l’intuizione ci dicono :tre
In Geometria questo fatto viene assunto
come postulato
Per tre punti non allineati passa uno e un
solo piano
SISTEMA DI RIFERIMENTO
• Nello Spazio, come nel piano,è possibile
introdurre un sistema di riferimento che
permette di individuare la posizione di ogni
punto.
• A tale scopo si scelgono tre rette non
appartenenti al medesimo piano e
passanti per uno stesso punto O
• Le coordinate sono chiamate ascissa (x),
ordinata (y) e quota (z)
• RIFERIMENTO CARTESIANO NELLO
SPAZIO
Ecco per esempio la costruzione del punto P(2,2,3)
Inseriti i tre versori
fondamentali
la costruzione del
punto, mediante le tre
coordinate, è una
facile estensione
della costruzione di
un punto nel piano
cartesiano
Tutti conosciamo la difficoltà che si incontra
nel rappresentare una figura spaziale su un
piano (un foglio, la lavagna o il video di un
computer),
dove la terza dimensione deve essere
simulata
• ECCO ALCUNE FIGURE , ESEGUITE
CON CABRI 3D, CHE RIPRODUCONO
SITUAZIONI CHE CREANO SPESSO
DIFFICOLTA’ AGLI STUDENTI
CUBO INSCRITTO IN UNA
SFERA
Come si può far capire che il
cubo è inscritto nella sfera?
SFERA INSCRITTA IN UN
CONO
Quale relazione lega il raggio della sfera
all’altezza , al raggio di base e all’apotema del
cono?
Basta osservare che i due triangoli VHB e
VKC sono simili
QUALI SONO LE SEZIONI OTTENUTE SU UN CUBO ;
CON UN PIANO PERPENDICOLARE AD UNA
DIAGONALE?
Triangoli ed esagoni
Triangolo ed esagono di area
massima
• La rappresentazione grafica piana di figure
solide è oggetto della Geometria
Descrittiva e ha costituito per lungo tempo
un interessante arco di collegamento tra
Arte e Geometria
Le tecniche più note, la prospettiva e
l’assonometria ,si basano sulle operazioni
geometriche di proiezione e sezione,
Prospettiva
(proiezione
centrale)
Assonometria
(proiezione parallela)
PROIEZIONE CENTRALE
• Non conserva in generale il
parallelismo
Un celebre disegno prospettico
•
Raffaello- La scuola d’Atene
PROIZIONE PARALLELA
• Conserva il
parallelismo
Un mosaico che utilizza la
rappresentazione assonometrica
Pietro Cavallini,Annunciazione,
1291, S. Maria in Trastevere, Roma
La realizzazione di tali disegni non può
tuttavia essere posta alla base di affidabili
processi deduttivi
poiché è troppo labile il confine tra le
immagini di oggetti geometrici propri e la
rappresentazione di illusioni ottiche o di
disegni impossibili.
Cosa vedi?
La nostra consuetudine ad
osservare i corpi
tridimensionali può indurci
ad interpretare in modo
ambiguo alcune figure
Un cubo?....
O 3 rombi?
O un triedro con gli spigoli tra
loro perpendicolari?
UN ESEMPIO DI FIGURA AMBIGUA
IL CUBO DI NECKER
• . Diversamente dalla
rappresentazione
prospettica di un cubo in
cui la superficie della
faccia anteriore è più
grande di quella della
faccia posteriore, il cubo
di Necker è disegnato in
modo che le due facce
siano di uguali
dimensioni.
Quale faccia è in primo piano?
ABB'A'
oppure
DCD'C'?
Doppio orientamento
• Questa situazione produce sulla retina un'immagine che il cervello
può interpretare in due modi che corrispondono a una proiezione
del cubo visto da posizioni diverse. Di fronte al problema di quale
sia la posizione in cui si trova il cubo, il cervello non “sceglie” e
continua a oscillare tra l'una e l'altra.
• . Louis Albert Necker, studioso svizzero di
cristallografia, analizzò per primo il
disegno nel 1832 e individuò i fattori che
contribuiscono a generare questo
paradosso visivo
Concavo e convesso
• L’ ambiguità della
rappresentazione
bidimensionale di
figure tridimensionali,
spesso fonte di
paradossi, ha ispirato
alcune delle opere
più famose di Escher
un gioco di ombre porta al rovesciamento
percettivo tra l'interno e l'esterno della figura.
• Motivi analoghi si trovano
anche in alcuni mosaici
dell’antica Roma, come in
questo pavimento
pompeiano
•
FIGURE IMPOSSIBILI
• Viceversa, l’abitudine
ad interpretare come
oggetti spaziali
alcune figure
bidimensionali, porta
alla costruzione delle
cosiddette figure
impossibili
Escher- Belvedere
Il Cubo impossibile
• Il giovane seduto
sulla panchina sta
osservando una
forma cubica
impossibile, suggerita
dal cubo di Necker, la
cui immagine
compare nel disegno
• poggiato sul
pavimento
DUE INDOVINELLI
Un giochino abbastanza
facile
• Usando 6 bacchette
uguali tra loro, costruire 4
triangoli equilateri uguali,
aventi per lato una
bacchetta
Un <<rompicapo>>
• E’ possibile disporre
questi due oggetti in
modo da costruire una
piramide?
• Soluzione
• Soluzione
Soluzione del primo indovinello
Si deve “uscire “
dal piano e
costruire un
tetraedro
Soluzione del secondo indovinello
I due solidi sono stati ottenuti tagliando un
tetraedro con il piano che contiene i punti
medi degli spigoli
•
COSA CAMBIA QUANDO SI
GUADAGNA UNA DIMENSIONE?
• Qualche esempio
ESISTONO SU UNA RETTA 3 PUNTI A DUE A DUE EQUIDISTANTI?
• OVVIAMENTE NO
•
Il punto medio M è equidistante da A e da B ma la distanza tra Ae B è diversa da quella tra Aed
M o tra B ed M
E NEL PIANO ?
• OVVIAMENTE SI’
• Basta considerare i vertici di un triangolo
equilatero
ESISTONO NEL PIANO 4 PUNTI A DUE A DUE EQUIDISTANTI?
• OVVIAMENTE NO
•
Il centro del triangolo equilatero è equidistante dai tre vertici, ma i segmenti OC, OA, OB non
sono congruenti ai lati
E NELLO SPAZIO?
• OVVIAMENTE SI’
• Basta considerare i vertici di un tetraedro
regolare
NEL PIANO DUE RETTE CHE NON HANNO
PUNTI IN COMUNE, HANNO
NECESSARIAMENTE LA STESSA DIREZIONE?
• SI’. Poiché , essendo per definizione
parallele, formano angoli uguali con l’asse
delle ascisse
E NELLO SPAZIO?
• NO, potrebbero essere sghembe
Rette Perpendicolari
Nel piano esiste una ed una sola
perpendicolare ad una determinata
retta in un suo punto
E NELLO SPAZIO?
Ne esistono infinite
LA SIMMETRIA ASSIALE
• Nel piano è una isometria inversa, che cambia il verso di
percorrenza delle figure
• Non esiste alcun movimento rigido, internamente al piano, che
porti a far coincidere i due triangoli
Nello Spazio invece… è una
rotazione!
LA SIMMETRIA ASSIALE
La faccia del triangolo A’B’C’ in cui i vertici
si presentano in verso orario, come quelli del
triangolo ABC
Si trovano nel lato posteriore del
piano!…
PARTE SECONDA
PROPRIETA’ DELLE FIGURE
COSTRUZIONI CON CABRI 3D
RETTE E PIANI NELLO
SPAZIO
Piano per tre punti non allineati
Intersezione di due piani
Fascio di piani
Stella di piani
Parallelismo
Perpendicolarità
PIANO PER TRE PUNTI
• SCEGLIAMO TRE
• PUNTI A B C
• 1° caso: i tre punti
appartengono tutti al
piano iniziale a
2° caso:
Se invece solo A e B
appartengono al
piano iniziale a,
i tre punti individuano
un altro piano b
a e b hanno in comune
la retta AB
3° Caso
Solo A appartiene al
piano iniziale a
Anche in questo caso a
e b hanno in comune
una retta
( passante per A)
FASCIO DI PIANI
Ritorniamo al caso N° 2 e,
lasciando A e B sul piano a ,
scegliamo un altro punto D nello
spazio
A, B e D individuano un terzo
piano d passante sempre per
la retta AB
Spostando il terzo punto
possiamo cioè costruire infiniti
piani passanti per la stessa
retta AB
Questo insieme prende il nome di
FASCIO DI PIANI
STELLA DI PIANI
L’insieme di piani
passanti tutti per uno
stesso punto A si dice
invece
STELLA
POSIZIONE DI UNA RETTA RISPETTO AD UN PIANO
 Se una retta ha due punti in
comune col piano allora giace sul
piano
 Se ha un solo punto in comune col
piano si dice incidente
 Se non ha punti in comune col
piano è parallela al piano,
Per costruire una retta parallela al
piano, per un punto C fuori di
esso, è sufficiente condurre da C
la parallela ad una retta del piano
PIANI PARALLELI
•
L’osservazione precedente suggerisce
che da un punto esterno si possono
condurre infinite rette parallele ad un
piano a
•
Tutte queste rette giacciono su piano b
che non può avere alcun punto in
comune con a
I piani a e b si dicono paralleli
•
TEOREMA “DEL TETTO”
• Se due piani secanti
contengono due rette
tra loro parallele,
allora la loro
intersezione à una
retta parallela alle
prime due
Perpendicolarità
r
Nello spazio esistono infinite rette
perpendicolari ad una determinata
retta r in un suo punto P.
Esse giacciono tutte in uno stesso
piano , il piano perpendicolare ad r
Se r è perpendicolare a due rette
del piano passanti per P, è
perpendicolare a tutte le rette del
fascio di centro P
Teorema delle 3
perpendicolari
Se dal piede di una retta
perpendicolare ad un piano si
conduce la perpendicolare
ad una qualunque retta dello
stesso piano, quest'ultima retta è
perpendicolare
al piano delle prime due.
VERO o FALSO?
Una piramide ha per base un
triangolo rettangolo ed uno spigolo
perpendicolare al piano di base.
Anche le 3 facce laterali sono
triangoli rettangoli
VERO!
VERO o FALSO?
Le diagonali interne del cubo sono
a due a due perpendicolari
FALSO!