Proposte didattiche
di Gianfranco Arrigo
Dipartimento dell’istruzione e della cultura
Bellinzona
Modo d’uso del file
Dal menu “Presentazione”, attivare “Visualizza
presentazione”.
Tutte le diapositive sono automatizzate, perciò l’unica
azione che deve compiere il visitatore è un semplice
clic del mouse per passare da una diapositiva alla
prossima.
Per visionare solo alcune diapositive, uscire dalla
visualizzazione, aprire “imposta presentazione” dal
menu “Presentazione” e introdurre i numeri della
prima e dell’ultima dia che si vogliono vedere.
Il numero della diapositiva evidenziata si legge
cliccando sul cursore verticale e tenendo premuto il
bottone del mouse.
Educazione
al pensiero probabilistico
nella scuola media
Problema 1: Lancio di un dado classico ideale
Risultati possibili:
Probabilità associate:
1
2
3
4
5
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
1 1 1 1 1 1
Somma delle probabilità:
     1
6 6 6 6 6 6
6
1/6
Probabilità di ottenere un numero pari con un lancio:
Primo modo di ragionare
1
2
3
4
5
Ci sono 3 possibilità su 6, perciò:
3 1
Pr(pari)  
6 2
Secondo modo di ragionare
6
deve uscire o il 2 o il 4 o il 6, perciò:
1 1 1 3 1
Pr(pari)     
6 6 6 6 2
Problema 2: Lancio di due dadi
I risultati possibili sono coppie di numeri interi compresi tra
1 a 6. Si possono ottenere, per esempio, con una tabella:
1
1 (1,1)
2
2 (2,1)
3
3 (3,1)
4
2
(1,2)
3
(2,2)
4
(3,2)
5
4 (4,1)
5
5 (5,1)
6
6 (6,1)
7
(4,2)
6
(5,2)
7
(6,2)
8
3
4
(1,3)
(1,4)
4
5
(2,3)
(2,4)
5
6
(3,3)
(3,4)
6
7
(4,3)
(4,4)
7
8
(5,3)
(5,4)
8
9
(6,3)
(6,4)
9
10
5
6
(1,5)
(1,6)
6
7
(2,5)
(2,6)
7
8
(3,5)
(3,6)
8
9
(4,5)
(4,6)
9
10
(5,5)
(5,6)
10
11
(6,5)
(6,6)
11
12
Se ci interessa la somma dei punti ottenuti in ogni lancio,
al posto delle coppie inseriamo le somme.
Problema 2: Lancio di due dadi
Risultati possibili:
2
3
4
5
6
Probabilità associate:
1/36 2/36
3/36
4/36
7
5/36
8
6/36 5/36
9
10
11
12
4/36
3/36
2/36
1/36
2
3
4
5  6
 1





1
Somma delle probabilità: 2 
36 36 36 36 36  36
Istogramma della distribuzione di probabilità
La
successione
delle
probabilità
associate si
dice anche
distribuzione
di probabilità.
1/ 6
5/ 36
1/ 9
1/ 12
1/ 18
1/ 36
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Problema 3: Lancio di tre dadi
Il problema è proponibile alle classi a partire dal secondo
biennio di scuola media (allievi dai 14 anni in su).
Anche qui ci si interessa alla somma dei punti usciti sui
tre dadi lanciati insieme e ci si chiede quali siano le
probabilità associate a ogni somma possibile.
All’inizio il problema è essenzialmente combinatorio:
occorre contare il numero di modi col quale si può ottenere
ogni somma.
Problema 3: Lancio di tre dadi
s
addendi
3
(1,1,1)
1
1
4
(1,1,2)
3
3
5
(1,1,3) (1,2,2)
3, 3
6
6
7
8
(1,1,4) (1,2,3) (2,2,2)
(1,1,5) (1,2,4) (1,3,3) (2,2,3)
(1,1,6) (1,2,5) (1,3,4) (2,2,4) (2,3,3)
3, 6, 1
3, 6, 3, 3
3, 6, 6, 3, 3
10
15
21
9
10
(1,2,6) (1,3,5) (1,4,4) (2,3,4) (2,5,2) (3,3,3)
(1,3,6) (1,4,5) (2,3,5) (2,4,4) (2,6,2) (3,3,4)
6, 6, 3, 6, 3, 1
6, 6, 6, 3, 3, 3
25
27
6, 6, 6, 3, 3, 3
6, 6, 3, 6, 3, 1
3, 6, 6, 3, 3
3, 6, 3, 3
3, 6, 1
3, 3
3
1
27
25
21
15
10
6
3
1
11
12
13
14
15
16
17
18
Totale
ottenibili
per
simmetria
totale modi
216
Problema 3: Lancio di tre dadi
Risultati possibili e probabilità associate:
3
4
5
6
7
8
1/216
11
1/216
9
10
3/216
6/216
10/216
15/216
21/216
25/216
27/216
12
13
14
15
16
17
18
3/216
6/216
La somma
delle
probabilità è
uguale a 1.
10/216
15/216
21/216
25/216
27/216
7/5 0
3/2 5
1/1 0
2/2 5
Istogramma
della
distribuzione:
3/5 0
1/2 5
1/5 0
0
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Problema 4: Lancio di monete non truccate
Lancio di una moneta
Risultati possibili:
Probabilità associate:
T (testa)
1/2
1 1
Somma delle probabilità:
 1
2 2
Lancio di due monete
I moneta
II moneta
T
T
T
C
C
T
C
C
Somma delle probabilità:
2 1 1 1
PrTC o CT    
4 4 4 2
C (croce)
1/2
risultato
probabilità
TT
1/4
1/4
TC
CT
1/4
1/4
CC
1 1 1 1
   1
4 4 4 4
Problema 4: Lancio di monete non truccate
Lancio di tre monete
Schema ad albero
I moneta
T
1
2
II moneta
III moneta
Risultati:
Probabilità:
T1
2
T 1 1C
2 2
TTT
1/8
C
1
2
1 C
2
T 1 1C
2 2
T1
2
T1 1 C
22
1 C
2
T1 1C
2 2
TTC TCT TCC CTT CTC CCT CCC
1/8 1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1
8  1
Somma probabilità:
8
1 1 1 1
Pr(TTT)      Pr(T)Pr(T)Pr(T)
8 2 2 2
Pr(almeno 2 T) 
4 1 1 1 1
     Pr(TTT)  Pr(TTC)  Pr(TCT)  Pr(CTT)
8 8 8 8 8
Problema 4: Lancio di monete non truccate
Lancio di n monete
Simulazione su foglio elettronico
Per simulare il verificarsi di un evento aleatorio si usa la
funzione CASUALE(). Essa dà a ogni ricalcolo un valore
casuale compreso tra 0 e 1.
Per simulare il lancio di una moneta non truccata si inserisce,
per esempio, la formula =SE(CASUALE()>=0.5;"T";"C").
Nell'esempio che stiamo presentando si sono simulati 320
lanci di 5 monete. I due grafici sovrapposti mostrano
l'andamento delle frequenze degli eventi Ei=“appaiono i
teste, per i = 1,2,…, 5”.
Il primo grafico dà il risultato della simulazione; il secondo
riproduce il risultato teorico.
Problema 4: Lancio di monete non truccate
Lancio di n monete
Simulazione su foglio elettronico
5
Numero m onet e k< = 5
Lancio di 5 monet e
I
II
III
IV
V
Tot ali TESTE
T
C
0,3 5
C
0,3
T
C
0,2 5
C
0,2
T
T
T
C
C
C
C
T
T
T
T
C
C
T
C
T
T
C
T
C
C
T
T
T
C
T
C
C
T
5
4
1
SPERIMENTA LE
3
TEORICO
0
1
4
0,1…
5
…
…
…
…
0
1
…
0,1
0,0 5
0
2
3
4
5
Numero lanci:
320
Cont rollo TESTE
0
1
2
3
4
5
18
49
67
99
65
22
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
…
…
…
…
…
…
Problema 4: Lancio di monete non truccate
Lancio di n monete
Teorizzazione
Modellizzazione: quanti risultati possibili esistono?
Lanciare n monete, o -il che è equivalente- lanciare n volte
una moneta, è come distribuire n oggetti (le n monete o gli n
lanci) in due cassetti (T e C).
Vi sono quindi 2n possibilità.
Se ci si interroga, ad esempio, sul verificarsi di k volte T,
questo risultato assume la forma di una parola di n lettere,
delle quali k sono T e (n–k) sono C.
n!
Vi sono quindi
k! (n–k)!
modi di ottenere k volte T.
Problema 4: Lancio di monete non truccate
Lancio di n monete
Teorizzazione
La probabilità teorica di ottenere k volte T su n lanci di una
moneta è dunque:
n!
Tabulazione su foglio elettronico
n
k! (n–k)! 2
Simmetria dei valori di probabilità, fissato n, al variare di k:
per esempio, su 10 lanci, ottenere 3 T è come ottenere 7 T.
Problema 5: Estrazione da un’urna opaca
Estraendo a caso una biglia, qual è la
probabilità che sia bianca?
Pr(bianca) 
2  1 1
5 5 5
Se in un'urna opaca si mettono 3 biglie nere e 3 bianche, la
probabilità che estraendo una biglia a caso essa risulti
bianca è evidentemente 3/6 ossia 1/2.
Ma, se si avesse la possibilità di distribuire a piacimento le 6
biglie in 2 urne, sarebbe possibile aumentare la probabilità di
estrarre una biglia bianca?
Problema 5: Estrazione da un’urna opaca
Soluzione
?
?
Scelta dell’urna
Estrazione biglia
1
2
1
1
2
2
5
0
Risultato:
bianca
nera
Probabilità:
1
1 2 7
Prbianca   1  
2
2 5 10
3
5
bianca
nera

1
2
Problema 5: Estrazione da un’urna opaca
Aumentando il numero di biglie, come varia la probabilità
massima?
La probabilità massima si ottiene mettendo una biglia bianca
in un’urna e le rimanenti nell’altra.
numero biglie
10
100
1000
10000
100000
1000000
10000000
100000000
p(B)
0,7
0,745
0,7495
0,74995
0,749995
0,7499995
0,74999995
0,749999995
Aumentando il numero di
biglie, aumenta la
probabilità di pescarne una
bianca.
I valori di probabilità sembrano
tendere verso 0,75.
Sarà vero?
Problema 5: Estrazione da un’urna opaca
Aumentando il numero di biglie, come varia la probabilità
massima?
Per 2n biglie, delle quali n bianche e n nere, si ha:
1
1 n 1
Prbianca    1 
2
2 2 n 1
1 1 1 3
lim Prbianca     
n
2 2 2 4
La congettura ricavata dai dati calcolati è confermata
dalla teoria.
Problema 6: Il modello dell’albero
A1) L’albero delle possibilità (caso simmetrico)
inizio
1
1
1
1
1
su 2
1
1
1
1
su 4
1
su 8
B1) L’albero delle probabilità (caso di equiprobabilità)
1
1
1
1
inizio
1/2
1/4
somma = 1
1/2
1/4
1/8 1/8 1/8 1/8
1/4
1/4
1/8 1/8 1/8 1/8
somma = 1
somma = 1
Problema 6: Il modello dell’albero
) L’albero delle possibilità (caso generale)
BA
2)2L’albero delle probabilità (caso generale)
inizio
nn1 1n
nn2 2 n
22
2 n n 2
22 2
n

n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
2
n2 2 n
n n1 1 2
12 2 1
2
1
su n=n1
+n2  1
su n2  1

23 2 2
23
23
33 3
2
2
22  n 3 n
22  n 3
3
3
2
n
n

n
n
su
n
n
n

n
n

n
n

n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n 1 1 2 2 11 2 2 n21n1 n2 1 1 2 2 21 1 2 21 1 2
22
 1
3 33
1 1
Problema 6: Il modello dell’albero
Operazioni sull’albero delle probabilità
e
p2
p1
e
+o
Lungo i rami… si moltiplica
“e” logica
In orizzontale… si addiziona
“o” logica
Problema 7: Gioco dell’oca - un finale carico di tensione
Vince colui che per primo arriva
esattamente sulla casella FINE.
Supponiamo che debba giocare C, poi B, poi A, nell'ordine.
Che probabilità ha ciascun giocatore di vincere al primo colpo?
Problema 7: Gioco dell’oca - soluzione
gioca C
(1,1)
vince in un
solo colpo
qualsiasi
altro
risultato
gioca B
ottiene 4,
vince in un
solo colpo
qualsiasi
altro
risultato
gioca A
ottiene 7,
vince in un
solo colpo
qualsiasi
altro
risultato
Problema 7: Gioco dell’oca - soluzione
Calcoliamo la probabilità
che ciascun giocatore ha
di vincere al primo colpo:
1
PC 
 0.027
36
PB 
35 3

 0.081
36 36
35 33 6
P(A) 


 0.149
36 36 36
1
36
35
36
3
36
Probabilità maggiore
Problema 8: Le tre giocatrici
Anna (A), Barbara (B) e Daniela (D) lanciano una dopo
l'altra in quest'ordine una moneta. Vince chi ottiene per
prima T. Che probabilità ha ciascuna ragazza di vincere?
Soluzione lancia A
T
C
lancia B
T
C
lancia D
T
C
lancia A
T
ecc.
C
Problema 8: Le tre giocatrici - soluzione
6
3
1 1 1 1 1
P(A)  
     


2
2
2
2
2
3n
1
1

 
2 
2
2
n

1  1 1
1
  1 

 




2 
8
8

 8


1 1
4


1 7
2
1
8
3
3n
1 1 1 1 1
1 1
1
PB    
   
 
2 2 2 2  2
2 2 
2
2
n
 1 1
1  1 1
2
1
  1 

   

8 
4 

 8 8 
 4 1 1 7
8
4 2 1
PD  1  
7 7 7
Problema 9: Un professore originale
Il professor Imbroglia un giorno si presentò al suo collega
Della Rima, insegnante di lettere:
«Noi due portiamo lo stesso numero di scarpe»
Gli mostrò un sacco di plastica nera e continuò:
«Qui dentro vi sono due paia di scarpe, perfettamente
uguali. Domani è il tuo compleanno. Se vuoi che te le regali,
devi guadagnartele.
Propongo il gioco seguente: ti farò mescolare le quattro
scarpe nel sacco, a tuo piacimento. Poi ne estrarrò a caso
due. Se le due scarpe estratte saranno una destra e una
sinistra, mi terrò le due paia e tu non avrai nessun regalo.
Se, invece, estrarrò due scarpe destre o due sinistre, le
due paia saranno per te.»
È onesto il gioco proposto dal professor Imbroglia?
Problema 9: Un professore originale - soluzione
prima estrazione:
s1
2
seconda estrazione:
risultati possibili:
s 1
3
ss
1 d
2
2 d
3
s 2
3
sd
1d
3
ds
dd
1 2 1 2 2
Pr(vince Imbroglia) = Pr(sd o ds) =    
2 3 2 3 3
1 1 1 1 1
2
Pr(vince Della Rima) = Pr(ss o dd) =      1
2 3 2 3 3
3
Il gioco non è onesto perché Imbroglia ha addirittura
probabilità doppia di vincere.
Problema 9: Un professore originale - soluzione
Che cosa succederebbe se nel sacco Imbroglia mettesse
tre paia di scarpe uguali?
prima estrazione:
s 1
2
seconda estrazione:
risultati possibili:
ss
s
2
5
d
3
5
1d
2
s
3
5
d
2
5
sd
ds
dd
1 3 1 3 3
Pr(vince Imbroglia) = Pr(sd o ds) =    
2 5 2 5 5
1 2 1 2 2
3
Pr(vince Della Rima) = Pr(ss o dd) =      1
2 5 2 5 5
5
Il gioco è ancora disonesto, ma la situazione di Della
Rima migliora leggermente…
Problema 9: Un professore originale - soluzione
E se il numero delle paia di scarpe fosse n?
1
n
1
n
n
Pr(vince Imbroglia) = 
 

2 2 n 1 2 2 n 1 2 n 1
1 n 1 1 n 1
n 1
 

Pr(vince Della Rima) = 
2 2 n 1 2 2 n 1 2 n 1
Quando n diventa molto grande, le due frazioni si avvicinano
al valore limite 1/2…
n
1
n
n grande

2n
2
2 n 1
n 1
2 n 1
n grande
n
2n
1

2
… e allora il gioco diventa onesto!
Problema 10: Play off
Situazione
I campionati di basket (di hockey o altri) terminano con i
cosiddetti play off, un torneo fra le migliori squadre.
La caratteristica di queste gare finali è che due squadre
s’incontrano fra di loro più volte.
Ci si può chiedere: perché partite ripetute?
Problema
I Rangers e i Devils sono giunti all’ultimo atto dei play
off. Le statistiche indicano che la probabilità di vittoria
dei Rangers è 0,6.
Qual è la probabilità che la squadra ritenuta più debole
(i Devils) vinca la sfida con i Rangers se si giocassero 1,
3, 5, 7 partite?
Problema 10: Play off
Soluzione
Sia Dk l'evento “vincono i Devils in k partite”.
Pr(D1) = 0,4
(nei play off non esiste il pareggio)
0,6
una partita:
tre partite:
0,4
vincono i Rangers (R)
vincono i Devils (D)
0,6
0,4
0,6
RR
RD
DR
0,4
0,4
DD
0,4
RDD
DRD
Pr(D3) = 0,6 · 0,4 · 0,4 + 0,4 · 0,6 · 0,4 + 0,4 · 0,4 = 0,352
Con 3 partite, la probabilità che vinca la più debole è minore.
Problema 10: Play off
Soluzione
Pr(D5) = Pr(DDD) +
+ Pr(RDDD) + Pr(DRDD) + Pr(DDRD) +
+ Pr(RRDDD) + Pr(RDRDD) + Pr(RDDRD) +
+ Pr(DRRDD) + Pr(DRDRD) + Pr(DDRRD)
3
4
3


 0,4 
 0,6  0,4    0,6 2  0,4 3 
1
2
3
 0,4 3  3  0,6  0,4 3  6  0,6 2  0,4 3  0,31744
Con 5 partite, la probabilità che vinca la squadra più debole
è ancora minore.
Problema 10: Play off
Soluzione
Pr(D7) = ?
Senza sconfitta:
DDDD
Con una sconfitta (in una delle prime 4 gare):
RDDDD, … (tutti gli anagrammi di RDDD)
Con due sconfitte (nelle prime 5 gare):
RRDDDD, … (tutti gli anagrammi di RRDDD)
Con tre sconfitte (nelle prime 6 gare):
RRRDDDD, … (tutti gli anagrammi di RRRDDD)
no. casi
1
4
  4
1
5
  10
2
6
  20
3
4 
5
6 
4
2
4
PD7   0,4     0,6  0,4     0,6  0,4     0,6 3  0,4 4  0,289792
1
2
3
4
Con 7 partite, la probabilità che vinca la squadra più debole
è ancora minore.
Problema 10: Play off
Soluzione
Ecco alcuni risultati ottenuti con un foglio elettronico:
No.
partite
1
3
5
7
9
11
13
Probabilità di
vittoria della
squadra
più debole
0.4
0.400000000
0.352000000
0.317440000
0.289792000
0.266567680
0.246501868
0.228843953
Problema 10: Play off
Soluzione
Altri risultati ottenuti con un foglio elettronico:
No.
partite
1
3
5
7
9
11
13
Probabilità di
vittoria della
squadra
più debole
0.3
0.300000000
0.216000000
0.163080000
0.126036000
0.098808660
0.078224791
0.062222122
FINE
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