A. Martini
I VETTORI
Se ti chiedo:
“Che età hai?”
con quanti numeri rispondi?
(NUMERI, bada, non “cifre”)
E se ti chiedo:
“Che temperatura
c’è nell’aula?”
con quanti numeri rispondi?
In tutti i casi
è sufficiente
1 numero
In tutti i casi
è sufficiente
1 numero
Ho 14 anni
In tutti i casi
è sufficiente
1 numero
Ho 14 anni
Ci sono 22 gradi
E se ti ordino:
“Spostati di 5 metri”
tu che cosa fai?
vai qui?
vai qui?
vai qui?
vai qui?
vai qui?
vai qui?
vai qui?
vai qui?
5 metri
SBAGLIATO!
Allora vai qui?
Allora vai qui?
Allora vai qui?
Allora vai qui?
Allora vai qui?
Allora vai qui?
Allora vai qui?
Allora vai qui?
5 metri
SBAGLIATO!
Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?
Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?
Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?
Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?
Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?
Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?
Come mai non riesci ad andare
là dove voglio io?
Evidentemente un solo numero
non è sufficiente per darti tutte le
informazioni che voglio!
Proviamo così:
40°
55°
82°
Spostati di 5 metri
in direzione 82° rispetto all’asse X
40°
55°
82°
X
Spostati di 5 metri
in direzione 82° rispetto all’asse X
82°
X
vai qui?
82°
X
vai qui?
82°
X
vai qui?
82°
X
vai qui?
82°
X
vai qui?
82°
X
vai qui?
82°
X
vai qui?
82°
X
vai qui?
82°
X
5 metri
vai qui?
82°
X
5 metri
SBAGLIATO!
vai qui?
82°
X
5 metri
Sì: ancora sbagliato! Evidentemente nemmeno 2 numeri sono
sufficienti a darti l’informazione giusta.
82°
X
5 metri
Proviamo con una terza informazione
82°
X
Spostati di 5 metri
in direzione 82° rispetto all’asse X
40°
55°
82°
X
Spostati di 5 metri
in direzione 82° rispetto all’asse X
verso l’asse X
40°
55°
82°
X
Spostati di 5 metri
in direzione 82° rispetto all’asse X
verso l’asse X
82°
X
Spostati di 5 metri
in direzione 82° rispetto all’asse X
verso l’asse X
82°
X
Spostati di 5 metri
in direzione 82° rispetto all’asse X
verso l’asse X
82°
X
Spostati di 5 metri
in direzione 82° rispetto all’asse X
verso l’asse X
82°
X
Spostati di 5 metri
in direzione 82° rispetto all’asse X
verso l’asse X
82°
X
Spostati di 5 metri
in direzione 82° rispetto all’asse X
verso l’asse X
82°
X
Spostati di 5 metri
in direzione 82° rispetto all’asse X
verso l’asse X
X
Bravo!
Proprio lì, dovevi andare!
X
Bravo!
Proprio lì, dovevi andare!
X
Occorrono quindi almeno 3 informazioni
per comunicare in modo corretto
una grandezza come lo spostamento.
Occorrono quindi almeno 3 informazioni
per comunicare in modo corretto
una grandezza come lo spostamento.
Più una quarta informazione,
per dirti da dove devi partire.
I matematici hanno inventato uno strumento
proprio adatto a questo scopo:
il VETTORE
I matematici hanno inventato uno strumento
proprio adatto a questo scopo:
il VETTORE
Esso ha
una intensità
Esso ha
una intensità
(corrisponde alla sua lunghezza)
Esso ha
una intensità
una direzione
Esso ha
una intensità
una direzione
(corrisponde alla retta alla quale appartiene il segmento)
Esso ha
una intensità
una direzione
un verso
Esso ha
una intensità
una direzione
un verso
(corrisponde all’orientamento della freccia)
Esso ha
una intensità
una direzione
un verso
ed un punto di applicazione
Esso ha
una intensità
una direzione
un verso
ed un punto di applicazione
(corrisponde all’origine della freccia)
I VETTORI SI SOMMANO
Se ti dico:
spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da A
poi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da
dove sei arrivato.
Tu che cosa fai?
Y +
X
A
+
Se ti dico:
spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da A
poi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da
dove sei arrivato.
Tu che cosa fai?
Y +
X
A
2 metri
B
+
Se ti dico:
spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da A
poi spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da
dove sei arrivato.
Tu che cosa fai?
C
+
Y
3 metri
X
A
2 metri
B
+
Il risultato di questa operazione è che:
sei partito da A e sei arrivato in C
Y
C
+
3 metri
X
A
2 metri
B
+
Il risultato di questa operazione è che:
sei partito da A e sei arrivato in C
come se fossi andato direttamente da A a C
Y
C
+
3 metri
X
A
2 metri
B
+
Il risultato di questa operazione è che:
sei partito da A e sei arrivato in C
come se fossi andato direttamente da A a C
Y
C
+
3 metri
X
A
2 metri
B
+
Il risultato di questa operazione è che:
sei partito da A e sei arrivato in C
come se fossi andato direttamente da A a C
Y
C
+
In altre parole possiamo
dire che il vettore S è la
somma dei vettori S1 ed S2 .
S
S2
S = S1 + S2
S1
A
X
B
+
E se ti avessi detto:
spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A
poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da
dove sei arrivato.
Tu che cosa avresti fatto?
Y +
X
A
+
E se ti avessi detto:
spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A
poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da
dove sei arrivato.
Tu che cosa avresti fatto?
B
+
Y
3 metri
X
A
+
E se ti avessi detto:
spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A
poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da
dove sei arrivato.
Tu che cosa avresti fatto?
B
C
+
Y
2 metri
3 metri
X
A
+
E se ti avessi detto:
spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A
poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da
dove sei arrivato.
Tu che cosa avresti fatto?
B
C
+
Y
2 metri
3 metri
X
A
+
E se ti avessi detto:
spostati di 3 metri, in direzione y, verso il +, a partire da A
poi spostati di 2 metri, in direzione x, verso il +, a partire da
dove sei arrivato.
Tu che cosa avresti fatto?
B
C
+
Questo è lo stesso risultato
Y
2 metri
dell’operazione precedente!
quindi:
3 metri
S1 + S2 = S2 + S1
che è la proprietà commutativa
rispetto alla somma.
X
A
+
Y
+
X
A
+
Y
+
X
A
+
Y
+
C
X
A
+
Y
+
C
X
A
+
Y
+
C
X
A
+
Y
+
C
X
A
+
Questo procedimento va sotto il nome di
REGOLA DEL PARALLELOGRAMMA
in quanto la risultante della somma di due vettori corrisponde
alla diagonale di un parallelogrammo i cui lati sono gli stessi
vettori
C
+
Y
X
A
+
Vediamo un esempio
Vediamo un esempio
Sommiamo il vettore V al vettore P
Vediamo un esempio
Sommiamo il vettore V al vettore P
V
P
Vediamo un esempio
Sommiamo il vettore V al vettore P
V
P
Come si procede
Vediamo un esempio
Sommiamo il vettore V al vettore P
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé stessi,
fino a mettere in comune i
punti di applicazione
V
P
Vediamo un esempio
Sommiamo il vettore V al vettore P
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé stessi,
fino a mettere in comune i
punti di applicazione
V
P
Vediamo un esempio
Sommiamo il vettore V al vettore P
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé stessi,
fino a mettere in comune i
punti di applicazione
V
P
Vediamo un esempio
Sommiamo il vettore V al vettore P
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé stessi,
fino a mettere in comune i
punti di applicazione
V
2 - si tracciano le parallele
ai vettori che passano per
le punte delle “frecce”
P
Vediamo un esempio
Sommiamo il vettore V al vettore P
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé stessi,
fino a mettere in comune i
punti di applicazione
V
2 - si tracciano le parallele
ai vettori che passano per
le punte delle “frecce”
P
Vediamo un esempio
Sommiamo il vettore V al vettore P
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé stessi,
fino a mettere in comune i
punti di applicazione
V
2 - si tracciano le parallele
ai vettori che passano per
le punte delle “frecce”
P
Vediamo un esempio
Sommiamo il vettore V al vettore P
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé stessi,
fino a mettere in comune i
punti di applicazione
V
2 - si tracciano le parallele
ai vettori che passano per
le punte delle “frecce”
P
3 - si traccia la diagonale
che congiunge i punti di
applicazione allo spigolo
opposto del
parallelogramma
Vediamo un esempio
Sommiamo il vettore V al vettore P
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé stessi,
fino a mettere in comune i
punti di applicazione
V
S
2 - si tracciano le parallele
ai vettori che passano per
le punte delle “frecce”
P
3 - si traccia la diagonale
che congiunge i punti di
applicazione allo spigolo
opposto del
parallelogramma
Vediamo un esempio
Sommiamo il vettore V al vettore P
V
S
P
Il vettore S
così
ottenuto è
la somma
dei vettori
VeP
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé stessi,
fino a mettere in comune i
punti di applicazione
2 - si tracciano le parallele
ai vettori che passano per
le punte delle “frecce”
3 - si traccia la diagonale
che congiunge i punti di
applicazione allo spigolo
opposto del
parallelogramma
Si può procedere anche in un altro modo
V
P
Si può procedere anche in un altro modo
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé
stessi, fino a metterli in
fila, come a costruire
una catena
V
P
Si può procedere anche in un altro modo
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé
stessi, fino a metterli in
fila, come a costruire
una catena
V
P
Si può procedere anche in un altro modo
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé
stessi, fino a metterli in
fila, come a costruire
una catena
V
P
2 - si congiunge il punto
di applicazione del
primo vettore con la
“freccia” dell’ultimo
Si può procedere anche in un altro modo
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé
stessi, fino a metterli in
fila, come a costruire
una catena
V
P
S
2 - si congiunge il punto
di applicazione del
primo vettore con la
“freccia” dell’ultimo
Si può procedere anche in un altro modo
Come si vede il risultato è identico al
precedente
V
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé
stessi, fino a metterli in
fila, come a costruire
una catena
P
S
2 - si congiunge il punto
di applicazione del
primo vettore con la
“freccia” dell’ultimo
Si può procedere anche in un altro modo
Come si vede il risultato è identico al
precedente
V
V
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé
stessi, fino a metterli in
fila, come a costruire
una catena
P
S
S
P
2 - si congiunge il punto
di applicazione del
primo vettore con la
“freccia” dell’ultimo
Questo procedimento si chiama:
“poligono funicolare”, ed è comodo
quando i vettori sono molti
V
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé
stessi, fino a metterli in
fila, come a costruire
una catena
P
S
2 - si congiunge il punto
di applicazione del
primo vettore con la
“freccia” dell’ultimo
Questo procedimento si chiama:
“poligono funicolare”, ed è comodo
quando i vettori sono molti
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé
stessi, fino a metterli in
fila, come a costruire
una catena
2 - si congiunge il punto
di applicazione del
primo vettore con la
“freccia” dell’ultimo
Questo procedimento si chiama:
“poligono funicolare”, ed è comodo
quando i vettori sono molti
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé
stessi, fino a metterli in
fila, come a costruire
una catena
2 - si congiunge il punto
di applicazione del
primo vettore con la
“freccia” dell’ultimo
Questo procedimento si chiama:
“poligono funicolare”, ed è comodo
quando i vettori sono molti
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé
stessi, fino a metterli in
fila, come a costruire
una catena
2 - si congiunge il punto
di applicazione del
primo vettore con la
“freccia” dell’ultimo
Questo procedimento si chiama:
“poligono funicolare”, ed è comodo
quando i vettori sono molti
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé
stessi, fino a metterli in
fila, come a costruire
una catena
2 - si congiunge il punto
di applicazione del
primo vettore con la
“freccia” dell’ultimo
Questo procedimento si chiama:
“poligono funicolare”, ed è comodo
quando i vettori sono molti
S
Come si procede
1 - si spostano i vettori
parallelamente a sé
stessi, fino a metterli in
fila, come a costruire
una catena
2 - si congiunge il punto
di applicazione del
primo vettore con la
“freccia” dell’ultimo
I VETTORI SI SOTTRAGGONO
Basta considerare che:
Basta considerare che:
+V
Basta considerare che:
+V
-V
Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S=A-B
B
A
Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B)
B
A
Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B)
-B
A
Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B)
-B
A
Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B)
-B
A
Prova da solo, per esercizio, a determinare il vettore:
S = A + ( - B)
-B
S
A
I VETTORI SI
SCOMPONGONO
PROBLEMA 1
SCOMPORRE UN NUMERO
IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI
PARTENZA
PROBLEMA 1
SCOMPORRE UN NUMERO
IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI
PARTENZA
50
+
PROBLEMA 1
SCOMPORRE UN NUMERO
IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI
PARTENZA
50
+
QUANTE SOLUZIONI CI SONO?
PROBLEMA 1
SCOMPORRE UN NUMERO
IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI
PARTENZA
50
+
PROBLEMA 1
SCOMPORRE UN NUMERO
IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI
PARTENZA
50
30 + 20
PROBLEMA 1
SCOMPORRE UN NUMERO
IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI
PARTENZA
50
12 + 38
PROBLEMA 1
SCOMPORRE UN NUMERO
IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI
PARTENZA
50
100 + -50
PROBLEMA 1
SCOMPORRE UN NUMERO
IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI
PARTENZA
50
0
+ 50
PROBLEMA 1
SCOMPORRE UN NUMERO
IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI
PARTENZA
50
+
CI SONO INFINITE SOLUZIONI
PROBLEMA 2
SCOMPORRE UN NUMERO
IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI
PARTENZA
E CHE UNO DEI DUE SIA 40
50
+
PROBLEMA 2
SCOMPORRE UN NUMERO
IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI
PARTENZA
E CHE UNO DEI DUE SIA 40
50
40 + 10
PROBLEMA 2
SCOMPORRE UN NUMERO
IN DUE NUMERI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL NUMERO DI
PARTENZA
E CHE UNO DEI DUE SIA 40
50
40 + 10
1 SOLA SOLUZIONE!
PROBLEMA 3
SCOMPORRE UN VETTORE
IN DUE VETTORI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI
PARTENZA
a
a
a
a
a
ANCHE QUI CI SONO INFINITE SOLUZIONI
PROBLEMA 4
SCOMPORRE UN VETTORE
IN DUE VETTORI
TALI CHE LA LORO SOMMA DIA IL VETTORE DI
PARTENZA
E CHE LE LORO DIREZIONI SIANO NOTE
[2]
a
[1]
IN QUESTO CASO C’E’ UNA SOLA SOLUZIONE
[2]
a
[1]
IN QUESTO CASO C’E’ UNA SOLA SOLUZIONE
VEDIAMO COME SI PROCEDE
[2]
a
[1]
a) si manda la parallela alla direzione [1] che passa per la “punta”
del vettore a
[2]
a
[1]
a) si manda la parallela alla direzione [1] che passa per la “punta”
del vettore a
[2]
a
[1]
b) si manda la parallela alla direzione [2] che passa per la “punta”
del vettore a
[2]
a
[1]
b) si manda la parallela alla direzione [2] che passa per la “punta”
del vettore a
[2]
a
[1]
In questo modo si costruisce un parallelogramma
i cui lati coincidono con le direzioni [1] e [2]
e la cui diagonale è a
[2]
a
[1]
In questo modo si costruisce un parallelogramma
i cui lati coincidono con le direzioni [1] e [2]
e la cui diagonale è a
[2]
a
[1]
Per cui questi sono i
vettori componenti
[2]
a
[1]
Per cui questi sono i
vettori componenti
a2
[2]
a
a1
[1]
ESERCIZIO
NEL DESERTO,UN TIZIO PARTE DAL
PUNTO A E PERCORRE 30 KM
VERSO NORD
A
NEL DESERTO,UN TIZIO PARTE DAL
PUNTO A E PERCORRE 30 KM
VERSO NORD
B
30 Km
A
N
NE
NO
E
O
S
UN SUO AMICO,
PARTENDO
SEMPRE DA A, SI
B MUOVE PRIMA IN
DIREZIONE
NORD-EST,
POI ,ESSENDOSI
30 Km
ACCORTO DI
AVER SBAGLIATO
STRADA,
IN DIREZIONE
NORD-OVEST
A
QUANDO I DUE SI INCONTRANO, IN B,
QUANTA STRADA HA PERCORSO
L’AMICO?
B
30 Km
N
NE
NO
E
O
A
S
SOLUZIONE
30 Km
N
NE
NO
E
O
A
S
NE
30 Km
N
NE
NO
E
O
A
S
NO
NE
30 Km
N
NE
NO
E
O
A
S
NO
NE
30 Km
N
NE
NO
E
O
A
S
NO
NE
30 Km
N
NE
NO
E
O
A
S
NO
NE
30 Km
N
NE
NO
E
O
A
S
NO
NE
30 Km
N
NE
NO
E
O
A
S
NO
NE
30 Km
N
NE
NO
E
O
A
S
NO
NE
30 Km
N
NE
NO
E
O
A
S
NO
NE
30 Km
N
NE
NO
E
O
A
S
NO
NE
30 Km
N
NE
NO
E
O
A
S
NO
NE
30 Km
N
NE
NO
E
O
A
S
NO
NE
30 Km
N
NE
NO
E
O
A
S
NO
NE
30 Km
N
NE
NO
E
O
A
S
NO
NE
l
30 Km
N
NE
NO
E
O
A
S
NO
NE
l

30 Km
N
NE
NO

E
O
A
S
Poiché  è 90°,
e  è 45°,
questa è la
metà di un
quadrato
NO
NE
Per il teorema
di Pitagora:
l
l2 + l2 = 302

30 Km
N
NE
NO

E
O
A
S
Poiché  è 90°,
e  è 45°,
questa è la
metà di un
quadrato
NO
NE
Per il teorema
di Pitagora:
l
l2 + l2 = 302
2l2 =N900

30 Km
NE
NO

E
O
A
S
Poiché  è 90°,
e  è 45°,
questa è la
metà di un
quadrato
NO
NE
Per il teorema
di Pitagora:
l
l2 + l2 = 302
2l2 =N900
NO
l2 =

30 Km
NE
450

E
O
A
S
Poiché  è 90°,
e  è 45°,
questa è la
metà di un
quadrato
NO
NE
Per il teorema
di Pitagora:
l
l2 + l2 = 302
2l2 =N900
NO
l2 =
Ol

30 Km
NE
450
~ 21,21 Km

E
A
S
Poiché  è 90°,
e  è 45°,
questa è la
metà di un
quadrato
NO
L’amico percorre in tutto circa 42,4 KmNE
Per il teorema
di Pitagora:
l
l2 + l2 = 302
2l2 =N900
NO
l2 =
Ol

30 Km
NE
450
~ 21,21 Km

E
Poiché  è 90°,
e  è 45°,
questa è la
metà di un
quadrato
A
S
fine