Anna Riva
9 maggio 2007
Ipotesi e confronto di mappe di
competenze
perseguibili nella scuola
nell’ambito dell’educazione
matematica
Anna Riva
9 maggio 2007
Ipotesi e confronto di mappe di competenze matematiche
Si sono prese in esame le mappe di
competenze matematiche che si evincono
dai quadri di riferimento INValSI,
dai documenti UMI
Matematica 2001
Matematica 2003
Matematica 2004
e dagli OSA
Anna Riva
9 maggio 2007
Ipotesi e confronto di mappe di competenze matematiche
Sono state poi confrontate con le indicazioni
sulle competenze in uscita dalla secondaria
superiore contenuti in:
Sillabus - UMI
Documento dei Rettori delle facoltà di
Ingegneria
La Matematica per le altre discipline - UMI
Anna Riva
9 maggio 2007
Ipotesi e confronto di mappe di competenze matematiche
Quadri di riferimento INValSI
per le Prove di Valutazione in
Matematica
Anna Riva
9 maggio 2007
INValSI
Matematica
“…contenuti irrinunciabili per la disciplina
matematica e le sue applicazioni”
“…conoscenza concettuale che affondi le sue radici in
contesti critici di razionalizzazione della realtà…”
“…appropriazione personale critica e interiorizzata
di tale conoscenza…”
“…abilità nell’uso di alcuni strumenti (=algoritmi)
matematici elementari che risultano cruciali nel ruolo
di descrizione e controllo (=modellizzazione) della
realtà…”
Anna Riva
9 maggio 2007
INValSI
Matematica
“…conoscenza concettuale, frutto di riflessione
critica, non di addestramento meccanico o di
apprendimento mnemonico…”
“…conoscenza che risulti libera dagli stereotipi
suggeriti dalla evidenza intuitiva oppure dalle
immagini mentali memorizzate in modo a-critico,
oppure dagli automatismi dell’addestramento
algoritmico..”
Anna Riva
9 maggio 2007
INValSI
Matematica
“…è occasione per consolidare il fondamentale
principio secondo il quale conoscenze e abilità già
acquisite in un dato livello scolare non debbono
essere considerate come perdute nel passaggio a
livelli scolari superiori.”
Anna Riva
9 maggio 2007
INValSI
Matematica
“La costruzione del sapere o lo sviluppo delle
competenze deve essere infatti il risultato di una
sommatoria di traguardi intellettuali e operativi
acquisiti e successivamente integrati e approfonditi,
e non può invece essere un processo che riparte ogni
volta ex-novo e si realizza su un terreno mentale
considerato “tabula rasa”….”
Anna Riva
9 maggio 2007
INValSI
una matematica “…che si esprime con un
linguaggio preciso e coerente, non vago e
approssimato”
Anna Riva
9 maggio 2007
INValSI
una matematica “…che sia fattore di crescita
per la persona, che sia strumento di conoscenza
della realtà, che sia linguaggio preciso, univoco,
obbiettivo, utile e anzi indispensabile per
descrivere tale realtà, evitando di eccedere in
astrazioni e formalismo, richiedendo cioè solo il
formalismo utile, comprensibile e apprezzabile,
ai diversi livelli di età in cui si colloca”
Anna Riva
9 maggio 2007
INValSI
Sono esplicitamente indicati diversi punti di
vista da cui sondare la capacità di uso degli
strumenti matematici:
Anna Riva
9 maggio 2007
INValSI
• saper usare in modo appropriato il linguaggio
matematico
• saper eseguire calcoli (non eccessivamente complicati),
riconoscere operazioni e procedimenti
• saper effettuare formalizzazioni mediante l’uso di
simboli opportuni, interpretare un formalismo in
un contesto assegnato
Anna Riva
9 maggio 2007
INValSI
• fare ed esprimere deduzioni riconoscendo i
collegamenti logici relativi
• dare rappresentazioni matematiche di diverse
situazioni problematiche, saper “leggere”
diverse forme di rappresentazione
Anna Riva
9 maggio 2007
INValSI
Matematica
Temi
Scuola sec. di II grado: classe I e classe III
• Numero e algebra
• Geometria
• Relazioni e funzioni
• Dati e previsioni
Anna Riva
9 maggio 2007
INValSI
Numero e algebra
Classe I
Classe III
Conoscenze fondamentali sui numeri
Nozioni fondamentali su numeri
numeri interi e razionali, sulle loro forme di naturali, interi, relativi, reali. Potenze,
rappresentazione (valore posizionale delle radicali e loro proprietà.
cifre, rappresentazione decimale dei numeri
razionali, uso delle frazioni), sulle
operazioni tra essi definite e le loro relative
proprietà. Proprietà dell’elevamento a
potenza. Ordinamento e confronto di
numeri interi e razionali.
Il calcolo numerico; ordine di grandezza,
approssimazione, errore. Calcolo con le
frazioni, con i numeri decimali, con le
percentuali
Anna Riva
Calcolo numerico: approssimazione,
errore. Problemi con il calcolo di
percentuali
9 maggio 2007
INValSI
Saper esprimere in simboli relazioni
Somma e prodotto di polinomi,
numeriche rappresentate mediante il
fattorizzazione di polinomi, frazioni
linguaggio ordinario. Saper interpretare il algebriche
significato di formule
Risolvere semplici equazioni di primo
grado.
Equazioni e disequazioni lineari; sistemi
lineari di due equazioni in due incognite:
loro interpretazione geometrica
Saper risolvere e formalizzare mediante
espressioni algebriche o semplici
equazioni, problemi di natura diversa
Equazioni di secondo grado e coefficienti
costanti e con parametro
Anna Riva
9 maggio 2007
INValSI
Geometria
Classe I
Classe III
Proprietà fondamentali delle principali
figure del piano e dello spazio. Calcolo di
perimetri, aree, volumi; lunghezza della
circonferenza e area del cerchio
Nozioni fondamentali di geometria del
piano e dello spazio. Congruenza
(uguaglianza) di figure poligonali;
proprietà di circonferenza e cerchio;
angoli al centro e alla circonferenza e
loro proprietà
Rapporto tra grandezze
Misura di grandezze: grandezze
commensurabili e incommensurabili.
Teoremi di Euclide e Pitagora.
Calcolo di perimetri e aree
Anna Riva
9 maggio 2007
INValSI
Trasformazioni geometriche: isometrie,
similitudini. Equiscomponibilità di
figure poligonali
Trasformazioni del piano in sé:
traslazione, rotazione, simmetria
Proporzionalità tra grandezze;
similitudine di figure piane, il teorema
di Talete.
Le coordinate cartesiane:
rappresentazione per punti di semplici
figure geometriche
Anna Riva
Il piano cartesiano: rappresentazione
della retta, della parabola e della
iperbole in forma canonica
9 maggio 2007
INValSI
Relazioni e funzioni
Classe I
Classe III
I concetti di relazione e di funzione:
linguaggio relativo appropriato
(dominio, codominio, variabile,
immagine, etc.), diverse modalità di
rappresentazione (tabelle, grafici,
rappresentazioni algebriche o
analitiche).
La nozione di funzione. Semplici
esempi, proprietà
Rappresentazione grafica di funzioni di
proporzionalità diretta e inversa
Rappresentazione algebrica o analitica
di funzioni assegnate a parole oppure
mediante una tabella o un semplice
grafico
Anna Riva
9 maggio 2007
INValSI
Proporzionalità diretta, inversa,
quadratica, dipendenza tra due variabili
espressa con polinomi di primo e
secondo grado
Saper associare ad una funzione il
grafico corrispondente
Anna Riva
9 maggio 2007
INValSI
Dati e previsioni
Classe I
Classe III
Raccolta di dati in una indagine
statistica: concetti di frequenza, media e
indici statistici di diverse caratteristiche
Lettura e interpretazione di dati espressi
mediante tabelle e grafici statistici.
Lettura e interpretazione di diverse
rappresentazioni grafiche statistiche
(tabelle, diagrammi).
Le diverse nozioni di media: media
aritmetica e media ponderata; calcolo e
interpretazione in contesti diversi.
Valutazione di probabilità di un evento,
in casi semplici
Valutazione di probabilità di uno o più
eventi in casi semplici
Anna Riva
9 maggio 2007
Ipotesi e confronto di mappe di competenze matematiche
UMI
Matematica 2003
Anna Riva
9 maggio 2007
UMI
Nel curriculum Matematica 2003 presentato
dall’UMI sono presentati quattro nuclei essenziali
su cui costruire le competenze matematiche:
• Numero e algoritmi
• Spazio e figure
• Relazioni e funzioni
• Dati e previsioni
Anna Riva
9 maggio 2007
UMI
cui sono aggiunti tre nuclei trasversali, centrati sui
processi mentali degli allievi:
• Argomentare, congetturare, dimostrare
• Misurare
• Risolvere e porsi problemi
Anna Riva
9 maggio 2007
UMI
La proposta è completata da una riflessione sul
Laboratorio di matematica che non è visto come un
luogo fisico diverso dalla classe, ma piuttosto un
insieme strutturato di attività volte alla costruzione
di significati degli oggetti matematici
Anna Riva
9 maggio 2007
UMI
Ciascun nucleo è articolato in
• Competenze specifiche – Abilità
• Conoscenze
Anna Riva
9 maggio 2007
UMI
Ad esempio Nuclei e algoritmi per il primo biennio è
articolato in 18 voci, tra Abilità e Conoscenze
eccone alcune
Anna Riva
9 maggio 2007
UMI
Abilità
Conoscenze
Calcolare quoziente e resto nella
divisione tra interi: a/b=q+r/b
Il teorema fondamentale dell'aritmetica
Addizione e moltiplicazione nell'insieme
dei numeri interi: elementi neutri, opposto,
ordinamento, valore assoluto
Scrivere un numero decimale come
somma di multipli di potenze di 10 ad
esponente intero
Addizione e moltiplicazione nell'insieme
dei numeri razionali: elementi neutri,
opposto, inverso, ordinamento
Stabilire se una divisione (frazione) dà
luogo a un numero decimale periodico
o non periodico
I numeri decimali e il calcolo
approssimato. L'insieme dei numeri reali
(forma intuitiva)
Anna Riva
9 maggio 2007
UMI
Scrivere un numero in notazione
scientifica
Rappresentazione scientifica ed
esponenziale dei numeri razionali e reali
Stimare l'ordine di grandezza del risultato Analogie e differenze tra i diversi
di un calcolo numerico
insiemi numerici. Rappresentazione dei
numeri sulla retta
Utilizzare in modo consapevole gli
strumenti di calcolo automatico
La potenza di numeri positivi con
esponente razionale
Approssimare a meno di una fissata
incertezza risultati di operazioni con
numeri decimali (cfr. Misurare e Dati e
previsioni)
I polinomi e le loro operazioni
(addizione e moltiplicazione). Il grafo di
calcolo di un'espressione (numerica e
algebrica)
I polinomi e le loro operazioni
Data una espressione numerica scrivere
un grafo di calcolo ad essa equivalente e, (addizione e moltiplicazione). Il grafo di
calcolo di un'espressione (numerica e
viceversa
algebrica)
Anna Riva
9 maggio 2007
UMI
Le riflessioni e le indicazioni metodologiche,
ricche e articolate, presenti nella proposta
dell’UMI sono in sintonia con quanto indicato nei
quadri di riferimento dell’INValSI
Anna Riva
9 maggio 2007
UMI
“La formazione del curricolo scolastico non può
prescindere dal considerare sia la funzione
strumentale, sia quella culturale della
matematica”
Anna Riva
9 maggio 2007
UMI
“Dentro a competenze strumentali come eseguire
calcoli, risolvere equazioni, leggere dati, misurare una
grandezza, calcolare una probabilità, è, infatti, sempre
presente un aspetto culturale, che collega tali
competenze alla storia della nostra civiltà e alla
complessa realtà in cui viviamo”
Anna Riva
9 maggio 2007
UMI
D’altra parte, l’aspetto culturale, che fa riferimento a
una serie di conoscenze teoriche, storiche ed
epistemologiche, quali la padronanza delle idee
fondamentali di una teoria, la capacità di situarle in un
processo evolutivo, di riflettere sui principi e sui metodi
impiegati, non ha senso senza i riferimenti ai calcoli,
al gioco delle ipotesi, ai tentativi ed errori per
validarle, alle diverse dimostrazioni che evidenziano
i diversi significati di un enunciato matematico:
Anna Riva
9 maggio 2007
UMI
E si parla di:
“…didattica di tipo elicoidale, che riprende gli
argomenti approfondendoli di volta in volta”
Anna Riva
9 maggio 2007
UMI
Si consiglia di introdurre regolarmente la riflessione
storica che
“dovrà attendere che i concetti relativi si siano
consolidati, in modo da non generare confusione e
quindi incertezze negli studenti”
Anna Riva
9 maggio 2007
Ipotesi e confronto di mappe di competenze matematiche
OSA
Anna Riva
9 maggio 2007
OSA
Non c’è un quadro di riferimento o delle
indicazioni generali per la matematica.
Ci sono indicazioni generali nel Profilo
educativo, culturale e professionale dello
studente alla fine del diritto dovere di istruzione
e formazione come
Anna Riva
9 maggio 2007
OSA
Compito specifico del secondo ciclo…è
trasformare la molteplicità dei saperi che il
soggetto incontra nel sistema formale, non
formale e informale in un sapere unitario
personale, dotato di senso, ricco di
motivazioni e di fini; allo stesso modo,
trasformare le prestazioni professionali in
competenze….
Anna Riva
9 maggio 2007
OSA
e analogamente generali sono le indicazioni
per il primo ciclo
Anna Riva
9 maggio 2007
OSA
Quando poi si esaminano gli OSA si ritrovano voci
analoghe a quelle del curriculum UMI, per quanto
riguarda conoscenze e abilità specifiche, ma non
appare analogo risalto a temi come Argomentare e
congetturare o Risolvere e porsi problemi.
Anche la storia della matematica e del pensiero
scientifico è limitata a argomenti specifici e
circostanziati inseriti nei vari temi, mentre nel
curriculum UMI ci sono ricorrenti raccomandazioni
metodologiche e spunti di riflessione organici negli
sviluppi dei vari temi.
Anna Riva
9 maggio 2007