4 Teoria dell’impeto e
teorema della media
Fabio Bevilacqua
La teoria dell’impeto: Buridano
• A partire dal VI secolo dopo Cristo la fisica
del moto di Aristotele viene sottoposta a
severe critiche. Si comincia ad analizzare la
possibilità del moto nel vuoto; la resistenza
del mezzo viene sostituita dalla resistenza
intrinseca del corpo, mentre il peso o la
leggerezza assumono il ruolo di forza
motrice nel caso dei moti naturali.
• Per i moti forzati viene modificato il ruolo
svolto dal mezzo nel trasmettere per
contatto la forza motrice.
• Si inizia dunque a pensare che in un moto
violento una qualche forza non permanente
sia impressa nel corpo e che inoltre il corpo
stesso e non il mezzo fornisca una
resistenza al moto. Nella versione medievale
di Buridano tale forza impressa viene
chiamata "impetus" ed assume il ruolo di
causa motrice interna al corpo nel moto
violento.
• L"'impetus" non viene solo utilizzato per
spiegare i moti violenti ma anche i moti
naturali, ovvero l'accelerazione dei corpi
che cadono verso i loro luoghi naturali.
La teoria dell’impeto: Buridano
• L'argomentazione di Buridano è molto
interessante; egli separa il problema della
causa della caduta dei corpi da quello
dell'accelerazione di caduta: i corpi
cadrebbero con velocità uniforme a causa
della loro gravità (il loro peso rimane
costante durante la caduta). L'accelerazione
richiede dunque una spiegazione:
rinunciando ad ipotesi quali la vicinanza al
luogo naturale, la rarefazione dell'aria a
causa del calore prodotto dal corpo in
caduta, ecc., Buridano sostiene che
l'accelerazione è causata dall'accumulo di
incrementi di impeto.
• Tre elementi vanno individuati nel processo
di caduta: la pesantezza del corpo, l'impeto,
la velocità. La pesantezza del corpo è la
causa di una velocità costante, inoltre in
ogni intervallo di tempo essa produce un
impeto che a sua volta nell'intervallo
successivo produrrà un incremento di
velocità.
• La tradizione aristotelica viene comunque
rispettata perchè la forza è sempre collegata
alla velocita e non all'accelerazione, in
quanto è l'incremento di impetus che
produce un incremento di velocità
nell'intervallo successivo.
Il teorema della media
• Tra i più importanti risultati nello studio
della cinematica nella prima metà del
quattordicesimo secolo vi sono quelli
raggiunti all'Università di Oxford, al Merton
College e in particolare il cosiddetto
"teorema della media".
• Tale teorema lega lo spazio percorso da un
corpo in moto uniformemente accelerato a
quello percorso dallo stesso corpo in moto
uniforme con velocità pari alla velocità
media, cioè alla velocità nell'istante di
mezzo dell'intervallo di tempo considerato.
Oresme (c. 1323 - 1382)
• Di questo risultato vi furono dimostrazioni
sia di carattere aritmetico sia geometrico e
tra queste ultime è notevole quella dello
scolastico parigino Nicola d'Oresme.
• I suoi più importanti contributi alla matematica
sono contenuti nel Tractatus de
configurationibus qualitatum et motuum.
• In una qualità, o forma accidentale, come il
calore, distinse l’ intensio (il grado di calore in
ogni punto) e l’ extensio (come la lunghezza
della barra riscaldata). Questi due termini sono
stati spesso sostituiti da Latitudine e
Longitudine.
• Per motivi di chiarezza, Oresme concepì l'idea
di visualizzare questi concetti con figure piane,
e si avvicinò a ciò che noi ora chiamiamo
coordinate rettangolari.
• L'intensità della qualità era rappresentata da
una lunghezza o latitudo proporzionale
all'intensità, eretta perpendicolarmente alla
base in un dato punto sulla linea di base, che
rappresenta la longitudo. Oresme propose che
la forma geometrica di una tale figura poteva
essere considerata come corrispondente ad
una delle caratteristiche della qualità stessa.
Oresme definì una qualità uniforme (moto con
velocità costante) come quella che è
rappresentata da una linea parallela alla
longitudine, e di ogni altra qualità è difforme.
Qualità uniformemente difformi (moto
uniformemente accelerato) sono rappresentate
• da una linea retta inclinata rispetto all'asse della
longitudine, inoltre descrisse numerosi casi
diversi di qualità difformemente difformi (moto
vario). Oresme estese questa dottrina alle
figure di tre dimensioni. Pensava a queste
analisi fossero applicabili a molte diverse
qualità come la sensazione piccante, il candore
e la dolcezza. Significativo per gli sviluppi
successivi, Oresme applicò questo concetto
all'analisi del moto locale dove la latitudo o
l'intensità rappresenta la velocità,
la longitudo rappresenta il tempo, e l'area della
figura rappresentata la distanza percorsa.
• Il contesto teorico in cui fu elaborata questa
dimostrazione è però lontano da quello della
caduta dei gravi: esso si riferisce infatti al
problema della rappresentazione della
quantità di una qualità.
• L'estensione della qualità viene
rappresentata da una linea orizzontale
mentre l'intensità della qualità da una linea
perpendicolare alla precedente. Nel nostro
caso del moto uniformemente accelerato la
linea dell'estensione rappresenta il tempo e
la linea dell'intensità rappresenta la velocità.
Il teorema della media
• S= Vm * t = Vf/2 * t
• ove S = distanza
percorsa, Vf = velocità
finale, t = intervallo di
tempo in cui ha luogo
un'accelerazione
uniforme a partire dalla
quiete, Vm = velocità
media.
•Considerando che la velocità fìnale è proporzionale al tempo trascorso si deduce
facilmente che lo spazio percorso è proporzionale al quadrato dei tempi.
• Oresme, "Sulle configurazioni delle qualità e
dei moti“:
• III, 7. Sulla misura di qualità e velocità
difformi. Ogni qualità uniformemente
difforme è tanto grande quanta sarebbe la
qualità dello stesso soggetto o di un
soggetto uguale uniforme secondo il grado
del punto medio dello stesso soggetto. E
intendo se la qualità è lineare...
• ...Sia dunque una qualità
rappresentabile mediante il
triangolo ABC; si tratta di una
qualità uniformemente difforme,
terminata al grado zero nel punto B
(v. fig. 3-2); sia inoltre D il punto di
mezzo della linea del soggetto. Il
grado o intensione di tale punto è
rappresentato dalla linea DE.
• Una qualità che fosse uniforme per
tutto il soggetto secondo il grado
DE sarebbe dunque raffigurabile
mediante il quadrangolo AFGB,
come è chiaro dal capitolo decimo
della parte prima.
• E' noto invero per la ventiseiesima
(proposizione) del primo (libro) di
Euclide, che i due piccoli triangoli
EFC ed EGB sono uguali.
• Quindi il triangolo maggiore BAC,
che disegna la qualità
uniformemente difforme, e il
quadrangolo AFGB, che designa la
qualità uniforme secondo il grado
del punto di mezzo, sono uguali.
• Quindi le qualità rappresentabili
mediante tale triangolo e mediante
tale quadrangolo sono uguali,
come si voleva dimostrare...
• ...Vale inoltre per la velocità tutto
quanto si è detto della qualità
lineare, purchè tuttavia in luogo del
punto medio (del soggetto) si
prenda l'istante di mezzo del tempo
che misura la velocità...
The Science of Motion p.237-40
• “E' stato in questo contesto inglese che
Nicola d’Oresme ha sviluppato un proprio
sistema per la misurazione delle qualità dei
moti. Il termine '' latitudine” , come veniva
utilizzato a Oxford, aveva connotato una
sola dimensione geometrica o linea, ma alla
radice del suo significato geometrico,
naturalmente, la latitudine o larghezza
indica in generale una seconda dimensione
geometrica, dopo la longitudine o
lunghezza.
• Oresme ha approfittato di questa situazione
linguistica per proporre un sistema di
misurazione delle qualità o velocità in due
"dimensioni" di latitudine e longitudine,
latitudine in riferimento all'intensità di una
qualità o movimento e longitudine per la sua
estensione sia nel corpo affetto dalla qualità
sia nel mobile sia nel tempo. Come i suoi
predecessori, Oresme considerò distribuzioni uniformi, uniformemente difformi, e difformemente difformi di intensità o di latitudine
rispetto allo spazio o longitudine. Due
caratteristiche distinguono in particolare il
suo lavoro da quello dei suoi predecessori.
• Prima di tutto, comincia sistematicamente a
descrivere il suo metodo di "raffigurazione"
dell’ intensità rispetto all'estensione in un
modo che ha portato alcuni storici a vedere
il suo lavoro come un passo nella direzione
della rappresentazione grafica. Anche se
quest’ultimo termine è anacronistico, il
raffronto non è del tutto infondato. Oresme
utilizza il suo sistema per trattare le qualità
o moti di punti, linee, piani, e di solidi. La
qualità o il moto di un punto è rappresentato
da una sola riga che indica la sua intensità.
• Per la qualità o il movimento di una linea,
Oresme rappresenta l'estensione del
soggetto attraverso una linea di riferimento
orizzontale (vedi fig. 10). Su questa linea
base egli disegna linee verticali per
rappresentare l'intensità della qualità o la
velocità del movimento del soggetto in ogni
punto.
• Per una qualità o movimento uniforme, tutte
le verticali sono uguali e la figura che ne
risulta è un rettangolo. Per una qualità o
moto uniformemente difforme, la figura che
ne risulta è un triangolo o un trapezoide.
• Qualità difformemente difformi possono
essere rappresentati da figure a gradino,
semicerchi, o da altri figure irregolari -fermo
restando che ogni linea che rappresenta
un’intensità deve partire da un punto della
linea di base orizzontale corrispondente a
un punto del soggetto. (Vedi fig. 11 per
alcune configurazioni possibili e impossibili.) Per la qualità o movimenti di piani, la
configurazione di qualità o movimento è facilmente rappresentata da una figura solida
con una base che rappresenta il soggetto; e
il sistema può anche essere esteso a soggetti tridimensionali con le configurazioni di
• qualità o movimento per piani infiniti all'interno del soggetto immaginati come solidi
che si compenetrano. Oltre a rappresentare
la variazione di intensità o di velocità da una
parte di un soggetto ad un altra, il sistema di
Oresme è stato utilizzato anche per rappresentare variazioni nel tempo, nel qual caso
la linea di base (fig. 10) rappresenta un tempo. Pertanto, la configurazione di velocità di
un moto uniforme è un rettangolo, e la configurazione di velocità per un'accelerazione
uniforme era un triangolo, se l'accelerazione
ha iniziato da una velocità uguale a zero, o
un trapezoide, se l'accelerazione è passata.
• da una velocità ad un’altra. A parte l’ accento sulla rappresentazione geometrica, Oresme differisce dai suoi predecessori di Oxford anche perchè le sue misure primarie di
qualità e moti divennero non l'intensità, pura
e semplice, o la velocità, pura e semplice,
ma la cosiddetta "quantità della qualità" o
"quantità di moto", dove la quantità di una
qualità o moto era pari alla sua intensità
moltiplicata per la sua estensione. Per un
soggetto lineare, la quantità della qualità o
del moto era facilmente rappresentata
dall’area della configurazione immaginata:
• dall'area del rettangolo per una qualità o
movimento uniforme, dall'area del triangolo
o trapezio per una qualità o movimento uniformemente difforme, e così via. Prendere in
considerazione una simile quantità di qualità o di movimento fu un passo importante in
direzione diversa dalle idee degli autori di
Oxford, per i quali il prodotto di un’intensità
per un'estensione non aveva alcun reale significato ontologico. Nel caso delle configurazioni di Oresme di velocità rispetto al
tempo, piuttosto che rispetto ad un soggetto
esteso, tuttavia, il prodotto dell'intensità della velocità rispetto all’estensione del tempo.
• ha un significato ontologico evidente: corrisponde alla totale distanza percorsa. Quindi, se si equiparano le “quantità" di due velocità rispetto al tempo, questo era lo
stesso che equiparare le distanze percorse.
La correttezza, apparentemente ovvia, di dire che due moti sono uguali se le distanze
che attraversano sono uguali ha fatto ritenere corretto, per analogia, il concetto di
"quantità di una qualità". Sulla base di questa analogia, quindi, Oresme ha adottato la
misura del grado medio per le distribuzioni
uniformemente difformi di tutti i tipi.
• Un moto uniformemente difforme è uguale
al suo grado medio perché attraversa lo
stesso spazio che sarebbe stato attraversato da una velocità uniforme al suo grado
medio nello stesso tempo. Ciò potrebbe essere dimostrato geometricamente dimostrando che l'area del triangolo, o trapezoide, che rappresenta il moto uniformemente
difforme è uguale all'area del rettangolo che
rappresenta il moto con velocità uniforme
corrispondente al grado medio (vedi fig. 12).
Allo stesso modo, quindi, una qualità uniformemente difforme si diceva uguagliasse
una qualità uniforme al suo grado medio,
• perché entrambe le qualità contengono la
stessa quantità di qualità. Al di là del tipo di
casi già considerati, Swineshead e Oresme
si sono occupati spesso di casi con intensità infinite e anche con qualità totali infinite. Se lasciamo che l'intensità di una qualità
aumentari all'infinito rispetto alle successive
parti proporzionalmente decrescenti di un
soggetto finito (cioè, se un soggetto “qualificato” ha una intensità di un certo grado
nella sua prima metà, due volte quell'intensità nel suo quarto successivo, tre volte nell’ottavo successivo, e così via), che cosa
possiamo dire di una adeguata misura
• quantitativa di questa qualità? La quantità di
tempo trascorso da questi autori nel discutere questi casi ci dice che la considerazione dell’infinito nei loro tentativi di misurare
le qualità non è stata una estensione accidentale dell’applicazione di latitudini e gradi,
ma è stata parte integrante della loro impresa. Si adatta abbastanza bene, inoltre, con la
tendenza che è già stata notata nell'analisi
dei sofismi, poiché i casi di varianti che coinvolgono l'infinito possono spesso essere
considerati, e, a volte sono anche esplicitamente etichettati, sophismata.
• Nei decenni dopo la comparsa delle opere di
Heytesbury Swineshead, e Oresme,
discussioni sull’intensione, remissione,
latitudini, e gradi di forme erano molto
comuni, e furono compilati molti manuali
piuttosto elementari suii concetti di base
delle loro opere.”
P. Duhem 1914: La teoria fisica
• Affinchè un attributo presente nei corpi
possa esprimersi con un simbolo numerico,
è necessario e sufficiente, secondo il
linguaggio di Aristotele, che appartenga alla
categoria della quantità e non alla categoria
della qualità (p.120)
• Ma: una medesima qualità può manifestarsi
con una molteplicità di intensità differenti
(p.129)
• Innalzamento di intensità (intensio),
abbassamento di intensità (remissio) (p.123)
Quantità sono additive, qualità no (p.131)
• Il linguaggio dell’algebra consente di
ragionare tanto sulle diverse intensità di una
qualità, quanto sulle diverse grandezza di
una quantità (p.133)