Diciottesima Lezione
Un esempio di esame scritto
Tipologia di esercizi




Totale di 5 esercizi:
2 di base (molto semplici)
2 che richiedono esercizio
1 esercizio più impegnativo
Esercizio 1


Dato il campo vettoriale




2
2 
3
A  x  y u x  zu y  3 z u z


valutare   A e quindi     A
Soluzione: Per quanto riguarda la seconda quantità essa
è identicamente nulla. Per la prima
 A 
ux
uy
uz
x
y
z
x2  y2
z
3z 2
 u x  2 yu z
Esercizio 2

 n   jk z z 
E  A cos
x e
uy
Sia dato il campo elettrico
 b 
dominio dei fasori. Si calcoli il campo magnetico


[V / m]
nel
Soluzione: basta usare l’equazione di Faraday nel dominio dei
fasori


k 
E
 n
H
  z  A cos
 j
 
 b

n / b 

 n
 Asin
x e  jkz z u x  j
 

 b



x e  jkz z u z


[ A / m]
Esercizio 3
Una sfera metallica di raggio R=4cm è ricoperta da uno
strato di isolante (er=10) di spessore d=1 cm. Se il
potenziale della sfera rispetto all’infinito è 100V, si calcoli il
campo elettrostatico in un punto P distante 20 cm dal
centro della sfera
Il problema può essere visto come quello di due
condensatori sferici in serie, le cui capacità sappiamo
calcolare (vd lezione 5). Uno è composto di due
armature (la sfera di metallo ed una superficie
equipotenziale concentrica di raggio 4+1=5cm), e l’altro
è semplicemente costituito dalla seconda armatura
Esercizio 3
Allora il primo condensatore ha capacità
 S a Sb
C1  e 
 d
 4 (4 10  2 ) 2 4 (5 10 2 ) 2

 10  8.854 10 12  


110  2


 [F ]


Mentre il secondo (capacità di un conduttore sferico…)
C2  4e R  4 8.8541012  5 102
[F ]
La serie dei due restituisce
C1C2
 5.427 pF
C
C1  C2
Noti potenziale e capacità totale della sferetta, ricaviamo la carica
12
Q  CV  5.427 10
100 [Q]  5.427 1010 [C]
Esercizio 3
Il campo è (lezione 3), essendo in aria
Er 
Q
4e r e 0 r
2
 121 .951 [V / m]
Esercizio 4


Si vuole progettare un adattatore in quarto d’onda a 3
GHz, che consenta di adattare un carico di 100 W ad un
cavo coassiale con impedenza caratteristica 25 W. Se
l’adattatore è anch’esso in coassiale, con raggio interno
1mm, quale deve essere la lunghezza e quale il raggio
esterno se il dielettrico che riempie il cavo ha
permettività 3?
Un adattatore in quarto d’onda deve avere impedenza
caratteristica pari alla media geometrica
Z 0 adattatore  Z 0linea Z Lcarico  25100
 50 W
Esercizio 4

L’impedenza caratteristica di un cavo coassiale è (lezione 15)
L
1
Z0 

2
C

Per cui
Re  Ri e

e
Z 0 2

 Re
ln
e
Ri
38.8541012
502
3
4 107
 10 e
 4.2mm
La lunghezza deve essere 1/4 della lunghezza d’onda guidata: nel
caso di un cavo coassiale, essendo un’onda TEM, la velocità di
propagazione è quella della luce nel dielettrico del cavo per cui
c
v
 
 5.8cm
f
f er

quindi
l

4
 1.4cm
Esercizio 5
Supporre che il coefficiente di riflessione sul carico (posizione z=0) sia
dato in ampiezza e fase,
   e j
Trovare il valore (negativo) di z per cui la tensione è massima. Mostrare
che la corrente è in fase con la tensione in tale punto, così che
l’impedenza è reale. Calcolare poi la posizione del massimo della
tensione immaginando che la linea abbia impedenza caratteristica 50 W
ed il carico sia 100 + j100 W.
Zo, b
RL
z=-l

z=0
Il problema assegna il coefficiente di riflessione sul carico
(momentaneamente procediamo in modo simbolico)

V
V
  e j
z
Esercizio 5

Le equazioni del telegrafista hanno soluzione per la tensione
V ( z)  V  e  jbz  V  e jbz

Per cui, evidenziando l’ampiezza dell’onda progressiva, e sostituendo il
valore del coefficiente di riflessione, si ha nella sezione -l

V (l )  V  e jbl   e j   bl 


Come sappiamo, gli esponenziali complessi sono solo seni e coseni, tali che
il modulo dell’esponenziale è 1 (se b è reale); come tali, aggiungere
all’esponente un multiplo intero di 2 non cambia nulla. Il modulo della
tensione è massimo quando i due termini esponenziali sono in fase (ovvero
gli argomenti uguali a meno di multipli di 2), così che
VMAX  V   V   V  1   

Il che quindi avviene per la condizione
bl    bl  2k  l 
  2k   2k




k
2b
2 2 / 
4
2
Esercizio 5


Per inciso, ritroviamo che anche i massimi di tensione hanno periodicità
/2, la stessa che avevamo trovato per le impedenze di ingresso
Verifichiamo che tensione totale e corrente totale sono in fase, così che il loro
rapporto è una impedenza tutta reale: basta sostituire ad l il valore ora
calcolato, e ripeterlo nell’espressione delle correnti:
V (l )  V  1   e jbl  V  1   e

E per la corrente

Ed inserendo il valore di l

j


j   k 
e 2 
2  

  k 
  4
2

1
I (l ) 
V  e jbl  V  e  jbl
Z0


 V  1   

V  jbl

e   e j   bl 
Z0



j   k 
e 2 
V
1   
I  l  
Z0
Vediamo che effettivamente il termine di fase è identico a quello per la
tensione; notiamo però che qui il valore di corrente è MINIMO (il meno di
fronte al modulo di ) Quindi, come ci aspettavamo, in tale punto le onde
progressive e regressive di tensione interferiscono in modo costruttivo (segno
+) mentre quelle di corrente in modo distruttivo
Esercizio 5


Tra l’altro è anche semplice verificare che a /4 (ovvero /2 in termini di
“lunghezza elettrica” [in pratica il prodotto bl]) dal massimo di tensione,
incontreremo un minimo di tensione (ed un max di corrente), così che
l’impedenza sia di nuovo reale, ma minima
Quindi, tornando al nostro problema, l’impedenza vista in tale sezione verso
il carico è massima ed è
V  l  1   
Z in  l  

Z0  Z0S
I  l  1   

Volendo valutare tali risultati per i dati numerici forniti dal problema,
calcoliamoci prima il coefficiente di riflessione sul carico (in formato modulo e
fase)
Z L  Z0
100  j100  50

   0.62;

Z L  Z0
100  j100  50

fase   29.74
Sostituendo tale valore di fase, vediamo che il primo punto dal carico in cui si
ha un massimo di tensione è per
l
 29 .74 
4 180 


24
Alcune osservazioni sulle notazioni

La fase di un numero complesso si trova come arco tangente del
rapporto tra parte immaginaria e reale (occhio a verificare che la
calcoliate in gradi o radianti!!). Essa viene talvolta indicata come arg() di
un numero complesso o con il simbolo 
quindi il valore del coefficiente di riflessione in coordinate polari poteva
essere indicato come   0.6229.74
Un altro esercizio sulle linee

Una sezione di cavo coassiale avente un’impedenza caratteristica
di 50 W, ed una velocità di fase di 200 m/s, è terminato con un
corto circuito ed opera alla frequenza di 10 MHz. Si determini la
lunghezza minima della linea tale che, ai terminali di ingresso, la
linea abbia un’impedenza pari a quella di un condensatore di 100
pF. Si determini inoltre la distanza minima tale che la linea appaia
essere una induttanza di 1 H
Abbiamo visto che l’impedenza di ingresso di un tratto di linea in
corto circuito è
Z in  jZ 0 tan bl
E vogliamo che tale quantità sia pari all’impedenza prodotta da una
capacità


Z in 

1
j
j


W   j159.15W
6
12
jC
C
2 10 10 100 10
quindi
 159 .15 
l  arc tan 

b
50 

1
Un altro esercizio sulle linee

Non conosciamo ancora la costante di propagazione, ma
conosciamo la velocità di fase per cui
b


v
 0.3142
rad / m
A questo punto abbiamo tutto e possiamo calcolarci la lunghezza. Si
noti che nell’arco tangente avremo sempre un’indecisione di , per
cui converrà sempre verificare se, sottraendo al valore calcolato
dell’arco , la lunghezza resta positiva: la minima lunghezza
(positiva) è quella cercata
l  5.97 m

La risoluzione per il caso induttivo è del tutto analoga, dovendo solo
cercare i valori dell’arco tangente tali che
Z in  jL  j 62.83W

E per avere tale impedenza il tratto di linea necessario è lungo
2.86m
Un esercizio sulle onde piane in mezzi
stratificati Utilizzando l’analogia con le linee

Un’onda piana che viaggia in aria, in direzione z, con campo
elettrico sinusoidale (f=3GHz), ampiezza 1V/m, incide
ortogonalmente su una barra dielettrica uniforme in x ed y, con
permettività dielettrica 3, e spessore d 1 cm; a tale interfaccia
l’onda piana incidente ha fase nulla. Si calcoli l’ampiezza
dell’onda piana trasmessa al di là della barra dielettrica (di nuovo
aria)
er2
1
E1 , H1
Il problema è di fatto quello di una linea
equivalente con impedenza caratteristica
pari all’impedenza d’onda in aria (377W),
che all’interfaccia z=0 ha ampiezza V+=1
Zoaria
E3 , H 3
E2 , H 2
0

1
d
Zo
Zoaria
Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati

Nella schematizzazione a linee equivalenti abbiamo considerato il fatto
che lo strato di aria a destra è illimitato, per cui in tale strato non avremo
onde regressive, e l’impedenza offerta all’ingresso di una linea infinita è
proprio l’impedenza caratteristica. Con questi dati sappiamo calcolare
l’impedenza vista all’ingresso della seconda linea ed il problema è molto
simile a quello descritto nella lezione 16. Se calcoliamo tale impedenza in
accordo con la formula che conosciamo (lezione 15), in cui il carico RL è
Zoaria
RL cos b 2 d  jZ 0 sinb 2 d
Z in  Z 0

Z 0 cos b 2 d  jR L sinb 2 d
Ed il b è la costante di propagazione nella barra dielettrica. Allora sappiamo
immediatamente il coefficiente di riflessione in z=0
Z in  Z 0


aria
Z in  Z 0 aria
E quindi l’ampiezza dell’onda riflessa in aria, nella regione a sinistra
V   V 
Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati

E conseguentemente l’ampiezza del campo elettrico totale all’interfaccia
z=0



V  V  V  V 1   


Il campo elettrico tangenziale (ovvero la ”tensione” totale, in realtà ampiezza
del campo elettrico nella nostra analogia) deve essere continuo all’interfaccia
dielettrica z=0, per cui tale tensione è quella che troviamo all’ingresso della
seconda linea, ed il problema è ora semplificato in
I quello di una linea con
generatore V
Siamo quindi anche in grado trovare
V
Zo
immediatamente l’ampiezza del
campo (la tensione totale) in z=d
essendo per la seconda linea
0
d R
  jb 2 z
V ( z )  V2 e
 jb 2 z
 V2 e
l
z

Infatti possiamo determinare i coefficienti incogniti V2, poichè all’interfaccia

Ed inoltre
V  V2   V2   V  1   
V2  V2 
V
I


Z0
Z0
Zin
Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati

In questo modo sappiamo trovare l’ampiezza dell’onda progressiva e di
quella regressiva anche nel mezzo 2 (le V2), in funzione di quantità già
calcolate: risolvendo il sistema otteniamo infatti
V2


Z in  Z 0
Z in  Z 0

V
 V 1   
2Z in
2Z in
V2

Z in  Z 0
Z in  Z 0

V
 V 1   
2Z in
2Z in
Quindi il campo (la tensione totale) in z=d è
V (d )  V2  e  jb 2 d  V2  e jb 2 d
Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati

Inseriamo i valori numerici: Zoaria è semplicemente 377W mentre Z0 è
Z0 

 217 W
Nella formula per l’impedenza di ingresso occorre la costante di propagazione
nella seconda linea (dielettrico) a 3 GHz, cioè
b


4 10 7

e
3 8.854 10 12

v
  e  2 3 109 4107  3  8.8541012  108 .9 rad / m
Quindi l’impedenza di ingresso diventa
Zin  146.5  j69.5W

Ed il coefficiente di riflessione in z=0
  0.415  j0.188
Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati

I valori di V2+ e V2- sono
Z in  Z 0
 0.701  j 0.04 [V / m]
2Z in
Z in  Z 0

 V 1   
 0.116  j 0.148 [V / m]
2Z in
V2   V  1   
V2 

Ed il valore del campo in z=d
V (d )  V2  e  jb 2 d  V2  e jb 2 d  0.367  j 0.811 [V / m]

Il cui modulo vale
V (d )  0.89 [V / m]
Un esercizio sulle onde piane in mezzi stratificati
OSSERVAZIONI

In realtà l’esercizio è su mezzi privi di perdite (tutte Zo reali), in cui
nessuna potenza viene dissipata, e deve valere il semplice bilancio
energetico tra potenza trasmessa e riflessa, introdotto nella lezione 16,
ovvero (adeguando i simboli a quelli dell’esercizio
P
P


V ( d ) / 2 RL
2
V  / 2Z 0aria
 1 
2

2
 1 
2
Ed in effetti considerando che V+ vale 1 V/m, otteniamo immediatamente
V (d )  1  


2
Nel nostro caso RL e Zoaria sono la stessa cosa (perché il mezzo 1, di
incidenza, ed il 3 di trasmissione, sono aria), per cui questo equivale a
2
dire che
V (d )
V

T
2
 0.89 [V / m]
Risparmiando molti conti...