I poliedri
Abbiamo visto che i solidi si
suddividono in…
• Poliedri, se la sua superficie è formata
esclusivamente da poligoni
• Solidi a superficie curva se, la sua superficie è
parzialmente curva
Poliedri regolari
• Un poliedro è regolare se tutte le sue facce sono poligoni
regolari e congruenti e tutti i diedri e gli angoloidi sono
congruenti fra loro
• I Poliedri regolari sono solo cinque e prendono il nome di
solidi platonici
I poliedri non regolari
I prismi e le piramidi
Un prisma è
• Un poliedro costituito da due poligoni congruenti, posti su
piani paralleli, e da tanti parallelogrammi quanti sono i lati di
ciascuno dei due poligoni di base
• I poligoni di base danno il nome al prisma
Riconosci i prismi
Le parti di un prisma
Base
Altezza
Spigolo
laterale
Faccia
laterale
Diagonale
Spigolo di base
•L’insieme delle facce laterali del prisma prende il nome di
SUPERFICIE LATERALE
•L’insieme delle superficie di base del solido prende il nome di
Superficie di base Sb
•L’insieme di tutte le facce del prisma laterale e di base prende il nome
di SUPERFICIE TOTALE
• Prisma obliquo: se tutte le facce laterali sono parallelogrammi e
l’altezza non coincide con uno degli spigoli
• Prisma retto: se tutte le facce laterali sono perpendicolari alle basi e
l’altezza coincide con uno degli spigoli
• Prisma regolare: se è retto e le basi sono poligoni regolari (le facce
laterali sono rettangoli uguali fra loro).
La superficie di un solido
Per visualizzare la superficie di un solido si ricorre ad una
operazione chiamata “sviluppo sul piano del solido” e ci permett
capire come si calcola la misura dell’area di un solido
Lo sviluppo di un solido è la superficie che si ottiene
riportando su un piano le facce che lo compongono.
Lo sviluppo di un solido consiste
nel distendere su una superficie piana tutte le facce,
laterali e di base, del solido.
Superficie laterale e totale dei prismi
Osservando lo sviluppo sul piano del
D
C
prisma ci accorgiamo che la superficie
laterale del prisma coincide con il
rettangolo ABCD.
Questo rettangolo ha la base AB
congruente al perimetro di base del
prisma e l’altezza AD congruente
all’altezza del prisma.
A
B
In definitiva la superficie laterale del prisma si ottiene
moltiplicando il perimetro del poligono di base del
prisma per l’altezza:
Sl = p x h
P= Sl : h
h = Sl : p
P.s. ricorda dire superficie o dire Area è la stessa
cosa
Superficie totale
La superficie totale è data dalla somma della
superficie laterale e dell’area delle due basi:
St = Sl + 2Ab
Formule inverse
Sl = St – 2Ab
Ab = St - Sl
Esempio
• un prisma retto ha per base un rettangolo le cui dimensioni
misurano 4 cm e 7 cm. Sapendo che l’altezza del prisma
misura 20 cm, calcolane l’area della superficie laterale e totale
AB = A’B’= 7cm
BC = B’C’ = 4cm
BB’ = 20 cm
Sl = p x h =
P b = (AB + BC) x 2 = (7+4) x 2 = 22 cm
Sl = 22 x 20 = 440 cm2
St = Sl + 2 x Ab =
Ab = b x h = 7 x4 = 28 cm2
St = 440 + 2 x 28 = 496 cm2
Il volume dei prismi
• Per comprendere la formula che ci permette di
calcolare il volume di un prisma, consideriamo
il caso di un parallelepipedo rettangolo avente
le dimensioni di base di 4 cm e 6 cm e
l’altezza di 5 cm. Scegliamo come unità di
misura il cm3, calcolare il volume del
parallelepipedo significa trovare quanti cubetti
con lo spigolo da 1 cm3, esso può contenere.
= 1 cm3
5 cm
4 cm
6 cm
6 cm x 4 cm = 24 cm x 5 cm = 120cm3
In definitiva e in generale per calcolare il volume di un prisma basta calcolare
l’area del poligono di base (rettangolo rosa) e moltiplicarla per l’altezza del
prisma
V = Abase ∙ h da cui
Abase = V / h
h = V/ A base
Avvertimento !!!!!
• Quando devi trovare il Volume dei solidi
ricordati che devi stare attento all’unità di
misura
Se V è in
Allora P è in
E Ps è in
dm3
Kg
Kg/dm3
cm3
g
g/cm3
m3
t
t/m3
• Il rapporto tra peso e volume di una sostanza
prende il nome di peso specifico (ps)
• Quindi Ps = P/V
• Dalle formule inverse P = Ps x V
• V = P / Ps
• Quindi il volume di un corpo si può ricavare
dal peso specifico della sostanza
Un prisma particolare
Il parallelepipedo
I
È un prisma retto le cui basi sono dei
G
F
E
parallelogrammi.
O
Ovviamente anche le facce saranno dei
parallelogrammi
Nel parallelepipedo retto le diagonali sono
D
C
quattro e si incontrano in un punto O che li
divide a metà
In generale per il calcolo dell’Area laterale
e totale del parallelepipedo valgono le
stesse formule dei prismi
A
B
il parallelepipedo rettangolo
Se i poligoni di base sono dei
rettangoli abbiamo il parallelepipedo
c
rettangolo, tutte e 6 le facce sono
quindi dei rettangoli a due a due
b
congruenti e paralleli. I tre spigoli
a
che escono da uno stesso vertice si
V=a∙b∙c
chiamano dimensioni del
a = V / b∙c
parallelepipedo e sono lunghezza
b = V / a∙c
larghezza e altezza
c = V / a ∙b
Il cubo è un particolare
parallelepipedo rettangolo avente
le tre dimensioni congruenti
Nel caso del cubo, poiché le facce
sono quadrati congruenti sarà
sufficiente trovare l’area di una
faccia e moltiplicarla per 4 per
avere l’area della superficie
laterale e per 6 per avere l’area
della superficie totale
Slaterale = Abase ∙ 4 = l2 ∙ 4
l=
Stotale = Abase ∙ 6 = l2 ∙ 6
l=
Misura della diagonale di un parallelepipedo retto
I
G
Nel parallelepipedo rettangolo vi sono 4
F
E
diagonali congruenti.
c
Consideriamo una diagonale e osserviamo il
triangolo ACG. Poiché si tratta di un triangolo
rettangolo e la diagonale è ipotenusa del
D
C
triangolo, possiamo applicare il teorema di
b
A
Pitagora.
diagonale =
AC2
+
CG2
a
B
In definitiva la diagonale
Ma, poiché AC, diagonale del rettangolo di
del parallelepipedo è ….
base, è ipotenusa del triangolo rettangolo ABC,
AC =
AB2 + BC2
AB2 + BC2 + CG2
La diagonale nel cubo
Poiché il cubo è un particolare parallelepipedo
rettangolo possiamo applicare la stessa formula.
AB2 + BC2 + CG2
Ma nel cubo le tre dimensioni sono uguali, allora
l 2 + l2 + l2
=
l2 ∙ 3
=
d=l∙
Perché? Riflettiamoci insieme
3
l= d/
3
Esercizio
• Calcola la misura della diagonale di un
parallelepipedo sapendo che le dimensione di
base sono 12 cm e 16 cm e l’altezza è di 21 cm
• (29 cm)
• La diagonale di un parallelepipedo rettangolo
misura 10 cm mentre le dimensioni di base
sono 3,6 cm e 4,8 cm. Determina la misura
dell’altezza del prisma
La piramide
Le piramidi
Si dice piramide un
poliedro limitato da un
poligono qualunque,
detto base, e da tanti
triangoli quanti sono i lati
del poligono, aventi tutti
un vertice comune.
faccia
laterale
Una piramide prende
il nome dal numero
di lati del poligono
di base.
PIRAMIDE
TRIANGOLARE
PIRAMIDE
QUADRANGOLARE
PIRAMIDE
PENTAGONALE
Piramidi rette e regolari
Una piramide si dice retta se ha per
base un poligono circoscrittibile
a una circonferenza, il cui centro
coincide con il piede dell’altezza.
Una piramide si dice regolare
se è retta e se ha per base
un poligono regolare.
QUADRATO
TRIANGOLO
EQUILATERO
PENTAGONO
REGOLARE
Alcuni esempi
Il solido P è una piramide quadrangolare
regolare, quindi è retta; il piede dell’altezza
coincide con il centro della circonferenza inscritta
nel poligono di base.
Le sue facce laterali sono
quattro triangoli T isosceli congruenti,
la sua base è un quadrato Q.
Prova tu
• Quante sono le facce laterali di una piramide regolare
6
esagonale? …….
Ogni faccia è un triangolo: di che tipo rispetto ai lati?
…………………….. isoscele
In una piramide retta le facce triangolari
laterali hanno tutti la stessa altezza, che
prende il nome di apotema
ATTENZIONE!!!! Non confondere
l’apotema della piramide con l’apotema
del poligono di base che coincide con il
raggio della circonferenza
Come avrai notato
l’apotema di una piramide
coincide con l’ipotenusa di
un triangolo rettangolo che
ha come cateti l’altezza
della piramide e il raggio
della circonferenza inscritta
nel poligono.
LO HAI NOTATO?!!!!?
POSSIAMO ALLORA RICORRERE AL
TEOREMA DI PITAGORA PER TROVARE
I TRE SEGMENTI?
apotema
raggio
altezza
• Trova l’apotema di una piramide reqolare quadrangolare, che
ha l’altezza di 12 cm e il raggio di 3,5 cm. (12,5 cm)
• Trova lo spigolo di base di una piramide regolare triangolare
alta 60 cm e con l’apotema di 61 cm (22 cm)
• Una piramide retta a base quadrata ha lo spigolo di base di 16
cm e l’apotema di 15 cm. Trova la lunghezza dello spigolo
laterale. (17 cm)
Osservando lo sviluppo sul piano di una piramide regolare si nota che la superficie
laterale è formato da tanti triangoli quanti sono i lati del poligono di base.
Questi triangoli, hanno tutti la stessa altezza (apotema della piramide).
Questi triangoli sono equivalenti a un unico triangolo che ha per base il perimetro del
poligono di base e per altezza l’apotema della piramide.
Poiché l’area del triangolo è
A = (b ∙ h) : 2
la superficie laterale è
Sl = (2p ∙ a) : 2
da cui
2p = (2 ∙ Sl) : a
a = (2 ∙ Sl ) : 2p
La superficie totale si trova come nei prismi
Il volume della
piramide
Per capire come si calcola il volume della piramide possiamo ricorrere ad un
esperimento.
Costruiamo una piramide e un prisma con lo stesso poligono di base e la stessa
altezza.
Riempiamo la piramide di sabbia e versiamola nel prisma.
Che cosa noti?
Poiché il volume del prisma si ottiene
V = Abase ∙ h
Il volume della piramide è
V = (Abase ∙ h) : 3