INDICE
• Introduzione…
• Storia…
• Cubi magici
• Numeri primi
• Quadrato magico secondo SATOR
•Grande avventura…
•Esempi di costruzioni
•Sudoku…
• Gioco in squadra
Il QUADRATO MAGICO
INTRODUZIONE:
(Def.)Un quadrato magico è uno schieramento di numeri interi
distinti in una tabella quadrata tale che il totale di ogni riga,
di ogni colonna e di entrambe le diagonali sia sempre lo
stesso numero; tale intero è denominato la costante di magia
o costante magica o somma magica del quadrato. Un
quadrato magico di ordine n le cui entrate sono gli interi da
1 a n2 viene detto quadrato magico perfetto o quadrato
magico normale.
La costante magica di questi quadrati è data dalla formula:
Storia:
I quadrati magici erano noti già in Cina nei primi
secoli dopo Cristo, e forse addirittura nel IV secolo AC.
Il quadrato 3 × 3 era chiamato Lo Shu; nel X secolo i
cinesi conoscevano quadrati fino all'ordine 10, oltre a
catene di cerchi e cubi magici non perfetti. Queste
strutture giunsero in Europa relativamente tardi: il
bizantino Manuel Moschopulos (circa 1265 – 1316) fu
tra i primi a scrivere su di essi. Uno dei primi
matematici ad approfondire l'argomento fu Cornelio
Agrippa (1486 – 1535).
I cubi magici:
Definiamo la seguente successione
u(1)=0
u(2)=2
u(3)=3
u(n+3)=u(n)+u(n+1)
Ecco che cosa si legge in Mathworld:
"Perrin (1899) lavorò sulla successione ed osservò che se n è
primo, allora n divide P(n). […] Perrin cercò anche, ma
senza successo, numeri composti che dividessero il proprio
P(…): tali numeri composti sono ora chiamati "pseudoprimi
di Perrin". Malo (1900), Escot (1901) e Jarden (1966)
studiarono la successione alla ricerca di tali pseudoprimi, ma
senza trovarne. In seguito, Adams e Shanks (1982) trovarono
che 271'441 [= 5212, nota mia] è uno degli pseudoprimi
cercati."
Ecco qui sotto i primi termini delle successioni di Boyer e di Perrin:
n
0
Boyer
Perrin
primo?
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0
2
3
2
5
5
7
10
12
17
22
29
39
51
0
2
3
2
5
5
7
10
12
17
22
29
39
51
p
p
p
p
p
p
Numeri primi:
Definiamo la seguente successione
u(1)=0
u(2)=2
u(3)=3
u(n+3)=u(n)+u(n+1)
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
u(n)
0
2
3
2
5
5
7
10
12
17
22
29
39
51
p
p
n premier?
p
p
p
p
Il magico Quadrato secondo Sator:
Ecco lo schema nella versione più frequente:
S
A
T
O
R
A
R
E
P
O
T
E
N
E
T
O
P
E
R
A
R
O
T
A
S
Questo strano quadrato è stato rinvenuto in molti luoghi
europei, sia citato in antichi testi e sia raffigurato su antichi
monumenti. L'ipotesi parve trionfare nel 1926 per merito di Felix
Grosser, pastore evangelista, il quale trovò che le venticinque lettere
del quadrato possono essere disposte in modo da formare le parole
PATERNOSTER incrociate, fra una A ed una O, corrispondenti latine
dell'Alfa e dell'Omega greci, principio e fine di tutte le cose.
La grande avventura della matematica:
E qui sotto sono indicate alcuni autori:
Il primo quadrato magico, il più antico risale addirittura
all’Antica Cina, ai tempi della dinastia Shang, nel duemila a. C.
quando, secondo la leggenda, un pescatore trovò lungo le rive del
fiume Lo, un affluente del fiume Giallo, una tartaruga che portava
incisi sul suo guscio degli strani segni geometrici. Il pescatore portò
la tartaruga all’imperatore e i matematici al suo servizio studiando
quei segni, scoprirono una imprevedibile struttura: un quadrato di
numeri con somma costante 15 su ogni riga, colonna o diagonale. Lo
Shu, così venne battezzato questo quadrato numerico, diventò uno dei
simboli sacri della Cina, rappresentazione dei più arcani misteri della
Matematica e dell’Universo.
I segni sul guscio della tartaruga e la loro traduzione in
numeri.
Forse la sua origine non è poi così antica e la sua comparsa si
può far risalire in realtà al IV secolo a. C. La prima traccia scritta si
trova nel Ta Tai li chi, una fedele trascrizione di antichi riti,
compilata da Tai il Vecchio nel primo secolo d. C. Le proprietà più
interessanti del Lo Shu sono collegate alla teoria dello Yin-Yang,
secondo la quale ogni cosa deriva dall’armoniosa opposizione di due
originali forze cosmiche. Yin e Yang, rappresentate da migliaia di
anni nella forma circolare dell’antica saggezza. Yang, per i cinesi, è
la forza maschile, sorgente di calore, di luce e di vita, sotto
l’influenza del Sole: Yin è invece la forza femminile, che si sviluppa
al buio, al freddo e nell’immobilità, sotto l’influenza della Luna.
Il numero centrale, il 5, è la media aritmetica di tutte le coppie di numeri opposti:
E quindi anche per quadrati 5 x 5, 7 x 7 e così via.
I numeri del Lo Shu
Punti cardinali
Colori
Elementi
1
Nord
Nero
Acqua
2
Sudovest
Giallo
Fuoco
3
Est
Verde
Legno
4
Sudest
Verde
Metallo
5
Centro
Giallo
Terra
6
Nordovest
Bianco
Acqua
7
Ovest
Bianco
Fuoco
8
Nordest
Giallo
Legno
9
Sud
Rosso
Metallo
Riportiamo in questa tabella alcuni dei collegamenti, stabiliti nell’Antica Cina, con i numeri del quadrato magico
Lo Shu.
Uno dei più celebri quadrati magici si trova alle spalle dell’angelo nell’incisione Melancolia I di Albrecht Dürer, 1514. Si osservi che la data del quadro, 1514, compare nella riga in basso del quadrato di ordine 4.
E’ stato invece dimostrato che non esistono cubi magi perfetti di ordine 2, 3 e 4.
Il quadrato magico 8 x 8 scoperto da Benjamin Franklin e pubblicato in un libro del 1767. La somma costante è 260, inoltre la somma su ogni mezza riga o
colonna è 130.
In questo cubo magico perfetto i numeri, da 1 a 125, hanno sempre 315 come somma costante su una qualsiasi delle 109 linee, righe, colonne o diagonali. In generale, la formula che consente di trovare la somma costante su righe, colone e diagonali, nelle tre dimensioni, è 1/2 n (n3 + 1).
Esempi di costruzione:
Il tipo più comune di quadrato magico è quello che usa i numeri da
1 a n2, con il quadrato 3×3 che è forse il più famoso:
La costante di magia di questo quadrato è 15. La costante di
magia di un simile quadrato può essere computata con questa
formula:
Naturalmente i quadrati magici possono essere costruiti
usando un sottoinsieme dei numeri compresi tra 1 a n2. Per esempio,
un quadrato magico può essere costruito usando soltanto i numeri
primi (in alcuni casi potrebbe essere necessario accettare 1 come
numero primo per avere un quadrato magico). In questo esempio, la
costante di magia è 111:
I quadrati magici possono anche essere costruiti dai reciproci
di alcuni numeri primi. Per esempio, 1/7 è circa 0.142857 e possiamo
quasi fare un quadrato magico composto da quelle cifre:
Ogni fila e colonna ha come somma 27. Purtroppo, le diagonali non
hanno tale valore.
Un esempio di gioco: il Sudoku (individuale):
(Def.) Sudoku (giapponese: 数独, sūdoku) è un gioco dove
si usano carta e matita. Si gioca in uno, dato che e' un
gioco di logica nel quale al giocatore o solutore viene
proposta una griglia di 9×9 celle, ciascuna delle quali
può contenere un numero da 1 a 9 in ordine sparso,
oppure essere vuota o bianca; la griglia va considerata
divisa in 9 "sottogriglie", chiamate regioni, di 3×3 celle
contigue.
Lo scopo del gioco è quello di riempire le caselle bianche con
numeri da 1 a 9, in modo tale che ogni riga, colonna e regione
contenga tutte le cifre da 1 a 9 (ciascuna una sola volta, senza
ripetersi).
Storia del gioco:
Il gioco è nato in Giappone nel 1984 e il suo nome deriva
dall'abbreviazione di una frase in lingua giapponese che ha un
significato simile a "sono ammessi solo numeri singoli" (suji wa
dokushin ni kagiru).
Il gioco oggigiorno è enormemente diffuso, presente su quotidiani
di oltre 20 nazioni diverse.
Il primo campionato mondiale di Sudoku si è tenuto a Lucca dal
10 al 12 marzo 2006, vinto da Jana Tylova (Repubblica Ceca). La
selezione italiana è avvenuta sempre a Lucca, il 4 marzo 2006, ed è
stata vinto da Giulia Franceschini (Venezia). Secondo posto per
Gabriele Quaresima (Cori, LT) e terzo posto per Gabriele Simionato
(Torviscosa, UD). La prima nazionale italiana di sudoku contava sei
membri: oltre ai tre già citati ne facevano parte Francesco Aricò (FI),
Anna Magagni (MO), Martino Nacca (Atripalda, AV).
Descrizione:
Il gioco del Sudoku riguarda matrici, che chiamiamo matrici
Sudoku di aspetto 9×9 (le griglie) le cui caselle possono contenere
un elemento di un insieme di 9 oggetti distinguibili, oppure un
ulteriore oggetto diverso dai precedenti.
Una istanza di Sudoku, detta anche griglia proposta o matrice
Sudoku incompleta, è una matrice Sudoku che presenta alcune celle
bianche. Scopo del gioco è la trasformazione della griglia proposta in
una matrice Sudoku completa, cioè in una matrice Sudoku priva di
celle bianche e quindi tale che in ogni sua riga, colonna e regione
compaiano tutti gli elementi di 9 (ciascuno una sola volta). Si osserva
che una matrice Sudoku completa è un quadrato latino di ordine 9
avente per blocchi matrici 3×3 iniettive.
Metodologie risolutive:
Esistono diverse metodologie risolutive per questo gioco, tutte
poco legate alla logica ed alla matematica ma strettamente connesse
all'operatività manuale ed alla pazienza. Alcune tecniche mirano a
trovare la soluzione della cella analizzando le righe, colonne e
sottogriglie e calcolando tutti i possibili candidati delle caselle. Altre
tecniche mirano alla sola cancellazione di alcuni candidati da alcune
celle ben definite. I candidati di una cella sono i numeri che sono
ammessi come soluzione nella medesima, ossia è la lista dei 9 numeri
esclusi quelli già presenti nelle righe, colonne e sottogriglie.
Per eliminazioni successive (Naked Single)
Uno schema con le annotazioni dei possibili numeri in ogni casella
Per "zone proibite" (Hidden Single)
Uno schema in cui si sta cercando il numero sei.
Nella figura sopra è riportato un esempio per il numero sei: i tre "sei" considerati (in
giallo) impediscono la presenza di altri sei nelle caselle vuote evidenziate in violetto.
Nella regione centrale sinistra rimane una sola casella "permessa" per il sei
(evidenziata in verdino): e poiché deve esistere un sei per ogni regione, si deduce che il
sei di quella regione è proprio lì.
Block and Column / Row Interactions
Viene cancellato il candidato 7 dalle caselle celesti
Nell'immagine sopra, i numeri grandi sono i numeri inseriti all'inizio, mentre
quelli piccoli sono i candidati possibili della cella.
Block Interactions
Il candidato 3 viene cancellato dalle celle colorate in azzurro
Questa tecnica è leggermente più complessa da realizzare al computer ma non
più lunga.
Naked Pair
A differenza delle precedenti due tecniche, questa si applica a tutti i gruppi possibili
(colonne, righe e sottogriglie). Prendiamo come esempio la lista completa dei candidati
possibili in una sottogriglia (possiamo escludere dalla lista le celle che hanno gia
assegnata la soluzione). {4,5}, {4,7,9}, {4,5}, {7,9}, {4,5,9,1}.
Se ci sono due celle che hanno due identici candidati, è possibile rimuovere i due
candidati dalle altre celle del gruppo preso.
Sudoku intrecciati:
Esempio di Sudoku a 9 griglie intrecciate.
Nell'esempio sopra abbiamo un Sudoku con 9 griglie intrecciate. Il metodo di
risoluzione è lo stesso che si applica ai Sudoku classici.
Gioco in squadra:
Oggetto: Livello scolastico per le classi delle I elementare.
L’attività consiste nel completare il quadrato magico inserendo i
numeri mancanti in modo che la somma dei numeri di ciascuna riga,
colonna o diagonale risulti sempre la stessa. Come ad esempio:
Somma 9
3
2
4
L’attività prevede la conoscenza dei numeri da 1 a 9 e il concetto di addizione
e sottrazione, la conoscenza del rigo, della colonna e della diagonale.
Descrizione dell’attività
Il gioco si svolge in tre fasi.
In ogni fase ci sarà una consegna diversa, per evitare che i bambini
memorizzino la posizione dei numeri nel quadrato magico.
M. C. Escher, Cube with Ribbons, 1957
Conclusioni:
Questa presentazione è a cura di DAVID Joy.
Buono studio!
Allievo della cl. 4 a Tur. an.Sc. 2006/2007 – Istituto superiore “B.Stringher”
FINE